3.1.3函数的奇偶性
课程标准 学习目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的生质；学会判断函数的奇偶性； 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结合的数学思想. 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 1.奇函数、偶函数的定义； 2.判断函数奇偶性的步骤； 3.奇函数、偶函数图象的对称性；
知识点01 奇、偶函数的定义
偶函数 奇函数
条件 一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且
f(－x)f(x) f(－x)－f(x)
结论 则称yf(x)为偶函数 则称yf(x)为奇函数
定义域特征 定义域关于原点对称
等价形式 若f(x)≠0，则－1 f(x)为奇函数，1 f(x)为偶函数
注：利用定义法判断函数奇偶性的步骤
(1)一看定义域．定义域D要具有对称性，即对 x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数．
(2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系：
①f(－x)f(x) f(x)是偶函数；
②f(－x)－f(x) f(x)是奇函数；
③f(－x)≠±f(x) f(x)是非奇非偶函数；
④f(－x)±f(x) f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)0，x∈D，且D关于原点对称．
【即学即练1】（山东省潍坊市国开中学、日照市莒县某高中校级联考2023-2024学年高三上学期春季高考阶段性检测数学试题）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（2024·云南昆明·高一校考期中）已知函数，点，是图象上的两点．
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
知识点02奇、偶函数的图像特征(几何意义)
（1）奇函数的图像特征(几何意义)
奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也不成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数．
（2）偶函数的图像特征(几何意义)
偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也不成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数．
注：(1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上．
(2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上．
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，.
(1)现已画出函数在轴及轴左侧的图象，如图所示，请把函数的图象补充完整，并根据图象写出函数的单调递增区间；
(2)写出函数的值域．
易错 判断奇偶性时忽略定义域致错
1．判断函数f(x)(1＋x)的奇偶性．
【题型1：函数奇偶性的判断】
例1.（2024·青海西宁·高一校考阶段练习）下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
变式2．（2023·全国·高一专题练习）函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
变式3．．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数
B．是偶函数
C．是奇函数
D．是奇函数
变式4．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用定义法证明：在上单调递增；
变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，且．
(1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．
(2)证明函数在上是增函数．
(3)画出在上的图象，并求在上值域．
【方法技巧与总结】
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
(3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
(4)分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
【题型2：函数奇偶性的图像特征】
例2．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．【多选】（2024·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考期中）已知定义在上的函数，对任意实数满足，且时，，则下列说法中，正确的是（ ）
A．2是的周期 B．不是图象的对称轴
C． D．是图象的对称中心
变式2．（2024·湖北黄冈·高一校考期中）已知定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的表达式；
(2)画出函数的大致图象；
(3)直接写出函数的值域和单调区间．
(4)若方程a有两个实数根，直接写出a的取值范围．
【方法技巧与总结】
函数奇偶性的图像特征
根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．
【题型3：利用函数奇偶性求参数】
例3．（2024·福建泉州·高一校考期中）若是偶函数，则（ ）
A．2 B．1 C．1 D．3
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）已知函数是偶函数，求实数a的值．
变式2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则 ．
变式3．（2023·四川绵阳·高一期中）若函数为奇函数，则 .
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
变式5．（2024·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2
变式6．（2023秋·上海松江·高一校考期末）若函数是定义在上的奇函数，则 .
变式7．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数是偶函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式8．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）若是奇函数，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式9．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且．
(1)求的值；
(2)求使不成立的实数的取值集合．
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求参数的解题思路
奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型．
(1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解．
(2)解析式含参，需根据f(x)f(－x)或f(x)－f(－x)列式，比较各项的系数求解．
【题型4：利用函数奇偶性求值】
例4．（2024·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则 .
变式1．（2024·广东·高三学业考试）函数是定义在上的偶函数，当时，，则 .
变式2．（2023秋·全国·高一专题练习）设为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．12 B． C．13 D．
变式3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 .
变式4．（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知，其中为常数，若，则 ．
变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
变式6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式7．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）设函数，若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。
【题型5：利用函数奇偶性求解析式】
例5．（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数为奇函数，且当时，则当时， ．
变式1．（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 .
变式2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为 .
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.
变式4．（2024·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式．
变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知函数（）是偶函数．当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式．
变式6．（2024·全国·高一专题练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；
（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
变式7．（2023·全国·高一专课时练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ．
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求函数解析式的方法
已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：
(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；
(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；
(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)0.
【题型6：函数单调性与奇偶性的综合应用】
例6．（2024·全国·高一专题练习）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 .
变式1．（2024·江苏常州·高三常州市第三中学校联考阶段练习）已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 ．
变式2．（2024·广东深圳·高三校考阶段练习）已知是奇函数，且在上是增函数．又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·北京东城·高一校考期中）若定义在R上的奇函数在上是增函数，又，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2024·天津·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒不成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
变式7．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 ．
变式8．（2024·河南郑州·高三校考阶段练习）设函数，则使得不成立的x的取值范围是 .
变式9．（2023春·云南迪庆·高一统考期末）设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是 .
变式10．（2023秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式11．（2023·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
变式12．（2023秋·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒不成立，设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
1、函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2、利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
【题型7：抽象函数的奇偶性】
例7.【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
变式1．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
变式2．（2023秋·黑龙江牡丹江·高一校考期末）设函数是增函数，对于任意x，都有．
（1）写一个满足条件的并证明；
（2）证明是奇函数；
（3）解不等式．
一、单选题
1．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．4070 B．4048 C．4044 D．4036
4．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（ ）
A． B．1 C．0 D．2
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
6．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·江苏·专题练习）已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）已知定义域为R的函数，满足，且，则以下选项错误的是（ ）
A． B．图象关于对称
C．图象关于对称 D．为偶函数
9．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若为奇函数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
10．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，若一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，则称这个函数为这个圆的“太极函数”，下列说法中正确的有（ ）
A．对于一个半径为1的圆，其“太极函数”仅有1个
B．函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．函数不可能是某个圆的“太极函数”
D．函数是某个圆的“太极函数”
12．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数 B．在上单调递增
C． D．
13．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A．的图像关于点对称 B．
C．当时， D．在上单调递减
14．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
15．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 ．
16．（23-24高一上·吉林·阶段练习）若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是 .
17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数若，则实数a的取值范围是 ．
18．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ．
19．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有不成立，则不等式的解集为 ．
20．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 .
四、解答题
21．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数的图象；
(2)根据图象写出函数的单调递增区间；
(3)根据图象写出使的x的取值集合.
22．（2024高一上·江苏·专题练习）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上是减函数；
(3)当时，求函数的解析式.
23．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数，其中.
(1)当函数的图象关于点成中心对称时，求的值；
(2)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(3)若，求函数在区间上的值域.
24．（23-24高一上·浙江宁波·期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．
(1)请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由．
25．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；
(1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值.
26．（23-24高二下·河南安阳·期末）世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1.3函数的奇偶性
课程标准 学习目标
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的生质；学会判断函数的奇偶性； 2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，参透数形结合的数学思想. 3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 1.奇函数、偶函数的定义； 2.判断函数奇偶性的步骤； 3.奇函数、偶函数图象的对称性；
知识点01 奇、偶函数的定义
偶函数 奇函数
条件 一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且
f(－x)f(x) f(－x)－f(x)
结论 则称yf(x)为偶函数 则称yf(x)为奇函数
定义域特征 定义域关于原点对称
等价形式 若f(x)≠0，则－1 f(x)为奇函数，1 f(x)为偶函数
注：利用定义法判断函数奇偶性的步骤
(1)一看定义域．定义域D要具有对称性，即对 x∈D，－x∈D，也就是说奇、偶函数的定义域要关于原点对称，定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数．
(2)二看等式．当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系：
①f(－x)f(x) f(x)是偶函数；
②f(－x)－f(x) f(x)是奇函数；
③f(－x)≠±f(x) f(x)是非奇非偶函数；
④f(－x)±f(x) f(x)既是奇函数又是偶函数，这样的函数只有一类，即f(x)0，x∈D，且D关于原点对称．
【即学即练1】（山东省潍坊市国开中学、日照市莒县某高中校级联考2023-2024学年高三上学期春季高考阶段性检测数学试题）下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶函数的性质，以及函数增减的性质，逐个选项进行判断可得答案.
【详解】A选项，为奇函数，且单调递增，故A正确；
B选项，是奇函数，在，上递减，故B错误；
C选项，偶函数，故C错误；
D选项，是奇函数，且单调递减，故D错误，．
故洗：A
【即学即练2】（2024·云南昆明·高一校考期中）已知函数，点，是图象上的两点．
(1)求，的值；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)
(2)为奇函数，理由见解析
【分析】（1）分别代入两点坐标联立求解即可；
（2）根据奇偶函数的定义判断即可.
【详解】（1）由题意，，解得.
（2）由（1），易得定义域关于原点对称.
又，故为奇函数.
知识点02奇、偶函数的图像特征(几何意义)
（1）奇函数的图像特征(几何意义)
奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也不成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数．
（2）偶函数的图像特征(几何意义)
偶函数的图像关于y轴对称；反之，结论也不成立，即图像关于y轴对称的函数一定是偶函数．
注：(1)若f(x)是奇函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，－f(x))也在其图像上．
(2)若f(x)是偶函数，点(x，f(x))在其图像上，则点(－x，f(－x))，即点(－x，f(x))也在其图像上．
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，.
(1)现已画出函数在轴及轴左侧的图象，如图所示，请把函数的图象补充完整，并根据图象写出函数的单调递增区间；
(2)写出函数的值域．
【答案】(1)作图见解析，单调递增区间是
(2)
【分析】（1）利用偶函数的对称性即可补全图象，根据图象可看出函数的单调递增区间；
（2）根据时的解析式可求得，由对称性可得的值域即为.
【详解】（1）由为偶函数可知，其图象关于轴对称，
作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象，如下图所示：
由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
所以函数的单调递增区间是．
（2）由题意知，当时，的最小值为；
由偶函数的性质可得，即函数的值域为.
易错 判断奇偶性时忽略定义域致错
1．判断函数f(x)(1＋x)的奇偶性．
正解： (1＋x)有意义时必须满足≥0，解得－1＜x≤1，即函数f(x)的定义域是{x|－1＜x≤1}．
因为函数的定义域关于坐标原点不对称，
所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
[易错探因] 解答本题时易忽略函数的定义域得到如下错解：
∵f(x)(1＋x)，
∴f(－x)f(x)，
∴f(x)(1＋x)是偶函数．
[误区警示] 因为函数的定义域是否关于坐标原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性时，应先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称．
【题型1：函数奇偶性的判断】
例1.（2024·青海西宁·高一校考阶段练习）下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，二次函数图象关于直线对称，不关于原点对称，A错误；
对于B，是偶函数，不是奇函数；
对于C，设，定义域为，且，
即为奇函数；
对于D，二次函数关于直线对称,不关于原点对称，D错误；
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并加以证明：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8).
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)非奇非偶函数，证明见解析
(3)非奇非偶函数，证明见解析
(4)奇函数，证明见解析
(5)偶函数，证明见解析
(6)奇函数，证明见解析
(7)偶函数，证明见解析
(8)奇函数，证明见解析
【分析】先求出各个函数的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；若关于原点对称，求出，与比较，即可得出答案.
【详解】（1）为奇函数
定义域为R，关于原点对称，
且，
所以为奇函数.
（2）为非奇非偶函数，
定义域为R，关于原点对称，
，且，
所以，为非奇非偶函数.
（3）为非奇非偶函数，
定义域为，不关于原点对称，
所以，为非奇非偶函数.
（4）为奇函数，
定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数.
（5）为偶函数，
定义域为，关于原点对称，
，
所以为偶函数.
（6）为奇函数，
定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数.
（7）为偶函数，
定义域为R，关于原点对称.
对于，都有，且.
对于，，
有，.
同理可推得，，.
综上所述，，都有，
所以为偶函数.
（8）为奇函数，
定义域为R，关于原点对称.
对于，都有，且.
对于，，
有，.
同理可推得，，.
综上所述，，都有，
所以为奇函数.
变式2．（2023·全国·高一专题练习）函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
【答案】A
【解析】若，则，则；
若，则，则.
又，满足.
所以，又函数的定义域为，关于原点对称，
因此，函数为奇函数..
变式3．．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则（ ）
A．是偶函数
B．是偶函数
C．是奇函数
D．是奇函数
【答案】C
【分析】根据奇偶函数的定义逐个选项判断即可.
【详解】对A，，故是奇函数，故A错误；
对B，，故是偶函数，故B正确；
对C，，故是偶函数，故C错误；
对D，，故是偶函数，故D错误.
变式4．（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）已知函数．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用定义法证明：在上单调递增；
【答案】(1)非奇非偶函数
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可得解；
（2）利用作差法计算即可得出结论.
【详解】（1）由，得，则，
所以函数的定义域为不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数；
（2），
令，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增.
变式5．（2024·全国·高一专题练习）已知函数，且．
(1)判断并证明函数在其定义域上的奇偶性．
(2)证明函数在上是增函数．
(3)画出在上的图象，并求在上值域．
【答案】(1)奇函数，证明见解析．
(2)证明见解析
(3)图象见解析，值域
【分析】（1）先将代入，求出的值代入后再判断函数的奇偶性，并用定义证明；
（2）利用定义法证明函数的单调性；
（3）结合第（2）问单调性的结果，判断该函数在上的单调性，再求最值．
【详解】（1）在其定义域上为奇函数，
，定义域为，
由，
解得，，
，
在定义域上为奇函数．
（2）任取，且，
，
，，则
又，，
，即，
在上为增函数．
（3）在上的图象如图.
在单调递减，在单调递增，
,又，则
故函数值域为.
【方法技巧与总结】
函数奇偶性判断的方法
(1)定义法：
(2)图像法：若函数的图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称．则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
(3)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
(4)分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
【题型2：函数奇偶性的图像特征】
例2．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据特殊值法可排除BD，即可求解.
【详解】由于定义域为，所以，
故，为奇函数，图象关于原点对称，C错误；
，B错误，，D错误，
．
变式1．【多选】（2024·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考期中）已知定义在上的函数，对任意实数满足，且时，，则下列说法中，正确的是（ ）
A．2是的周期 B．不是图象的对称轴
C． D．是图象的对称中心
【答案】AC
【分析】由周期性、对称性的定义判断．
【详解】时，，
由知2是的一个周期，A正确；
由得是图象的一条对称轴，从而也是图象的一条对称轴，时，，BD错误；
，C正确；
C．
变式2．（2024·湖北黄冈·高一校考期中）已知定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的表达式；
(2)画出函数的大致图象；
(3)直接写出函数的值域和单调区间．
(4)若方程a有两个实数根，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)值域为，单调递增区间为，，单调递减区间为，；
(4)∪（0，1）
【分析】先设，则代入已知函数的解析式，从而求出的函数解析式，进而可以求解；
根据二次函数的性质即可画出函数的图像；
根据图像即可求出函数的值域研究单调区间．
（4）数型结合根据图像求解即可.
【详解】（1）设，则，所以，
又函数是奇函数，则，
所以，
又，则，
所以函数在上的解析式为；
（2）函数的图像如图所示：
（3）由图象可得函数的值域为，
单调递增区间为，，
单调递减区间为，．
（4）∪（0，1）.
【方法技巧与总结】
函数奇偶性的图像特征
根据奇偶函数在原点一侧的图像求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题．
【题型3：利用函数奇偶性求参数】
例3．（2024·福建泉州·高一校考期中）若是偶函数，则（ ）
A．2 B．1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质计算可得.
【详解】因为是偶函数，
所以，即，
所以，则，解得.
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）已知函数是偶函数，求实数a的值．
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性即可代入求解.
【详解】由可得，
由于为偶函数，所以，
所以，故，
变式2．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是定义在区间上的偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】由题意，可解出，定义域关于原点对称，可解出.
【详解】函数是定义在区间上的偶函数，
得，所以，解得，
且定义域关于原点对称，所以，解得，
所以．
故答案为：2.
变式3．（2023·四川绵阳·高一期中）若函数为奇函数，则 .
【答案】
【解析】显然函数的定义域为R，
由是奇函数，得，即，
即，而不恒为0，
则，解得，所以.
变式4．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，则 ．
【答案】/
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称可得，进而代入即可求解.
【详解】由题意可知，即.
又是奇函数，故，即，
∴对任意都不成立，则，
∴.所以，
故答案为：
变式5．（2024·辽宁·高三校联考开学考试）已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】利用偶函数的定义，建立方程，可得答案.
【详解】由题意可得，则，可得.
.
变式6．（2023秋·上海松江·高一校考期末）若函数是定义在上的奇函数，则 .
【答案】1
【解析】因为函数是定义在上的奇函数
所以，解得.
因为，
所以，解得.
所以.
变式7．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数是偶函数，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】化简函数为，根据，列出方程，即可求解.
【详解】由函数，
因为函数为偶函数，可得，
即，所以，解得.
.
变式8．（2023春·陕西安康·高三校考阶段练习）若是奇函数，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】利用题给条件列出关于实数的方程组，解之即可求得实数的值.
【详解】是奇函数，则，，
即，解之得，
则，经检验是奇函数.
变式9．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且．
(1)求的值；
(2)求使不成立的实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由列式求出m，n，再检验奇偶性即可得解；
（2）先根据函数定义域可得，再判断的单调性，由奇偶性和单调性将原不等式化简，求解关于a的不等式组即可．
【详解】（1）由题意可得：，解得，
则，
可得，则符合题意，
所以.
（2）因为的定义域为，则，解得，
又因为在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递增，在上单调递减，
由，可得，则或，
解得或，
综上所述：或，
所以能使不成立的实数的取值集合为.
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求参数的解题思路
奇、偶函数的定义既是判断函数是否具有奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，解题时要注意奇、偶函数的定义的正用和逆用．利用函数的奇偶性求参数一般有如下两种题型．
(1)定义域含参，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解．
(2)解析式含参，需根据f(x)f(－x)或f(x)－f(－x)列式，比较各项的系数求解．
【题型4：利用函数奇偶性求值】
例4．（2024·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则 .
【答案】1
【分析】根据偶函数的性质即可求得答案.
【详解】由题意是定义在R上的偶函数，且当时，，
则，
故答案为：1
变式1．（2024·广东·高三学业考试）函数是定义在上的偶函数，当时，，则 .
【答案】9
【分析】根据题意，结合，代入即可求解.
【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，，
则.
故答案为：.
变式2．（2023秋·全国·高一专题练习）设为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．12 B． C．13 D．
【答案】D
【解析】因为为上的奇函数，所以，，
所以.
变式3．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且，则 .
【答案】
【解析】由函数是定义在上的奇函数，
则，，
由，则.
故答案为：.
变式4．（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知，其中为常数，若，则 ．
【答案】
【分析】构造奇函数，利用奇函数的定义求解．
【详解】设，，是奇函数，
，则，又，所以．
故答案为：．
变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
【答案】C
【解析】设，定义域为，
则，故为奇函数，
又，则，
所以.
变式6．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】，设，函数定义域为，
，函数为奇函数，，
，，故..
变式7．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）设函数，若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性求参数，然后求函数值即可.
【详解】由已知可得，则．
因为是奇函数，
所以，即，
因为，解得，所以，
所以.
．
【方法技巧与总结】
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值。
【题型5：利用函数奇偶性求解析式】
例5．（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数为奇函数，且当时，则当时， ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数为奇函数，
所以当时，，
故答案为：
变式1．（2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 .
【答案】
【分析】根据题意结合奇函数的定义与性质运算求解.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，
当时，则，可得，
所以.
故答案为：.
变式2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则的解析式为 .
【答案】（或）
【详解】根据题意可知，当时，，则，
又函数是定义在上的偶函数，所以，
因此当时，，所以的解析式为.
故答案为：
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；
（2）作出函数的图象，从而得函数的单调递增区间，根据题意列不等式，即可得答案.
【详解】（1）解：设，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因函数是定义在上的奇函数，可得，
所以函数在上的解析式为.
（2）解：作出函数的图象，如图所示，
由函数图象可知，在上单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
变式4．（2024·高一课时练习）已知是R上的偶函数，且当时，，求的解析式．
【答案】
【分析】根据偶函数的定义结合已知的解析式可求出当时的解析式，从而可求出函数解析式
【详解】因为当时，，所以
因为是R上的偶函数，
所以，，
所以.
变式5．（2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考期中）已知函数（）是偶函数．当时，．
(1)求函数的解析式；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件令，得到，从而求出，结合偶函数的性质，即可求解；
（2）根据区间和分段函数的临界值，结合二次函数的单调性分类讨论即可.
【详解】（1）令，则，
因为时，，
所以，
又因为为偶函数，所以时，
故.
（2）∵在区间上的最小值为，
又由（1）得：，
可得：在上单调递减，在单调递增，在单调递减，在上单调递增，
∴①当，即时，在上单调递减，
则；
②当，即时，在上单调递减，单调递增，
所以；
③当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
又，，
当时，此时，所以；
当时，此时，所以；
④当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
⑤当时，在上单调递增，
所以；
综上，.
变式6．（2024·全国·高一专题练习）（1）函数是定义域为R的奇函数，当时，，求的解析式；
（2）设是偶函数，是奇函数，且，求函数的解析式．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用奇函数的性质求解析式即可；
（2）利用奇偶函数的性质列方程组求解解析式即可.
【详解】（1）设，则，
∴，
又∵函数是定义域为R的奇函数，
∴，
∴当时，.
又时，，
所以；
（2）∵是偶函数，是奇函数，，
∴．
则
即，解之得.
变式7．（2023·全国·高一专课时练习）若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则 ．
【答案】
【解析】由题意，，
则由
可得，即
由，可得
【方法技巧与总结】
利用函数奇偶性求函数解析式的方法
已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：
(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；
(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；
(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
注意：若奇函数定义域包含0，则必有f(0)0.
【题型6：函数单调性与奇偶性的综合应用】
例6．（2024·全国·高一专题练习）已知定义在上的偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解.
【详解】由于在上是减函数，且为偶函数，所以在上是增函数，
若，则，平方可得，
解得，
故答案为：
变式1．（2024·江苏常州·高三常州市第三中学校联考阶段练习）已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】先确定函数在上单调递减，且，再将不等式等价变形，即可得到结论．
【详解】若的定义域为，则，不合题意；
若的定义域为，显然不合题意；
奇函数在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且，
可得：当或时，，当或时，，
因为等价于或，可得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
变式2．（2024·广东深圳·高三校考阶段练习）已知是奇函数，且在上是增函数．又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意在上是增函数且，再结合是奇函数，可以先求得的符号随的变化情况，然后列表即可求解.
【详解】由题意在上是增函数且，
所以当时，有，
当时，有，
又因为是奇函数，
所以当时，有，，所以，
当时，有，，所以，
所以的符号随的变化情况如下表：
由表可知不等式的解集为.
.
变式3．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，结合函数的单调性可得，解不等式即可得出答案.
【详解】因为偶函数在上单调递减，
所以可得：，
所以，即，解得：.
.
变式4．（2024·北京东城·高一校考期中）若定义在R上的奇函数在上是增函数，又，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性以及奇偶性先得出的符号随的变化情况，然后列表即可求解.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，又，所以，
注意到在上是增函数，
所以当时，有，当时，有，
又是定义在R上的奇函数，
所以当时，有，，
当时，有，，
所以的符号随的变化情况如下表：
由上表可知：不等式的解集为
.
变式5．（2024·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性以及在上单调递增，判断出的值的正负情况，解不等式即可得答案.
【详解】由题意得，，在，上为增函数，
当时，，当时，，
由可得，或，
解得或，
综上所述，或．
．
变式6．（2024·天津·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意不等实数，不等式恒不成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】由已知判断出函数的单调性，结合奇偶性可得，再解不等式可得答案.
【详解】函数是定义在上的偶函数，所以，
对于任意不等实数，不等式恒不成立，
所以在上单调递减，
所以，解得.
.
变式7．（2024·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】/
【分析】首先判断函数的奇偶性和函数的单调性，即可求解抽象不等式.
【详解】，且定义域为，所以函数为偶函数，
且在上为增函数，
，，
解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：
变式8．（2024·河南郑州·高三校考阶段练习）设函数，则使得不成立的x的取值范围是 .
【答案】
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，因为都是增函数，
所以函数在上单调递增，
由，
得，两边平方得，
解得，即x的取值范围为.
故答案为：.
变式9．（2023春·云南迪庆·高一统考期末）设定义在上的奇函数在区间上单调递减，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由于为奇函数，所以，
在区间上单调递减，故在区间上也单调递减，
故在单调递减，
由得，
所以，解得，
故答案为：
变式10．（2023秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知函数定义域为，且的图象关于对称，当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数的图象关于对称，
令，则，即，
即，所以，，
故函数是定义在上的偶函数，则，解得，
所以，函数是定义在上的偶函数，
由题意可知，函数在上单调递减，
由可得，
所以，，解得.
因此，不等式的解集为..
变式11．（2023·全国·高一专题练习）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意的，有，
所以当时，，所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，即．．
变式12．（2023秋·全国·高一专题练习）已知函数是偶函数，当时，恒不成立，设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵当时，恒不成立，
∴当时，，即，
∴函数在上为单调减函数，
∵函数是偶函数，即，
∴函数的图像关于直线对称，∴，
又函数在上为单调减函数，∴，
即，∴，.
【方法技巧与总结】
1、函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2、利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
【题型7：抽象函数的奇偶性】
例7.【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，均为定义在上的奇函数，且，，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】ABC
【解析】因为函数，均为定义在上的奇函数，
所以，，
对于A选项，设，则，
所以为奇函数，故A正确；
对于B选项，设，则，
所以为奇函数，故B正确；
对于C选项，设，则，
所以为偶函数，故C正确；
对于D选项，设，则，
所以是奇函数，故D错误.BC.
变式1．【多选】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】CCD
【解析】由为奇函数，可得，即，
又因为，所以，即,
所以，所以，故选项A错误；
由，得，由，得，
所以，故选项B正确；
由，，得，
所以为偶函数，故选项C正确；
由，，可得，
所以，
即，故为奇函数，故选项D正确.CD
变式2．（2023秋·黑龙江牡丹江·高一校考期末）设函数是增函数，对于任意x，都有．
（1）写一个满足条件的并证明；
（2）证明是奇函数；
（3）解不等式．
【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）因为函数是增函数，对于任意x，都有，
这样的函数很多，其中一种为：．
证明如下：函数满足是增函数，
因为，
所以满足题意．
（2）证明：令，则由，得，即；
令，则由，得，
即，故是奇函数．
（3）因为，所以，
则，即，
因为，所以，
所以，
又因为函数是增函数，所以，所以或．
所以不等式的解集为.
一、单选题
1．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上单调递增，即可得求解.
【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增.
函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增.
因为，由，可得，
又因为在上单调递增，所以，解得.
2．（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，为偶函数，故A错误；
对于B，设，所以
故在定义域上不是单调递增，故B错误；
对于C，，故函数的单调增区间为和，
所以在定义域上不是单调递增，故C错误；
对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确.
3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．4070 B．4048 C．4044 D．4036
【答案】A
【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解.
【详解】由为奇函数，所以，
即，所以函数关于点中心对称，
由为偶函数，则，即，
即，所以函数关于对称，
所以，即，可得，
所以，所以函数为周期为4的函数，
由，所以，则，
所以，且，即，
又，所以，
所以，
所以.
.
4．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数为奇函数，则等于（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出值即可.
【详解】依题意，当时，，则，
而当时，，因此，则，，
当时，，则，
又，于是，，
所以，所以.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据函数为奇函数及函数图象关于轴对称可得函数周期为8，再求出一个周期内函数值的和，即可得解.
【详解】因为是奇函数，，所以的图象关于直线对称，
所以，
故，所以是周期为8的周期函数．
由奇函数知，，
，，
，，，
所以，
由于，所以，
6．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解.
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且
又因，所以，
又因在为增函数，在上，
在上，
又因在为减函数，所以上，
综上，当时，，当时，
当时，则，所以，则，
当时，则，所以，则，
不等式可化简变形为，
综上所述可知当时，.
7．（2024高一上·江苏·专题练习）已知定义在上的奇函数，当时，单调递增，若不等式对任意实数恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇函数确定函数的单调性，脱去“”，利用不等式恒不成立列出不等式组得解.
【详解】根据题意，是定义在上的奇函数且在上单调递增，
则在上也是增函数，
因为不等式对任意实数恒不成立
所以对任意实数恒不成立，
即对任意实数恒不成立，
当时，不恒不成立，
当时，可得，解可得.
即的取值范围是，
8．（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）已知定义域为R的函数，满足，且，则以下选项错误的是（ ）
A． B．图象关于对称
C．图象关于对称 D．为偶函数
【答案】C
【分析】由赋值法令可判断A；由赋值法令可判断B；由赋值法令，结合对称性的性质可判断C；由赋值法令结合偶函数的定义可判断D.
【详解】对于A，令，则，所以，故A正确；
对于B，令，则，即，
解得：或，因为，所以，
令，，所以，
所以图象不关于对称，故B错误；
对于C，令，则有
即，故图象关于对称，故C正确.
对于D，令，则有
即，即，
即，因为函数的定义域为R，
所以为偶函数，故D正确.
.
9．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）已知函数，若为奇函数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据奇函数定义可得恒不成立，化简可求.
【详解】因为为奇函数，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，，
.
二、多选题
10．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CC
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.
【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A不是；
对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B是；
对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，C是；
对于D，函数定义域为R，而，不是偶函数，D不是.
C
11．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，若一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，则称这个函数为这个圆的“太极函数”，下列说法中正确的有（ ）
A．对于一个半径为1的圆，其“太极函数”仅有1个
B．函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．函数不可能是某个圆的“太极函数”
D．函数是某个圆的“太极函数”
【答案】CD
【分析】若函数有对称中心且圆的圆心在对称中心时，该函数一定是该圆的“太极函数”，根据这一性质判断各个选项，D项需要证明奇函数.
【详解】A项，对于任意一条过圆心的一次函数的图象都能够将该圆的周长和面积同时平分，所以有无数个，所以A项错误；
B项，若函数经过圆的圆心，则该函数是“太极函数”，因为可以有无数个圆的圆心均在函数上，所以B项正确；
C项，函数满足，奇函数，对称中心为，当某个圆的圆心为时，则该函数是“太极函数”，所以C项错误；
D项，函数，
因为，
所以对称中心为，同理是“太极函数”，所以D项正确.
D.
12．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数 B．在上单调递增
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据奇偶性的定义分析判断A，根据函数单调性的定义分析判断B，利用赋值法分析判断C，根据选项C及函数单调性判断D.
【详解】对于A，令，可得，再令，可得，且函数定义域为，所以函数为奇函数，故A正确；
对B，令，则，，可得，所以，
由函数性质可得，即，所以在上单调递增，故B正确；
对于C，令，可得，所以，即，故C正确；
对D，因为函数为增函数，所以，由C可知，故D错误.
BC
13．（23-24高一上·河北沧州·阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A．的图像关于点对称 B．
C．当时， D．在上单调递减
【答案】ABC
【分析】利用函数的对称性判断A，利用赋值法判断B，利用偶函数的性质，结合题中条件求得的解析式判断C，举反例判断D，从而得解.
【详解】对于A，由题设，可知的图象关于点对称，A正确；
对于B，因为是定义在上的偶函数，当时，，
在中，令，得，B正确；
对于C，当时，，所以，
又，所以，
即当时，，
而为偶函数，所以当时，，则，
综上可知，当时，，C正确；
对于D，由B的解析可知，故D错误．
BC．
14．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知函数的定义域均为的图象关于对称，是奇函数，且，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】A选项，根据的图象关于对称，所以关于轴对称，故，A正确；B选项，由奇函数性质得到，故，B错误；CD选项，由题目条件得到，结合得到，故，推出，得到周期，赋值法得到，，并利用周期求出.
【详解】A选项，因为的图象关于对称，所以关于轴对称，
故是偶函数，则，故A正确；
B选项，因为是奇函数，所以，即，故B错误；
CD选项，由得，
又，所以，又，
即，即，则，
所以，所以①，
即②，
②-①得，所以函数的周期为4，
令，由，得，
再令，则，所以，
又，由，
所以
，故C，D正确.
CD.
【点睛】函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，
函数的周期性：设函数，，，．
（1）若，则函数的周期为2a；
（2）若，则函数的周期为2a；
（3）若，则函数的周期为2a；
（4）若，则函数的周期为2a；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
三、填空题
15．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意作出示意图，结合图形可求不等式的解集.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，
作出示意图如图所示：
由图形可知满足不等式的的取值范围是.
故答案为：.
16．（23-24高一上·吉林·阶段练习）若函数是R上的奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是 .
【答案】
【分析】根据函数奇偶性和单调性得到当或时，，当或时，，从而得到不等式的解集.
【详解】因为为R上的奇函数，则，在上是增函数，则在上也单调递增，
又，故，
当或时，，当或时，，
故当时，，满足，
当时，，满足，
综上，的解集为.
故答案为：
17．（2024高三·全国·专题练习）已知函数若，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数的奇偶性，单调性去即可求解.
【详解】因为开口向上的二次函数，对称轴为，故函数在上单调递减；
当时，，，,
所以.
又当时，，，
所以.
又 ，所以为奇函数，且在R上单调递增，
则可得：
，即，
解得，
故答案为：
18．（2024高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ．
【答案】
【分析】由进行求解．
【详解】因为函数为偶函数，所以，
即，
即，
两边平方，化简可得．
要使上式恒不成立，则，即．
故答案为：
19．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有不成立，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式.
【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，
由对任意的，当时，有不成立，
得在上单调递减，
因此函数在上单调递增，由，得，
不等式，因此，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
20．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则的解集为 .
【答案】
【分析】当时，可得，根据偶函数的性质可知，当时，由可得，进而可得.
【详解】当时，得，
又函数是定义在上的偶函数，
故当时，由可得，
综上的解集为，
故答案为：
四、解答题
21．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示.
(1)请补全函数的图象；
(2)根据图象写出函数的单调递增区间；
(3)根据图象写出使的x的取值集合.
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）奇函数关于原点对称，据此补全图象即可；
（2）（3）由图象写出单调递增区间和写出使的x的取值集合即可；
【详解】（1）由题意作出函数图象如图所示.
（2）由图可知，单调递增区间为.
（3）由图可知，使的x的取值集合为或.
22．（2024高一上·江苏·专题练习）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上是减函数；
(3)当时，求函数的解析式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义可求；
（2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
（3）先设时，，根据已知函数式及奇函数定义可求.
【详解】（1）因为时，函数的式为，
所以，
因为为上的奇函数，
所以；
（2）证明：设，则，
所以，
因为时，，
则，
所以，
所以在上是减函数；
（3）当时，，
则，
所以.
23．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数，其中.
(1)当函数的图象关于点成中心对称时，求的值；
(2)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(3)若，求函数在区间上的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的图象关于点成中心对称，是奇函数，求出的值；
（2）化简函数，根据在上的单调性，求出的取值范围；
（3）根据时的单调性，求出在区间上的值域.
【详解】（1） “函数的图象关于点成中心对称”的充要条件为：
“函数是奇函数”，
当的图象关于点成中心对称时，
是奇函数，
，解得；
（2）函数
，
当在上单调递减时，
，
解得，
的取值范围是；
（3）当时，，
函数在区间上是单调增函数，
，
即，
函数的值域是.
24．（23-24高一上·浙江宁波·期中）黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，．
(1)请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可）
(2)解不等式；
(3)探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)为大于1的正整数
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；
（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得，则关于对称，即，则为偶函数，即可得解.
【详解】（1）依题意，，
当时，，则方程无解，
当为内的无理数时，，则方程无解，
当(为既约真分数)时，则，为大于1的正整数，
则由方程，解得，为大于1的正整数，
综上，方程的解集为为大于1的正整数.
（2）若或或为内无理数时，，
而，此时，
若(为既约真分数)，则，为大于1的正整数，
由，得，解得，
又因为(为既约真分数)，所以，
综上，不等式的解为.
（3）存在非零实数，使得为偶函数，即为偶函数，证明如下：
当或时，有不成立，满足，
当为内的无理数时，也为内的无理数，所以，满足，
当(为既约真分数)，则为既约真分数，
所以，满足，
综上，对任意，都有，
所以关于对称，即，则为偶函数，
所以，存在非零实数，使得为偶函数.
25．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；
(1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3).
【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间；
（2）根据奇函数定义求解析式；
（3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值．
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称，
则函数图象如图所示．
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）根据题意，
令，则，则，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
即，
所以.
（3）当时，，
则，
其对称轴为，
当时，即，则，
当时，即，则，
故.
26．（23-24高二下·河南安阳·期末）世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.
【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），
在上的最大值为，与图象不符，A错误；
对于B，当时，，与图象不符，B错误；
对于C，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：与图象相符，C正确；
对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.
.
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