第三章：函数章末重点题型复习
题型一 函数的概念及辨析
1．（22-23高一上·北京西城·期中）下列图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，
选项ABC中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象，
选项D中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性．
所以D不能作为函数图象．．
2．（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A：函数的定义域为，但是值域不是，故A错误；
对于B：函数的定义域不是，值域为，故B错误；
对于C：函数的定义域为，值域为，故C正确；
对于D：不满足函数的定义，不是一个函数的图象，故D错误.
3．（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（ ）种．
A．4 B．6 C．7 D．9
【答案】C
【解析】由集合，，f：为定义在集合上的一个函数，
根据函数的定义知：
若函数是一对一对应，则函数的值域可能为，三种情况；
若函数是二对一对应，则函数的值域可能为，三种情况，
所以函数的值域的不同情况有种..
4．（24-25高一上·山东泰安·月考）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
【答案】D
【解析】A：因为集合是整数集合，其中奇数除以的结果不是整数，
所以不是的函数，因此本选项不符合题意；
B：显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，
因此本选项不符合题意；
C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义，所以本选项符合题意；
D：因为，但是没有意义，因此不符合题意，所以本选项不符合题意，
题型二 判断是否为同一函数
1．（24-25高一上·广东中山·月考）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．
【答案】A
【解析】A：定义域为R，定义域为，不为同一函数；
B：定义域为，定义域为R，不为同一函数；
C：与的对应法则不同，不为同一函数；
D： 且 ，定义域都为，是同一函数.
2．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】对于A，和定义域均为R， ，
故和定义域相同，对应关系不同，和不是同一个函数，故A错误；
对于B，和定义域均为R，，
故和定义域相同，对应关系相同，和是同一个函数，故B正确；
对于C，定义域为，定义域为R，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故C错误；
对于D，定义域为R，定义域为，
故和定义域不相同， 和不是同一个函数，故D错误；.
3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】对于A中，由函数的定义为，
函数的定义域为 ，
两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意；
对于B中，由函数与函数，
其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同，
所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意；
对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意..
4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）（多选）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【解析】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；
对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，
所以与不是同一个函数，故B错误；
对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，
故它们是同一个函数，故C正确；
对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，
定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.C
题型三 求函数的定义域
1．（23-24高一上·福建龙岩·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数有意义，则，解得且，
所以所求定义域为.
2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可得：，所以，解得：,
则的定义域为；
3．（23-24高一上·天津和平·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵函数的定义域为，
∴，解得：，
即函数的定义域为，.
4．（23-24高一上·河南南阳·月考）函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可得函数的定义域为，可知，
即的定义域为，
所以需满足，解得，
即的定义域为.
题型四 求函数的解析式
1．（24-25高一上·天津滨海新·月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，且，
所以..
2．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，则，且，则，
可得，
所以..
3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以
两式联立得得，
当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.
故答案为：
4．（23-24高一上·广东湛江·期中）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数，且满足.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）令 ，则，
可得，
所以；
（2）因为，可得，
即，消去可得；
（3）设，
因为，即，
整理得，
所以，解得，
所以.
题型五 分段函数及其应用
1．（22-23高一上·吉林·期末）设，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】由题意得，
故的值为9，
2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知函数，则（ ）
A．2 B． C． D．5
【答案】C
【解析】由函数 ，可得，则..
3．（223-24高一上·北京顺义·期中）设，若，则x的值为 ．
【答案】
【解析】若，则无解；
若，则，所以x.
若，则无解．
综上：.
故答案为：
4．（23-24高一上·江西宜春·月考）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
当时，；
当时，；
当时，；
令，则由，得，
由上述分析可得且，解得，即，
所以且，解得..
题型六 函数单调性的判断与证明
1．（24-25高一上·安徽阜阳·月考）已知函数在上单调递减，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】因为函数在上单调递减，且，
由减函数的定义可知，当时，有，充分性不成立；
当时，，必要性不成立.
即对实数，“”是“”的充要条件.
2．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）函数的单调增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【解析】由，
则为偶函数，的图像关于轴对称.
当时，，对称轴为，所以在上递增，在递减；
则当时，在递增，在递减，
则有的递增区间为.
3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒不成立.
(1)求的值;
(2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论.
【答案】(1)；(2)为上的增函数，证明见解析
【解析】（1）因为满足，故函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得，
当时，，满足，符合题意，
故.
（2）由（1）可知，.函数在上为增函数.
证明如下：
任取，所以，
所以
所以.
故为上的增函数.
4．（23-24高一上·广东中山·月考）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)为奇函数，证明见解析；(2)在上的单调递增，证明见解析.【解析】（1）在上是奇函数，证明如下：
结合题意：令，则，解得，
若，则，
令，则，
所以，故在上是奇函数.
（2）在上的单调递增，证明如下：
任取，且，
令，则，
因为在上是奇函数，所以，
所以，
因为当时，，
由，所以，所以，
所以，即，
所以在上的单调递增.
题型七 根据函数的单调性求参数
1．（23-24高一上·吉林·月考）如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】开口向上，对称轴为，
要想函数在区间上单调递增，则需，解得，
故实数的取值范围是
2．（23-24高一上·海南海口·月考）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
令，故，，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，
故，解得，
综上，实数的取值范围是.
3．（24-25高一上·辽宁鞍山·月考）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由题意得在上单调递减，在上单调递减，
且分段处左端点值大于等于右端点值，
故，解得.
4．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意都有，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为对任意都有，所以函数在上为单调递增，
又函数，
所以，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：
题型八 求函数的最值或值域
1．（23-24高一上·河南南阳·月考）已知函数，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．2，1 B．2，无最小值
C．2，0 D．无最大值，2
【答案】C
【解析】，其图象如图所示：
当时，为增函数，所以，没有最小值;
当时，为减函数，所以，没有最小值，
所以当时，，没有最小值.
2．（23-24高一上·福建宁德·月考）已知二次函数在上的最大值为M与最小值为m，则 .
【答案】
【解析】因为二次函数的图象开口向上，对称轴为，
且，可知：
当时，二次函数取到最大值；
当时，二次函数取到最大值；
所以.
故答案为：18.
3．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 .
【答案】/
【解析】，
设，而在上单调递增，
所以，当且仅当时等号不成立，
则.
所以函数的最大值为.
故答案为：
4．（23-24高一上·天津和平·开学考试）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1），因为，
所以的值域为；
（2），因为，
所以的值域为；
（3），因为，
所以的值域为.
题型九 函数奇偶性的判断与证明
1．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为，则“曲线过原点”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当曲线过原点时，不一定为奇函数，
如：过原点，而不是奇函数，则充分性不不成立；
当函数的定义域为，为奇函数时，，则曲线过原点，必要性不成立.
所以“曲线过原点”是“为奇函数”的必要不充分条件..
2．（23-24高一上·河北唐山·期中）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不知奇偶性，因此与的关系不确定，
与关系不确定，A错；，B正确；
也不知其奇偶性，C错；，D错，．
3．（23-24高一上·湖北·月考）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在上单调递增
D．在上单调递增
【答案】AC
【解析】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，
所以，，
所以和均为偶函数，A正确，B错误；
又因为，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，由复合函数的单调性可知，在上单调递增，单调递减，
故C正确，D错误.C
4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数．
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明．
【答案】(1)；(2)奇函数，证明见解析
【解析】（1）因为，则，所以，.
（2）函数为奇函数，证明如下：
对于函数，有，可得，即函数的定义域为，
因为，所以，函数为奇函数.
题型十 函数奇偶性的应用
1．（24-25高一上·广东中山·月考）函数是R上的奇函数，且当时，函数的解析式为，则（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【解析】因为是R上的奇函数，所以，
且当时，函数的解析式为，
所以，.
2．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B．3 C． D．51
【答案】C
【解析】由题意，定义域关于原点对称，则，解得，
则，又是偶函数，
则，即，解得，
则，，
则..
3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ．
【答案】
【解析】因为是定义域为的奇函数，当时，，
所以，即，此时，
则当时，，，
所以．
故答案为：．
4．（23-24高一上·辽宁鞍山·月考）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】，
令，则其定义域为，又，
所以为奇函数，则，
所以，则..
题型十一 利用奇偶性与单调性比较大小
1．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】是定义在上的减函数，，
与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误；
，时，；时，，故的关系不确定，故B错误；
，，，故C正确．
，时，；
时，，故关系不确定，D错误，．
2．（23-24高一上·陕西汉中·月考）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意的，有，
所以函数在上单调递减，
因为在上是偶函数，所以，
因为,且函数在上单调递减，
所以，结合，所以..
3．（23-24高一上·重庆巴南·月考）若函数关于对称，且在区间上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由关于对称得关于对称，即为偶函数，所以，
因为在上单调递减，所以..
4．（23-24高一上·吉林长春·月考）已知定义在R上的函数满足:关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为关于中心对称，
所以对称中心是，故，
因为是偶函数，所以的对称轴是，即，
所以中，将替换为，得到，
故，将替换为，得到，
所以，因此的周期为8.
所以，，，
因为在上递增且是奇函数，所以在上递增，
所以，
∴.
题型十二 利用奇偶性与单调性解不等式
1．（24-25高一上·广东中山·月考）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数满足，
所以函数在上单调递增，
根据题设不等式关系，有，
即，解得或.
2．（22-23高一上·福建福州·月考）定义在上的函数满足：对，且，都有不成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，
因为对，且，都有不成立，
不妨设，则，故，则，即，
所以在上单调递增，
又因为，所以，故可化为，
所以由的单调性可得，即不等式的解集为..
3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有不成立，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，
由对任意的，当时，有不成立，
得在上单调递减，
因此函数在上单调递增，由，得，
不等式，因此，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
4．（24-25高一上·福建龙岩·月考）定义在上的函数满足：，当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】中，令得，解得，
中，令得，
故，
又的定义域为，所以为奇函数，
任取，则，
又时，，则，
即，故在上单调递减，
由对称性可得时，，故在上单调递减，
，
所以，解得.
题型十三 利用函数的周期性求值
1．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ．
【答案】1
【解析】，，是的一个周期，
又当时，，
．
故答案为：
2．（23-24高一下·安徽淮北·月考）若函数对任意都有，且当时，，则（ ）
A． B．8 C． D．12
【答案】A
【解析】因为，所以，所以周期为6，
当时，，..
3．（23-24高一上·重庆·月考）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由为奇函数，得，故，
由为偶函数，得，
所以，即，
则，故的周期为，
所以，
由，令，得，即，
令，得，
由，令，得，
因为，所以，即，所以，
联立，解得，
故时，，
由，令，得，
所以..
4．（23-24高一下·云南昭通·月考）已知函数的定义域为，且满足，且，，则（ ）
A．2024 B．1 C．0 D．
【答案】C
【解析】因为，，，
令，则，
故，解得或（舍去），
令，则，
即，故，
所以，即，
则，所以，
故是周期为4的周期函数，
所以..
题型十四 求函数的零点及个数
1．（23-24高一上·广西玉林·月考）函数的零点是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】令，即,解得或..
2．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】当时，由可得，
所以，
所以，故，
当时，由可得，故，
则的零点有，，3，共计3个.．
3．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【解析】因为，解之得或2，
当时，；
当时，，当且仅当时等号不成立，
所以，，的图象如图：
由图可知使得或的点有4个..
4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）直线与函数图象的交点个数为 .
【答案】4
【解析】做出直线与函数图象，如图：
数形结合可知，直线与函数图象的交点个数为4个，
故答案为：4.
题型十五 根据函数零点求参数范围
1．（23-24高一下·北京·期中）已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】C
【解析】由函数有两个零点可得有两个零点，
即与的图象有两个交点，结合函数图象有以下几种情况，
与的图象如图1所示，则在定义域内不能是单调函数，
对于的值进行分类讨论，则：
当时，如图2所示；当时，如图3所示；
当时，如图4所示；当时，如图5所示；当时，如图6所示；
对于图2，有可能有两个交点，因为存在使得与二次函数有两个交点；
对于图3，因为图象是单调的，故不可能有两个交点；
对于图4，可能有两个交点，因为存在使得与分段函数有两个交点；
对于图5，不可能有两个交点；
对于图6，不可能有两个交点；
综上所述：当且不成立；
2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，显然有且且，
于是有，
设，它的图象如下图所示：
因此要想函数有三个零点，只需，
3．（23-24高一上·浙江温州·月考）设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知函数，有2个不同的零点；
令，得，有2个对应的根，根据判别式法则有与两种情况：
当时，即，得，即，解得，即
，此时无解，所以此种情况不符题意；
当时，即，得；
设的实根为：和，不妨设，则，
则方程与一共有两个不等实根．
进一步可知：方程和有且仅有一个方程有两个不等实根．
即和中一个方程有两不等实根，另一个方程无实根．
因为，所以，即，即，
则，设，则，则，
所以，解得，
，，
即．.
4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，函数单调递增，函数取值集合是，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数取值集合是，
方程，化为，解得或，如图，
观察图象知，的解，即函数的图象与直线交点的横坐标，
显然方程只有一个解，
要原方程有四个不同的实数根，当且仅当有3个不同的实根，
因此直线与函数的图象有3个公共点，则，
所以实数的取值范围为.
题型十六 简单函数模型的实际应用
1．（23-24高一上·广西河池·月考）（多选）图1是某景点的游客人数（万人）与收支差额（十万元）（门票销售额减去投人的成本费用）的函数图象，为提高收入，景点采取了两种措施，图2和图3中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．图1中点A的实际意义表示该景点的投入的成本费用为10万元
B．图1中点B的实际意义表示当游客人数约为1.5万人时，该景点的收支恰好平衡
C．图2景点实行的措施是降低门票的售价
D．图3景点实行的措施是减少投入的成本费用
【答案】ABD
【解析】A：图1中A的实际意义表示游乐场的投入成本为10万元，正确；
B：图1中B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，正确；
C：图2游乐场实行的措施是提高门票的售价，错误；
D：图3游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，正确.BD
2．24-25高一上·山西太原·月考）十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）动员户农民从事水果加工后，
要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，
则，解得.
（2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，
则，（），
化简得，（）.
由于，
当且仅当时等号不成立，
所以，所以的最大值为.
3．（23-24高一上·山东菏泽·月考）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.
(1)求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
(2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值.
【答案】(1)，该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元.
(2)到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元
【解析】（1）依题意可得，，
已知，
且.
令，解得.
该项目到第4年年底纯利润第一次能达到232万元.
（2）年平均利润为，
令且，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
又.
到第6年年底，该项目年平均利润最大，最大为万元
4．（23-24高一上·安徽六安·月考）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为，其中是仪器的产量（单位：台）；
(1)将利润表示为产量的函数（利润总收益总成本）；
(2)当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)当产量为300台时，最大利润为27000元
【解析】（1）当时，，
当时，，
所以；
（2）当时，，
则当时，，
当时，，
综上所述，当时，，
所以当产量为300台时，公司获利润最大，最大利润为27000元．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第三章：函数章末重点题型复习
题型一 函数的概念及辨析
1．（22-23高一上·北京西城·期中）下列图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中）若函数的定义域为，值域为，那么函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·辽宁·期中）已知集合，，为定义在集合上的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有（ ）种．
A．4 B．6 C．7 D．9
4．（24-25高一上·山东泰安·月考）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
题型二 判断是否为同一函数
1．（24-25高一上·广东中山·月考）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．
2．（23-24高一上·天津·期中）中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）（多选）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
题型三 求函数的定义域
1．（23-24高一上·福建龙岩·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·天津和平·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·河南南阳·月考）函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
题型四 求函数的解析式
1．（24-25高一上·天津滨海新·月考）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·重庆·模拟预测）已知函数，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为 ．
4．（23-24高一上·广东湛江·期中）（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数，且满足.
题型五 分段函数及其应用
1．（22-23高一上·吉林·期末）设，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知函数，则（ ）
A．2 B． C． D．5
3．（223-24高一上·北京顺义·期中）设，若，则x的值为 ．
4．（23-24高一上·江西宜春·月考）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型六 函数单调性的判断与证明
1．（24-25高一上·安徽阜阳·月考）已知函数在上单调递减，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·辽宁铁岭·期中）函数的单调增区间是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒不成立.
(1)求的值;
(2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论.
4．（23-24高一上·广东中山·月考）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，.
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
题型七 根据函数的单调性求参数
1．（23-24高一上·吉林·月考）如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·海南海口·月考）若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·辽宁鞍山·月考）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数满足对任意都有，则的取值范围是 ．
题型八 求函数的最值或值域
1．（23-24高一上·河南南阳·月考）已知函数，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．2，1 B．2，无最小值
C．2，0 D．无最大值，2
2．（23-24高一上·福建宁德·月考）已知二次函数在上的最大值为M与最小值为m，则 .
3．（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 .
4．（23-24高一上·天津和平·开学考试）求下列函数的值域：
(1)；
(2)；
(3)．
题型九 函数奇偶性的判断与证明
1．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为，则“曲线过原点”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一上·河北唐山·期中）若是定义在上的函数，则下列选项中一定是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·湖北·月考）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．在上单调递增
D．在上单调递增
4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数．
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性，并加以证明．
题型十 函数奇偶性的应用
1．（24-25高一上·广东中山·月考）函数是R上的奇函数，且当时，函数的解析式为，则（ ）
A． B．1 C． D．3
2．（23-24高一上·山东德州·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B．3 C． D．51
3．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ．
4．（23-24高一上·辽宁鞍山·月考）若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型十一 利用奇偶性与单调性比较大小
1．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·陕西汉中·月考）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·重庆巴南·月考）若函数关于对称，且在区间上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·吉林长春·月考）已知定义在R上的函数满足:关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A． B．
C． D．
题型十二 利用奇偶性与单调性解不等式
1．（24-25高一上·广东中山·月考）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一上·福建福州·月考）定义在上的函数满足：对，且，都有不成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有不成立，则不等式的解集为 ．
4．（24-25高一上·福建龙岩·月考）定义在上的函数满足：，当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型十三 利用函数的周期性求值
1．（23-24高一上·河北沧州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ．
2．（23-24高一下·安徽淮北·月考）若函数对任意都有，且当时，，则（ ）
A． B．8 C． D．12
3．（23-24高一上·重庆·月考）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·云南昭通·月考）已知函数的定义域为，且满足，且，，则（ ）
A．2024 B．1 C．0 D．
题型十四 求函数的零点及个数
1．（23-24高一上·广西玉林·月考）函数的零点是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
2．（23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数，则关于的方程实数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）直线与函数图象的交点个数为 .
题型十五 根据函数零点求参数范围
1．（23-24高一下·北京·期中）已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
2．（23-24高一上·北京西城·期中）已知函数有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·浙江温州·月考）设函数，若函数有且只有2个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型十六 简单函数模型的实际应用
1．（23-24高一上·广西河池·月考）（多选）图1是某景点的游客人数（万人）与收支差额（十万元）（门票销售额减去投人的成本费用）的函数图象，为提高收入，景点采取了两种措施，图2和图3中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．图1中点A的实际意义表示该景点的投入的成本费用为10万元
B．图1中点B的实际意义表示当游客人数约为1.5万人时，该景点的收支恰好平衡
C．图2景点实行的措施是降低门票的售价
D．图3景点实行的措施是减少投入的成本费用
2．24-25高一上·山西太原·月考）十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.
（1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围；
（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值.
3．（23-24高一上·山东菏泽·月考）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.
(1)求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
(2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值.
4．（23-24高一上·安徽六安·月考）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为，其中是仪器的产量（单位：台）；
(1)将利润表示为产量的函数（利润总收益总成本）；
(2)当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
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