第三章：函数
（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高一上·重庆·月考）设集合，则如下的4个图形中能表示定义域为，值域为的严格单调函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·广东东莞·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·河南信阳·月考）下列选项中的函数在上为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·河北保定·期中）已知是定义在上的减函数，且，，，，，则的零点可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则的最大值为（ ）
A．25 B． C． D．8
6．（24-25高一上·海南海口·月考）已知函数，则（ ）
A． B． C．0 D．1
7．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知在上满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一上·广东广州·月考）设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知四组函数，其中是同一个函数的是（ ）
A．
B．，
C．，
D．，
10．（24-25高一上·广东江门·月考）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则；
B．已知，则；
C．已知一次函数满足，则；
D．定义在上的函数满足，则
11．（24-25高一上·福建龙岩·月考）若定义在R上且不恒为零的函数满足：对于，总有恒不成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．，则周期为6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·新疆喀什·期末）设是定义在上的奇函数，当时，，则 .
13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 .
14．（24-25高一上·北京·月考）已知关于的方程有两个实根，且一个实根小于，一个实根大于，请写出一个满足条件的实数的值 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数
(1)求的值；
(2)若，试证明函数在上是减函数．
16．（24-25高一上·河南信阳·月考）已知函数是上的偶函数，当，，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
17．（24-25高一上·江苏徐州·月考）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
(1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地年共获得的纯利润之和（用只含有的表达式表示）；
(2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户会选择哪种方案？请说明理由.
18．（24-25高一上·广东深圳·月考）给定函数，，．
(1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解：
(3)，用表示，中的较大者，记为．例如，当时，．请分别用图象法和解析法表示函数．
19．（24-25高一上·重庆·月考）设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质A；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质．
(1)试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数位区间上单调递增”的充分不必要条件；
(2)若函数在区间上具有性质A，求实数的取值范围；
(3)若函数在区间上同时具有性质A和性质，求实数的取值范围．
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（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高一上·重庆·月考）设集合，则如下的4个图形中能表示定义域为，值域为的严格单调函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，函数的定义域为，不是集合，故A错误；
对于B，定义域和值域都满足题意，且符合严格单调函数，故B正确，
对于C，存在和轴平行的一段图象，故不是严格单调函数，故C错误；
对于D，对定义域中除0以外的任一都有两个与之对应，
不符合函数关系，故D错误..
2．（24-25高一上·广东东莞·月考）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，解得且，
所以函数的定义域为..
3．（24-25高一上·河南信阳·月考）下列选项中的函数在上为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，的定义域为，定义域不为，故不符合，
对于B，定义域为，且，故为偶函数，不符合，
对于C，定义域为，且，故为奇函数，符合，
对于D，定义域为，且，
故不为奇函数，不符合，
4．（23-24高一上·河北保定·期中）已知是定义在上的减函数，且，，，，，则的零点可能为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】是定义在上的减函数，且，
所以的零点必在区间内，所以的零点可能为2.
5．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则的最大值为（ ）
A．25 B． C． D．8
【答案】C
【解析】，所以时，取得最大值，．
6．（24-25高一上·海南海口·月考）已知函数，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】..
7．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知在上满足，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在上满足，
所以在上单调递减，
需满足以下三个条件：
（1）在上单调递减，只需；
（2）在上单调递减，此时显然，
函数的对称轴为，所以只需且；
（3）在处，第一段的函数值要大于等于第二段的函数值，即；
因此由，解得，
即实数的取值范围为.
8．（24-25高一上·广东广州·月考）设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，由题意可知，，，
和为方程即的两个根，
故，，
当时，，其对称轴为，故，
故，故，可得，
，
设，
则其对称轴为，故，因，
故，
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知四组函数，其中是同一个函数的是（ ）
A．
B．，
C．，
D．，
【答案】CC
【解析】，，定义域不同，不是同一函数，故A错误；
，，定义域与对应关系都相同，是同一函数，故B正确；
，，定义域与对应关系都相同，是同一函数，故C正确；
，，定义域不同，
对应关系不同，不是同一函数，故D错误；C
10．（24-25高一上·广东江门·月考）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则；
B．已知，则；
C．已知一次函数满足，则；
D．定义在上的函数满足，则
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
所以，故正确；
对于B，因为，
因为，所以，故正确；
对于C，设，则，
所以，解得或，
所以或，故错误；
对于D，因为定义在上的函数满足①，
所以②，
由①+②，得，
所以，故正确.BD.
11．（24-25高一上·福建龙岩·月考）若定义在R上且不恒为零的函数满足：对于，总有恒不成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．，则周期为6
【答案】ACD
【解析】令，得，所以
且函数不恒为零,∴，A选项正确，B选项错误；
令，，
即.
∴对任意的实数总不成立，
∴为偶函数，C选项正确；
若，令，得，
所以，
两式相加得
所以，即得
所以，可得函数周期为6.CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·新疆喀什·期末）设是定义在上的奇函数，当时，，则 .
【答案】
【解析】因为当时，，
所以，
又因为是定义在上的奇函数，
所以，
故答案为：
13．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 .
【答案】
【解析】因为，所以，
所以的周期为，且为偶函数，即，
当时，，.
故答案为：
14．（24-25高一上·北京·月考）已知关于的方程有两个实根，且一个实根小于，一个实根大于，请写出一个满足条件的实数的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】令
易知有，或，
即：，或，解得，或，
的取值范围为，
故答案为：（答案不唯一）.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高一上·黑龙江大庆·月考）已知函数
(1)求的值；
(2)若，试证明函数在上是减函数．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）∵，
∴.
（2）证明：，
且，
．
因为，所以，，．
所以，．
因此函数在上是减函数．
16．（24-25高一上·河南信阳·月考）已知函数是上的偶函数，当，，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，则，
由题意可得：，
所以函数的解析式为.
（2）因为的开口向下，对称轴为，
可知函数在内单调递增，
且函数是上的偶函数，可知函数在内单调递减，
若，则，
整理可得，解得或，
所以实数的取值范围为.
17．（24-25高一上·江苏徐州·月考）某水产养殖户投资243万元建一个龙虾养殖基地，已知年内付出的各种维护费用之和满足二次函数，且第一年付出的各种维护费用为3万元，第二年付出的各种维护费用为9万元，龙虾养殖基地每年收入90万元.
(1)扣除投资和各种维护费用，求该龙虾养殖基地年共获得的纯利润之和（用只含有的表达式表示）；
(2)若干年后该水产养殖户为了投资其他项目，对该龙虾养殖基地有两种处理方案：
①年平均利润最大时，以138万元出售该龙虾养殖基地；
②纯利润总和最大时，以30万元出售该龙虾养殖基地.
问该水产养殖户会选择哪种方案？请说明理由.
【答案】(1)；(2)方案①，理由见解析．
【解析】（1）由题意，解得，
所以；
（2）选择方案①：
年时年平均利润为，当且仅当时取等号，
此时以138万元出售该龙虾养殖基地，所获得的利润为（万元）
年时纯利润总和为，，，
此时以30万元出售该龙虾养殖基地，所获得的利润为，
两种方案获得的最大总利润相同，而方案①时间短，因此选择方案①较好．
18．（24-25高一上·广东深圳·月考）给定函数，，．
(1)在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
(2)观察图象，直接写出不等式的解：
(3)，用表示，中的较大者，记为．例如，当时，．请分别用图象法和解析法表示函数．
【答案】(1)图象见解析；(2)；(3)
【解析】（1）画出函数，的图象如图：
（2）观察图象，可得不等式的解为；
（3）结合（1）可用图象法表示如图：
由可得或，
故.
19．（24-25高一上·重庆·月考）设函数的定义域为，且区间．若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质A；若函数在区间上单调递增，则称函数在区间上具有性质．
(1)试证明：“函数在区间上具有性质”是“函数位区间上单调递增”的充分不必要条件；
(2)若函数在区间上具有性质A，求实数的取值范围；
(3)若函数在区间上同时具有性质A和性质，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或
【解析】（1）若函数在区间上具有性质，
对任意且，
由条件可知
变形可得，即，
所以在区间上单调递增，即充分性不成立；
若函数位区间上单调递增，如在任意区间上单调递增，
但，故不符合性质，即必要性不不成立；
所以“在区间上具有性质”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件.
（2）若具有性质A，即可知在区间上单调递增．
对任意，且，
则，
因为，则，
可得恒不成立，则，
所以实数的取值范围是．
（3）由条件可知，具有性质A，即在区间上单调递增；
由条件可知，具有性质，即在区间上单调递增；
由对勾函数可知：的增区间为，
的增区间为，
要使得条件不成立，需要或
所以实数的取值范围是或．
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