3.1.2 函数的单调性
课程标准 学习目标
1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性 2、会借助图像和定义求函数的单调区间 3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值 4、会借助函数的单调性求最值 5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等式 了解函数单调性的概念，理解函数的最大(小)值及其几何意义 借助图像求函数的单调区间和最值 判断函数区间的单调性和求最值 函数最值在实际生活中的应用
知识点01 增函数、减函数的定义
条件 一般地，设函数yf(x)的定义域为D，且I D，如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x1)f(x2)
结论 则称yf(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增) 则称yf(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)
图示 自左向右图像逐渐上升 自左向右图像逐渐下降
注：(1)“区间I D”说明函数的单调区间是其定义域的子集，不一定是定义域．
(2)x1，x2的三个特征：
①同区间性，即x1，x2∈I；
②任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2；
③有序性，即需要区分大小，通常规定x1(3)自变量的大小与函数值的大小关系：
①单调递增：x1＜x2 f(x1)＜f(x2)，x1＞x2 f(x1)＞f(x2).
②单调递减：x1＜x2 f(x1)＞f(x2)，x1＞x2 f(x1)＜f(x2).
即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化．
(4)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降).
【即学即练1】（2024·高一课时练习）若函数的定义域为，且满足，则函数在上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定
【答案】A
【解析】根据函数单调性的定义：
必须是给定区间上的任意两个变量对应的函数值之间都相应恒有的大小关系.
∴由，几个特殊函数值的大小关系，
不能判断函数的单调性．
【即学即练2】（2024·高一课时练习）设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】函数在区间上单调递增，
则任意两个不相等的实数，与应该同号，
所以，.
知识点02单调性、单调区间、单调函数
如果一个函数在某个区间I上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间I上具有单调性．区间I称为函数的单调区间．
如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数．
注：(1)由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值．
(2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或逗号连接．
【即学即练3】（2024·高一课时练习）如图为的图象，则它的单调递减区间是 .
【答案】和
【分析】由单调性定义结合函数图象进行求解.
【详解】由单调性定义可得的单调递减区间为和.
故答案为：和
知识点03函数的最大(小)值
名称 定义 几何意义
函数的 最大值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点． 函数的最大值对应其图像最高点的纵坐标．
函数的 最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点． 函数的最小值对应其图像最低点的纵坐标．
说明： 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
注：函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别：
①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；
②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；
③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
【即学即练4】（2024·高二课时练习）已知，求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】最大值是8，最小值是
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】可知函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为，
比较，，，可知该函数在上的最大值是，最小值是，如图所示．
知识点04 函数的平均变化率
（1）直线的斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称
为直线AB的斜率；当x1x2时，称直线AB的斜率不存在．
①直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．
②若记Δxx2－x1，相应的Δyy2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为k.
（2）平均变化率
一般地，当x1≠x2时，称
为函数yf(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．
利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性．
①Δxx2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
②注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δxx2－x1，则Δyf(x2)－f(x1)；若Δxx1－x2，则Δyf(x1)－f(x2).
③平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)x2在[－2，2]上的图像先下降后上升，值域是[0，4].
(4)平均变化率的几何意义是函数yf(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．
(5)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δxx2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”．
难点：由函数的单调性求参数的取值范围
示例：已知函数f(x)x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
【解析】∵f(x)x2－2(1－a)x＋2[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x1－a必须在直线x4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
故a的取值范围为(－∞，－3].
【方法小结】“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别
单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
【题型1：单调性的定义理解】
例1.（2024·全国·高一专题练习）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数的单调性定义知，
若函数在给定的区间上是增函数，则，与同号，
由此可知，选项A，B，D都正确.
若，则，故选项C不正确..
变式1.（2024·全国·高一专题练习）定义在上的函数对任意两个不相等的实数，，总有，则必有（ ）
A．函数先增后减 B．函数是上的增函数
C．函数先减后增 D．函数是上的减函数
【答案】C
【解析】若，由得： 在上单调递增
若，由得：在上单调递增
综上所述：在上是增函数
【题型2：利用函数图象求单调区间】
例2．（2024·全国·高一专题练习）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A． B．和
C． D．和
【答案】C
【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可.
【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和.
变式1.（2024·高一课时练习）已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．
【答案】 ， ，
【分析】利用定义结合函数图象分析可得答案；
【详解】由图可知函数的单调递增区间有，，
函数的单调递减区间有，.
故答案为：，；，
变式2.（2024·高一课时练习）如图是函数的图象，则函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数在区间上单调递减，则对应的函数图象为从左到右下降的．
由图象知，函数的图象在，上分别是从左到右下降的，
则对应的减区间为，，．
变式3.（2024·高一课时练习）已知函数
(1)在直角坐标系内画出的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
【答案】(1)答案见解析
(2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为．
【分析】（1）根据分段函数中两段函数的解析式，结合二次函数和一次函数的图象特征，即可画出函数的图象；（2）根据图象直接求函数的单调区间和值域.
【详解】（1）图象如图所示：
（2）由图可知的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为．
变式4.（2024·全国·高一专题练习）函数单调减区间是 .
【答案】
【分析】画出函数的图像，从图像上即可得结论.
【详解】由，
如图所示：
由图可知函数单调减区间是：，
故答案为：.
变式5.（2024·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）函数的单调递减区间是 .
【答案】和
【分析】对函数化简后，作出函数的图象，根据图象可求得结果.
【详解】当或时，，对称轴为，
当时，，对称轴为，
作出的图象如图所示，
由图可知单调递减区间为，
故答案为：和
变式6.（2024·全国·高一专题练习）已知函数
（1）把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；
（2）写出函数的递减区间．
【答案】（1），函数图像见解析；（2）.
【解析】（1），
函数图像如下图所示：
（2）由（1）中函数的图像可知：函数的递减区间为：.
【方法技巧与总结】
图像法求函数单调区间的步骤
(1)作图：作出函数的图像．
(2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【题型3：函数的单调性判断与证明】
例3．（2024·全国·高一课堂例题）证明：在区间上是单调递增函数.
【答案】证明见解析.
【分析】利用函数的单调性的定义证明即可.
【详解】设，且，
则，
因为，所以，，所以，
所以，即.
故在区间上是单调递增函数.
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知函数.判断函数在上的单调性，并证明；
【答案】函数在上单调递减，理由见详解
【分析】利用定义法即可证明函数的单调性.
【详解】函数在上单调递减；理由如下：
取，规定，
则，
因为，，
所以，
所以，
所以函数在上单调递减.
变式2.（2024·全国·高一专题练习）设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数；
【答案】证明见解析；
【分析】根据定义法证明函数单调性的步骤即可求解.
【详解】证明：
任取，因为
在上是单调减函数
变式3.（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)用定义法证明：在上单调递增；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由函数有意义的条件，求函数的定义域；
（2），证明即可.
【详解】（1）函数有意义，则，即，
所以函数的定义域为.
（2）任取，，
由，，得，即，
所以在上单调递增.
变式4.（2024·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数
(1)判断并证明函数在区间上的单调性；
(2)求函数在区间上的值域．
【答案】(1)单调递增，证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用定义法得到函数的单调性；
（2）在（1）的基础上得到，从而求出函数在上的值域.
【详解】（1）在上单调递增，理由如下：
，且，
则
，
因为，且，所以，
故，故，
所以函数在区间上的单调递增；
（2）由（1）知在区间上的单调递增，
所以，其中，
所以的值域为.
变式5.（2024·全国·高一专题练习）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.
【答案】在区间上单调递减，证明见解析
【分析】利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
【详解】在区间上单调递减．
证明：设任意的且，
则．
∵，
∴，，，
∴，即，
∴在区间上单调递减．
变式6.（2024·全国·高一专题练习）判断并证明在的单调性.
【答案】函数在单调递增
【解析】根据函数单调性的定义：
任取，所以
因为，所以，所以
所以原函数单调递增。
变式7.（2024·全国·高一专题练习）已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明．
【答案】在区间上单调递增，证明见解析；
【解析】在区间上单调递增，
证明：设任意的、且，则
，
因为、且，
所以、、，，
所以，即，
所以在区间上单调递增.
变式8.．（2024·全国·高一专题练习）已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.
【答案】证明见解析
【分析】根据函数单调性定义，设，则，得证.
【详解】设，则，
从而，即，
又，
即，
故f（x）在R上是增函数.
【方法技巧与总结】
1.利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键
2.利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧：
（1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；
（2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；
（3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；
（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。
【题型4：复合函数的单调性】
例4．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】AD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断选项.
【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递减，
所以在区间上单调递增，
根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法，
可知，在上单调递增，故A正确，B错误；
在上单调递减，故C错误，D正确.
D
变式1．（2024·山东泰安·高三统考阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可.
【详解】由题意可得：，解得：，
即或，
根据二次函数及复合函数的性质可知，
的单调递增区间为：.
.
变式2．（2024·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断法则：“同增异减”即可求解.
【详解】令，解得的定义域为
在上递增，在上递减，函数在上为增函数
函数的单调增区间为
变式3．（2024·高一课时练习）函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解函数的定义域，然后根据二次函数的性质判断函数的增减区间即可；
【详解】由函数有意义得，解得.
函数图象的对称轴为直线
在上单调递增，在上单调递减，
的单调递减区间是.
.
变式4．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）关于函数的结论正确的是（ ）
A．值域是 B．单调递增区间是
C．值域是 D．单调递增区间是
【答案】A
【分析】求出的定义域，根据在内的单调性与值域判断的单调性与值域.
【详解】因为有意义，所以，解得，即函数的定义域为，
函数，在上单调递增，在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，故B错误，D正确；
在上有最大值4，最小值故的值域为，故A、C错误.
.
变式5.（2024·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由是复合函数，则根据复合函数同增异减原则来判断单调区间即可．
【详解】令，
则在上为减函数；在上为增函数，
又函数在上单调递减，
则根据复合函数同增异减原则得的单调递减区间为．
．
【题型5：由函数的单调性求参数的取值范围】
例5．（2024·全国·高一专题练习）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用函数在区间上的单调性，结合定义法求实数的取值范围，
【详解】函数在区间上是严格增函数，则任取，都有，
即，
由，有，，所以，
由，则，即实数的取值范围是.
故答案为：
变式1．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据分式函数的单调性求解即可.
【详解】，故若函数在上单调递减，则，即.
故答案为：
变式2.（2024·全国·高一专题练习）若在上单调递减，则实数满足 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】函数的图象是开口向上，且以为对称轴，则，解不等式即可得出答案.
【详解】函数的图象是开口向上，
且以为对称轴，若在上单调递减，
所以，解得：.
.
变式3.（2024·高一课时练习）已知函数.若函数在区间上单调，求实数a的取值范围.
【答案】.
【分析】根据给定条件，利用二次函数单调性列式求解作答.
【详解】函数的单调区间是，
因为函数在区间上单调，则有或，
即有或，解得或，
所以实数a的取值范围是.
变式4.（2024·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质即可求解.
【详解】已知是二次函数，其对称轴为，开口向上，
要使得函数在区间上是减函数，
则必须，即，
所以实数的取值范围是.
.
变式5.（2024·江苏南京·高一校考期末）若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案.
【详解】开口向上，对称轴为，
要想在区间上为单调减函数，则.
变式6.（2024·江苏）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】当时，函数在R上单调递增，即在上递增，则，
当时，函数是二次函数，
又在上单调递增，由二次函数性质知，，
则有，解得，
所以实数的取值范围是.
变式7.（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性求解即可.
【详解】解：根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递减,
因此可知对称轴，且，
解得.
故答案为：
变式8.（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）是函数在单调递减的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】先化简函数，可得函数的单调递减区间为，进而结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】，
显然函数的单调递减区间为，
所以时，函数在单调递减；
若函数在单调递减，则，
所以是函数在单调递减的充分不必要条件.
.
变式9.（2024·全国·高一专题练习）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据是R上的增函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
.
变式10.【多选】（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数是上的增函数，则a的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】CC
【分析】由二次函数的性质及分段函数的单调性即可得，即可得解.
【详解】由题意，函数的图象开口朝下，对称轴为，
因为函数是上的增函数，
所以，解得.
所以实数的取值可以是，.
C.
变式11.（2024·湖北鄂州·高一校联考期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.
【详解】根据题意得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
变式12.（2024·湖北）若函数，在R上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，解得．
变式13．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】由分段函数单调性列不等式组求解.
【详解】当时，
，根据其是由函数向右平移1个单位再向上平移1个单位得到，
则在上单调递减，
由题意得，解得，则的取值范围为.
故答案为：.
【题型6：利用单调性解不等式】
例6．（2024·高一课时练习）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性得到，从而得到，即可求解.
【详解】因为为上的减函数，
所以由，得：，
即，即，解得：，
所以实数的取值范围为，
.
变式1.（2024·高一课时练习）已知函数是上的增函数，且对一切x∈R都不成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】由于是上的增函数，，
所以，即对任意恒不成立.
，所以，
所以的取值范围是.
变式2.（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知函数为定义在上的增函数，且，求a的取值范围．
【答案】
【分析】结合定义域与单调性求解即可.
【详解】由题意，，解得，
又函数为定义在上的增函数，且，
则，解得，
故a的取值范围为.
变式3.（2024·高一课时练习）已知函数的定义域，，且，．若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得是定义在上的增函数，
由，得解得．
所以的取值范围为，选项A正确，.
变式4.（2024·全国·高一专题练习）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为，所以由，
因为是定义在上的增函数，
所以有，
变式5.（2024·全国·高一专题练习）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增；证明见解析
(2)．
【分析】（1）由单调性的定义直接证明即可；
（2）结合单调性构造关于m的不等式求解．
【详解】（1）证明：，，
任取，可知，
因为，所以，，，
所以，即，
故在上单调递增；
（2）由（1）知：在上单调递增，
所以，可得，解得
故实数m的范围是．
变式6.（2024·高一单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象与性质得到函数在上单调递减，从而得到，即可求解.
【详解】由题意得：当时，，
则函数在上单调递减，且
当时，，则函数在上单调递减，
且，
所以函数在上是减函数，
又，
所以，解得：，
实数的取值范围是.
.
变式7.（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知定义在上的函数，对任意的，，若，都有不成立，若，则满足不等式的的取值范围是 ．
【答案】
【分析】构造函数，根据可知在上单调递增，根据单调性解不等式.
【详解】由，得，
又，
设函数，
则在上单调递增，
又，即，
所以，
即，解得，
故答案为：.
变式8.（2024·高一单元测试）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，不妨设，
故，即，
令，则，
故在上单调递减，，
不等式两边同除以得：，
因为，所以，即，
根据在上单调递减，故，
综上：
【题型7：利用单调性比较大小】
例7．（2024·全国·高一专题练习）若函数在上是减函数，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由为减函数可得，再利用函数为减函数可得结论.
【详解】因为函数在上是减函数，
所以，得，
因为在上是减函数，所以，
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知是函数的增区间，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据单调性的定义判断即可.
【详解】因为是函数的增区间，所以，故A正确；
由于无法确定、的取值情况，故无法判断的符号，故B、C、D错误；
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
【答案】C
【分析】由已知结合二次函数的性质及函数的单调性即可比较大小．
【详解】因为，
又是区间内的减函数，
所以.
．
变式3.【多选】（2024·高一课时练习）（多选）设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
【答案】CE
【分析】取特殊值，可判断ACD选项；利用作差法比较和、和的大小，进而结合函数单调性即可判断BE选项.
【详解】由题意，函数在上为减函数.
当时，，，，
则，，，故ACD错误；
对于B，因为，所以，
所以，故B正确；
对于E，因为，所以，故E正确.
E.
变式4.（2024·全国·高一专题练习）已知函数在上是递减函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据单调性求解.
【详解】是减函数，，；
.
变式5.（2024·全国·高一专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题目中式子结构，构造函数，
函数在上单调递增，
所以..
【题型8：图像法求函数的最值】
例8．（2024·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）给定函数.
(1)在同一坐标系中画出函数的图像，
(2)若表示中的较小者，例如.记.
（i）请分别用图像法和解析法表示函数，并指出函数的单调区间，
（ii）当时，求的最大值和最小值
【答案】(1)答案见解析
(2)（i），图象答案见解析，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；（ii），
【分析】（1）根据解析式直接画一次函数和二次函数的图象即可，
（2）（i）结合（1）作出的图象求解即可，（ii）结合图象求出，比较可求出其最值.
【详解】（1）函数，图象如下：
（2）（i）由，得，解得或，
则由题意可知：，
的图象如下：
由图象可知：的单调递增区间为和；
的单调递减区间为；
（ii）因为，结合图象可知在上连续，
且，，
，，
所以，，
变式1.（2024·河南洛阳·高一统考期中）给定函数，，．，用表示，中的最小者，记为．
(1)请用图象法和解析法表示函数；
(2)根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数的最大值和最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求得的交点坐标，根据的定义，将其写成分段函数即可，再根据常见函数的图象，画图即可；
（2）数形结合，即可求得单调区间，结合函数单调性和区间端点处的函数值，即可求得最值.
【详解】（1）令，即，解得，或．
根据题意，
故其函数图象如下所示：
.
（2）数形结合可知，函数的单调区间是；
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
由，，，知，
当时，取得最大值，最大值为8，
当时，取得最小值，最小值为-1．
【方法技巧与总结】
图像法求最值的一般步骤
【题型9：利用单调性求函数的最大(小)值】
例9.（2024·高一课时练习）求函数在上的最大值与最小值．
【答案】最小值为4，最大值为5.
【分析】根据函数单调性的定义即可求解单调性，由单调性即可求解最值.
【详解】设，
则，
又因为，所以，
当时，，则，
所以，故在上是减函数．
当时，，则，
所以，
所以在上是增函，故的最小值为,
又因为，
所以的最大值为5.
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知
(1)函数的值域；
(2)用定义证明在区间上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)最大值，最小值
【分析】（1）对函数化简变形后利用分式的性质可求得答案，
（2）任取，，且，然后作差变形，判断符号，从而可证得结论，
（3）由在上递增，可求得其最值.
【详解】（1）由题意，函数，
因为，所以，
所以的值域为．
（2）任取，，且，
则，
，
，，
，
即，
故函数在区间上是增函数．
（3）由知函数在区间上是增函数，
，．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知二次函数，，的最大值为16；
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可设，结合进而可得的解析式；
（2）由（1）知，对称轴为，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.
【详解】（1）由已知函数是二次函数，且，
∴函数图象的对称轴为，
又的最大值为16，设，
又，
∴．
∴；
（2）由（1）知，图象的对称轴为，开口朝下，
若，则在上是减函数，最大值；
若，即，则在上是增函数，；
若，即，则；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
【方法技巧与总结】
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2.函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的那一个．
【题型10：根据函数的最值求参数】
例10.（2024·全国·高一专题练习）二次函数的最大值是3，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到，然后再根据二次函数的最大值可求出的值．
【详解】因为二次函数有最大值，
所以．
又二次函数的最大值为，
由题意得或，
因为，所以
.
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解.
【详解】因为，可知开口向上，对称轴为，
则在上单调递减，在上单调递增，
又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2，
所以.
.
变式2.（2023春·浙江嘉兴·高二校考期中）函数的最大值为负值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．a＞4
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质即得.
【详解】∵的二次项系数为，
∴函数图象开口向下，
∵函数的最大值为负值，
∴，
∴.
．
变式3.（2024·全国·高一专题练习）函数在时有最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求出，得出函数的最大值为，从而求出和的值．
【详解】解：因为时，，当且仅当，即时取“”，
所以函数，解得，，
所以．
．
变式4.（2024·广东茂名·高三校考阶段练习）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在区间上恒不成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件列方程组来求得，也即求得.
（2）由分离常数，进而求得的取值范围.
【详解】（1）由为二次函数，可设
∵图象的对称轴为，最小值为-1，且，
∴，∴，
∴．
（2）∵，即在上恒不成立，
又∵当时，有最小值0，
∴，
∴实数m的取值范围为．
变式5.（2024·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)判断函数在的单调性，并用定义证明.
(2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值.
【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（2）由（1）知函数在上单调递增，则最大值为，最小值为，即可得到方程，解得即可.
【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：
任取，且，
因为，
则，
因为，所以，，，
所以，即，所以函数在上单调递增.
（2）由（1）知函数在上单调递增，
所以函数的最大值为，最小值为，
所以，即，解得.
【题型11：函数不等式恒不成立、能不成立问题】
例11．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对于命题，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.
【详解】若，使得，则，可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，即，
所以，的一个必要不充分条件是.
.
变式1.（2024·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习），使得不等式不成立，则的范围是 .
【答案】
【分析】，使得不等式，其中，即可得答案.
【详解】，使得不等式，其中.
又，当且仅当时取等号，即.
故答案为：.
变式2.（2024·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）设，当时，恒不成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】结合二次函数的图象，列出不等式组，解之即可求解.
【详解】由题意知，当时恒不成立，如图，
则有，即，
解得或，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
变式3.（2024·四川乐山·高一校考阶段练习）设命题，不等式恒不成立；命题，使得不等式不成立.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将问题转化为恒不成立，解不等式即可；
（2）分类讨论结合集合的关系计算即可.
【详解】（1），由题意可知，解得；
（2）当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则，
故，不成立等价于，
即，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
若命题真假，结合（1）可知且，故，
综上，.
变式4.（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）若二次函数对任意都满足且最小值为-1，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的不等式在区间上恒不成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：可设，由得到，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案；
法二：可设，由得到图象的对称轴，求出，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案；
（2）转化为在上恒不成立，求出的最小值大于即可，求出的单调性，进而求出的最小值，从而得到实数的取值范围.
【详解】（1）法一：由为二次函数，可设，
∵，则代入得，
化简：，
因为其对任意都不成立，所以，
即．
又因为最小值为-1，且，
∴，解得，
∴；
法二：由为二次函数，可设，
∵函数满足，
∴图象的对称轴为，即，
最小值为-1，且，
∴，∴
∴；
（2）∵，即在上恒不成立，
即满足函数的最小值大于．
又∵当时，对称轴为，
故在单调递减，单调递增．
∴在的最小值在取得，
即
∴，
故的取值范围是.
变式5.（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）函数.
(1)若当时，恒不成立，求实数a的取值范围；
(2)若存在，使不成立，求实数a的取值范围；
(3)若当时，恒不成立，求实数x的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将问题转化为恒不成立的问题，然后根据判别式即可得到答案；
（2）由题意可转化为在上有解，构造函数，然后对参数分类讨论，利用二次函数的图像和性质使即可得到答案；
（3）令，在时，有恒不成立，由此列出不等式组，即可得到答案.
【详解】（1）∵当时，恒不成立，
需，即，
解得，
∴实数a的取值范围是.
（2）由题意可转化为在上有解，
令，当时，需，
函数图象的对称轴方程为，且抛物线的开口向上，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是.
（3）令，可知函数的图象为一条直线，
当时，有恒不成立，
只需，即，
解得或.
所以实数x的取值范围是.
变式6.（2024·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数．
(1)判断并且证明函数在上的单调性；
(2)当时，恒不成立，求的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用定义法按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（2）由及（1）中函数的单调性，求出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）函数在上单调递减．
证明如下：设任意的且，
，
，所以，，，
，
在上单调递减．
（2）由（1）可知在上单调递减，
且，，
当时且当时，所以且当时，
又当时，恒不成立，
所以.
一、单选题
1．（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案.
【详解】开口向上，对称轴为，
要想函数在区间上单调递增，则需，解得，
故实数的取值范围是
2．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有不成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可.
【详解】因为函数满足对任意实数，都有 不成立，
不妨假设，则，可得，即，
可知函数在R上递减，
则，解得：，
所以的取值范围是.
.
3．（2025·四川巴中·模拟预测）设函数；若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作出函数图象，判断函数单调性，结合解一元二次不等式，即得答案.
【详解】作出函数的图象，如图：
可知函数在R上为单调递增函数，
故由可得，即，
解得或，
即实数a的取值范围是,
4．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的减区间
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递增
D．函数的增区间是
【答案】D
【分析】利用图象的变换知识作出的图象，可得单调区间，进而可得答案.
【详解】由，作出函数的图象，
利用图象的变换可得，如图所示：
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增.
.
5．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知分段函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过分段函数的单调性，结合区间，转化求解的取值范围即可.
【详解】分段函数的图象如下：
函数的单调增区间为：，，
所以分段函数在区间上单调递增，
则或，解得：或，
6．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解.
【详解】由于，当，，由于是的最小值，
则为减区间，即有，则恒不成立.
由，当且仅当时取等号，所以 ，解得.
综上，a的取值范围为.
.
7．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒不成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得．
法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒不成立，从而求解不等式组即可得．
【详解】法一：由题意，恒不成立，
等价于，
当时，即，，则恒不成立，
，，解得：，
当时，即时，不等式不不成立，
当时，即，，则，
，，解得：，
综上所述：的取值范围是或；
法二：由，即，
令函数，
，即，对于中的任意恒不成立，
则有且，即，解得或，
所以的取值范围是或.
．
8．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，计算出函数的值域后，分、及计算出函数的值域，再借助子集定义计算即可得.
【详解】由题意可得函数的值域的值域为函数的值域的子集，
当时，，即的值域为，
若，则，即的值域为，而，符合要求；
若，则由一次函数的性质可得，
则有，解得，又，故；
若，则由一次函数的性质可得，
则有，解得，又，故；
综上所述，.
.
二、多选题
9．（23-24高一下·全国·随堂练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在区间上的最大值为3，最小值为
D．在上有最大值3，有最小值
【答案】CD
【分析】根据函数图象，结合函数的基本性质，逐项判断，即可得出结果．
【详解】对于A，B选项，由函数图象可得，在和上单调递减，在上单调递增，故A错误，B正确；
对于C选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故C错误；
对于D选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故D正确；
D．
10．（2024高三·全国·专题练习）若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】CC
【分析】对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上单调性，结合可求得实数的值.
【详解】由题意可知：，
当时，二次函数图象的对称轴为直线，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
所以，，解得，合乎题意；
当时，二次函数图象的对称轴为直线，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，解得，合乎题意.
C.
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A．4 B．12 C． D．
【答案】AD
【分析】根据对勾函数的单调性，对进行分类讨论，从而得到的可能取值.
【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，
当，即时在上单调递增，所以，
，
所以，解得；
当，即时，在上单调递减，所以，
，
所以，解得，不符合题意，故舍去；
当，即时在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若且，即，，
所以，解得或，两个解均舍去；
若且，即，，
所以，解得或（舍去）；
综上可得或.
D
12．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列说法能判断函数在区间上单调递增有（ ）
A．对于任意的，当时，都有恒不成立；
B．对于任意的，都有恒不成立；
C．存在，使得不成立；
D．对于任意的，都有恒不成立，并且对于任意的，都有也恒不成立
【答案】AB
【分析】对于AB：根据函数单调性的定义分析判断；对于CD：举反例说明即可.
【详解】对于选项A：由题意可得当时，都有恒不成立，
所以函数在区间上单调递增，故A正确；
对于选项B：因为，且时，恒不成立，
可得或恒不成立，
即或恒不成立，
所以函数在上是增函数，故B正确；
对于选项C：不能，例如时，
，且，
但函数在上不是单调递增的，而是先减后增，故C错误；
对于选项D：由选项B可知：在内单调递增，
例如如图：
满足在内单调递增，但在内不单调，故D错误；
B.
三、填空题
13．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为 ．
【答案】
【分析】先分、去掉的绝对值，再作差判断的范围，进而得到的解析式，进而求值域.
【详解】当时,,
则，
令,，
则,对称轴为，开口向下，
所以在上单调递减，此时
所以，
此时
当时,,
则，
令，
则,对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增，
此时，
所以,
此时；
终上所述，.
故答案为：.
14．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，若时不等式恒不成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】将不等式在上恒不成立，转化为在上恒不成立，求出函数在 上的最小值即可求出的取值范围.
【详解】，由可得，
，整理得，，
不等式在上恒不成立，
在上恒不成立，即在上恒不成立，
设，，
根据对勾函数性质易得函数在上单调递减，在上单调递增，
故
，即的取值范围是.
故答案为：.
15．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数是定义在上的单调函数，且对都有，则 .
【答案】
【分析】根据函数的单调性进行换元、列方程，从而求得的解析式.
【详解】因为函数是定义在上的单调函数，所以为一个常数.
令，则，且，
所以，即，解得：.
故.
故答案为：
16．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）记为，，中最小的数.设，，则中的最大值为 .
【答案】
【分析】设，由题意知可得，，结合，即可求得答案.
【详解】设，由题意知，，，
则，，则，
由，得，当且仅当时取等号.
故答案为：
17．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为 ．
【答案】
【分析】结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可得.
【详解】令，
令，
因为，所以，，
由，则，
令，即，解得，
则，
故当且仅当时，有.
故函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于结合题意得到，从而可得出取最小值时，的值.
四、解答题
18．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数.
(1)证明:函数在区间上单调递减;
(2)当时，求函数的值域.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可.
（2）利用（1）的结论，利用单调性求出函数值域.
【详解】（1）函数，，
则，
当时，，则，即，
所以函数在区间上单调递减.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，则，
而，所以函数的值域为.
19．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数.
(1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围；
(2)求在上的最小值的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合二次函数的对称轴及端点值，即可求解参数范围.
（2）根据对称轴与区间的位置关系分类讨论求解最小值即可.
【详解】（1）当时，，所以，
又因为，，
所以在上的值域为时，；
（2）由题意可知，的对称轴为，且图象开口向上，
①当时，在上单调递增，
故；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故；
③当时，在上单调递减，
故．
综上所述，．
20．（24-25高二上·四川南充·开学考试）定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据以及求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.
【详解】解：
，
即，
，
，可转化为：，
即，
即，
满足，且，有，
在上单调递增，
即 ，
解得：，
即不等式的解集为：.
.
21．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，对，使得不成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）利用分类讨论的思想求解含有参数的不等式的解集.
（2）利用函数的思想构造函数，借助二次函数分类讨论求函数的值域，进而列出不等式组求解即得.
【详解】（1）令，解得或，
①当时，，不等式的解集为，
②当时，，不等式的解集为，
③当时，，不等式的解集为，
所以当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）由，得，
令，依题意，，取值集合包含于，
而，当，即时，在上单调递增，则，无解；
当，即时，则，解得，
所以实数的取值范围是.
22．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令.
(1)求实数的值及；
(2)判断函数在区间上的单调性，不用说明理由；
(3)已知，且，证明：.
【答案】(1)，
(2)在上单调递增，在上单调递减
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，令和，得到，再由二次函数的性质，求得，得到，进而得到的解析式；
（2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）由，化简得到，结合基本不等式，即可得证.
【详解】（1）解：由，均有且，
令，可得，
令，可得.
因为曲线与恰有一个交点且交点横坐标为，所以，
又因为曲线与恰有一个交点，所以有两个相等的实数根，
则，
因为，可得，解得，
所以，则.
（2）函数在上单调递增，在上单调递减.
设且，
则
，
其中
当时，，则，即，
此时函数在上单调递增；
当时，，则，即，
此时函数在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
（3）证明：因为，
由，可得，即，
所以，整理得，
又因为，由基本不等式，可得.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)3.1.2 函数的单调性
课程标准 学习目标
1、了解函数单调性的概念，会用定义判断或证明函数的单调性 2、会借助图像和定义求函数的单调区间 3、理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能借助图像求函数的最大(小)值 4、会借助函数的单调性求最值 5、会根据函数的单调性求参数或解参数不等式 了解函数单调性的概念，理解函数的最大(小)值及其几何意义 借助图像求函数的单调区间和最值 判断函数区间的单调性和求最值 函数最值在实际生活中的应用
知识点01 增函数、减函数的定义
条件 一般地，设函数yf(x)的定义域为D，且I D，如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x1)f(x2)
结论 则称yf(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增) 则称yf(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)
图示 自左向右图像逐渐上升 自左向右图像逐渐下降
注：(1)“区间I D”说明函数的单调区间是其定义域的子集，不一定是定义域．
(2)x1，x2的三个特征：
①同区间性，即x1，x2∈I；
②任意性，即不可用区间I上的两个特殊值代替x1，x2；
③有序性，即需要区分大小，通常规定x1(3)自变量的大小与函数值的大小关系：
①单调递增：x1＜x2 f(x1)＜f(x2)，x1＞x2 f(x1)＞f(x2).
②单调递减：x1＜x2 f(x1)＞f(x2)，x1＞x2 f(x1)＜f(x2).
即可以利用单调递增、单调递减的定义实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化．
(4)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降).
【即学即练1】（2024·高一课时练习）若函数的定义域为，且满足，则函数在上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定
【即学即练2】（2024·高一课时练习）设函数在区间上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02单调性、单调区间、单调函数
如果一个函数在某个区间I上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间I上具有单调性．区间I称为函数的单调区间．
如果一个函数在其整个定义域内具有单调性，则称此函数是单调函数．
注：(1)由于函数在单独的一个x值处不存在单调性，因此写单调区间时可以包括区间端点，也可以不包括，但单调区间一定不包括使函数无意义的x的值．
(2)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或逗号连接．
【即学即练3】（2024·高一课时练习）如图为的图象，则它的单调递减区间是 .
知识点03函数的最大(小)值
名称 定义 几何意义
函数的 最大值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点． 函数的最大值对应其图像最高点的纵坐标．
函数的 最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点． 函数的最小值对应其图像最低点的纵坐标．
说明： 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．
注：函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针对的是整个定义域．
(2)区别：
①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在；
②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；
③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
【即学即练4】（2024·高二课时练习）已知，求函数在区间上的最大值与最小值．
知识点04 函数的平均变化率
（1）直线的斜率
一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称
为直线AB的斜率；当x1x2时，称直线AB的斜率不存在．
①直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．
②若记Δxx2－x1，相应的Δyy2－y1，则当Δx≠0时，斜率可记为k.
（2）平均变化率
一般地，当x1≠x2时，称
为函数yf(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．
利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性．
①Δxx2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负．
②注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δxx2－x1，则Δyf(x2)－f(x1)；若Δxx1－x2，则Δyf(x1)－f(x2).
③平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)x2在[－2，2]上的图像先下降后上升，值域是[0，4].
(4)平均变化率的几何意义是函数yf(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．
(5)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δxx2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”．
难点：由函数的单调性求参数的取值范围
示例：已知函数f(x)x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
【题型1：单调性的定义理解】
例1.（2024·全国·高一专题练习）若函数在上是增函数，对于任意的，（），则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1.（2024·全国·高一专题练习）定义在上的函数对任意两个不相等的实数，，总有，则必有（ ）
A．函数先增后减 B．函数是上的增函数
C．函数先减后增 D．函数是上的减函数
【题型2：利用函数图象求单调区间】
例2．（2024·全国·高一专题练习）已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A． B．和
C． D．和
变式1.（2024·高一课时练习）已知函数的图象如图，网格中每个小正方形的边长为1，则函数的单调递增区间有 ；函数的单调递减区间有 ．
变式2.（2024·高一课时练习）如图是函数的图象，则函数的减区间是（ ）
A． B． C． D．
变式3.（2024·高一课时练习）已知函数
(1)在直角坐标系内画出的图象；
(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．
变式4.（2024·全国·高一专题练习）函数单调减区间是 .
变式5.（2024·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）函数的单调递减区间是 .
变式6.（2024·全国·高一专题练习）已知函数
（1）把写成分段函数；并在直角坐标系内画出函数大致图像；
（2）写出函数的递减区间．
【方法技巧与总结】
图像法求函数单调区间的步骤
(1)作图：作出函数的图像．
(2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【题型3：函数的单调性判断与证明】
例3．（2024·全国·高一课堂例题）证明：在区间上是单调递增函数.
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知函数.判断函数在上的单调性，并证明；
变式2.（2024·全国·高一专题练习）设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数；
变式3.（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)用定义法证明：在上单调递增；
变式4.（2024·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数
(1)判断并证明函数在区间上的单调性；
(2)求函数在区间上的值域．
变式5.（2024·全国·高一专题练习）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明.
变式6.（2024·全国·高一专题练习）判断并证明在的单调性.
变式7.（2024·全国·高一专题练习）已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明．
变式8.．（2024·全国·高一专题练习）已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.
【方法技巧与总结】
1.利用定义证明函数单调性的步骤
注：作差变形是解题关键
2.利用定义证明函数的单调时，常用的变形技巧：
（1）因式分解：当原函数是多项式函数时，作差后的变形通常进行因式分解；
（2）当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子进行因式分解；
（3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；
（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。
【题型4：复合函数的单调性】
例4．【多选】（2024·全国·高一专题练习）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
变式1．（2024·山东泰安·高三统考阶段练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·高一课时练习）函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）关于函数的结论正确的是（ ）
A．值域是 B．单调递增区间是
C．值域是 D．单调递增区间是
变式5.（2024·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【题型5：由函数的单调性求参数的取值范围】
例5．（2024·全国·高一专题练习）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是 .
变式1．（2024·江西·高三宁冈中学校考期中）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 .
变式2.（2024·全国·高一专题练习）若在上单调递减，则实数满足 （ ）
A． B． C． D．
变式3.（2024·高一课时练习）已知函数.若函数在区间上单调，求实数a的取值范围.
变式4.（2024·辽宁丹东·高一凤城市第一中学校考期末）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式5.（2024·江苏南京·高一校考期末）若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式6.（2024·江苏）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
变式7.（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 .
变式8.（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）是函数在单调递减的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
变式9.（2024·全国·高一专题练习）已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式10.【多选】（2024·海南海口·高一海口一中校考期中）已知函数是上的增函数，则a的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
变式11.（2024·湖北鄂州·高一校联考期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
变式12.（2024·湖北）若函数，在R上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式13．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是 .
【题型6：利用单调性解不等式】
例6．（2024·高一课时练习）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1.（2024·高一课时练习）已知函数是上的增函数，且对一切x∈R都不成立，则实数a的取值范围是________.
变式2.（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知函数为定义在上的增函数，且，求a的取值范围．
变式3.（2024·高一课时练习）已知函数的定义域，，且，．若，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．
变式4.（2024·全国·高一专题练习）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5.（2024·全国·高一专题练习）已知函数，．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数m的取值范围．
变式6.（2024·高一单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式7.（2024·江苏连云港·高一统考期中）已知定义在上的函数，对任意的，，若，都有不成立，若，则满足不等式的的取值范围是 ．
变式8.（2024·高一单元测试）定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【题型7：利用单调性比较大小】
例7．（2024·全国·高一专题练习）若函数在上是减函数，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知是函数的增区间，则下列结论不成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
变式3.【多选】（2024·高一课时练习）（多选）设函数在上为减函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
E．
变式4.（2024·全国·高一专题练习）已知函数在上是递减函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
变式5.（2024·全国·高一专题练习）已知函数，若，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【题型8：图像法求函数的最值】
例8．（2024·宁夏银川·高三宁夏育才中学校考阶段练习）给定函数.
(1)在同一坐标系中画出函数的图像，
(2)若表示中的较小者，例如.记.
（i）请分别用图像法和解析法表示函数，并指出函数的单调区间，
（ii）当时，求的最大值和最小值
变式1.（2024·河南洛阳·高一统考期中）给定函数，，．，用表示，中的最小者，记为．
(1)请用图象法和解析法表示函数；
(2)根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数的最大值和最小值．
【方法技巧与总结】
图像法求最值的一般步骤
【题型9：利用单调性求函数的最大(小)值】
例9.（2024·高一课时练习）求函数在上的最大值与最小值．
变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知
(1)函数的值域；
(2)用定义证明在区间上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值与最小值．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）已知二次函数，，的最大值为16；
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间的最大值.
【方法技巧与总结】
1.利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2.函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的那一个．
【题型10：根据函数的最值求参数】
例10.（2024·全国·高一专题练习）二次函数的最大值是3，则（ ）
A． B．1 C． D．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式2.（2023春·浙江嘉兴·高二校考期中）函数的最大值为负值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．a＞4
变式3.（2024·全国·高一专题练习）函数在时有最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式4.（2024·广东茂名·高三校考阶段练习）若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．
(1)求的解析式；
(2)若关于x的不等式在区间上恒不成立，求实数m的取值范围．
变式5.（2024·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）已知函数.
(1)判断函数在的单调性，并用定义证明.
(2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值.
【题型11：函数不等式恒不成立、能不成立问题】
例11．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）条件，，则的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·天津宁河·高一天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习），使得不等式不成立，则的范围是 .
变式2.（2024·广东东莞·高一东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）设，当时，恒不成立，则的取值范围是 .
变式3.（2024·四川乐山·高一校考阶段练习）设命题，不等式恒不成立；命题，使得不等式不成立.
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
变式4.（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）若二次函数对任意都满足且最小值为-1，．
(1)求的解析式；
(2)若关于的不等式在区间上恒不成立，求实数的取值范围．
变式5.（2023春·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考阶段练习）函数.
(1)若当时，恒不成立，求实数a的取值范围；
(2)若存在，使不成立，求实数a的取值范围；
(3)若当时，恒不成立，求实数x的取值范围.
变式6.（2024·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知函数．
(1)判断并且证明函数在上的单调性；
(2)当时，恒不成立，求的取值范围．
一、单选题
1．（23-24高一上·吉林·阶段练习）如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有不成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川巴中·模拟预测）设函数；若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的减区间
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递增
D．函数的增区间是
5．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知分段函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·山东青岛·开学考试）设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒不成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8．（2024高一上·江苏·专题练习）设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·全国·随堂练习）如图是函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递增
C．在区间上的最大值为3，最小值为
D．在上有最大值3，有最小值
10．（2024高三·全国·专题练习）若二次函数在区间上的最大值为6，则a等于（ ）
A． B． C． D．5
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（ ）
A．4 B．12 C． D．
12．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）下列说法能判断函数在区间上单调递增有（ ）
A．对于任意的，当时，都有恒不成立；
B．对于任意的，都有恒不成立；
C．存在，使得不成立；
D．对于任意的，都有恒不成立，并且对于任意的，都有也恒不成立
三、填空题
13．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）对于实数a，b，定义新运算：设函数，当时，函数的值域为 ．
14．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，若时不等式恒不成立，则实数a的取值范围是 .
15．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数是定义在上的单调函数，且对都有，则 .
16．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）记为，，中最小的数.设，，则中的最大值为 .
17．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱．对定义在非空集合I上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”．若，，则函数与的“偏差”取得最小值时，m的值为 ．
四、解答题
18．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数.
(1)证明:函数在区间上单调递减;
(2)当时，求函数的值域.
19．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数.
(1)当时，若在上的值域为，求m的取值范围；
(2)求在上的最小值的解析式.
20．（24-25高二上·四川南充·开学考试）定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（ ）.
A． B． C． D．
21．（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，对，使得不成立，求的取值范围.
22．（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的函数满足：①；②，均有，函数，若曲线与恰有一个交点且交点横坐标为1，令.
(1)求实数的值及；
(2)判断函数在区间上的单调性，不用说明理由；
(3)已知，且，证明：.
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