第三章 排列、组合与二项式定理章末测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）（ ）
A．24 B．80 C．48 D．72
2．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·福建南平·期末）将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（ ）
A．72种 B．42种 C．114种 D．36种
5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（23-24高二下·山西吕梁·期末）若的展开式中常数项是20，则（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
7．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村 口寨村 忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ）
A．900 B．800 C．470 D．170
8．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·福建龙岩·期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（ ）
A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840
B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720
C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480
D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法
10．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二下·江苏扬州·期中）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．记第n行的第i个数为，则
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高二下·河北石家庄·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
13．（23-24高二下·重庆·期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有 种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有 种.
14．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（23-24高二下·北京丰台·期末）2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《．逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
16．（15分）（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知（其中）的展开式中前3项的二项式系数之和等于16.
(1)求的值；
(2)若展开式中的系数为，求实数的值.
17．（15分）（23-24高二下·河北邢台·期末）达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部，占地面积4700平方米，共收集6大类23个月季品种万株，是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一体的花卉展园．某天，甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、白佳人、金凤凰这6种月季花，且甲第一个观赏的不是北京红．
(1)求甲不同的观赏方案数；
(2)若甲上午和下午均观赏3种月季花，且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午，一个在下午，求甲不同的观赏方案数．
18．（17分）（23-24高二下·河南信阳·期末）已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为.
(1)求的值；
(2)设，
①求的值；
②求奇次项的系数和.
19．（17分）（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为.
(1)求的值；
(2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论.
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（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）（ ）
A．24 B．80 C．48 D．72
【答案】A
【分析】根据组合数以及排列数的计算即可求解.
【详解】,
2．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解.
【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，
而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论:
①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，
与百位数一样，只有一种选择，
与个位数一样，也只有一种选择;
②当个位数为2时，
如果百位数为2，则十位数有6种选择，
如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择:
当个位数为4时，
如果百位数为4，则十位数有6种选择，
如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择
综上所述，.
.
3．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令可得，令可得，即可求出，，再利用展开式的通项求出，即可求出，从而得解.
【详解】因为，
令可得，
令可得，
所以，，
又，
其中展开式的通项为（且），
所以，
所以，
所以.
4．（23-24高二下·福建南平·期末）将分别标有数字1，2，3，4，5的五个小球放入A，B，C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球．若标有数字1和2的小球不放入同一个盒子，则不同方法有（ ）
A．72种 B．42种 C．114种 D．36种
【答案】D
【分析】可先将小球分组去掉1和2在一组的分法，再将三组小球放入三个盒子中即可.
【详解】5个不同的小球，先分成3组，可分为1,1,3,或者是1,2,2，
共种，
将每一种分法放到3个盒子中，共有种不同方法，
根据分步乘法计数原理得：种.
.
5．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用二项式定理展开，并对讨论即可得到答案
【详解】因为能被25整除，
所以当时，，此时，，
当时，；
当时，
，
因此只需能够被整除即可，可知最小正整数的值为，
综上所述，正整数的最小值为，
6．（23-24高二下·山西吕梁·期末）若的展开式中常数项是20，则（ ）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由，写出展开式的通项，从而得到展开式中常数项，即可得解.
【详解】，
的展开式的通项公式为，
令，解得，则的展开式的常数项为；
令，解得，则的展开式的常数项为，
因为的展开式中常数项是20，所以，解得.
.
7．（23-24高二下·江苏镇江·期末）2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村 口寨村 忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ）
A．900 B．800 C．470 D．170
【答案】D
【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可.
【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生，
所以可以分成1，2，3或2，2，2两类，
当6人分成1，2，3三组，有种分法，
当6人分成2，2，2三组，有种分法，
所以不同的安排方法种数为种，
8．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，得到，从而求出展开式中系数的最小值.
【详解】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以，
所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为，
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·福建龙岩·期中）传承红色文化，宣扬爱国精神，湖洋中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等7名同学加入方阵参加训练，则下列说法正确的是（ ）
A．7名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为840
B．7名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为720
C．7名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480
D．7名同学分成三组（每组至少有两人），进行三种不同的训练，则有630种不同的训练方法
【答案】AD
【分析】A先从7个位置中选3个排小明等3人，随后排列剩下4人，可得排法总数；
B将小明，小红两人捆绑为1人，随后与剩下5人一起排列，可得排法总数；
C先排剩下5人，随后将小明小红排进5人的空隙中，可得排法总数；
D先将7人按2+2+3形式分为3组，再给每组安排训练，可得安排总数.
【详解】A选项，先从7个位置中选3个排小明等3人，有种方法，
随后排列剩下4人，有种方法，则共有种方法，故A正确；
B选项，将小明，小红两人捆绑为1人，有2种排列方法，随后与剩下5人一起排列，
有种方法，则共有种方法，故B错误；
C选项，先排剩下5人，有种方法，再将小明小红排进5人产生的6个空隙中，
有种方法，则共有种方法，故C错误；
D选项，由题分组情况为2人的2组，3人的一组，则有种方法，
随后安排训练，有种方法，则共有种方法，故D正确.
D
10．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D．
【详解】由已知有，故，．
所以．
对于A，取得，取得，
所以，A错误；
对于B，对求导得，
取得，B正确；
对于C，，
后一项即为余数1，C正确．
对于D，由有．
在中取得，
所以，D正确．
CD．
11．（23-24高二下·江苏扬州·期中）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A．
B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等
C．记第n行的第i个数为，则
D．第20行中第8个数与第9个数之比为
【答案】DD
【分析】利用图象及二项式系数计算可得A，利用组合数性质可判定B，利用二项式定理可判定C，利用组合数的计算可判定D.
【详解】由图象可知为第行第三个数，
所以，故A错误；
易知第n行的第i个数为，
则第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数分别为，
由组合数的性质知，故B错误；
易知，所以
，故C正确；
第20行中第8个数与第9个数之比为，故D正确.
D
【点睛】思路点睛：利用二项式系数与“杨辉三角”的关系结合组合数的性质与运算法则一一判定选项即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高二下·河北石家庄·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
【答案】80
【分析】利用二项式定理可得的展开式通项，令即可求解．
【详解】，
的展开式通项为，，
因为的展开式每一项次数为，且展开式每一项次数为，
所以展开式中不含，
令，则，
所以的展开式中的系数为，
故答案为：80．
13．（23-24高二下·重庆·期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有 种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有 种.
【答案】
【分析】按同色区域用黄色和不用黄色分类，再结合分步乘法计数原理列式计算即得；按用色多少分成3类，再在每一类中采用先取后排的方法列式计算即得.
【详解】根据题意，要求四个区域中有且只有一组相邻区域同色，而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为同色，
①若同时染黄色，则另外两个区域共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法；
②若同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色，
所以这两个区域共有，因此这种情况共有种染色方法，
综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种；
根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选，分3种情况讨论：
①若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法；
②若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一共有种染色方法；
③若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所以共有种染色方法，
综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种.
故答案为：；
【点睛】思路点睛：染色问题，可以按用色多少分类，再在每一类中找同色方案，并结合排列组合综合问题求解.
14．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 .
【答案】130
【分析】从条件入手，由于只能取0或1，因此5个数值的有2个0，3个0，或4个0，讨论这三种情况，即可求解.
【详解】因为，，集合中元素满足条件，
由于只能取0或1，因此5个数值中有2个0，3个0或4个0的三种情况，
①中有2个取值为0，另外3个从中取，共有方法数：，
②中有3个取值为0，另外2个从中取，共有方法数：，
③中有4个取值为0，另外1个从中取，共有方法数：，
所以总共方法数为，
即集合中满足条件的元素个数有个.
故答案为：130
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（23-24高二下·北京丰台·期末）2024年春节期间，全国各大影院热映《第二十条》、《飞驰人生2》、《热辣滚烫》、《．逆转时空》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看．
(1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
(2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《第二十条》、《飞驰人生2》，那么共有多少种不同的选择方法？
(3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？
【答案】(1)24；
(2)16；
(3)144.
【分析】（1）直接全排列可得；
（2）另外2人观影4部电影，用乘法原理计算可得；
（3）先选2人观看同一部电影，然后再安排另外2人观看其余的3部电影．
【详解】（1）因为4名同学观看的影片均不相同，
所以不同的选择方法共有种．
（2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定，
所以不同的选择方法共有种．
（3）因为恰有2名同学选择观看同一部影片，
所以不同的选择方法共有种．
16．（15分）（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知（其中）的展开式中前3项的二项式系数之和等于16.
(1)求的值；
(2)若展开式中的系数为，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）直接利用已知列出关于的等式，求解即可；
（2）利用（1）的结论，写出展开式的通项，得到关于的等式，求解即可.
【详解】（1），
解得或（舍），
故的值为5.
（2）由（1）可知，展开式的通项为
当时，，则为含的项，
所以，又因为，解得.
故实数的值为2.
17．（15分）（23-24高二下·河北邢台·期末）达活泉月季园位于河北省邢台市达活泉公园东部，占地面积4700平方米，共收集6大类23个月季品种万株，是集观光、科普、研究、展示及繁育等多种功能于一体的花卉展园．某天，甲游客计划按照一定的先后顺序去该月季园观赏北京红、红从容、黄从容、醉红颜、白佳人、金凤凰这6种月季花，且甲第一个观赏的不是北京红．
(1)求甲不同的观赏方案数；
(2)若甲上午和下午均观赏3种月季花，且观赏红从容和黄从容的时间一个在上午，一个在下午，求甲不同的观赏方案数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据甲第一个观赏的不是北京红，则甲第一个观赏的是剩余5个中的其中一个，再将剩余5种月季花全排列，根据分步乘法原理可求得结果；
（2）根据题意分两种情况：当黄从容在上午观赏时，红从容只能在下午观赏，另一种是当红从容在上午观赏时，黄从容只能在下午观赏，然后根据分类加法原理求解.
【详解】（1）甲第一个观赏的不是北京红，则甲第一个观赏的是剩余5个中的其中一个，有种，
剩下5种月季花甲依次的方案有种，
所以由分步乘法原理可知甲不同的观赏方案数为种．
（2）当黄从容在上午第一个观赏时，红从容地下午观赏，其余4种月季花在上午和下午可以任意选择，
所以方案有种，
当黄从容在上午第二或第三个观赏时，则上午第一个需从醉红颜、白佳人和金凤凰选一个，红从容在下午观赏，
其余3种月季花在上午和下午可以任选择，所以方案有，
所以由分类加法原理可知，上午安排黄从容，下午安排红从容的方案数为种，
同理当红从容在上午观赏，黄从容在下午观赏时，也有180种，
所以甲不同的观赏方案数为种.
18．（17分）（23-24高二下·河南信阳·期末）已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为.
(1)求的值；
(2)设，
①求的值；
②求奇次项的系数和.
【答案】(1)8
(2)①255，②（也正确）
【分析】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，按照分步乘法计数原理计算可得；
（2）①令，，根据二项展开式的系数和即可求解；
②令即可求解；
【详解】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有；
（2）在，
令，得；
令，得①；
.
令，得②；
②，得.（也正确）
19．（17分）（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和. 现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为，第2行的第2个数字为，第行的第2个数字为.
(1)求的值；
(2)将杨辉三角中的每一个数都换成就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）由莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和求出，再由裂项相消法求和可得；
（2）结合题意代换写出和式，再利用组合公式运算证明可得.
【详解】（1）由图1可知：
由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得 ，
故，同理，
故
；
（2）莱布尼茨三角的性质：
证明：
.
.
故结论正确.
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