第01讲 排列与组合
课程标准 学习目标
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理，理解并掌握两个计数原理，并会利用计数原理解决一些简单的问题． 理解排列组合的概念、掌握排列数、组合数公式，并能解决有关的实际问题. 通过对计数原理的学习，掌握两个计数原理的应用，培养数学抽象等核心素养； 理解排列、组合的概念及公式的推导过程，掌握排列、组合在实际问题中的应用.
知识点01 两个计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
【即学即练】（多选）下列命题正确的是( )
A从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题．( )
B分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( )
C分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( )
D从甲地经丙地到乙地是分步问题．( )
【答案】DD
知识点02 排列与排列数
1.排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m个元素，并按照一定的顺序排一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2.排列数的定义
从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号表示.=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
（1）排列数公式的阶乘表示
全排列数公式的阶乘表示:=n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.
①规定:1!=1，0!=1，=1.②排列数公式的阶乘表示:.
（2）排列数的性质
①=n;②=m.
辨析： “排列”和“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从n个不同对象中，任取m个对象，按照一定顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);排列数是指“从n个不同的对象中取出m个对象的所有排列的个数”，它是一个数.
【即学即练】
1．（24-25高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
【答案】C
【分析】根据排列的定义逐项判断即可.
【详解】对于A，8名同学中选取2名，不涉及顺序问题，不是排列问题，A错误；
对于B，“入座问题”，与顺序有关，是排列问题，B正确；
对于C，确定直线不涉及顺序问题，不是排列问题，C错误；
对于D，4个数字中任取2个，根据乘法交换律知，结果不涉及顺序问题，不是排列问题，D错误．
2.（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．21
【答案】A
【分析】除法是有序的，故直接利用排列数求解即可.
【详解】任意两个数作除法，可得到不同的商的个数为.
.
知识点03 组合与组合数
组合
一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．
组合数
从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号表示．
（1）排列与组合的区别与联系
①共同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象．
②不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关．
③只有两个组合中的对象完全相同，不论对象的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中对象不完全相同时，才是不同的组合．
（2）组合与组合数的区别
一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是指所有组合的个数，它是一个数．
3．组合数的性质
（1）．
（2）．
点睛：（1）计算时，若m>，通常不直接计算，而是根据性质（1）改为计算．
（2）要注意公式的正用、逆用、变形．尤其是当m，n都是具体自然数时的应用．正用时是“合二为一”，即将化为；逆用则是将组合数拆开；变形则为．
【即学即练3】
1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
【答案】C
【分析】根据排列、组合的定义判断即可.
【详解】对于A：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，因为学科不一样，且学生各不相同，所以为排列问题，故A错误；
对于B：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，属于组合问题，故B正确；
对于C：从，，，中任取两个数进行指数运算，底数与指数有顺序，所以为排列问题，故C错误；
对于D：从，，，中任取两个数作为点的坐标，横、纵坐标与顺序有关，所以为排列问题，故D错误.
2．（23-24高二下·山东临沂·期中）（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
【答案】C
【分析】利用排列数公式、组合数公式计算可得答案.
【详解】.
.
3．（23-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意由组合数公式计算可得.
【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球，
从中取个球，则有种取法．
．
题型01 分类加法计数原理的应用
【典例1】家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有( )
A．240种 B．180种
C．120种 D．90种
【答案】A
【解析】由加法计数原理可得小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有30＋20＋4090种．
【变式1】三角形的三边均为整数，且最长的边为11，则这样的三角形有( )
A．25个 B．26个
C．32个 D．36个
【答案】A
【解析】 11是最长边，另一边是11时：第三边可能是11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1，共11个；另一边是10时：第三边可能是10,9,8,7,6,5,4,3,2，共9个；同理，9时：9,8,7,6,5,4,3，共7个；8时：8,7,6,5,4，共5个；7时：7,6,5，共3个；6时：6，即1个．一共有1＋3＋5＋7＋9＋1136(个)．
【变式2】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A．18 B．36
C．72 D．48
【答案】C
【解析】 解法一 按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋136个．
解法二 按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋836个．
解法三 考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．
所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，…，99，共9个；有10,20,30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90－1872个．在这72个两位数中，每一个个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数都有一个十位数字(a)小于个位数字(b)的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷236.
题型02 分步乘法计数原理的应用
【典例2】有且仅有语文、数学、英语、物理4科老师布置了作业，同一时刻3名学生都在做作业，则这3名学生做作业的可能情况有 种．
【答案】64
【分析】
根据分步乘法，每个学生做作业的情况都是4，相乘即可.
【详解】
因为4科老师布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有4种可能，
所以3名学生都做作业的可能情况种．
故答案为:64.
【变式1】某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
【答案】C
【分析】应用分步乘法求小明选择方案的方法数.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①小明必选化学，则须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；
②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．
由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有（种）．
【变式2】已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）
A．64种 B．81种 C．7种 D．12种
【答案】A
【分析】由分步计数原理计算．
【详解】3位居民依次选择检测点，方法数为．
．
【变式3】体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）
A．14种 B．7种 C．24种 D．49种
【答案】A
【分析】根据乘法原理即可得出．
【详解】解： 学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步乘法计数原理，该学生的进出门方案有种．
故选:D.
【变式4】在2024年某市运动会选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
【答案】 2 880
【解析】第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．所以安排方式有4×3×224种．
第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1120种．
所以安排这8人的方式有24×1202 880种．
题型03 两个原理的综合应用
【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．
【答案】24
【分析】首先分情况，先确定两个顶点，再确定其他顶点，即可求解.
【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，
若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有（个），
若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有（个），
所以梯形的个数是（个）．
故答案为：24
【变式1】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解.
【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择，
而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论:
①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况，
与百位数一样，只有一种选择，
与个位数一样，也只有一种选择;
②当个位数为2时，
如果百位数为2，则十位数有6种选择，
如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择:
当个位数为4时，
如果百位数为4，则十位数有6种选择，
如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择
综上所述，.
.
【变式2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上严格增函数的有序数对的个数是
【答案】24
【分析】满足各个函数在上严格增函数的参数的取值均为，由于且互不相等，可分情况进行分类讨论，再利用分类加法计数原理计算可得结果.
【详解】由题意可知，满足指数函数且，
对数函数且的取值只有4个，分别为；
而使它们在上严格增函数的取值都只有两个，分别是；
而满足幂函数的的取值有6个（全部），
使得幂函数在上是严格增函数的取值有4个，即；
由于且互不相等，有三种情况：
第一种：指数函数，对数函数在上是严格增函数，
而幂函数不满足，共有种；
第二种：指数函数，幂函数在上是严格增函数，
而对数函数不满足，共有种；
第三种：对数函数，幂函数在上是严格增函数，
而指数函数不满足，共有种；
第四种：三个函数在上都是严格增函数，共有种；
利用分类加法计数原理可得共有种；
故答案为：24
【变式3】某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人．
①选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法？
②每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法？
③推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有多少种不同的选法？
【解析】①若从高一学生中选，则有10种不同的选法；
若从高二学生中选，则有8种不同的选法；
若从高三学生中选，则有7种不同的选法；
所以由分类加法计数原理知，共有10＋8＋725种不同的选法．
②三个年级分别有10种，8种，7种不同选法，
由分步乘法计数原理知，共有10×8×75800种不同选法．
③选法可分三类：一类是1人选自高一，1人选自高二，有10×880种选法；
第二类是1人选自高一，1人选自高三，有10×770种选法；
第三类是1人选自高二，1人选自高三，有8×7580种选法，
所以共有80＋70＋580206种不同选法．
题型04 排列及排列数公式
【典例4】（24-25高三·上海·课堂例题）计算的值是（ ）
A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2
【答案】D
【分析】根据排列数的公式即可求解.
【详解】
【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件利用排列数公式的意义即可得解.
【详解】因且，表示80个连续正整数的乘积，
其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为，
所以.
【变式2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知，那么n（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据排列数的计算求解即可.
【详解】∵，
∴，
∴或（舍去）.
.
【变式3】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用排列数公式化简并求解不等式.
【详解】不等式中，，化为，
整理得，解得，因此，
所以不等式的解集是.
【变式4】已知，则x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
【答案】A
【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x的范围，即可得答案.
【详解】由题意得，
化简可得，解得或6，
因为，所以且，故.
.
题型05 组合及组合数公式
【典例5】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）下列数中，与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用排列数和组合数公式计算即可.
【详解】
对于A，；
对于B,
对于C, ，
对于D，，
【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）（ ）
A．315 B．330 C．345 D．380
【答案】A
【分析】根据组合数的性质即可求解.
【详解】．
【变式2】（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由组合数的性质可得，故B正确；
对于C，因为，，
又，所以，故C错误；
对于D，，，故D正确.
BD.
【变式3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则的值为
【答案】69
【分析】根据组合数的性质及参数范围得出参数m，再计算组合数即可.
【详解】因为，所以或，解得或,
因为，所以,可得,
所以.
故答案为：69.
【变式4】（24-25高三上·河北承德·开学考试）若，则 .
【答案】
【分析】根据题意，结合组合数的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由组合数的计算公式，可得，解得.
故答案为：.
【变式5】（24-25高二上·全国·课后作业）若，则 .
【答案】3
【分析】利用排列数与组合数的公式即可得解.
【详解】因为，
所以，
则，即，解得或（舍去），
所以.
故答案为：3.
题型06 涂色问题
【典例6】（23-24高二下·江西赣州·期中）提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 种.
【答案】6120
【分析】根据和、和同色或者不同色分类，每一种情况中用分步乘法计数原理，最后利用分类加法计数原理得到涂色方法的数量.
【详解】假定涂色顺序为
若、涂相同颜色，则有种涂法；
若、涂不同颜色，、涂相同颜色，则有种涂法；
若、涂不同颜色，、涂不同颜色，则有种涂法；
故由分类加法计数原理得不同的涂色方法共有种.
故答案为：6120.
【变式1】（23-24高三下·重庆·开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
【答案】A
【分析】
利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．
【详解】
先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择，
① 当,颜色相同时涂色方法数是：，
② 当,颜色不相同时涂色方法数是：，
满足题意的涂色方法总数是：．
．
【变式2】（2024·重庆·模拟预测）重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式．
【答案】
【分析】根据题意，得到这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，利用穷举法，结合排列数公式，即可求解.
【详解】根据题意，用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，
则这4中颜色全部都用上，其中必有两个不相邻的地区涂同一中颜色，
共有：{“四川和湖南”且“贵州和湖北”}、{“四川和湖南”且“贵州和陕西”}、{“四川和湖北”且“贵州和陕西”、{“四川和湖北”且“湖南和陕西”、{“贵州和湖北”且“湖南和陕西”，共有5种情况，
所以不同的涂色共有种.
故答案为：.
【变式3】（2024高二下·全国·专题练习）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（，）等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图（1），圆环分成3等份，分别为，，，则有 种不同的种植方法；
（2）如图（2），圆环分成4等份，分别为，，，，则有 种不同的种植方法．
【答案】 6 18
【分析】第一空：直接由分步乘法计数原理即可得解，第二空：分，是否同色讨论，结合分类加法计数原理以及分步乘法计数原理即可得解.
【详解】（1）先种植部分，有3种不同的种植方法，再种植，部分．
因为，与的颜色不同，，的颜色也不同，
所以由分步乘法计数原理得，不同的种植方法有（种）．
（2）当，不同色时，有种种植方法，
当，同色时，有种种植方法，
由分类加法计数原理得，共有种种植方法．
故答案为：6；18.
题型07 数字排列问题
【典例7】（23-24高三上·上海虹口·期中）在由数字1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，小于70000的奇数有 个．
【答案】
【分析】小于70000的奇数万位只能是1，2，3，4，分万位为和，分别求出其方法总数，由分类加法计数原理求解即可.
【详解】小于70000的奇数万位只能是1，2，3，4，个位只能为1，3，5，
①万位为或，则万位有种方法，个位有种方法，
其余各位为种方法，则种方法；
②万位为或，则万位有种方法，个位有种方法，
其余各位为种方法，则种方法；
共有：种方法.
故答案为：.
【变式1】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2 024是“八合数”)，则“八合数”共有（ ）个.
A．35 B．580 C．120 D．165
【答案】D
【分析】分含有三个0，两个0，一个0和不含0四种情况分类讨论，求出每种情况下的个数相加得到答案.
【详解】含有三个0时，只能为，即1种选择；
含有两个0时，另外两个数为或或或，
当另外两个数为时，从百位，十位，个位选择两个位置放0，
和剩余的两个位置进行全排列，故有种选择，
当另外两个数为或时，同理可得有种选择，
当另外两个数为时，从百位，十位，个位选择两个位置放0，
剩余的两个位置放4，故有种选择，
故含有两个0时，共有种选择，
含一个0，其他三个数可以为或或或或，
当三个数为时，先从百位，十位，个位选择一个位置放0，
再从剩余的三个位置选择一个位置放6，剩余的两个位置放1，故有种选择，
同理当三个数为或时，均有种选择；
当三个数为或时，先从百位，十位，个位选择一个位置放0，
剩余的三个数进行全排列，故有种选择，
所以，当四个数中有一个0时，共有种选择，
当不含0时，四个数可以为或或或或，
当四个数分别为，从四个位置选择1个放5，其他三个位置放1，故有种，
当四个数分别为，从四个位置选择2个放，且有顺序，其他两个位置放1，故有种，
当四个数分别为时，同理可得有种，
当四个数分别为时，从四个位置选择2个放，且无顺序，其他两个位置放3，故有种，
当四个数为时，只有1种选择，
故不含0时，共有种选择，
综上，共有个“八合数”.
【变式2】（多选）用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】根据最高位不能为，利用间接法、分步、分类法计算可得.
【详解】用到这个数字组成没有重复数字的三位数，
若不考虑最高位是否为，则有个，又最高位不能为，故当最高位为时有个，
故可以组成没有重复数字的三位数的个，故C正确；
首先排最高位，有种，再排十位、个位，有种，故共有个没有重复数字的三位数，故B正确；
若选到的数字没有，则有个，若选到的数字有，先排，有种方法，
再从其余个数字选个排到其余位置，故有个，
综上可得共有个没有重复数字的三位数，故C正确；
BC
【变式3】已知0，1，2，3，4，5，6共7个数字．
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数？（结果用数字作答）
【答案】(1)720
(2)420
(3)220
【分析】（1）分两步，先排最高位，其余的3个位置没有限制任意排；
（2）分末尾是0，和末尾是2，4，6排列；
（3）分末尾是0和5排列.
【详解】（1）解：先排最高位有6种方法，其余的3个位置没有限制，任意排，有种方法．
根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数为；
（2）末尾是0，则有120个；末尾不是0，则末尾是2，4，6，有个，
共有120+300420个．
（3）5的倍数末尾是0，则有120个；末尾是5，有个．
共有120+100220．
题型08 相邻问题
【典例8】（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲 乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种 B．120种 C．192种 D．240种
【答案】D
【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解.
【详解】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，
故不同的排法有种.
.
【变式1】（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用捆绑法求出甲、乙、丙3人站在一起的方法数，除以10的全排列数可得．
【详解】由捆绑法可得，甲、乙、丙站在一起的概率为.
．
【变式2】（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【分析】利用捆绑法可求得结果.
【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑，
则相同科目的书相邻的排法种数为种.
.
【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．192 B．240 C．380 D．720
【答案】A
【分析】根据题意和首位非零的要求，将六位数分成三类，在每一类中，再运用相邻元素捆绑法求出方法数，最后根据分类加法计数原理即可求得.
【详解】依题意，可将这样的六位数分成三类：
第一类，首位是1，则第二位必须是4，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；
第二类，首位是4，则第二位必须是1，其余四个数位可将另外四个数字全排即可，有种方法；
第三类，首位从中人去一个，有种，再将看成一个元素，与另外三个数字在四个位置上全排有种，
再考虑的顺序，有种，故由分步乘法计数原理，有种方法.
由分类加法计数原理可知，这样的六位数共有个.
.
【变式4】某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．120种 B．1580种 C．188种 D．240种
【答案】A
【分析】对甲的位置分三种情况讨论，依次分析丙丁的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．
【详解】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：
①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个，
考虑两者顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列,安排在其他三个位置，
有种安排方法，则此时有种编排方法；
②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个，
考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列，
安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；
③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则丙丁相邻的位置有个，
考虑两者的顺序，有种情况，将剩下的个节目全排列，
安排在其他三个位置，有种安排方法，则此时有种编排方法；
则符合题意要求的编排方法有种；
.
题型09 不相邻问题
【典例9】（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ）
A．120种 B．24种 C．36种 D．12种
【答案】A
【分析】先排红色棋子，再将黑色棋子插空，求出答案.
【详解】先将3个红色的“将”“车”“马”棋子进行全排列，有种选择，
3个红色棋子中间有2个空，将2个黑色的“将”“车”棋子进行插空，有种选择，
则同色棋子不相邻的排列方式有种.
【变式1】四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．96种 D．72种
【答案】C
【分析】利用插空法和捆绑法求解即可.
【详解】第一步：先对2名女生进行排队，有种排法；
第二步：将除甲和乙之外的人进行排队，有种排法；
第三步：甲、乙采用插空的方式，有种排法．所以共有种．
.
【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5780 B．58080 C．58042 D．5472
【答案】A
【分析】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得.
【详解】四书、五经必须分别排在一起，共有种，
若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种，
则共有种．
.
【变式3】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【答案】C
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】由题意知可将当成一个整体来计算，和总计有种排法，
再根据插空法可得总排法有.
【变式4】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答）
【答案】144
【分析】先将甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法，再利用分步计数原理和不相邻问题插空法，即可求出结果.
【详解】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法，
在三位运动员形成的4个空隙中选3个，插入3个吉祥物，共有种排法.
故答案为：144．
题型10 元素（位置）有限制的排列问题
【典例11】中国古代 的五经指《诗经》 《尚书》 《礼记》 《周易》 《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本书作为课外兴趣研读，且5名同学选取的书均不相同．若甲选《诗经》，乙不选《春秋》，则这5名同学所有可能的选择方法有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．54种
【答案】A
【分析】若甲选《诗经》，乙不选《春秋》，余下的三人中的一人选《春秋》，还有三人全排列即可.
【详解】由题知，余下的三人中的一人选《春秋》，还有三人全排列即可.
即.
【变式1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
【答案】D
【分析】根据元素分析法即可解出．
【详解】因为节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，
所以该台晚会节目演出顺序的编排方案共有．
．
【变式2】4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（ ）
A．14种 B．16种 C．10种 D．13种
【答案】A
【分析】分两类：甲在排尾，另一种甲不在排头也不在排尾，然后利用分类加法原理求解即可.
【详解】根据题意分两类：
第一类：甲在排尾，其它3人全排列，有，
第二类：甲不在排头也不在排尾，则甲排在中间两个位置中的一个，然后从剩余的除乙外的2人中选一人排在排尾，最后剩下的2人排在剩余的2个位置，则有种，
所以由分类加法原理可得共有种，
.
【变式3】甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（ ）
A．30种 B．54种 C．84种 D．120种
【答案】C
【分析】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人即可
【详解】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人，则所有排列的情况有
题型11 定序问题
【典例4】（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种.
【答案】80
【分析】定序问题采用倍缩法进行求解即可.
【详解】甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，共有种排法，
其中甲在乙的左边和乙在甲的左边一样多，
所以甲在乙的左边的不同的站队方式共有.
故答案为：.
【变式1】（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，则在的前面的排法种数是 种．（用数字作答）
【答案】380
【分析】首先将个人全排列，固定顺序问题，再除以两人的全排列.
【详解】依题意在的前面的排法有种．
故答案为：
【变式2】（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答）
【答案】40
【分析】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有，再排甲、乙、丙，由分步计数乘法原理可得结果.
【详解】先排除甲、乙、丙三个节目剩余的2个节目有,
因甲、乙、丙的排序为定序，只有2种排法，
则根据分步计数乘法原理满足条件的出场顺序共有种，
故答案为：40.
【变式3】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）4名男生和3名女生站成一排.
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】(1)2880
(2)980
(3)840
【分析】（1）根据题意先排甲，然后剩余的进行全排列即可；
（2）利用捆绑法，将女生甲和女生乙捆绑在一起，与除去男生甲和男生乙的其他人进行全排列，然后男生甲和乙插空即可；
（3）7个全排列后，除以甲、乙、丙的全排列数即可.
【详解】（1）分两步，先排甲有种，其余有种，
所以根据分步乘法原理知共有种排法.
（2）分三步：
① 捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起，有（种）；
②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（种）；
③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空（共有5个空位置），有（种），
所以根据分步乘法原理可知共有（种）.
（3）7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法
【变式4】（23-24高二下·河北唐山·期中）某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名.
(1)将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？
(2)从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？
【答案】(1)120
(2)14
【分析】（1）先将6人进行全排，再除以可得答案；
（2）利用间接法，即可求解.
【详解】（1）男生3名，女生3名站成一排，共有种，又因为3名男生从左到右的顺序一定，
所以不同的排法种数为种；
（2）从6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有种.
题型12 分组分配问题
【典例13】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
【答案】C
【分析】按照A场地安排人数分类讨论，结合分类加法原理，利用排列组合知识求解即可.
【详解】按照A场地安排人数，可以分以下两类：
第一类，A场地安排1人，共种安排方法，
第二类，A场地安排2人，共种安排方法，
由分类加法计数原理得，共有（种）不同安排方法.
【变式1】（22-23高三下·河北·阶段练习）6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．65 B．15800 C．2640 D．45800
【答案】C
【分析】先将6名大学生分四组，再将四组对应到四个学校，计算可得最后方案种数.
【详解】分两种情况：
把6名大学生分为3，1，1，1四组，有种分法，再将4组对应四个学校，
有种情况，由分步乘法计数原理得，共有种安排方法；
把6名大学生分为2，2，1，1四组，有种分法，再将4组对应四个学校，
有种情况，由分步乘法计数原理得，共有种安排方法；
综上，不同的分配方案共有种.
.
【变式2】（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲 乙 丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（ ）
A．540 B．720 C．1080 D．1170
【答案】A
【分析】根据排列组合知识结合分组问题求解即可.
【详解】因为甲没有选景点，所以甲有种选法，
其余5名学生可以选3个景点或4个景点.
当其余5名学生选3个景点时，有种选法；
当其余5名学生选4个景点时，有种选法.
故共有种不同的选法.
.
【变式3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神，搭建中学与高校交流的平台，拓展学生视野，今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动，学生可自愿报名.其中有4名教师和6名学生报名，将报名的教师和学生分成2个组，分别安排到两所高校，要求每个组由2名老师和3名同学组成，则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由分组分配法计算事件个数，再由古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】将4名教师和6名学生分成2个组，再将两组分别安排到两所高校共有：
种分配方式；
甲和乙不去同一所高校共有：种方法，
所以，学生甲和乙不去同一所高校的概率为：.
【变式4】（多选）（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲 乙 丙 丁 戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同安排方案的种数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
【答案】CD
【分析】根据分步计数原理可判断A；先分组，然后再分配可判断BCD.
【详解】对A，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则不同安排方案的种数为，故A错误；
对B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，
则不同安排方案的种数为，故B正确；
对C，先将5人分为3组，有种分组方法，
将分好的三组安排翻译 导游 礼仪三项工作，有种情况，
则不同安排方案的种数是，故C错误；
对D，第一类，先从乙，丙，丁，戊中选出1人从事司机工作，再将剩下的4人分成三组，
安排翻译 导游 礼仪三项工作，则不同安排方案的种数为；
第二类，先从乙，丙，丁，戊中选出2人从事司机工作，
再将剩下的3人安排翻译、导游、礼仪三项工作，
则不同安排方案的种数为.所以不同安排方案的种数是，故D正确.
D.
题型13 隔板法的应用
【典例14】（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
【答案】A
【分析】将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，利用隔板法即可得解.
【详解】依题意，可知为非负整数，
因为，
所以，
从而将问题转化为：将排成一列的13个完全相同的小球分成部分，每部分至少一个球，
一共有12个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有种.
【变式1】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．80 B．36 C．30 D．12
【答案】A
【分析】分析可知原题意相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，再对应到具体三个人，利用隔板法分析求解.
【详解】先将卡片分为符合条件的三份，
由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张，
若分得的卡片超过一张，则必须是连号，
相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开，在五个空位插上两个隔板，共种情况，
再对应到三个人有种情况，则共有种法.
．
【变式2】（22-23高二下·北京·期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ．
【答案】
【分析】在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，结合隔板法可得出结果.
【详解】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，
所以，不同的分法种数为种.
故答案为：.
【变式3】（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放入三个盒子，结合分步计数原理可得结果；
（2）确定每个小球的放法种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果；
（4）问题等价于在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，利用隔板法可求得结果.
【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种.
【变式4】将10个优秀指标分配给3个班级：
(1)每班至少一个，则共有多少种分配方法？
(2)任意分配共有多少种分配方法？
(3)若班级为一、二、三班，名额数不少于班级数，则共有多少种分配方法？
【答案】(1)36
(2)66
(3)15
【详解】由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子的模型，可采用“隔板法”．
（1）插隔板，即9个空格中插入2个隔板，共有种分配方法．
（2）排隔板，即10个指标和2个隔板．从12个位置中选2个放隔板，共有种分配方法．
（3）先给一班0个优秀名额，二班1个优秀名额，三班2个优秀名额，再对剩下的7个优秀名额用插隔板法，共有种分配方法．
总之，凡是处理“相同元素有序分组”模型时，我们都可采用“隔板法”．若每组元素数目至少一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目可为0个时，可用排“隔板”．
一、单选题
1．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）（ ）
A．24 B．80 C．48 D．72
【答案】A
【分析】根据组合数以及排列数的计算即可求解.
【详解】,
2．（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．80种
【答案】D
【分析】结合捆绑法与全排列，并消除和的顺序即可求解.
【详解】站在一起有种，
将看成一个整体与进行全排列，共有种，
同时要求在的左边，共有种．
故选：.
3．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）从甲、乙等名志愿者中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用组合计数问题，结合古典概率的意义计算即得.
【详解】依题意，试验的基本事件总数为种，它们等可能，
甲、乙都入选的事件含有的基本事件数为，
所以甲、乙都入选的概率.
4．（21-22高二下·江苏淮安·阶段练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，结合隔板法可得结果.
【详解】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，
由隔板法可知，不同的分配方案种数为.
.
5．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ）
A．44 B．46 C．48 D．54
【答案】C
【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3种情况，分类讨论结合组合数分析求解；解法二：利用间接法，根据题意先排甲不排首尾，再排除不符合题意的情况，结合组合数分析求解.
【详解】解法一：多重限制的排列问题：
甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数，
甲的排位有可能是第二、三、四3种情况：
①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有种排法，则有；
②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有种排法，则有；
③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有种排法，则有；
综上，该5名同学可能的名次排情况种数为种.
解法二：间接法：
甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有种排法，共有种不同的情况；
但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法，故共有种不同的情况；
从而该5名同学可能的名次排情况种数为种.
.
6．（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（ ）
A．980种 B．836种
C．816种 D．720种
【答案】A
【分析】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序.
【详解】先捆绑再和排列，然后插入
共有种排法．
.
7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对、号无人机颜色与至号的无人机颜色是否相同进行分类讨论，再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.
【详解】根据题意可知，至号的无人机颜色有4种选择；
当、号无人机颜色与至号的无人机颜色相同时，号无人机颜色有3种选择；
当、号无人机颜色与至号的无人机颜色不同时，、号无人机颜色有3种选择，号无人机颜色有2种选择；
再由分类加法和分步乘法计数原理计算可得共有种.
8．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ）
A．80种 B．54种 C．48种 D．36种
【答案】C
【分析】分选派2名快递员和选派3名快递员两种情况讨论.
【详解】第一：选派2名快递员的时候：
首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种，
所以不同安排方案有：种；
第二：选派3名快递员的时候：
先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法，
所以不同安排方案有：种.
综上，不同安排方案有：种.
二、多选题
9．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成300个不重复的四位数
B．可组成1580个不重复的四位偶数
C．可组成120个能被5整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301
【答案】ABD
【分析】应用分类分步原理，结合分组讨论的方法研究不同选项中的计算问题：A中6个数中选4个全排列再排除首位为0的情况或首位在1、2、3、4、5任选一个数再从剩余数中选3个数全排；B中分末位为0，为2、4两种情况分别计数再求和；B中分末位为0，为5两种情况分别计数再求和；D中分首位为1、2、依次计数，找到第85个数字的位置再确定数字即可.
【详解】A选项，有个，故A正确；
B选项，分为两类：在末位，则有种；
不在末位，则有种，
所以共有种，故B正确；
C选项，分为两类：在末位，则有种；
5在末位，则有种，
所以共有种，故C错误；
D选项，首位为的有个；前两位为的有个；前两位为的有个，
所以第个数字是前两位为的最小数，即为，故D正确；
BD.
10．（24-25高二下·全国·课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，则（ ）
A．若要求4个音乐节目排在一起，则有种不同的排法
B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法
C．若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法
D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法
【答案】CC
【分析】对于排列问题，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，定序问题倍缩法，逐项分析判断即可.
【详解】对A：先将4个音乐节目全排列，有种排法；
再把音乐节目捆绑和舞蹈、曲艺看作6个节目，进行全排列，有种排法，
所以共有种排法，A错误；
对B：先从9个位置中选7个位置排好音乐和舞蹈节目，有种排法；
再排曲艺节目，只有一种排法，所以共有种排法，B正确；
对C：先排音乐和曲艺节目，有种排法；
再把3个舞蹈节目排在空位中，有种排法，所以共有种排法，C正确；
对D：先把它们各自排列并捆绑，各自有种排法，
再把它们看做三个元素进行全排列，有种排法，所以共有种排法，D错误．
C
11．（22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为20
B．恰有2人选一个地方的方法总数为80
C．恰有1人选泰山的概率是
D．已知小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
【答案】CCD
【分析】由排列及排列数的计算即可判断A；由分步计数乘法原理及组合即可判断B；由古典概型概率公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D．
【详解】对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，故A错误；
对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，故B正确；
对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，所有的方法数为，所以恰有1人选泰山的概率是，故C正确；
对于D，父母都不选择去泰山的概率为，所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，故D正确；
CD．
三、填空题
12．（22-23高二下·安徽阜阳·阶段练习）若，则= .
【答案】3
【分析】列出关于x的方程，解之即可求得x的值.
【详解】由，可得，
即，整理得，
解之得或（舍）
故答案为：3
13．（24-25高二下·全国·课后作业）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种．
【答案】30240
【分析】根据定序元素的个数进行计算即所有人的全排列除以定序男生人数的全排列.
【详解】先将10人全排，即为，再将甲、乙、丙、丁、戊五人全排，即为，
故有种排法．
故答案为：30240.
14．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法．
【答案】
【分析】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道．因此只需从条街道里面选择条街道向右走和条街道向上走即可；同理先求出从处出发选择最短路径前往处的种数，再求从处出发选择最短路径前往处的种数，根据分布乘法计数原理求解即可.
【详解】小张从处出发选择最短路径前往处，需要向右走条街道和向上走条街道，共走条街道．
所以从处出发选择最短路径到达处一共有种走法；
同理，从处到达处有种走法，从处到达处有种走法，
所以根据分步乘法计数原理，小张每天早上上班途经街道处的最短路径走法有种．
故答案为：210，90
四、解答题
15．（24-25高二下·全国·课后作业）一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，准备分给甲、乙、丙三人，每人4本，要求甲恰好分配到2本数学书，则不同的分配方法共有多少种？
【答案】11780
【分析】先分别给甲两本数学书和两本非数学书，剩下8本乙和丙平均分即可.
【详解】解：先给甲分配2本数学书，有种方法，再给甲分配2本非数学书，有种方法，最后乙、丙随机分配剩余8本书有种方法，
根据分步乘法计数原理，
则有种方法．
故答案为：11780
16．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案：
(1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上；
(2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻；
(3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加.
【答案】(1)300
(2)240
(3)2180
【分析】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】（1）因为男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上，所以只需再在剩余的5男5女中，选1男2女，排在前3个位置即可，
所以排法种数为：种.
（2）完成这件事可以分两步：
第一步：先选人，有种选法；
第二步：再排列，4人排列，小李和小赵不相邻的排法种数为：.
由分步计数乘法原理得：不同的排法种数为：.
（3）完成这件事的方法可以分两类：
第一类：小钱和小周只有一人参加，方法有：种；
第二类：小钱和小赵都参加，方法有.
由分类加法计数原理得：不同的排法种数为：.
17．（24-25高二下·全国·课后作业）从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数：
(1)有女生但不少于男生；
(2)女生甲不担任物理课代表；
(3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表．
【答案】(1)5400
(2)13440
(3)4620
【分析】（1）分类讨论有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，利用排列组合结合分类计数原理即可求解；
（2）从除女生甲外的其他8人中选取1人担任除物理课代表，再从剩下的8个人中选其余4科课代表，结合排列组合即可求解；
（3）分类讨论男生甲入选和不入选，利用排列组合结合分类计数原理即可求解.
【详解】（1）由女生人数不少于男生可知，有3个女生2个男生或有4个女生1个男生，
①有4个女生的选法有：种；
②有3个女生的选法有：种；
不同的安排方法种数有种．
（2）因为女生甲不担任物理课代表，从除女生甲外的其他8人中选取1人担任除物理课代表，
再从剩下的8个人中选其余4科课代表，所以不同的安排种数有种；
（3）因为女生乙人选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表，
①男生甲入选的选法有：种；
②男生甲不入选的选法有：种；
所以不同的安排方法种数有种．
18．（24-25高二下·全国·课后作业）结合排列组合，解决下列问题．
(1)将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？
(2)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(3)将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(4)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
【答案】(1)
(2)1800
(3)10
(4)8
【分析】（1）根据题意，由分步乘法计数原理代入计算，即可求解；
（2）根据题意，先选后排，结合分步乘法计数原理，代入计算，即可求解；
（3）根据题意，由隔板法代入计算，即可求解；
（4）根据题意，结合分步乘法计数原理与分类加法计数原理，代入计算，即可求解.
【详解】（1）以信的角度去看第一封信有7个选择，第二封信有7个选择，…，所以共有种放法；
（2）先选后排，必然有一个信箱放两封信，则从6封信中选取2个看成一个整体，即种，再将其进行排列，即种排法．故共有种放法；
（3）相同元素隔板法，6封信排成一列，中间有5个空位，选取其中2个插入隔板，故有种放法；
（4）若组的序号相同，则信封此时有两个选择（信箱），从而信封只剩下1种信箱的选择，即共有种放法．
19．（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人；
(2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)名老师之间必要有男女学生各人．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据特殊元素优先安排求解即可.
（2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可.
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可.
【详解】（1）由题意可得共种不同的站法．
（2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法，
最后排剩余的名男学生有种站法，
所以共有种不同的站法．
（3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法，
两老师的站法有种，
再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种，
所以共有种不同的站法．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 排列与组合
课程标准 学习目标
通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理，理解并掌握两个计数原理，并会利用计数原理解决一些简单的问题． 理解排列组合的概念、掌握排列数、组合数公式，并能解决有关的实际问题. 通过对计数原理的学习，掌握两个计数原理的应用，培养数学抽象等核心素养； 理解排列、组合的概念及公式的推导过程，掌握排列、组合在实际问题中的应用.
知识点01 两个计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
【即学即练】（多选）下列命题正确的是( )
A从书架上任取数学书、语文书各1本是分类问题．( )
B分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( )
C分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( )
D从甲地经丙地到乙地是分步问题．( )
知识点02 排列与排列数
1.排列的定义
一般地，从n个不同元素中取出m个元素，并按照一定的顺序排一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2.排列数的定义
从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号表示.=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
（1）排列数公式的阶乘表示
全排列数公式的阶乘表示:=n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.
①规定:1!=1，0!=1，=1.②排列数公式的阶乘表示:.
（2）排列数的性质
①=n;②=m.
辨析： “排列”和“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从n个不同对象中，任取m个对象，按照一定顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);排列数是指“从n个不同的对象中取出m个对象的所有排列的个数”，它是一个数.
【即学即练】
1．（24-25高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30个座位，任选3个安排3位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
2.（24-25高三·上海·课堂例题）由1、2、5、7、9任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（ ）
A．20 B．25 C．30 D．21
知识点03 组合与组合数
组合
一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．
组合数
从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号表示．
（1）排列与组合的区别与联系
①共同点：两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象．
②不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关．
③只有两个组合中的对象完全相同，不论对象的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中对象不完全相同时，才是不同的组合．
（2）组合与组合数的区别
一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是指所有组合的个数，它是一个数．
3．组合数的性质
（1）．
（2）．
点睛：（1）计算时，若m>，通常不直接计算，而是根据性质（1）改为计算．
（2）要注意公式的正用、逆用、变形．尤其是当m，n都是具体自然数时的应用．正用时是“合二为一”，即将化为；逆用则是将组合数拆开；变形则为．
【即学即练3】
1．（23-24高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
2．（23-24高二下·山东临沂·期中）（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
3．（23-24高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，从中取3个球，则不同的取法种数是（ ）
A． B． C． D．
题型01 分类加法计数原理的应用
【典例1】家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有( )
A．240种 B．180种
C．120种 D．90种
【变式1】三角形的三边均为整数，且最长的边为11，则这样的三角形有( )
A．25个 B．26个
C．32个 D．36个
【变式2】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A．18 B．36
C．72 D．48
题型02 分步乘法计数原理的应用
【典例2】有且仅有语文、数学、英语、物理4科老师布置了作业，同一时刻3名学生都在做作业，则这3名学生做作业的可能情况有 种．
【变式1】某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
【变式2】已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）
A．64种 B．81种 C．7种 D．12种
【变式3】体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（ ）
A．14种 B．7种 C．24种 D．49种
【变式4】在2024年某市运动会选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
题型03 两个原理的综合应用
【典例3】（24-25高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为 ．
【变式1】（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高三上·上海·开学考试）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上严格增函数的有序数对的个数是
【变式3】某校数学课外活动小组有高一学生10人，高二学生8人，高三学生7人．
①选其中1人为总负责人，有多少种不同的选法？
②每一年级各选1名组长，有多少种不同的选法？
③推选出其中2人去外校参观学习，要求这2人来自不同年级，有多少种不同的选法？
题型04 排列及排列数公式
【典例4】（24-25高三·上海·课堂例题）计算的值是（ ）
A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2
【变式1】（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知，那么n（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式3】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】已知，则x等于（ ）
A．6 B．13 C．6或13 D．12
题型05 组合及组合数公式
【典例5】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）下列数中，与不相等的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）（ ）
A．315 B．330 C．345 D．380
【变式2】（多选）（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（ ）
A． B．
【变式3】（24-25高三上·重庆·阶段练习）若，则的值为
【变式4】（24-25高三上·河北承德·开学考试）若，则 .
【变式5】（24-25高二上·全国·课后作业）若，则 .
题型06 涂色问题
【典例6】（23-24高二下·江西赣州·期中）提供6种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F六个区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 种.
【变式1】（23-24高三下·重庆·开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120 B．72 C．48 D．24
【变式2】（2024·重庆·模拟预测）重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式．
【变式3】（2024高二下·全国·专题练习）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（，）等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
（1）如图（1），圆环分成3等份，分别为，，，则有 种不同的种植方法；
（2）如图（2），圆环分成4等份，分别为，，，，则有 种不同的种植方法．
题型07 数字排列问题
【典例7】（23-24高三上·上海虹口·期中）在由数字1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中，小于70000的奇数有 个．
【变式1】（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）我们把各位数字之和为8的四位数称为“八合数”(如2 024是“八合数”)，则“八合数”共有（ ）个.
A．35 B．580 C．120 D．165
【变式2】（多选）用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知0，1，2，3，4，5，6共7个数字．
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数？（结果用数字作答）
题型08 相邻问题
【典例8】（24-25高三上·福建泉州·阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲 乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种 B．120种 C．192种 D．240种
【变式1】（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，要求数字1和4相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．192 B．240 C．380 D．720
【变式4】某校毕业典礼由6个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．120种 B．1580种 C．188种 D．240种
题型09 不相邻问题
【典例9】（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ）
A．120种 B．24种 C．36种 D．12种
【变式1】四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A和女生B相邻，则不同排法的种数有（ ）
A．288种 B．144种 C．96种 D．72种
【变式2】（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5780 B．58080 C．58042 D．5472
【变式3】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【变式4】（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答）
题型10 元素（位置）有限制的排列问题
【典例11】中国古代 的五经指《诗经》 《尚书》 《礼记》 《周易》 《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本书作为课外兴趣研读，且5名同学选取的书均不相同．若甲选《诗经》，乙不选《春秋》，则这5名同学所有可能的选择方法有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．54种
【变式1】某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．54种
【变式2】4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（ ）
A．14种 B．16种 C．10种 D．13种
【变式3】甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（ ）
A．30种 B．54种 C．84种 D．120种
题型11 定序问题
【典例4】（23-24高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有 种.
【变式1】（23-24高二下·福建福州·期中），等6人排成一列，则在的前面的排法种数是 种．（用数字作答）
【变式2】（23-24高二下·安徽六安·期中）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这样的出场排序有 种（用数字作答）
【变式3】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）4名男生和3名女生站成一排.
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【变式4】（23-24高二下·河北唐山·期中）某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名.
(1)将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？
(2)从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？
题型12 分组分配问题
【典例13】（24-25高三上·河北邯郸·开学考试）在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（ ）
A．32 B．24 C．18 D．12
【变式1】（22-23高三下·河北·阶段练习）6名大学生分配到4所学校实习，每名大学生只分配到一所学校，每所学校至少分配1名大学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．65 B．15800 C．2640 D．45800
【变式2】（23-24高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲 乙 丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（ ）
A．540 B．720 C．1080 D．1170
【变式3】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神，搭建中学与高校交流的平台，拓展学生视野，今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动，学生可自愿报名.其中有4名教师和6名学生报名，将报名的教师和学生分成2个组，分别安排到两所高校，要求每个组由2名老师和3名同学组成，则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（多选）（24-25高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲 乙 丙 丁 戊这5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同安排方案的种数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1人参加，则不同安排方案的种数为
D．若每项工作至少有1人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
题型13 隔板法的应用
【典例14】（23-24高二下·贵州遵义·期末）方程的非负整数解个数为（ ）．
A．220 B．120 C．84 D．24
【变式1】（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．80 B．36 C．30 D．12
【变式2】（22-23高二下·北京·期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为 ．
【变式3】（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【变式4】将10个优秀指标分配给3个班级：
(1)每班至少一个，则共有多少种分配方法？
(2)任意分配共有多少种分配方法？
(3)若班级为一、二、三班，名额数不少于班级数，则共有多少种分配方法？
一、单选题
1．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）（ ）
A．24 B．80 C．48 D．72
2．（24-25高三上·广东·开学考试）从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．80种
3．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）从甲、乙等名志愿者中随机选名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高二下·江苏淮安·阶段练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ）
A．44 B．46 C．48 D．54
6．（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（ ）
A．980种 B．836种
C．816种 D．720种
7．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，、号无人机颜色必须相同，号无人机与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A． B． C． D．
8．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（ ）
A．80种 B．54种 C．48种 D．36种
二、多选题
9．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成300个不重复的四位数
B．可组成1580个不重复的四位偶数
C．可组成120个能被5整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85个数字为2301
10．（24-25高二下·全国·课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序，第1个节目和最后1个节目已确定，其余9个节目中有4个音乐节目，3个舞蹈节目，2个曲艺节目，则（ ）
A．若要求4个音乐节目排在一起，则有种不同的排法
B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有种不同的排法
C．若要求3个舞蹈节目不能排在一起，则有种不同的排法
D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有种不同的排法
11．（22-23高三下·重庆南岸·阶段练习）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为20
B．恰有2人选一个地方的方法总数为80
C．恰有1人选泰山的概率是
D．已知小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
三、填空题
12．（22-23高二下·安徽阜阳·阶段练习）若，则= .
13．（24-25高二下·全国·课后作业）现有10人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，则共有不同排法 种．
14．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24个全等的小正方形构成，每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家居住在街道网格的M处，她的工作单位在街道网格的N处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，途中要先到达街道P处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法．
四、解答题
15．（24-25高二下·全国·课后作业）一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，准备分给甲、乙、丙三人，每人4本，要求甲恰好分配到2本数学书，则不同的分配方法共有多少种？
16．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6名男选手和5名女选手中随机选出男、女选手各2名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，有如下方案：
(1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上；
(2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻；
(3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加.
17．（24-25高二下·全国·课后作业）从5个男生和4个女生中选出5人去担任英语、数学、物理、化学、生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数：
(1)有女生但不少于男生；
(2)女生甲不担任物理课代表；
(3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表．
18．（24-25高二下·全国·课后作业）结合排列组合，解决下列问题．
(1)将6封不同的信放到7个不同的信箱中，有多少种放法？
(2)将6封不同的信放到5个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(3)将6封相同的信放到3个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(4)将4封标有序号A，B，C，D的信放到四个标有A，B，C，D的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少种放法？
19．（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人；
(2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)名老师之间必要有男女学生各人．
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