第04讲 随机变量的数字特征
课程标准 学习目标
通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 1.理解离散型随机变量的数字特征的意义. 2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
知识点01 离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
【解读】均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
(2)均值的性质
设X的分布列为P（Xxi）pi，i1，2，…，n.
①E（X＋b）E（X）＋b.
②E（aX）aE（X）.
③E（aX＋b）aE（X）＋b.
【即学即练1】 若随机变量X的分布列为
则E(X)等于( )
知识点02 离散型随机变量的方差、标准差
（1）定义①D（X）（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的标准差，记为σ（X）.
②公式：D（X）pi－（E（X））2.
（2）方差的性质
①离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D（X＋b）D（X）.而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即D（aX）a2D（X）.
一般地，可以证明下面的结论不成立：D（aX＋b）a2D（X）.
②随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
【解读】
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，YaX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn1检验．
3．均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)k，D(k)0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)·E(X2)．
【即学即练2】牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________.
知识点03 特殊分布的数字特征
（1）两点分布
若X～B(1，p)，则E(X)p，D(X)p(1－p)；
（2）二项分布
若X～B(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1－p).
（3）超几何分布
若离散型随机变量X服从超几何分布(N，M，n)，则有若X～H(N，M，n)，则E(X).
【即学即练3】某运动员投篮命中率为p0.6，则
①投篮1次时命中次数X的数学期望为______；
②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为______.
题型01 求离散型随机变量的均值
【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式1】（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（ ）
0 2
A． B． C． D．1
【变式2】（23-24高二下·河南开封·期末）一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（ ）
A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．0.095
【变式3】（23-24高二上·全国·课时练习）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（ ）
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
【变式4】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为，则（ ）
A． B． C． D．2
题型02 均值性质的应用
【典例2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下:
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为
1 2 4
0.4 0.3
则等于（ ）
A．5 B．15 C．45 D．与有关
【变式2】（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ）
0 2
A． B．1 C． D．
题型03 离散型随机变量的方差与标准差
【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则 ．
【变式1】已知随机变量X的分布列如下表（其中a为常数）则下列计算结果正确的是（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 a 0.4 0.1
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表所示.
降水量
工期延误天数 0 2 6 10
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的数学期望是 ，工期延误天数的方差为 .
题型04 方差的性质
【典例4】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知随机变量的分布列如下，则 .
【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为
0 1 2
0.1 0.2 0.4
则 .
【变式2】（23-24高二下·新疆·期中）（多选）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）已知随机变量的分布列为．若，则（ ）
A．随机变量的均值为1 B．随机变量的均值为2
C．随机变量的方差为3 D．随机变量的方差为
题型05 两点分布的均值与方差
【典例5】（23-24高二下·内蒙古·期末）若X服从分布，且，则（ ）
A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5
【变式1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
【变式2】3．（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高二下·河南·期中）若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 .
【变式4】（2024高二下·全国·专题练习）若某事件A发生的概率为，则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为 ．
题型06 二项分布的均值与方差
【典例6】2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知随机变量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知随机变量，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
【变式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高二下·山东临沂·期末）随机变量，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23-24高二下·安徽·期末）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
题型07 超几何分布的均值与方差
【典例7】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（ ）
A． B． C．1 D．
【变式1】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】）（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型08 实际问题中的均值问题
【典例8】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了700名高一学生进行在线调查，得到了这700名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这700名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这700名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明）
【变式1】（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲以的比分获胜的概率；
(2)设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望.
【变式2】（23-24高二下·广西贵港·期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
(1)求甲在一年内考试失败的概率；
(2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
【变式3】（23-24高二下·贵州遵义·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表．
回答正确 回答错误
问题中存在语法错误 100 300
问题中没有语法错误 700 100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．
(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；
(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望．
题型09 均值方差在生活决策中的应用
【典例9】（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图所示是根据甲地过去70年的气象记录所绘制的每年的高温天数（若某天气温达到35℃及以上，则称之为高温天）的频率分布直方图.若某年的高温天数达到15天及以上，则称该年为高温年.假设每年是否为高温年相互独立，以这70年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.
(1)求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；
(2)某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店（消费区在户外）的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择.方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少8000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为7000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞.
【变式1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在一次知识竞赛中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
(1)记选手甲正确作答的题目的个数为，乙正确作答的题目个数为，求，概率分布；
(2)结合你所学过的概率知识说明：甲乙两名选手谁更优秀.
【变式2】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；
(2)已知每箱药材的利润如表：
等级 上等药材 中等药材 普通药材
利润（元/箱） 4000 2000 -1200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.
【变式3】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
(1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
(2)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案.
题型10 均值方差中的递推问题
【典例10】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试．
(1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则．
①证明：数列为等比数列；
②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小．
【变式1】（23-24高二下·河北邢台·期中）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓.
(1)求；
(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(3)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为，求的分布列与数学期望.
【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 .
(1)求 与 ；
(2)设 ，求证：数列是等比数列；
(3)求 的数学期望 （用 表示）.
题型11 均值方差中的最值问题
【典例11】（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）假设某同学每次投篮命中的概率均为．
(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立.
(1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率.
(2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值.
【变式2】（2024·广东广州·模拟预测）小张参加某项专业能力考试.该考试有，，三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答，，三类问题的概率分别为，，，且每个问题的回答结果相互独立.
(1)若小张按照在先，次之，最后的顺序回答问题，记为小张的累计答题数目，求的分布列；
(2)小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；
(3)设，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由.
一、单选题
1．（2024高二下·全国·专题练习）某射手射击所得环数的分布列如下:
7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
若成等差数列，则（ ）
A．7.3 B．8.9 C．9 D．9.4
2．（23-24高二下·山东东营·期末）已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取70次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（ ）
A．97 B．98 C．99 D．100
3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）若随机变量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（ ）
A． B．2 C． D．
7．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）设随机变量，若，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
8．（23-24高二下·广东广州·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．五位二进制数与出现的概率相同
二、多选题
9．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）离散型随机变量X的分布列如表所示，则（ ）
X 0 1 2 4
P a
A． B． C． D．
10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）已知随机变量X的分布列为.又X的均值，则 .
13．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，一个质点在随机外力作用下，从原点0出发，每隔1秒等可能的向左或向右移动一个单位，移动次之后的质点位于，则 ．
14．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质。全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则 分钟.
四、解答题
15．（23-24高二下·山东枣庄·期中）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为.
(1)求的分布列；
(2)求的均值和方差.
16．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立．
(1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；
(2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望．
17．（23-24高二下·天津滨海新·期末）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下：
决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；
如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了；
设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望；
(2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率．
18．（23-24高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨
甲 3 4 3
乙 2 5 3
(1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；
(2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；
(3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
19．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第04讲 随机变量的数字特征
课程标准 学习目标
通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差). 1.理解离散型随机变量的数字特征的意义. 2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.
知识点01 离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值的概念
(1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称E(X)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
【解读】均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
(2)均值的性质
设X的分布列为P（Xxi）pi，i1，2，…，n.
①E（X＋b）E（X）＋b.
②E（aX）aE（X）.
③E（aX＋b）aE（X）＋b.
【即学即练1】 若随机变量X的分布列为
则E(X)等于( )
【答案】A
【解析】E(X)=1×0.55+4×0.3+6×0.15=2.65.
知识点02 离散型随机变量的方差、标准差
（1）定义①D（X）（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的标准差，记为σ（X）.
②公式：D（X）pi－（E（X））2.
（2）方差的性质
①离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即D（X＋b）D（X）.而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即D（aX）a2D（X）.
一般地，可以证明下面的结论不成立：D（aX＋b）a2D（X）.
②随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
【解读】
1．随机变量的线性关系
若X是随机变量，YaX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．
2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn1检验．
3．均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)k，D(k)0，其中k为常数．
(2)E(X1＋X2)E(X1)＋E(X2)．
(3)D(X)E(X2)－(E(X))2.
(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)E(X1)·E(X2)．
【即学即练2】牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________.
【答案】0.1965
知识点03 特殊分布的数字特征
（1）两点分布
若X～B(1，p)，则E(X)p，D(X)p(1－p)；
（2）二项分布
若X～B(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1－p).
（3）超几何分布
若离散型随机变量X服从超几何分布(N，M，n)，则有若X～H(N，M，n)，则E(X).
【即学即练3】某运动员投篮命中率为p0.6，则
①投篮1次时命中次数X的数学期望为______；
②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为______.
【答案】0.6 3
【解析】①投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X 0 1
P 0.4 0.6
则E(X)0.6.
②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)np5×0.63.
题型01 求离散型随机变量的均值
【典例1】（23-24高二下·浙江·期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【详解】抽到的女生人数可能为0，1，2，3，
，，
，，
所以．
【变式1】（23-24高二下·天津·期中）随机变量的分布列如下：其中成等差数列，若，则（ ）
0 2
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】根据分布列的性质，以及概率公式，等差数列的性质，即可列式求解.
【详解】由题意可知，，得，
所以.
【变式2】（23-24高二下·河南开封·期末）一批产品中次品率为，随机抽取1件，定义，则（ ）
A．0.05 B．0.5 C．0.95 D．0.095
【答案】A
【分析】由均值的性质即可求解.
【详解】.
.
【变式3】（23-24高二上·全国·课时练习）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（ ）
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
【答案】A
【分析】按步骤写出分布列，再利用均值公式即可.
【详解】依题意得，的可能取值为0，1，2，
，
，
．
可得X的分布列如表所示：
0 1 2
0.3 0.5 0.2
.
．
【变式4】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）盒子中有5个大小和形状均相同的小球，其中白球3个，红球2个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由题意可知的可能取值为0，1，2，然后求出相应的概率，从而可求出期望.
【详解】由题意可知的可能取值为0，1，2，则
，，，
所以.
题型02 均值性质的应用
【典例2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量的分布列如下:
0 1
设，则的数学期望的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据期望公式求出，再根据期望的性质即可得到正确答案.
【详解】，
所以.
.
【变式1】（23-24高二下·山东枣庄·期中）随机变量的概率分布为
1 2 4
0.4 0.3
则等于（ ）
A．5 B．15 C．45 D．与有关
【答案】C
【分析】根据概率分步图求得，再根据期望运算可求得,再根据期望运算法则可求得.
【详解】根据题意知，，
，
，
【变式2】（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意，得到变量的取值分别为，求得相应的概率，得到,再结合，即可求解.
【详解】由题意，随机变量的取值分别为，
可得；
，
所以,可得.
.
【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题意，先计算出，再表示，建立等式，解出即可.
【详解】结合题意：，
因为，所以，解得：，
.
【变式4】（24-25高二下·全国·课后作业）已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（ ）
0 2
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据概率之和等于建立等式求解出，再利用期望的性质及算法建立等式求解，即可求解．
【详解】由题意知，
解得，
因为，所以，即，则，
解得，所以，
．
题型03 离散型随机变量的方差与标准差
【典例3】（24-25高二下·全国·课后作业）如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为，则 ．
【答案】3
【分析】利用概率乘法公式求解概率，即可根据方差的计算公式求解.
【详解】的可能取值为，
所以，
，
，
，
则，
所以．
故答案为：3
【变式1】已知随机变量X的分布列如下表（其中a为常数）则下列计算结果正确的是（ ）
X 0 1 2 3
P 0.2 a 0.4 0.1
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】A.根据分布列由概率之和为1求解判断；B.由求解判断；C.由期望公式求解判断；D.由方差公式求解判断.
【详解】因为，解得，故A错误；
由分布列知，故B错误；
，故C正确；
，故D错误．
．
【变式2】（23-24高二上·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先找出X的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得.
【详解】由题意可知，X的取值可能为，，，
因为，
，
，
所以，
故．
.
【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表所示.
降水量
工期延误天数 0 2 6 10
若历史气象资料表明，该工程施工期间降水量小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数的数学期望是 ，工期延误天数的方差为 .
【答案】 3 9.8
【分析】根据题意可得的可能取值为0，2，6，10，然后求出相应的概率，从而可求出的数学期望和方差.
【详解】由已知条件和概率的加法公式知，，
，
，
.
所以随机变量的分布列为
0 2 6 10
0.3 0.4 0.2 0.1
故；
.
故工期延误天数的方差为9.8.
故答案为：3，9.8.
题型04 方差的性质
【典例4】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知随机变量的分布列如下，则 .
【答案】9
【分析】先根据期望和方差公式求出，再根据方差的性质即可得解.
【详解】，
，
所以.
故答案为：.
【变式1】（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量X的分布列为
0 1 2
0.1 0.2 0.4
则 .
【答案】
【分析】先根据分布列概率和为1得出，再计算分布列的数学期望及方差，最后应用方差性质得出，再计算标准差即可.
【详解】由，得，
所以，
，，
所以.
故答案为：.
【变式2】（23-24高二下·新疆·期中）（多选）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据离散型随机变量的均值、方差的性质即可求解.
【详解】由，得，A正确．
由，得，C正确．
C.
【变式3】（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）已知随机变量的分布列为．若，则（ ）
A．随机变量的均值为1 B．随机变量的均值为2
C．随机变量的方差为3 D．随机变量的方差为
【答案】AD
【分析】根据题意，由随机变量的期望的计算公式即可判断A，再由期望的性质即可B，由随机变量方差的计算公式即可判断C，再由方差的性质即可判断D
【详解】由题可得，，
，，
故，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
D
题型05 两点分布的均值与方差
【典例5】（23-24高二下·内蒙古·期末）若X服从分布，且，则（ ）
A．0.75 B．1.25 C．0．25 D．0.5
【答案】D
【分析】根据分布的概念可知，结合可求，再求期望即可.
【详解】因为X服从分布，所以，因为，
所以，，故．
【变式1】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
【答案】A
【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解.
【详解】因为随机变量服从两点分布，
所以由题，又，
所以.
.
【变式2】3．（23-24高三上·陕西西安·开学考试）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据两点分布的期望和方差公式、二次函数的知识求得正确答案.
【详解】∵，，∴，
∵，，
二次函数在区间上单调递减，
∴，，且.
【变式3】（23-24高二下·河南·期中）若甲同学在某次期中考试中数学成绩班级第一的概率为，记该同学在本次期中考试中数学成绩班级第一发生的次数为离散型随机变量，则 .
【答案】/
【分析】利用两点分布的方差公式计算即可.
【详解】由题意可得服从两点分布，故，
故.
故答案为：
【变式4】（2024高二下·全国·专题练习）若某事件A发生的概率为，则事件A在一次试验中发生的次数X的方差的最大值为 ．
【答案】/0.25
【分析】由两点分布的方程公式得方程关于是二次函数，由此即可得解.
【详解】事件A在一次试验中发生的次数X服从两点分布，
故，，
所以当时，方差取得最大值．
故答案为：.
题型06 二项分布的均值与方差
【典例6】2．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知随机变量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二项分布期望和方差的公式求解即可.
【详解】随机变量，
由得：，解得．
【变式1】（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知随机变量，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．9
【答案】A
【分析】直接由二项分布的方差公式以及方差的性质即可求解.
【详解】因为随机变量，且，则.
.
【变式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求.
【详解】设小明投中次数为，则由题意可知，
则，，
因为投中一次得2分，没投中得0分，所以，
则，.
.
【变式3】（23-24高二下·山东临沂·期末）随机变量，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的期望和方差公式可求，进而根据二项分布的概率公式即可求解.
【详解】因为，所以，
解得，所以.
.
【变式4】（23-24高二下·安徽·期末）已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正态分布的对称性、二项分布的期望公式列式计算即得.
【详解】由，，得，
由，得，因此，解得.
题型07 超几何分布的均值与方差
【典例7】（23-24高二下·河南信阳·期末）2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求.
【详解】依题意，的可能取值有0，1，2.
则，，，
则.
故选:A.
【变式1】（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.
【详解】设男生人数为，且，
，，,
则.
【变式2】）（22-23高二下·江苏连云港·阶段练习）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，求出对应的概率，根据数学期望，方差的公式及性质计算即可．
【详解】根据题意可知，X可能取1，2，3，且服从超几何分布，
故
所以
，
，
．
【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用超几何分布和二项分布知识分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案．
【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为，
则的可能取值是0，1，2，3，
则，
，，
故随机变量的概率分布列为：
0 1 2 3
则数学期望为：，
方差为：；
试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，
则，
故，，
故，．
．
题型08 实际问题中的均值问题
【典例8】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了700名高一学生进行在线调查，得到了这700名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这700名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这700名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，从而可得日平均阅读时间在内的概率；
（2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式计算即可；
（3）由题意得，，则，利用组合数的性质求最大值即可．
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这700名学生中日平均阅读时间在，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴数学期望，.
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.70，
从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，
恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，
，
由组合数的性质可得，且当时递增，故当时最大.
【变式1】（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）2024年世界羽联赛已经开始，同时，也是奥运年，4年一度最精彩赛事即将来临！为了激发同学们的奥运精神，某校组织同学们参加羽毛球比赛，若甲、乙两位同学相约打一场羽毛球比赛，采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
(1)求甲以的比分获胜的概率；
(2)设表示比赛结束时进行的总局数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见详解，
【分析】（1）分析可知甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，结合独立重复性实验的概率公式运算求解；
（2）由题意可知：X可能的取值为3，4，5，进而求分布列和期望.
【详解】（1）因为以的比分获胜，则甲在前3局胜2局输1局，第4局胜利，
所以甲以的比分获胜的概率为：.
（2）由题意可知：X可能的取值为3，4，5，则有：
；；
；
所以的分布列
X 3 4 5
P
的数学期望.
【变式2】（23-24高二下·广西贵港·期末）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
(1)求甲在一年内考试失败的概率；
(2)求甲在一年内参加考试次数的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）由一年内考试失败对应的笔试面试结果，分类讨论考试失败的概率；
（2）由可能的取值，计算相应的概率，写出分布列，由公式计算期望
【详解】（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为．
甲两次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但两次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但两次面试均未通过的概率为
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）由题意得的可能取值为，
所以的分布列为
2 3 4
故．
【变式3】（23-24高二下·贵州遵义·期中）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．该人机交互软件测试阶段，共测试了1000个问题，测试结果如下表．
回答正确 回答错误
问题中存在语法错误 100 300
问题中没有语法错误 700 100
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题．
(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；
(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）由题意可知：且，求解分布列和数学期望
【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由测试结果知，
所以．
记“测试的2个问题都回答正确”为事件，“测试的2个问题中恰有1个存在语法错误”为事件．
则，，
所以．
（2）易知，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故．
题型09 均值方差在生活决策中的应用
【典例9】（23-24高二下·安徽蚌埠·阶段练习）在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图所示是根据甲地过去70年的气象记录所绘制的每年的高温天数（若某天气温达到35℃及以上，则称之为高温天）的频率分布直方图.若某年的高温天数达到15天及以上，则称该年为高温年.假设每年是否为高温年相互独立，以这70年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.
(1)求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；
(2)某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店（消费区在户外）的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择.方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少8000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为7000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞.
【答案】(1)0.0272
(2)该同学应该购买遮阳伞．
【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；
（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞.
【详解】（1）由题意知某年为高温年的概率为：，
设今后4年中高温年出现X年，则，
所以．
所以今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率0.0272；
（2）若选择方案一，设今后4年共损失元，则（元），
若选择方案二，设今后4年共损失元，则（元），
，所以该同学应该购买遮阳伞．
【变式1】（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）在一次知识竞赛中，参赛选手应从8个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这8个题目中，选手甲只能正确作答其中的6个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
(1)记选手甲正确作答的题目的个数为，乙正确作答的题目个数为，求，概率分布；
(2)结合你所学过的概率知识说明：甲乙两名选手谁更优秀.
【答案】(1)分布列见解析
(2)甲选手更优秀
【分析】（1）先求出两个变量的取值及对应的概率，然后根据概率分布的概念列出概率分布.
（2）分别求，的期望和方差，分析甲乙的平均水平和稳定性，可得结论.
【详解】（1）对甲：的值可能为：1，2，3.
且，，.
所以的概率分布为：
1 2 3
对乙：的值可能为：0,1,2,3.
且，，
，.
所以的概率分布为：
0 1 2 3
（2）由（1）得：
，.
所以.
又，
.
因为，所以甲选手的发挥更稳定，所以，甲选手更优秀些.
【变式2】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；
(2)已知每箱药材的利润如表：
等级 上等药材 中等药材 普通药材
利润（元/箱） 4000 2000 -1200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加元，假设你为该农户决策，你觉得目前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)需要增加产量，增加20箱最好.
【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，利用古典概型的概率计算公式求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可；
（2）先求出按原计划生产药材每箱平均利润，进而可得出增加件产品，利润增加量和成本的提高量，进而可得出净利润，再利用导数求出其最大值即可.
【详解】（1）X的可能取值为0，1，2，
，，，
X的分布列如表：
X 0 1 2
P
.
（2）按原计划生产药材每箱平均利润为（元），
则增加箱药材，利润增加为元，成本相应增加元，
所以增加净利润为.
设（或），则，
当时，，
当时，，且，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值，
所以需要增加产量，增加20箱最好.
【变式3】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
(1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
(2)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案.
【答案】(1)
(2)第二种方案
【分析】（1）首先根据频率确定消费金额在和的频率比，从而确定两组的人数，再按照古典概型概率公式，即可求解；
（2）首先确定第一种方案的消费，以及第二种方案的分布列和数学期望，再比较大小，即可选择.
【详解】（1）消费金额在的频率为，在的频率为，
频率之比为，所以按照分层抽样，抽取的6人中消费金额在的有4人，消费金额在的有2人，
所以抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
（2）若选择方案一，则实际消费元，
若选择方案二，若不中奖，则消费元，概率为，
若中奖1次，则消费元，概率为，
若中奖2次，则消费元，概率为，
若中奖3次，则消费元，概率为，
设消费金额为，分布列如下，
期望,
因为，说明第二种方案平均消费少，
所以选择第二种方案.
题型10 均值方差中的递推问题
【典例10】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试．
(1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则．
①证明：数列为等比数列；
②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②答案见解析
【分析】（1）求得第一轮得分的所有可能取值，并计算出对应概率即可求得其分布列和期望值；
（2）①写出的递推关系式，通过数列构造即可证明；
②根据①中的通项公式利用作差法即可比较得出与的大小.
【详解】（1）设该学生的得分为，则所有可能取值为0，2，4．
故的分布列为
0 2 4
则数学期望
（2）①第n次甲踢到建子的概率为，
当时，第次甲踢到建子的概率为，甲未能踢到建子的概率为；
所以，
所以，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
②由①可知，，即；
，
当k为奇数时，为偶数，即；
当k为偶数时，奇数，即；
综上，当k为奇数时，，当k为偶数时.
【变式1】（23-24高二下·河北邢台·期中）“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在2号仓.
(1)求；
(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(3)粒子经过4次随机选择后，记粒子在1号仓出现的次数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据题意分别求出即可；
（2）根据题意得出数列的递推公式，再根据等比数列的定义证明为等比数列即可；
（3）依题意可得的可能取值有，再计算其概率分布列和数学期望即可.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为，粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为，
所以
所以，所以，
又，
所以是公比为的等比数列.
所以.
（3）结合题意易得可取，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
的数学期望
【变式2】（23-24高二下·广东广州·期末）甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 ，恰有1个黑球的概率为 ，恰有2个黑球的概率为 .
(1)求 与 ；
(2)设 ，求证：数列是等比数列；
(3)求 的数学期望 （用 表示）.
【答案】(1)，，，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）结合独立事件乘法公式求，利用全概率公式求；
（2）利用全概率公式求得、与、的关系，从而得到与的关系，证明数列是等比数列；
（3）由（2）得到，再由数学期望的公式得到.
【详解】（1）为“进行1次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，则，
为“进行1次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有1个黑球”的概率，与进行1次操作后甲口袋中黑球的个数有关，则，
为“进行2次操作后甲口袋中恰有2个黑球”的概率，则.
（2）是“重复次操作后，甲口袋中有1个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个、0个3种情况，所以
是“重复次操作后，甲口袋中有2个黑球”的概率，与次操作后甲口袋中黑球的个数有关，
分为有2个、1个2种情况，所以，
所以，
从而数列是以为首项，以为公比的等比数列.
（3）由（2）知，即，，
的取值范围为，所以
题型11 均值方差中的最值问题
【典例11】（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）假设某同学每次投篮命中的概率均为．
(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投个球，若这个球都投进，则训练结束，否则额外再投个．试问为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式计算即得．
（2）该同学投篮的次数为，求出的可能值及对应的概率，求出期望的函数关系，作差结合数列单调性推理即得．
【详解】（1）依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率．
（2）设该同学投篮的次数为，则的可能值为，，
于是，
数学期望，
令，
则，
，
显然数列是递减的，
当时，，，
当时，，，
即有，因此最大，
所以当时，该同学投篮次数的期望值最大．
【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）甲乙两名选手进行象棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直到一方比另一方多2分为止，多得2分的一方赢得比赛，已知每局比赛中，甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，双方平局概率为c，，且每局比赛结果相互独立.
(1)若，求甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率.
(2)若，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，最大值为
【分析】（1）由甲选手恰好在第4局赢得比赛可得各场比赛结果，即可得答案；
（2）由题可得X的值可能为2，4，5，据此可得分布列及，后由基本不等式结合二次函数单调性可得最大值.
【详解】（1）若比赛中甲胜，计比赛结果为甲；比赛中乙胜，计比赛结果为乙；比赛平局，计比赛结果为平.
若4局比赛中没有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：甲乙甲甲，乙甲甲甲.
对应概率为：；
若4局比赛中有平局，则比赛结果按比赛顺序分别为：平平甲甲，平甲平甲，甲平平甲.
对应概率为：.
综上，甲选手恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率为；
（2）因，则比赛结果只有甲乙两种，且.
又比赛最多进行5局，则X的值可能为2，4，5.
时，比赛结果按比赛顺序分别为甲甲，乙乙，
则；
时，比赛结果按比赛顺序分别为甲乙甲甲，乙甲甲甲，乙甲乙乙，甲乙乙乙，
则；
时，说明前4场比赛没有结束比赛，即前4场甲乙打平，
则对应比赛结果按比赛顺序分别为甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，甲乙甲乙甲，
甲乙乙甲乙，乙甲甲乙乙，乙甲乙甲乙，甲乙甲乙乙，
则.
则对应分布列为：
X 2 4 5
则.
注意到，
则，
因为，所以，当且仅当时等号不成立，
因为函数在上单调递增，
所以，
故的最大值为.
【变式2】（2024·广东广州·模拟预测）小张参加某项专业能力考试.该考试有，，三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过.已知小张能正确回答，，三类问题的概率分别为，，，且每个问题的回答结果相互独立.
(1)若小张按照在先，次之，最后的顺序回答问题，记为小张的累计答题数目，求的分布列；
(2)小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；
(3)设，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由.
【答案】(1)答案见解析
(2)不会，理由见解析
(3)应按的顺序答题，理由见解析
【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得分布列.
（2）计算通过的概率，从而作出判断.
（3）计算按的顺序、的顺序、的顺序、的顺序答题时，累计答题数目的均值，从而作出判断.
【详解】（1）按的顺序答题，的可能取值为，
则,，，
所以的分布列为：
（2）小张考试通过的概率不受答题次序的影响，理由如下：
由题意，小张没有通过考试的情况只有三题全部答错，
所以小张考试通过的概率均为
（3）应按的顺序答题，理由如下：
设，，
.
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
由（1）得
.
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
则，
所以
，
则
，
则.
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
同理可得.
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
同理可得.
，
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
同理可得.
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
同理可得.
.
所以累计答题数目的均值最小的，是、、中最小的一个，
，
，
所以，
，
，
所以，
所以最小的是，
所以应按的顺序答题.
一、单选题
1．（2024高二下·全国·专题练习）某射手射击所得环数的分布列如下:
7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
若成等差数列，则（ ）
A．7.3 B．8.9 C．9 D．9.4
【答案】C
【分析】根据随机变量的分布列特征及题设条件列出方程组，求出的值，代入均值公式计算即得.
【详解】由题意可得：，解得，
故.
.
2．（23-24高二下·山东东营·期末）已知一批产品的次品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取70次，假设抽出的产品需要专门检测，检测费用Y元与抽到的次品数X有关，且，则（ ）
A．97 B．98 C．99 D．100
【答案】C
【分析】先由二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质即可求出.
【详解】由题意抽到的次品数X服从二项分布，方差，
而，
所以.
.
3．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件利用期望和方差的性质求解即可.
【详解】因为，
所以，
解得.
4．（23-24高二下·湖北武汉·期末）若随机变量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布求方差公式得到方程，求出，从而得到.
【详解】由题意得，解得，
.
5．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）若是离散型随机变量，，又已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】先得到随机变量的值只能为，根据期望和方差得到方程组，求出方程的解，得到答案.
【详解】，故随机变量的值只能为，
，解得或，
所以.
6．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可．
【详解】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4，
所以，，，，
所以．
.
7．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）设随机变量，若，则的最大值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望得的范围，再根据二项分布方差运算公式结合二次函数的性质求得的最大值.
【详解】随机变量，由，得，解得，
，则当时，取得最大值，
所以的最大值为.
8．（23-24高二下·广东广州·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．五位二进制数与出现的概率相同
【答案】A
【分析】依题意可得，根据二项分布的概率公式及期望、方差公式判断即可.
【详解】由二进制数的特点知，每一个数位上的数字只能为或，且每个数位上的数字互不影响，
故的可能取值有0，1，2，3，4，5，
且的取值表示出现的次数，由二项分布的定义，可得，
故，故A错误；
因为，所以，故B错误；
，故C错误，
五位二进制数与出现的概率均为，故D正确．
．
二、多选题
9．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）离散型随机变量X的分布列如表所示，则（ ）
X 0 1 2 4
P a
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据概率和为1，可求a的值，判断A；由互斥事件的概率加法公式判断B；根据期望，方差的公式进行计算，判断C，D.
【详解】根据题意，，所以，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确.
CD
10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意，利用二项分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由随机变量满足，且，可得，解得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，因为，即，可得，所以B错误；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，可得，所以D正确.
D.
11．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）袋中有6个大小相同的球，其中4个黑球，2个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出3个球的总得分，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】确定，均服从于超几何分布，且，，计算，可判断A，根据判断B，由判断C，根据及超几何分布方差公式判断D正确.
【详解】，均服从于超几何分布，且，，
，，
对选项A：，，正确；
对选项B：，错误；
对选项C：，正确；
对选项D：，正确；
CD.
三、填空题
12．（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）已知随机变量X的分布列为.又X的均值，则 .
【答案】
【分析】根据随机变量概率和为1及数学期望公式计算求参即可.
【详解】因为，所以,
又因为,
所以,
所以.
故答案为：.
13．（23-24高二下·重庆·阶段练习）如图，一个质点在随机外力作用下，从原点0出发，每隔1秒等可能的向左或向右移动一个单位，移动次之后的质点位于，则 ．
【答案】0
【分析】利用二项分布和数学期望的性质求解即可.
【详解】设质点次移动中向右移动的次数为，
由题意可知每次移动向右的概率为，则，
所以，
对应位置，
所以，
故答案为：0
14．（23-24高二下·黑龙江大庆·期末）全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质。全期望公式具有广泛的应用.例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到1点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止.设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次1点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为.参考以上方法完成下列问题：一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠2分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠3分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠5分钟后回到迷宫起点.设小白鼠达到安全区所需的时间为，则 分钟.
【答案】10
【分析】根据全期望公式及离散型随机变量的期望的性质即可求解.
【详解】由全期望公式可知，，解得分钟.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高二下·山东枣庄·期中）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台，如果从中随机挑选2台，设挑选的2台电脑中品牌的台数为.
(1)求的分布列；
(2)求的均值和方差.
【答案】(1)分布列见解析
(2);
【分析】（1）确定随机变量的可能取值，利用超几何分布概率公式求出概率；
（2）利用（1）中的分布列，代入数学期望公式和方差公式计算即得.
【详解】（1）依题意，的可能值有.
则，，.
则的分布列为：
（2）由（1）中的分布列，可得
.
另解：因
则
16．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立．
(1)求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；
(2)此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算即可；
（2）的取值可能是，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可．
【详解】（1）由题可知，A同学连胜2场或连败2场，则其概率．
（2）由题可知，的取值可能是，
由（1）知，，
当时，前2场打平，后两场连胜或连败，
则，
，
所以分布列为：
2 4 6
所以数学期望．
17．（23-24高二下·天津滨海新·期末）某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下：
决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；
如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了；
设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望；
(2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望公式可求得的值；
（2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，分别计算出、的值，利用互斥事件的概率公式可求得的值.
【详解】（1）由题可得，的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以，的分布列为：
所以.
（2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，
“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，
“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，
则，
，
所以.
因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为.
18．（23-24高二下·北京通州·期末）某农产品经销商计划分别在甲、乙两个市场销售某种农产品（两个市场的销售互不影响），为了了解该种农产品的销售情况，现分别调查了该农产品在甲、乙两个市场过去10个销售周期内的销售情况，得下表：
销售量 销售周期个数 市场 3吨 4吨 5吨
甲 3 4 3
乙 2 5 3
(1)从过去10个销售周期中随机抽取一个销售周期，求甲市场销售量为4吨的概率；
(2)以市场销售量的频率代替销售量的概率．设（单位：吨）表示下个销售周期两个市场的总销售量，求随机变量概率分布列；
(3)在（2）的条件下，设该经销商计划在下个销售周期购进吨该产品，在甲、乙两个市场同时销售，已知该产品每售出1吨获利1000元，未售出的产品降价处理，每吨亏损200元．以销售利润的期望作为决策的依据，判断与应选用哪一个．
【答案】(1)0.4；
(2)分布列见解析；
(3)应选.
【分析】（1）利用古典概率求得结果.
（2）求出的可能及各个值对应的概率，列出分布列.
（3）分别求出与时销售利润的期望，再比较大小即得结果.
【详解】（1）设甲市场销售量为4吨的事件为A，则.
（2）设甲市场销售量为吨的概率为，乙市场销售量为吨的概率为，
则由题意得，，；
，，，
设两个市场总需求量为的概率为，所有可能的取值为6，7，8，9，10，
，
，
，
，
，
所以的分布列如下表：
6 7 8 9 10
0.06 0.23 0.35 0.27 0.09
（3）由（2）知，，，
当时，销售利润，当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06
则元；
当时，，，，
销售利润，当时，，
当时，，当时，，
因此的分布列为：
0.06 0.71
则元；
因为，所以应选.
19．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:)
【答案】(1)分布列见解析，
(2)N至少为145
【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；
（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.
【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人，
服从超几何分布，，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望为.
（2）由题意，男性员工有人，女性员工有人，
则，
，
由于，则，
即，
即，
由题意易知，
从而，
化简得，
又，于是.
由于函数在上单调递增，且，
从而在时单调递增，
又，.
因此当时，符合题意，
而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，
则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
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