第四章 概率与统计章末测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
【答案】C
【分析】根据离散型随机变量的定义直接求解.
【详解】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；
一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；
等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；
测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量．
．
2．（23-24高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A． B．7 C．5.61 D．6.61
【答案】C
【分析】根据随机变量的分布列的性质求得，再由期望的公式，求得，最后利用方差的公式，即可求解，得到答案．
【详解】根据随机变量的分布列性质，可得，解得，
又由，解得.
.
3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
【答案】A
【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解.
【详解】因为随机变量服从两点分布，
所以由题，又，
所以.
.
4．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）已知变量和的统计数据如下表：
6 8 10 12
2 3 5 6
根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（ ）
A．7.8 B．6.5 C．9.6 D．8.2
【答案】A
【分析】利用回归直线过样本中心点求解，代入即可.
【详解】根据表格中的数据，
当时，
5．（23-24高二下·浙江·期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解.
【详解】抽到的女生人数可能为0，1，2，3，
，，
，，
所以．
6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合条件概率与独立事件的乘法公式，即可求解．
【详解】质点移动4次，共有种情况，
设质点第一秒位于1的位置为事件为，则，
记质点两次经过质点2为事件，若第一步位于1，则还有3步，想要经过质点2两次，
则有，两种情况，
所以，
则．
．
7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ）
A．甲24000元，乙24000元 B．甲32000元，乙18000元
C．甲40000元，乙8000元 D．甲38000元，乙12000元
【答案】A
【分析】根据甲乙两人最终获胜的概率即可按比例分配.
【详解】乙最终获胜的概率为，甲最终获胜的概率为，
所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理，
所以甲元，乙元，
.
8．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.
【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，
连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.
(1)4次均不下雨，概率为：；
(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：；
(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：
①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；
概率为：；
(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，
概率为：；
(5)4次均下雨，概率为：；
两天都不淋雨的概率为：，
所以至少有一天淋雨的概率为：.
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·黑龙江·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】ABD
【分析】列举出基本事件，再根据互斥事件及相互独立事件的定义判断即可.
【详解】依题意从中有放回地随机取两次球，则可能结果有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，共个结果.
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
事件包含的基本事件有：共个；
事件包含的基本事件有：，，，，，共个；
对于A：显然事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故A正确；
对于B：事件与事件不可能同时发生，所以与互斥，故B正确；
对于C：因为，，，
所以与不独立，故C错误；
对于D：因为，，，
所以与相互独立，故D正确.
BD
10．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（ ）
附：随机变量，则，.
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135%
B．生产线乙的食盐质量
C．曲线的峰值为
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的
【答案】ACD
【分析】根据正态分布的性质结合给定区间上的概率值可判断A；根据随机变量x的概率分布密度函数可判断B，C；根据正态分布的“”原则可判断D.
【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为X，则，
其中，则，A正确；
对于B，随机变量x的概率分布密度函数，有，，因此生产线乙的食盐质量，B错误；
对于C，因为，当且仅当时取等号，
因此当时，，C正确；
对于D，，
说明生产线甲上抽到质量大于食盐的可能性很低，
则随机抽取两包其质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确.
故选:ACD.
11．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数（例如若，则），已知出现“0”的概率为，出现“1”的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布 B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据二项分布的定义可判断A的正误，利用二项分布可判断B的正误，利用公式计算出的期望和方差后可判断CD的正误.
【详解】由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能填0，1且每个数位上的数字互不影响，
故X中1出现次数的可能取值有，则可能取值情况与之相同，
由二项分布的定义可得：，故A正确.
故，故B错误；
所以，，故C正确，D错误．
C．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高二下·四川眉山·期末）以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 ．
【答案】
【分析】利用对数的运算法则，再结合回归方程即可求解.
【详解】因为，
所以，
令，则，
又因为，
所以，，
所以.
故答案为：.
13．（23-24高二下·天津和平·期中）甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和m个白球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X，若，则 ．
【答案】
【分析】根据已知可得，由得；由此可以得到的值.
【详解】甲从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，
记摸得黑球个数为，则，
∵，∴，∴，
∴.
故答案为：.
14．（24-25高二上·湖北十堰·阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是 ．
【答案】
【分析】先根据全概率公式求出，再带入贝叶斯公式计算即可．
【详解】设“从待出厂产品中取出个是次品”为事件A，从待出厂产品中取出个产品是甲、乙、丙车间生产的事件分别为事件，，，
则，，，，，，
由全概率公式得
，
现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高二上·四川眉山·期中）随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：
年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计
是微短剧消费者 30 45
不是微短剧消费者
合计 100 200
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？
(2)记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据：
年份代码x 1 2 3 4 5
市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式：，其中，.
，相关系数..
若，则认为经验回归方程有价值.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)有关联
(2)，该经验回归方程有价值.
【分析】（1）先补全列联表，再计算卡方，根据独立性检验原则即可判断；
（2）通过给出的经验回归方程公式求相关系数，再判断．
【详解】（1）2×2列联表如下：
年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计
是微短剧消费者 30 15 45
不是微短剧消费者 70 85 155
合计 100 100 200
零假设“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”无关联，
因为，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不不成立，即认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05.
（2）由x的取值依次为1，2，3，4，5，得，，
因为经验回归方程为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以该经验回归方程有价值.
16．（24-25高三上·重庆·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表：
性能指标X 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
(1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值．
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
①求这件零件是次品的概率：
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）．
参考数据：若随机变量服从正态分布则，
【答案】(1)80，0.8186
(2)①；②；③4
【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解；
（2）①借助全概率公式计算即可得；②按照条件概率公式计算即可；③借助二项分布期望公式计算即可得．
【详解】（1），
因为，所以，
则
；
（2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件，
“抽取的零件为乙机床生产”记为事件，
“抽取的零件为次品”记为事件，
则，，，，
则；
②；
③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率，
且随机变量，
所以，
所以随机变量Y的数学期望为4.
17．（24-25高二上·北京·期中）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了700张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
识别结果真实性别 可以识别 无法识别
男 女
男 180 15 5
女 20 275 5
该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)现从这700张人脸照片中随机抽取，
①若抽取一张，求识别结果正确的概率；
②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）的概率；
(2)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为70%）.
现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小.（假设用频率估计概率，结论不要求证明）
【答案】(1)①；②；
(2).
【分析】（1）①利用全概率公式求概率；②应用独立乘法、互斥事件加法公式求概率；
（2）分别求出方案一 方案二 方案三进行识别正确的概率，然后比较大小.
【详解】（1）①若表示抽到男性，表示抽到女性，表示识别为男性，表示识别为女性，
由题设，，所以，，
又，，所以，，
所以抽取一张，求识别结果正确的概率；
②由，，所以，，
所以抽取一张男性照片和一张女性照片，至少有一张照片无法被成功识别的概率为.
（2）程序将男生识别正确的频率为，识别为女生的频率为，无法识别的频率为，
程序将女生识别正确的频率为，识别为男生的频率为，无法识别的频率为，
由频率估计概率得
，
，
，
所以.
18．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:)
【答案】(1)分布列见解析，
(2)N至少为145
【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望；
（2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解.
【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人，
服从超几何分布，，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
所以数学期望为.
（2）由题意，男性员工有人，女性员工有人，
则，
，
由于，则，
即，
即，
由题意易知，
从而，
化简得，
又，于是.
由于函数在上单调递增，且，
从而在时单调递增，
又，.
因此当时，符合题意，
而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍，
则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.
19．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了700名高一学生进行在线调查，得到了这700名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这700名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这700名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，从而可得日平均阅读时间在内的概率；
（2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式计算即可；
（3）由题意得，，则，利用组合数的性质求最大值即可．
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这700名学生中日平均阅读时间在，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴数学期望，.
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.70，
从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，
恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，
，
由组合数的性质可得，且当时递增，故当时最大.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第四章 概率与统计章末测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二下·福建福州·期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（ ）
A．某电子元件的寿命
B．高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C．某人早晨在车站等出租车的时间
D．测量某零件的长度产生的测量误差
2．（23-24高二下·安徽安庆·期中）若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A． B．7 C．5.61 D．6.61
3．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（ ）
A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3
4．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）已知变量和的统计数据如下表：
6 8 10 12
2 3 5 6
根据上表可得回归直线方程，据此可以预测当时，（ ）
A．7.8 B．6.5 C．9.6 D．8.2
5．（23-24高二下·浙江·期中）从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，抽到的女生人数的均值为（ ）
A． B． C． D．2
6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ）
A．甲24000元，乙24000元 B．甲32000元，乙18000元
C．甲40000元，乙8000元 D．甲38000元，乙12000元
8．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·黑龙江·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取一个球.事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“第二次取出的球的数字是2”，事件“两次取出的球的数字之和是8”，事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立
10．（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）假设某厂有两条包装食盐的生产线甲、乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：g），生产线乙正常情况下生产出来的包装食盐质量为，随机变量x的概率分布密度函数为，其中，则（ ）
附：随机变量，则，.
A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为0.135%
B．生产线乙的食盐质量
C．曲线的峰值为
D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，该判断是合理的
11．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个十位二进制数（例如若，则），已知出现“0”的概率为，出现“1”的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高二下·四川眉山·期末）以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 ．
13．（23-24高二下·天津和平·期中）甲从装有除颜色外都相同的3个黑球和m个白球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取3次，记摸出黑球的个数为X，若，则 ．
14．（24-25高二上·湖北十堰·阶段练习）假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高二上·四川眉山·期中）随着互联网的高速发展和新媒体形式的不断丰富，微短剧作为一种新兴的文化载体，正逐渐成为拓展文化消费空间的重要途径.某媒体为了了解微短剧消费者的年龄分布，随机调查了200名消费者，得到如下列联表：
年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计
是微短剧消费者 30 45
不是微短剧消费者
合计 100 200
(1)根据小概率值的独立性检验，能否认为“是微短剧消费者”与“年龄不超过40岁”有关联？
(2)记2020~2024年的年份代码x依次为1，2，3，4，5，下表为2020~2023年中国微短剧市场规模及2024年中国微短剧预测的市场规模y（单位：亿元）与x的统计数据：
年份代码x 1 2 3 4 5
市场规模y 9.4 36.8 101.7 373.9 m
根据上表数据求得y关于x的经验回归方程为，求相关系数r，并判断该经验回归方程是否有价值.
参考公式：，其中，.
，相关系数..
若，则认为经验回归方程有价值.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（24-25高三上·重庆·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表：
性能指标X 66 77 80 88 96
产品件数 10 20 48 19 3
(1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值．
(2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件．
①求这件零件是次品的概率：
②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率；
③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）．
参考数据：若随机变量服从正态分布则，
17．（24-25高二上·北京·期中）图像识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了700张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：
识别结果真实性别 可以识别 无法识别
男 女
男 180 15 5
女 20 275 5
该程序对每张照片的识别都是独立的.
(1)现从这700张人脸照片中随机抽取，
①若抽取一张，求识别结果正确的概率；
②若抽取一张男性照片和一张女性照片，求至少有一张照片无法被成功识别（含无法识别或识别错误）的概率；
(2)为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：
方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；
方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；
方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性或女性概率均为70%）.
现从若干张不同人脸照片（其中男性、女性照片数量之比为中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为，，，试比较，，的大小.（假设用频率估计概率，结论不要求证明）
18．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性.
(1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:)
19．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了700名高一学生进行在线调查，得到了这700名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这700名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这700名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明）
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