第四章 概率与统计 章末题型大总结
题型01条件概率、乘法公式及全概率公式
【典例1】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 （23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（ ）
A．摸到黑球 B．摸到红球
C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球
【变式3】 （23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）某厂生产螺口灯泡和卡口灯泡两种灯泡，其中螺口灯泡的产量占70%，螺口灯泡的合格率是95%，卡口灯泡的合格率是85%.现随机取一只灯泡，发现是合格的，这只灯泡是螺口灯泡的概率约为（ ）
A．0.665 B．0.723 C．0.7 D．0.737
题型02相互独立事件的概率、独立重复试验的概率
【典例1】 （24-25高二上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94
【变式2】 （24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】 （24-25高二上·湖北武汉·期中）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）
A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚
C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚
【变式4】（23-24高二下·贵州·期中）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（ ）
A． B． C． D．
题型03随机变量分布列及性质
【典例1】 （23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（ ）
0 2
A． B．
C． D．
【变式1】 （23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）：
0 1 2
0.3
则（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2
【变式2】 （23-24高二下·河北沧州·期末）设随机变量的分布列，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高二下·福建莆田·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下
则（ ）
A． B． C． D．或
题型04随机变量的期望与方差
【典例1】 （24-25高二上·湖南岳阳·期中）不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标有数字，，，，现从中随机取个球．
(1)求取到个标有数字的球的概率；
(2)设为取出的个球上的数字之和，求的分布列和数学期望．
【变式1】 （23-24高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第80百分位数为，随机变量X的分布列为
2 m 14
0.3 0.6 0.1
（ ）
A．5 B．6 C．9.8 D．10.8
【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到.
(1)当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；
(2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X
①设，，求随机变量X的分布列和数学期望；
②求使取得最大值的整数m.
题型05期望与方差的性质
【典例1】 （23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【变式1】 （23-24高二下·新疆·期中）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】 （23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ）
1 2 4
A．1 B． C．11 D．15
【变式3】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（2024高二·全国·专题练习）（多选）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．移动次后质点位于原点的概率最大
题型06两点分布
【典例1】 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【变式1】已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【变式2】 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】随机变量服从两点分布，且，令，则（ ）
A． B． C． D．
题型07二项分布
【典例1】（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】 【变式4】（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式3】 （23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型08超几何分布
【典例1】 （23-24高二下·江苏南通·阶段练习）厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布，其中不低于85的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100件一箱包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件“二等品”的利润是12元．
(1)经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率；
(2)从一箱产品中任取3件，需要贴“一等品”标签的个数为X，求X的分布列；
(3)已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件“一等品”的利润．
【变式1】 （23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】 （23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】 （23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 .
题型09正态分布
【典例1】 （23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：若，则，，．
A． B． C． D．
【变式1】 （23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（ ）
A．2400 B．1200 C．1000 D．800
【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【变式3】 （23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ．
题型10一元线性回归方程
【典例1】 市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：
月份x 1 2 3 4 5 6
净利润y（万元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4
(1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算时精确度为0.01）
(2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率
，.相关系数.
参考数据：，，，，，.
【变式1】 （24-25高二上·河南南阳·阶段练习）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用/万元 4 2 3 5
销售额/万元 49 26 39 54
根据上表可得线性回归方程 中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．9.1万元 B．9.2万元
C．67.7万元 D．65.5万元
【变式2】 （23-24高二下·河北·阶段练习）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2019年至2023年的年销售额如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份编号 1 2 3 4 5
年销售额/万元 30 35 45 80 80
(1)请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2024年该店的年销售额.
(2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满700元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表：
返现金额 70 100
概率
已知一位消费者一次性消费满700元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望.
附：经验回归方程中，.
【变式3】 （23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某品牌电脑专卖店的年销售量与该年广告费用有关，如表收集了4组观测数据：
（万元） 1 4 5 6
（百台） 30 40 80 70
以广告费用为解释变量，销售量为预报变量对这两个变量进行统计分析．
(1)已知这两个变量呈线性相关关系，试建立与之间的回归方程；
(2)假如2017年该专卖店广告费用支出计划为10万元，根据你得到的模型，预测这一年的销售量．
参考公式：，．
题型11非线性回归方程
【典例1】 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据：
1770 0.37 0.55
参考公式：对于一组数据，， ，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（秒/题） 910 800 800 440 300 240 210
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（用分数表示）
(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．
【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（ ）千人.
参考数据：
A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2
【变式2】（23-24高二下·河南南阳·期中）某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.
20 66 770 200 14
480 4.20 3127000 0.308 21700
(1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型.
(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.
附：；样本相关系数；经验回归方程，其中.
【变式3】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
参考数据
17713 714 27 81.3
(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
题型12独立性检验
【典例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数；
(2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望；
(3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.
附：，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【变式1】 （23-24高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表：
A B 总计
认可 15 8 23
不认可 5 12 17
总计 20 20 40
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
附：．
根据表中的数据，下列说法中，正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
【变式2】 （23-24高二下·河北·阶段练习）（多选）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据0.01的独立性检验，下列结论正确的是（ ）
A．若，则变量与不独立
B．若，则变量与独立
C．若，则变量与独立
D．若，则变量与不独立
【变式3】 （23-24高二下·广东中山·期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男市民
女市民
当，时，若在的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值为 ．
附：，其中．
【变式4】（23-24高二下·安徽安庆·期中）随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行长跑训练天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天
人数 30 130 40
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
附：（为样本容量）
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；
(2)根据上表的数据，填写下列：列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？
性别 热烈参与者 非热烈参与者 合计
男 140
女 55
合计
题型13概率统计的综合问题
【典例1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了700名高一学生进行在线调查，得到了这700名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这700名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这700名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明）
【变式1】 （23-24高二下·江西南昌·阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试．
(1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则．
①证明：数列为等比数列；
②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小．
【变式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率；
(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明）
【变式3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示．
(1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值：
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共800名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若，则，，；
【变式4】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
(1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
(2)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第四章 概率与统计 章末题型大总结
题型01条件概率、乘法公式及全概率公式
【典例1】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由全概率公式和条件概率公式计算即得.
【详解】设事件为“患有此病”，为“化验结果呈阳性”，
由题意，，
则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为.
由全概率公式，，
代入数值可得：
解得：
.
【变式1】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，一个质点从原点0出发，每隔一秒随机等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，在质点第一秒位于1的位置的条件下，该质点共经过两次2的位置的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合条件概率与独立事件的乘法公式，即可求解．
【详解】质点移动4次，共有种情况，
设质点第一秒位于1的位置为事件为，则，
记质点两次经过质点2为事件，若第一步位于1，则还有3步，想要经过质点2两次，
则有，两种情况，
所以，
则．
．
【变式2】 （23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（ ）
A．摸到黑球 B．摸到红球
C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球
【答案】C
【分析】对于AB，由全概率公式即可直接计算选项A中摸到黑球的概率和选项B中摸到红球的概率，进而即可判断AB；对于CD，由条件概率定义即可直接得选项C和D相应的概率，进而即可判断CD.
【详解】对于A，由全概率公式得摸到黑球的概率为，故A错误；
对于B，由全概率公式得摸到红球的概率为，故B正确；
对于C，在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球的概率为，故C错误；
对于D，在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球，故D错误.
.
【变式3】 （23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，则，且彼此互斥，然后根据条件依次得到、、、、、的值，然后根据全概率公式公式求解即可.
【详解】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，
记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，
则，且彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
由全概率公式可得
.
.
【变式4】（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）某厂生产螺口灯泡和卡口灯泡两种灯泡，其中螺口灯泡的产量占70%，螺口灯泡的合格率是95%，卡口灯泡的合格率是85%.现随机取一只灯泡，发现是合格的，这只灯泡是螺口灯泡的概率约为（ ）
A．0.665 B．0.723 C．0.7 D．0.737
【答案】C
【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算即得.
【详解】令事件“螺口灯泡”，“卡口灯泡”，“合格的”，
，
则，
因此，
所以随机取一只灯泡，发现是合格的，这只灯泡是螺口灯泡的概率约为0.723.
题型02相互独立事件的概率、独立重复试验的概率
【典例1】 （24-25高二上·四川眉山·阶段练习）某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率.
【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，
连续上两天班，上班、下班的次数共有4次.
(1)4次均不下雨，概率为：；
(2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：；
(3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况：
①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨；
概率为：；
(4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，
概率为：；
(5)4次均下雨，概率为：；
两天都不淋雨的概率为：，
所以至少有一天淋雨的概率为：.
.
【变式1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）投篮测试中，每人投2次，至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.24 B．0.48 C．0.84 D．0.94
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算即得.
【详解】依题意，该同学两次投篮都不中的概率为，
所以该同学通过测试的概率为.
【变式2】 （24-25高二上·湖北鄂州·期中）“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解.
【详解】因为约定连胜两场者赢得比赛，
所以比赛6场后甲赢得比赛的情况为：
第一场甲胜，第二场乙胜，第三场甲胜，第四场乙胜，第五场甲胜，第六场甲胜，
所以所求概率为.
.
【变式3】 （24-25高二上·湖北武汉·期中）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）
A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚
C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚
【答案】A
【分析】根据题意，求得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局即可分出胜负，求得甲获胜的概率，进而得到答案.
【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负，
①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为；
所以甲胜出的概率为，甲应该分得赌金的，即甲分得赌金枚，乙分得赌金枚.
.
【变式4】（23-24高二下·贵州·期中）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，再利用独立事件的概率乘法公式求解．
【详解】设事件表示“小球落入2号容器”，
若要小球落入2号容器，则需要在通过的四层中有三层向左，一层向右，
所以．
．
题型03随机变量分布列及性质
【典例1】 （23-24高二下·广西玉林·期末）随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（ ）
0 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由分布列的性质及数学期望的计算求解即可.
【详解】由分布列的性质可知，，故A正确；
因为Y的期望值为1，所以，所以C错.
若，不满足分布列性质，B错，
由上，有，显然D错.
【变式1】 （23-24高二下·辽宁沈阳·期中）随机变量的分布列如下（为常数）：
0 1 2
0.3
则（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.9 D．1.2
【答案】D
【分析】根据给定分布列求出，再利用互斥事件的概率公式计算即得.
【详解】依题意，，解得，
所以.
【变式2】 （23-24高二下·河北沧州·期末）设随机变量的分布列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列的性质，概率之和为１可求出参数.计算概率之和时用数列的裂项相消求和，进而求出.
【详解】
.
则.
.
【变式3】（23-24高二下·福建莆田·期末）随机变量服从两点分布，其分布列如下
则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据条件，利用分步列的性质建立方程，即可求出结果.
【详解】由题知，，解得或，又，所以，
.
题型04随机变量的期望与方差
【典例1】 （24-25高二上·湖南岳阳·期中）不透明的盒中有四个除所标数字外均相同的球，它们分别标有数字，，，，现从中随机取个球．
(1)求取到个标有数字的球的概率；
(2)设为取出的个球上的数字之和，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据满足要求的情况数除以总的情况数得到结果；
（2）先分析的可取值，然后计算出对应概率，由此可知分布列并可计算出数学期望.
【详解】（1）抽到个标有数字的球的可能情况共有种，从个球中任取个共有种取法，
∴取到个标有数字的球的概率．
（2）的所有可能取值为，，，，
，，，，
所以的分布列为：
∴．
【变式1】 （23-24高二下·青海·期末）已知一组数据1，2，2，5，5，6的第80百分位数为，随机变量X的分布列为
2 m 14
0.3 0.6 0.1
（ ）
A．5 B．6 C．9.8 D．10.8
【答案】A
【分析】先求的值，再求的期望与方差.
【详解】∵，∴，
∴，
∴
【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）高考数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分.若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分；若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分.小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】分别计算出和的分布列，然后逐项进行计算即可求得.
【详解】由题意，，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个，
概率为：；
，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个，
概率为：；
，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个，
概率为：；
，若该题有两个正确选项，则小明从两个错误选项中选择个或选择个错误选项；若该题有个正确选项，则小明从个错误选项中选择个，再从个正确选项中选一个，概率为：；
，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个，
概率为：；
，该题有个正确选项，则小明从个正确选项中选择个，
概率为：；
对于A选项，， A错误；
对于B选项，；
；所以， B正确；
对于C选项，，
，C正确；
对于D选项，，D正确.
CD.
【变式3】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某志愿者社团计划在周一和周二两天各举行一次活动，分别由甲、乙两人负责活动通知，已知该社团共有n位同学，每次活动均需k位同学参加.假设甲和乙分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该社团k位同学，且所发信息都能收到.
(1)当，时，求该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息的概率；
(2)记至少收到一个活动通知信息的同学人数为X
①设，，求随机变量X的分布列和数学期望；
②求使取得最大值的整数m.
【答案】(1)；
(2)①分布列见解析，数学期望为；②答案见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率，结合事件的独立性及组合计数问题列式求解.
（2）①求出的可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；②按和分类求出的表达式，再建立不等式求出对应的整数.
【详解】（1）设事件“该社团只有小明同学同时收到甲、乙两人所发活动通知信息”，
所以.
（2）①的可能取值为2，3，4，
，
所以的分布列为：
2 3 4
数学期望.
②当时，只能取，此时有；
当时，整数满足，其中是和中的较小者，
由甲和乙各自独立、随机地发送活动信息给k位同学，得所包含的基本事件总数为，
当时，同时收到甲乙两人所发信息的学生人数为，
仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为，
由分步乘法原理知，事件所包含的基本事件数为，
，
当时，，
，
因此取得最大值时，满足，
假如不成立，则当能被整除时，在和处达到最大；
当不能被整除时，在处达到最大值（表示不超过的最大整数），
下面证明：
由，得，
，则，显然，
因此.
【点睛】关键点点睛：求使取得最大值的值，关键是求出的表达式，再利用最大概率问题求解.
题型05期望与方差的性质
【典例1】 （23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）设离散型随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
0.1 0.4 0.2 0.2
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】选项A，利用分布列的性质，即可求解；利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项B和C的正误；选项D，利用期望和方差的性质，即可求解.
【详解】对于选项A，因为，解得，所以选项A正确，
又，，
所以选项B错误，选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，所以选项D正确，
.
【变式1】 （23-24高二下·新疆·期中）已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据离散型随机变量的均值、方差的性质即可求解.
【详解】由，得，A正确．
由，得，C正确．
C.
【变式2】 （23-24高二下·新疆·期中）已知随机变量的概率分布如表则（ ）
1 2 4
A．1 B． C．11 D．15
【答案】A
【分析】由概率和为可得，再结合期望的计算公式与期望的性质计算即可得解.
【详解】依题意，，解得，
则，
所以.
【变式3】 （24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（多选）某中学组织了足球射门比赛．规定每名同学有5次射门机会，踢进一球得8分，没踢进得分．小明参加比赛且没有放弃任何一次射门机会，每次踢进的概率为，每次射门相互独立．记X为小明的得分总和，为小明踢进球的次数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】AB选项，由二项分布知识即可判断选项正误；分析可知，由题可得对应概率即可判断C；根据期望的性质分析判断D.
【详解】AB选项，由题可得.
则，，故AB正确；
CD选项，因为，
则，故C错误；
则，故D正确.
BD.
【变式4】（2024高二·全国·专题练习）（多选）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位.设移动次后质点位于位置，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．移动次后质点位于原点的概率最大
【答案】ABD
【分析】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，则，，根据二项分布的相关知识逐一判断即可求解.
【详解】设随机变量表示“移动次后质点向右移动的次数”，则，
由题意知，即.
对于A：，A正确；
对于B：，B正确；
对于C：，C错误；
对于D：的所有可能取值有，
，，
当时，最大，最大，D正确.
BD.
题型06两点分布
【典例1】 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
【答案】A
【分析】根据两点分布得基本性质即可求解.
【详解】由题意可知，当时，即，解得，
又因为随机变量服从两点分布，且，
所以.
.
【变式1】已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【答案】A
【分析】根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解.
【详解】当时，由，
所以.
【变式2】 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点分布得，与条件联立解得结果.
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
又，所以，
所以，所以.
.
【变式3】随机变量服从两点分布，且，令，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点分布的性质求出，则.
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，
所以，
由，所以.
题型07二项分布
【典例1】（23-24高二下·山东泰安·期末）若随机变量X服从二项分布，；随机变量Y服从二项分布，且，则下列结果正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二项分布的期望与方差公式判断AB，根据二项分布求概率可判断CD.
【详解】由，可知，
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
【变式1】 【变式4】（23-24高二下·河南商丘·期末）设随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解.
【详解】由题意知，，解得，
所以.
【变式2】（23-24高二下·吉林白山·期末）已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解.
【详解】由题得，
由题知在中，最大值只有，
即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知.
故选：.
【变式3】 （23-24高二下·北京海淀·期末）小明投篮3次，每次投中的概率为，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意随机变量投中次数服从二项分布，再由变量间的函数关系与二项分布的期望、方差公式可求.
【详解】设小明投中次数为，则由题意可知，
则，，
因为投中一次得2分，没投中得0分，所以，
则，.
.
【变式4】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某市政道路两旁需要进行绿化，计划从甲，乙，丙三种树木中选择一种进行栽种，通过民意调查显示，赞成栽种乙树木的概率为，若从该地市民中随机选取4人进行访谈，则至少有3人建议栽种乙树木的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用二项分布知识求解即可
【详解】赞成栽种乙树木的人数设为X，则.
根据二项分布概率公式知道至少有3人建议栽种乙树木的概率为.
.
题型08超几何分布
【典例1】 （23-24高二下·江苏南通·阶段练习）厂家生产一种产品，产品的质量指标服从正态分布，其中不低于85的为合格品．已知合格率为80%，厂家将合格品按100件一箱包装出厂．某经销商购进一批该产品分等级销售，质量指标高于95的贴“一等品”标签，其余贴“二等品”标签，每件“二等品”的利润是12元．
(1)经销商在购进的产品中任取一件，求该产品是“一等品”的概率；
(2)从一箱产品中任取3件，需要贴“一等品”标签的个数为X，求X的分布列；
(3)已知一箱产品利润的期望是1800元，求每件“一等品”的利润．
【答案】(1)0.2
(2)答案见解析
(3)42元
【分析】（1）由正太分布曲线的对称性即可求解；
（2）的所有可能取值为，由超几何分布的概率公式即可求解；
（3）由二项分布的均值公式即可列方程求解.
【详解】（1）由题意该产品是“一等品”即，而服从正态分布，且，，
所以
；
（2）一箱产品中“一等品”的件数约为，其余80件为“二等品”，
由题意的所有可能取值为，
所以，
，
所以X的分布列为：
0 1 2 3
（3）设每件“一等品”的利润为元，而每件“二等品”的利润是12元，
每箱中“一等品”所占的比例为0.2，
每箱中“一等品”、“二等品”所获利润分别服从二项分布：
，
则，解得，
所以每件“一等品”的利润为42元.
【变式1】 （23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知：随机抽出3道题有2题答对，1题打错，结合组合数运算求解.
【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错，
所以.
.
【变式2】 （23-24高二下·山东青岛·期中）数学老师从6道题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能正确求解其中的4道题，则该同学能及格的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用超几何分布的概率公式计算即可.
【详解】由题意知抽取3道题该同学不及格的情况只有：只对一道题一种情况，
则只答对一道题的概率为，所以该同学及格的概率为.
【变式3】 （23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合超几何分布运算求解即可.
【详解】因为，
所以.
.
【变式4】（23-24高二下·云南保山·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数的数学期望为 .
【答案】
【分析】分析题意，确定的所有可能的值，运用超几何分布的概率公式求得它们的概率，列出分布列表，计算其均值即得.
【详解】由题意可得
则，
，
可得的分布列为：
0 1 2 3
期望.
故答案为：.
题型09正态分布
【典例1】 （23-24高二下·四川德阳·期末）为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：若，则，，．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.
【详解】依题意，
所以测试成绩不小于90的学生所占的百分比为.
.
【变式1】 （23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（ ）
A．2400 B．1200 C．1000 D．800
【答案】C
【分析】利用正态分布的对称性求出即可计算得解.
【详解】依题意，，，
因此，
所以此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为.
【变式2】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知随机变量服从正态分布，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】C
【分析】根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】由于服从正态分布，则，
故.
【变式3】 （23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可.
【详解】由正态分布的对称性知，，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
题型10一元线性回归方程
【典例1】 市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：
月份x 1 2 3 4 5 6
净利润y（万元） 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4
(1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算时精确度为0.01）
(2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率
，.相关系数.
参考数据：，，，，，.
【答案】(1)可以，理由见解析
(2)，3.32万元
【分析】（1）计算出相关数据，利用相关系数公式计算即可；
（2）根据线性回归方程公式计算即可.
【详解】（1）由条件则，
，
.
根据相关系数公式则
.
因此可以用线性回归模型拟合x与y的关系.
（2）根据（1）则变量x，y线性相关，设所求的线性回归方程为.
根据回归方程的回归系数公式则
.
又因为.
从而可得变量x，y线性回归方程为
当时，
因此预测9月份的利润为3.32万元.
【变式1】 （24-25高二上·河南南阳·阶段练习）某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：
广告费用/万元 4 2 3 5
销售额/万元 49 26 39 54
根据上表可得线性回归方程 中的为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为（ ）
A．9.1万元 B．9.2万元
C．67.7万元 D．65.5万元
【答案】A
【分析】线性回归方程一定过样本中心，得到线性回归方程，然后带值求结果.
【详解】，，
∵线性归回方程经过样本中心，
∴，∴，
∴，当时，，
.
【变式2】 （23-24高二下·河北·阶段练习）由于人们健康意识的提升，运动爱好者人群不断扩大，运动相关行业得到快速发展.某运动品牌专卖店从2019年至2023年的年销售额如下表：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份编号 1 2 3 4 5
年销售额/万元 30 35 45 80 80
(1)请根据表中的数据用最小二乘法求与的经验回归方程，并预测2024年该店的年销售额.
(2)该专卖店为了回馈广大消费者，推出了消费抽奖返现活动，规则如下：凡一次性消费满700元可抽奖1次，满1000元可抽奖2次.其中一次抽奖返现金额及概率如下表：
返现金额 70 100
概率
已知一位消费者一次性消费满700元的概率为，满1000元的概率为，求这位消费者抽奖返现金额的分布列与期望.
附：经验回归方程中，.
【答案】(1)，87.5万元.
(2)分布列见解析，
【分析】（1）分别求出，再根据经验回归方程计算，并代入，即可求解；
（2）分别求出概率，并列出分布列，即可求解.
【详解】解：（1）因为，
，
所以，
所以与的经验回归方程为.
当时，，所以预测2024年该店的年销售额为87.5万元.
（2）可以取.
，
所以的分布列为
70 100 170 200
所以.
【变式3】 （23-24高二下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）某品牌电脑专卖店的年销售量与该年广告费用有关，如表收集了4组观测数据：
（万元） 1 4 5 6
（百台） 30 40 80 70
以广告费用为解释变量，销售量为预报变量对这两个变量进行统计分析．
(1)已知这两个变量呈线性相关关系，试建立与之间的回归方程；
(2)假如2017年该专卖店广告费用支出计划为10万元，根据你得到的模型，预测这一年的销售量．
参考公式：，．
【答案】(1)；
(2)75百台．
【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.
（2）根据回归直线方程进行预测.
【详解】（1）根据题意，计算，
，
又，；
，
，
所求回归直线方程为；
（2）由已知得，时，（百台），
可预测该年的销售量为75百台．
题型11非线性回归方程
【典例1】 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据：
1770 0.37 0.55
参考公式：对于一组数据，， ，，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：
x（天） 1 2 3 4 5 6 7
y（秒/题） 910 800 800 440 300 240 210
现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（用分数表示）
(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由，得出，由参考公式求解出，从而求出和的回归方程；
（2）根据随机变量的可能取值逐一分析，当时，小明连胜3局或小红连胜3局；当时，小明前3局胜2局最后一局胜或小红前3局胜2局最后一局胜；当时，小明前4局胜2局最后一局胜或小红前4局胜2局最后一局胜；分别求出每个取值的概率．最后代入期望公式计算即可．
【详解】（1）因为，，
所以，
因为，，
，
所以，
所以，
所以所求回归方程为；
（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，
则，，
，
所以随机变量X的分布列为：
X 3 4 5
P
所以．
【变式1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某学校为了解校庆期间不同时段的校门人流量，从上午8点开始第一次反馈校门人流量，以后每过2小时反馈一次，共统计了前3次的数据，其中，2，3，为第i次人流量数据（单位：千人），由此得到y关于i的回归方程.已知，根据回归方程，可预测下午2点时校门人流量为（ ）千人.
参考数据：
A．9.6 B．10.8 C．12 D．13.2
【答案】C
【分析】令，由，求出，得回归方程，可求预测值.
【详解】令，则，
，又，
由，得，所以，
则，
下午2点时对应，可得.
.
【变式2】（23-24高二下·河南南阳·期中）某研发团队实现了从单点光谱仪到超光谱成像芯片的跨越.为制定下一年的研发投入计划，该研发团队需要了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响.结合近12年的年研发资金投入量和年销售额，该团队建立了两个函数模型：①，②，其中均为常数，为自然对数的底数.经对历史数据的初步处理，得到散点图如图.令，计算得到如下数据.
20 66 770 200 14
480 4.20 3127000 0.308 21700
(1)设变量和变量的样本相关系数为，变量和变量的样本相关系数为，请从样本相关系数的角度，选择一个与相关性较强的模型.
(2)（i）根据（1）的选择及表中数据，建立关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
（ii）若下一年销售额需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量.
附：；样本相关系数；经验回归方程，其中.
【答案】(1)模型中与的相关性较强.
(2)（i）；（ii）27.1亿元.
【分析】（1）分别将表中数据代入相关系数公式求出，比较大小即可判断；
（2）（i）由取对数，换元得，由表中数据分别求和，得经验回归方程，利用指数式和对数式的互化，即得；
（ii）将代入回归方程，利用题设条件，即可预测下一年的研发资金投入量.
【详解】（1）由题意知
.
因为，所以，
故从样本相关系数的角度，模型中与的相关性较强.
（2）（i）由，得，即.
因为，
所以，
故关于的经验回归方程为，即
,所以.
（ii）将代入得.
，故得，解得，
故预测下一年的研发资金投入量是27.1亿元.
【变式3】（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
参考数据
17713 714 27 81.3
(1)根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中
【答案】(1)更适宜
(2)
【分析】（1）根据指数型函数图象的特征、一次函数图象的特征进行判断即可；
（2）运用对数的运算性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】（1）由散点图可以判断，随温度升高，产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长，
所以更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型.
（2）将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，
所以，则，
所以关于的线性回归方程为，故关于的回归方程为；
题型12独立性检验
【典例1】（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）随着冬天的临近，哈尔滨这座冰雪之城，将再次成为旅游的热门目的地.为更好地提升旅游品质，我市文旅局随机选择名青年游客对哈尔滨出行体验进行满意度评分（满分分），分及以上为良好等级，根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，求x的值并估计该评分的上四分位数；
(2)若采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行单独交流，求选取的4人中评分等级为良好的人数X的分布列和数学期望；
(3)为进一步了解不同年龄段游客对哈尔滨出行体验的反馈，我市文旅局再次随机选择100名中老年游客进行满意度评分，发现两次调查中评分为良好等级的人数为120名.请根据小概率值的独立性检验，分析游客的评分等级是否良好与年龄段（青年或中老年）是否有关.
附：，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，
(3)无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.
【分析】（1）根据频率和为计算出的值；先判断出上四分位数所在区间，然后结合区间端点值以及该组的频率完成计算；
（2）先根据分层抽样计算出每组抽取的人数，然后确定出的可取值并计算对应概率，由此可求分布列和数学期望；
（3）根据已知条件得到对应列联表，然后计算出的值并与对应比较大小，由此得到结论.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得；
因为的频率为，且为最后一组，
所以评分的上四分位数位于区间中，
所以上四分位数为：；
（2）评分在与两组的频率分别为，
所以内抽取人数为，内抽取人数为，
故人中评分等级为良好的有人，
由题意可知，的可取值为，
，，，
所以的分布列为：
数学期望；
（3）青年游客评分等级良好的有人，所以老年游客评分等级良好的有人，
由上可得如下列联表，
青年游客 老年游客 总计
评分等级良好
评分等级非良好
总计
零假设：游客的评分等级是否良好与年龄段无关，
由表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立，
即无法认为游客的评分等级是否良好与年龄段有关.
【变式1】 （23-24高二下·天津滨海新·期末）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可．为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵严重的A城市和交通拥堵不严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到了一个市民是否认可的样本，具体数据如下列联表：
A B 总计
认可 15 8 23
不认可 5 12 17
总计 20 20 40
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
附：．
根据表中的数据，下列说法中，正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
【答案】D
【分析】先计算出卡方值，再分别与各选项中的相应的小概率值比较，根据独立性检验的原理，即可作出判断
【详解】由
对于A，因，故有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即A错误；
对于B，因，故没有97.5%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即B错误；
对于C，因，故可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即C正确；
对于D，因，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”，即D错误.
.
【变式2】 （23-24高二下·河北·阶段练习）（多选）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据0.01的独立性检验，下列结论正确的是（ ）
A．若，则变量与不独立
B．若，则变量与独立
C．若，则变量与独立
D．若，则变量与不独立
【答案】DD
【分析】根据独立性检验的基本思想判断即可.
【详解】若，则变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01.
若，则变量与独立.
D.
【变式3】 （23-24高二下·广东中山·期末）某市举行了首届阅读大会，为调查市民对阅读大会的满意度，相关部门随机抽取男女市民各名，每位市民对大会给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男市民
女市民
当，时，若在的情况下，我们没有充分的证据推断男、女市民对大会的评价有差异，则的最小值为 ．
附：，其中．
【答案】
【分析】根据定义算出的表达式，由题意得，结合可得出的最小值.
【详解】由题意得，
并令，即，
近似解得，即，注意到，
故的最小值为.
故答案为：.
【变式4】（23-24高二下·安徽安庆·期中）随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每周进行长跑训练天数 不大于2天 3天或4天 不少于5天
人数 30 130 40
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
附：（为样本容量）
a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；
(2)根据上表的数据，填写下列：列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？
性别 热烈参与者 非热烈参与者 合计
男 140
女 55
合计
【答案】(1)8000人
(2)在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关.
【分析】（1）先求出参与马拉松运动的‘热烈参与者’的概率即可求出该市参与马拉松运动的“热烈参与者”的人数.
（2）根据题中所给数据即可填写列联表，再结合独立性检验的思想方法直接计算求解即可得解.
【详解】（1）记事件“参与马拉松运动的‘热烈参与者’”，
则由题意可得，
所以该市参与马拉松运动的“热烈参与者”的人数估计为人.
（2）列联表如下：
性别 热烈参与者 非热烈参与者 合计
男 35 105 140
女 5 55 80
合计 40 180 200
零假设为：“热烈参与马拉松”与性别无关，
根据列联表中的数据得，
所以根据小概率值的独立性检验推断不不成立，
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关.
题型13概率统计的综合问题
【典例1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了700名高一学生进行在线调查，得到了这700名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这700名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；
(2)为进一步了解这700名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望和方差；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用表示这10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在内的概率，其中，1，2，…，10．当最大时，写出k的值．（写出证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，从而可得日平均阅读时间在内的概率；
（2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式计算即可；
（3）由题意得，，则，利用组合数的性质求最大值即可．
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得，，所以日平均阅读时间在内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这700名学生中日平均阅读时间在，，，三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在，内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
，，，，
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴数学期望，.
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.70，
从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，
恰有k名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，
，
由组合数的性质可得，且当时递增，故当时最大.
【变式1】 （23-24高二下·江西南昌·阶段练习）某中学举办学生体育技能测试，共有两轮测试，第一轮是篮球定点投篮测试，每位学生投两次篮，每次投篮若投中得2分，没投中得0分；第二轮是四个人踢毽子，互相传递测试．
(1)已知某位学生定点投篮投中的概率为，求该学生在第一轮得分的分布列和数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个人参加第二轮踢毽子互相传递测试，第一次由甲踢出，每次传递时，踢出者都等可能将毽子踢给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传递都能被接到.记第n次甲踢到毽子的概率为，则．
①证明：数列为等比数列；
②比较第k次与第次踢到毽子者是甲的可能性大小．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)①证明见解析；②答案见解析
【分析】（1）求得第一轮得分的所有可能取值，并计算出对应概率即可求得其分布列和期望值；
（2）①写出的递推关系式，通过数列构造即可证明；
②根据①中的通项公式利用作差法即可比较得出与的大小.
【详解】（1）设该学生的得分为，则所有可能取值为0，2，4．
故的分布列为
0 2 4
则数学期望
（2）①第n次甲踢到建子的概率为，
当时，第次甲踢到建子的概率为，甲未能踢到建子的概率为；
所以，
所以，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
②由①可知，，即；
，
当k为奇数时，为偶数，即；
当k为偶数时，奇数，即；
综上，当k为奇数时，，当k为偶数时.
【变式2】（23-24高二下·北京海淀·期末）为了调研某地区学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地区随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
(1)从这10所学校中随机选取1所，已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，求该校参与“单板滑雪”超过30人的概率；
(2)已知参与“自由式滑雪”人数超过40人的学校评定为“基地学校”.现在从这10所学校中随机选取2所，设“基地学校”的个数为，求的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，并专门对这3个动作进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.在此集训测试中，李华同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响，每轮测试也互不影响.如果李华同学在集训测试中想获得“优秀”的次数的均值达到5次，那么至少要进行多少轮测试？（结果不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【分析】（1）先将题设的数据整理为表格，根据表中数据结合条件概率的计算公式可求概率；
（2）结合超几何分布可求的分布列和数学期望；
（3）先求出李华在一轮测试中“优秀”的概率，再结合二项分布的期望公式可求至少要进行多少轮测试.
【详解】（1）由题设可得如下数据：
自由
单板
设为“学校参与“自由式滑雪”人数超过40人”，
为“该校参与“单板滑雪”超过30人”，则，
而，故.
故已知这所学校参与“自由式滑雪”人数超过40人，
该校参与“单板滑雪”超过30人的概率为.
（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为，
所以，，，
所以的分布列如下表：
0 1 2
所以.
（3）记“李华在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，
由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意列式，得，
因为，所以的最小值为，故至少要进行轮测试.
【变式3】（23-24高二下·浙江宁波·期中）2023年11月，宁波市余姚河姆渡遗址迎来发掘五十周年，为引导青少年了解河姆渡文化，某校组织全体学生参加河姆渡历史文化知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示．
(1)试估计这100名学生的众数和中位数（保留一位小数）；
(2)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列和均值：
(3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛的学生得分X近似服从正态分布，经计算．若，参赛学生可获得“参赛纪念证书”：若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．已知该校共800名学生参加本次文化竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为90分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若，则，，；
【答案】(1)75，71.7
(2)分布列见解析，
(3)704，不能
【分析】（1）根据频率分布直方图中众数和中位数的概念求解即可；
（2）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可；
（3）由正态分布的概率特征求解即可．
【详解】（1）由题众数在组，故众数为：75分；
由题知每组频率分别为：0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，0.1，
所以中位数在组，故中位数为：分；
（2）由题参加座谈的11人中，得分在的有人，
所以的可能取值为0，1，2，
所以，，，
所以的分布列为：
0 1 2
所以；
（3）由题可知，
所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人，
又由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数：
，
因为，则，
所以，
因为只有当，参赛学生才可获得“参赛先锋证书”，
故竞赛成绩为90分的学生不能获得“参赛先锋证书”．
【变式4】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
(1)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人，现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
(2)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案.
【答案】(1)
(2)第二种方案
【分析】（1）首先根据频率确定消费金额在和的频率比，从而确定两组的人数，再按照古典概型概率公式，即可求解；
（2）首先确定第一种方案的消费，以及第二种方案的分布列和数学期望，再比较大小，即可选择.
【详解】（1）消费金额在的频率为，在的频率为，
频率之比为，所以按照分层抽样，抽取的6人中消费金额在的有4人，消费金额在的有2人，
所以抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
（2）若选择方案一，则实际消费元，
若选择方案二，若不中奖，则消费元，概率为，
若中奖1次，则消费元，概率为，
若中奖2次，则消费元，概率为，
若中奖3次，则消费元，概率为，
设消费金额为，分布列如下，
期望,
因为，说明第二种方案平均消费少，
所以选择第二种方案.
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