5.6 第1课时 二次函数的图象与一元二次方程 学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级下册

二次函数的图象与一元二次方程
教学目标：
1、探索二次函数及其图象与一元二次方程的关系，理解它们之间的关联，感受数学的整体性
2、能根据二次函数的系数，判断它的图象与x轴的位置关系。
3、会利用二次函数图象求一元二次方程的近似解，通过求近似解的过程，进一步感悟转化、逼近和数形结合的思想。
教学重点：
1、会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
2、归纳二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
教学难点：一元二次方程的图象解法
教学过程：
一、阅读课本46、47页观察与思考：
知识归纳：
如果一元二次方程有实根，那么二次函数的图象与____有公共点，且公共点的____是这个一元二次方程的实根；反之，二次函数的图象与轴有公共点，那么公共点的横坐标是一元二次方程___的实根。
跟踪练习一：
1.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2=，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
2.抛物线与x轴交于点（-1,0）（3,0），则一元二次方程的根是_________
3.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A(1,0),对称轴是直线x= 1,则方程ax2+bx+c=0的解是________
二、例题分析
例 1、例 2（解题过程详见课本47—49页.）
跟踪练习二：
1.二次函数的图象与轴的公共点的坐标为____________
2.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表,下列判断中正确的是( )
x … 1 0 1 2 …
… 5 1 3 1 …
抛物线开口向上 B. 抛物线与y轴交于负半轴
C. 当x=3时，y<0 D. 方程ax2+bx+c=0有两个相等实数根
3.如图，点A（2.18，-0.51），B（2.68，0.54），
在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程
ax2+bx+c=0的一个近似值可能是（　　）
A. 2.18 B. 2.68
C. -0.51 D. 2.45
4.判断下列二次函数的图象与x轴是否有公共点。如果有，有几个公共点？
（1） （2） （3）
三、挑战自我（见课本49页）
归纳：二次函数的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的判别式Δ=b2-4ac



四、课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？
五、课下作业：
1.根据表格 判断方程(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
－0.06 －0.02 0.03 0.09
A.3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25 ＜x＜3.26
2.不论x取何值，抛物线总在x轴上方，则a,b,c满足的条件是（ ）
A. B.
C. D.
3.当 m_______时，抛物线 y =x2+3x + m 与 x 轴有两个交点已知抛物线的顶点在x轴上，则= ；
4．如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），
则方程 的根为： 。
如图，抛物线是二次函数的图象，则 a=_______.
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,ax2+bx+c=m有实数根的条件是m______.
(4题图) (5题图) (6题图)
7.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4;
②4a+2b+c<0;
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为 1;
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.
其中正确的结论有 _(填上序号即可)
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
写出不等式ax2+bx+c>0的解集；
写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
9.已知二次函数y= x2+2x+m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
(2)如图,二次函数的图象经过A(3,0)，与y轴交于B点，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于P点，求P点的坐标。
10.已知抛物线y=2x2 4x+c与x轴有两个不同的交点。
(1)求c的取值范围；
(2)若抛物线y=2x2 4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n)，试比较m与n的大小，并说明理由。
11.(选做)如果关于 x 的一元二次方程 的两根中有一个根大于 0 而
小于1，求 a 的取值范围.