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平面向量单元练习参考答案
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11 12
答案 A B B C C B D A A A C
题号 13 14 16 18 19 20 22 25 26 28 29
答案 C B B B A C C A B B
题号 31 32 34 35
答案 A A A C
一．试题（共35小题）
1．【解答】解：（1）温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
（2）零向量的方向是任意的，故（2）错误，
（3）零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
（4）非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
2．【解答】解：大小相等、方向相同的向量叫相等向量，∴A错误；
零向量的长度为0，∴B正确；
方向相同或相反的向量叫共线向量，它们不一定在同一条直线上，∴C错误；
平行向量就是向量所在的直线平行的向量，也可以共线，∴D错误；
故选：B．
3．【解答】解：有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故（1）错误；
因为零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故（2）错误，（3）正确；
长度为0的向量叫做零向量，故（4）正确，所以正确的有2个．
故选：B．
4．【解答】解：对于A，若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；
对于B，向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故B错误；
对于C，若，则向量，互为相反向量，则，则C正确；
对于D，若，则向量，方向相同或相反，故D错误．
故选：C．
5．【解答】解：因为，所以同向．
对于A，由，得方向相反，故A选项错误；
对于B，由，得，不能得出的方向，故B选项错误；
对于C，由，得方向向相同，所以成立，故C选项正确；
对于D，由，不能确定的方向，故D选项错误．
故选：C．
6．【解答】解：逐一考查所给的选项：
因为方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A是对的，
单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B是错的，
向量是有方向的量，不能比较大小，故C错误，
向量即模相等且方向相同，即四边形对边平行且相等，故D正确，
故选：AD．
7．【解答】解：∵点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|BC|＝2，|+|＝|﹣|，
设+＝，﹣＝，则||＝||，
∴平行四边形ABDC的对角线AD＝BC，
则||＝||＝||＝1，
故选：B．
8．【解答】解：＝﹣＝﹣＝（﹣）﹣＝﹣＝﹣．
故选：D．
9．【解答】解：因为△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
所以＝＝＝＝，
故选：A．
10．【解答】解：因为λ2＞0，所以与的方向相同，故A选项正确；
当λ＜0时，与的方向相同，故B选项错误；
当λ＜0时，，故C选项错误
；当λ＞0时，，故D选项错误．
故选：A．
11．【解答】解：对于①：当时，两向量未必共线，故①错误；
对于②：若向量共面，则任意两个向量不共线，故②错误；
对于③：规定：的方向是任意的，故③正确；
对于④：须强调，此时，则存在唯一的实数λ，使，故④错误，
故只有③正确，一个命题正确．
故选：A．
12．【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴不一定成立；时，不成立；时，不成立．
故选：C．
13．【解答】解：∵，，
∴＝＝（）+3（）＝+5＝，
又∵与有公共端点B，
∴点A，B，D三点共线，
故选：C．
14．【解答】解：由BD＝2DA，可得，
则＝
＝
＝
＝．
故选：B．
15．【解答】解：（1）如图所示，＝+，＝，＝﹣，＝，
∴＝+．
（2）过点E作EM∥AB交CB于点M，∴＝＝，
∴＝＝．∴AE：EF＝5：1．
作FN∥AB交CD于点N．
∴＝，＝＝，
∴＝＝，
∴＝．
由AE：EF＝5：1．
∴＝＝（+）＝+．
16．【解答】解：已知P是△ABC所在平面内的一点，+＝2，
则，
则，
即．
故选：B．
17．【解答】（1）证明：∵＝+＝＝5，
又为非零向量，
∴与共线，
即A，B，D三点共线；
（2）解：∵k+与+k平行，且两向量都为非零向量，
∴存在实数λ使得k+＝+k成立，
即，
∵e1和e2不共线，
∴，
∴k＝±1．
18．【解答】解：单位向量模长都相等，但方向未必相同，故A错误；
＝，则A，B，C，D有可能四点共线，故B错误；
当，不共线时，也有∥，且∥，故C错误；
是相反向量，故D正确．
故选：D．
19．【解答】解：∵D为BC边中点，∴+＝2，
∵＝，∴+2＝，
即＝2，
故选：B．
20．【解答】解：∵是平面α内所有向量的一个基底，
∴由平面向量基本定理知，平面内任以向量都可由这个基底唯一的表示出来，因此A正确，C、D错误；
对于C，由向量的坐标的定义知C错误．
故选：A．
21．【解答】解：根据平面向量基本定理可知A、D选项正确，
根据平面向量基本定理可知，如果一个平面的基底确定，
那任意一个向量在此基底下的实数对都是唯一的，故B选项错误，
当两向量的系数均为0，这样的λ有无数个，故C选项错误．
故选：AD．
22．【解答】解：∵向量，不共线，且，，与共线，
∴＝，求得实数x＝2或x＝﹣．
故选：C．
23．【解答】解：对于A，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故A正确；
对于B，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B正确；
对于C，由平面向量的基本定理，由定单位向量和正数μ，总存在单位向量和唯一的实数λ，使，而C命题中，λ不定，所以C不正确；
对于D，∵＝＝λ2+μ2+2λμcos，又，不共线，
∴λ2+μ2+2λμ＞4，即（λ+μ）2＞4，得λ+μ＞2，故D正确，
故选：ABD．
24．【解答】解：若，则一定，∴A正确；
若与不平行，，满足，则得不出，即B错误；
若不共线，则一定得出x＝y＝0，若x，y中有一个不为0，则可得出，共线，与已知不共线矛盾，∴C正确；
若，则，则，从而得出，即D正确．
故选：ACD．
25．【解答】解：如图，
易知BC＝4AD，CE＝2AD，
∴
＝＝，
∵＝x+y，∴x＝﹣，y＝2，
所以，
故选：C．
26．【解答】解：由题意，，又，
∴＝＝
＝＝
＝
＝．
故选：A．
27．【解答】解：（1）由＝，
可得＝+＝﹣+，
∵＝，
∴＝+＝﹣+．
（2）将＝﹣+，＝﹣+
代入＝+λ＝+μ，
则有+λ（﹣）＝+μ（﹣），
即（1﹣λ）+λ＝μ+（1﹣μ），
∴，
解得；
（3）设＝m，＝n，
由（2）知＝+，
∴＝﹣，
∴n，
∴＝m（）
＝（1﹣m）
∵与不共线，
∴，
解得，
∴＝，即＝2，
∴点P在BC的三等分点且靠近点C处．
28．【解答】解：根据＝λ+μ，
选项A：＝（3，﹣2）＝λ（0，0）+μ（1，2）＝（μ，2μ），则3＝2μ，2＝﹣2μ，无解，故选项A不能；
选项B：＝（3，﹣2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2）＝（﹣λ+5μ，2λ﹣2μ）则3＝﹣λ+5μ，﹣2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝﹣，μ＝，故选项B能．
选项C：＝（3，﹣2）＝λ（3，5）+μ（6，10）＝（λ+2μ）（3，5），无解，故选项C不能．
选项D：＝（3，﹣2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3）＝（2λ﹣2μ，﹣3λ+3μ），则3＝2λ﹣2μ，﹣2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．
故选：B．
29．【解答】解：∵+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），
∴，，
∴||2﹣||2＝4﹣5＝﹣1．
故选：B．
30．【解答】解：（1）因为＝（3，2+k），＝（k，1），
所以 ＝（3﹣2k，k），
若向量与平行，
则3﹣2k＝k2，
解得k＝1或k＝﹣3；
31．【解答】解：∵∥，＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．
∴（x+2）（1﹣x）﹣（1+x）（x﹣2）＝0，
∴﹣2x2+4＝0，∴x2＝2．
故选：A．
32．【解答】解：因为向量＝（1，﹣2），＝（a，﹣1），＝（﹣b，0），
所以＝（a﹣1，1），＝（﹣b﹣1，2），
又A，B，C三点共线，
所以2（a﹣1）﹣1×（﹣b﹣1）＝0，
即2a+b＝1，
又a＞0、b＞0，
所以＝（+）（2a+b）＝2++≥2+2＝4，
当且仅当＝，即b＝2a＝时取“＝”，
所以+的最小值为4．
故选：A．
33．【解答】解：因为向量，则的单位向量＝（，）．
故答案为：（，）．
34．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），因为A（﹣1，2），B（3，0），
则，，
由，且点P在直线AB上，
得或．
所以或，
解得 或．
所以点P的坐标为 或（7，2）．
故选：A．
35．【解答】解：根据题意，＝（k，2），＝（1，2k），＝（1﹣k，﹣1），
则＝﹣＝（1﹣k，2k﹣2），＝﹣＝（﹣k，﹣1﹣2k），
若A，B，C共线，则有∥，必有（2k﹣2）×（﹣k）＝（1﹣k）（﹣1﹣2k），
解可得：k＝1或k＝﹣，
当k＝1时，A、B重合，舍去，
当k＝﹣时，A，B，C三点不重合，符合题意，
故k＝﹣；
故选：C．
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平面向量单元练习
1．下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的向量叫相等向量
B．零向量的长度为零
C．共线向量是在一条直线上的向量
D．平行向量就是向量所在的直线平行的向量
3．下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；
（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；
（4）零向量的长度为0．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．关于向量，下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
（多选）6．下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足||＞||且与同向，则＞
D．若A、B、C、D是不共线的四点，则“＝” “四边形ABCD是平行四边形”
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若|BC|＝2，|+|＝|﹣|，则||＝（ ）
A． B．1 C．2 D．4
8．平行四边形ABCD中，点M在边AB上，AM＝3MB，记，则＝（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点．则＝（ ）
A． B． C． D．
10．设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．与的方向相同 B．与的方向相反
C． D．
11．给出下列几个命题：
①若与共线，与共线，则与共线；
②若向量共面，则它们所在的直线共面；
③零向量的方向是任意的；
④若，则存在唯一的实数λ，使．
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若向量满足，则向量一定满足的关系为（ ）
A．
B．存在实数λ，使得
C．存在实数m，n，使得
D．
13．若向量、不共线，已知，，，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线
C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线
14．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记，则＝（ ）
A． B． C． D．
15．如图所示，△ABC中，＝，＝，D为AB中点，E为CD上一点，且DC＝3EC，AE的延长线与BC的交点为F．
（1）用向量与表示；
（2）用向量与表示，并求出AE：EF和BF：FC的值．
16．设P是△ABC所在平面内的一点，+＝2，则（ ）
A．+＝ B．+＝
C．+＝ D．++＝
17．已知非零向量和不共线．
（1）若＝+，＝2+8，＝3（﹣），求证：A，B，D三点共线；
（2）若向量k+与向量+k平行，求实数k的值．
18．下列命题中正确的是（ ）
A．若、都是单位向量，则＝
B．若＝，则A、B、C、D四点构成平行四边形
C．若∥，且∥，则∥
D．与是两平行向量
19．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且＝，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．如果是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（ ）
A．若存在实数λ1，λ2使，则λ1＝λ2＝0
B．向量
C．不一定在平面α内
D．对于平面α内任意向量，使的实数λ1，λ2有无数对
（多选）21．如果，平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ）
A．λ+μ（λ，μ∈R）可以表示平面a内的所有向量
B．对于平面a内任一同量a，使a＝λ+μ的实数对（λ，μ）有无穷多个
C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1＝λ（λ2+μ2）
D．若存在实数λ，μ使得λ+μ＝0，则λ＝μ＝0
22．已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数x的值为（ ）
A．2 B． C．2或﹣ D．﹣2或﹣
（多选）23．设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量，总存在向量，使
B．给定向量和，总存在实数λ和μ，使
C．给定单位向量和正数μ，总存在单位向量和实数λ，使
D．若，存在单位向量和正实数λ，μ，使，则λ+μ＞2
（多选）24．下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．若＝，＝，则＝
B．若∥，∥，则∥
C．若+y＝，x，y∈R，，不共线，则x＝y＝0
D．若，则
25．已知平面四边形ABCD满足＝，平面内点E满足＝3，CD与AE交于点M，若＝x+y，则x+y＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
26．如图，点D为△ABC的边AC上靠近点C的三等分点，，设，，则＝（ ）
A． B． C． D．
27．如图所示，在△ABC中，＝，＝，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P．
（1）用和分别表示和；
（2）如果＝+λ＝+μ，求实数λ和μ的值；
（3）确定点P在边BC上的位置．
28．在下列向量组中，可以把向量＝（3，﹣2）表示出来的是（ ）
A．＝（0，0），＝（1，2）
B．＝（﹣1，2），＝（5，﹣2）
C．＝（3，5），＝（6，10）
D．＝（2，﹣3），＝（﹣2，3）
29．已知向量，满足+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），则||2﹣||2＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
30．已知k∈R，向量＝（3，2+k），＝（k，1）．
（1）若向量与平行，求k的值；
31．已知向量＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．若∥，则（ ）
A．x2＝2 B．|x|＝2 C．x2＝3 D．|x|＝3
32．设向量＝（1，﹣2），＝（a，﹣1），＝（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
33．已知向量，则的单位向量＝ ．
34．已知A（﹣1，2），B（3，0），点P在直线AB上，且，则点P的坐标为（ ）
A．或（7，﹣2） B．
C．（2，1）或（7，﹣2） D．（7，2）
35．已知＝（k，2），＝（1，2k），＝（1﹣k，﹣1），且相异三点A，B，C共线，则实数k等于（ ）
A．1 B．1或﹣ C．﹣ D．﹣1或
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