2025年春季高三开学质量检测卷
数
学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在
答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4,本试卷主要考试内容：高考全部内容。
圜
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
蜘
1.已知集合A={1,2,3},B={2,3,7),则AUB=
A.{1,2,3,7}
B.{1,2,3}
C.{2,3,7}
D.{2,3
2.(2-i)(1-4i)=
酃
A.-9-2i
B.-2-91
C.6-9i
D.2-9i
3.已知向量a=(2,一1)，b=(1,x),c=(1,2).若(a+b)·c=3,则x=
长
A.-1
B.1
C.2
D.-3
4,若tana=6,则2sina十cosa
区
sin a-5cos a
A.-3
B.6
C.11
D.13
5.已知抛物线y2=12x上一点P到焦点F的距离为12，则点P的横坐标为
都
A.3
B.6
C.9
D.12
6.已知一个圆台状器皿（其厚度忽略不计）的下底面半径为3cm,上底面半径为9cm,容积为
都
390πcm3,则该器皿的高为
A.8 cm
B.9 cm
C.13 cm
D.10 cm
安
7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠BAC=
2
3,c=6,b=4,M为BC边上
点，且AM⊥AB,则AM=
A.3
B.3√3
c
n
8.已知集合A={x∈Z0log6x≤2}，若函数f(x)=x3十6x2十ax十b(a∈A,b∈A)有极值，
则满足条件的f(x)共有
A.121个
B.360个
C.396个
D.432个
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.关于双曲线C:x2
=1,下列命题是真命题的是
49
A.实轴长为2
B.焦点坐标为(0，士7)
C.离心率为52
D.渐近线方程为x士7y=0
【高三数学第1页（共4页）】
10.已知函数f(x)=
12-1,x2,
x2-8x+15,x>2,
则关于x的方程f(f(x)=m(m为常数，且m>
)的实数解的个数可能为
1
A.4
B.1
C.8
D.7
11.如图，在棱长为10的正方体ABCD-A,B,C1D1中，P,H分别为棱
A1
BB1,AD的中点，K是棱AD1上任意一点，则
A.AD平面BCK
B.C1D⊥BK
C向量P产时在向量CD上的投影向量为C心
D.该正方体内可以装入1186个直径为1的小球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数fx)=2sin(ox一无)(w>0)的最小正周期为至，则w
13.现有一批同规格的羽毛球，由A,B,C三家工厂生产，其中A,B,C三家工厂分别生产
3000个、4000个、3000个，A,B,C三家工厂的次品率依次为0.02,0.04,0.03.现从这批
羽毛球中任取一个，则这个羽毛球是次品的概率为▲
x25y2
14.已知曲线C的方程为千2十=1(x>-2),0为坐标原点，A为曲线C上任意一点，则
线段OA长度的取值范围是▲
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.(13分)
已知等差数列{am}满足a2=3,a31=61.
(1)求{an}的通项公式
(2)设数列
2
(an十3)}的前n项和为S。,求数列{S,}的前n项积T,
【高三数学第2页（共4页）】2025年春季高三开学质量检测卷
数学参考答案
1.A根据题意易得AUB={1,2,3,7}.
2.B(2-i)(1-4i)=2-8i-i+4=-2-9i.
3.B因为a十b=(3,x-1),所以(a十b)·c=3十2(x-1)=3,解得x=1.
4.D
2sin a+cos a2tan a-13.
sin a-5cos a tan a-5
5.C抛物线y2=12x的焦点F(3,0),准线1：x=一3.因为点P到焦点F的距离为12，所以
点P到准线的距离为xp十3=12，则xp=9.
6.D设该器皿的高为hcm,由题意得3(9π十81π十27x)·h=390x,解得h=10,
7.D根据题意得∠CAM=否-吾-石，则2×6Xsn行-·6·AM·m受+名·4：
AM·sin石，解得AM=3y3
2
8.C由题意得f'(x)=3.x2十12x十a,则△=144-12a>0,解得a<12.
A={1,2,3,…,36}共有36个元素，当f(x)有极值时，a∈{1,2，…，11}，b∈A,则满足条件
的f(x)共有CC6=396个.
9,AC对于双曲线C:-6-1a-1,6-7,则c-十码-5反，所以双曲线C的实轴长
为2，焦点坐标为（士52,0），离心率为52，渐近线方程为y=士6=士7x,即7x士y=0.
10.ABD画出函数f(x)的大致图象，如图所示
设t=f(x),则f(f(x)=m可化为f(t)=m,当
>3时，f(t)=m有1个根t>6,即f(x)=t>6,此时
方程f(f(x)=m有1个根.当m=3时，f(t)=m
有2个根t1=2,t2=6,即f(x)=t1=2或f(x)=t2
=6,此时方程f(f(x)=m有4个根.当0-10
时，f(t)=m有3个根t1∈(0,2)，t2∈(2,3)，t3∈(5，
6),此时方程f(f(x))=m有7个根.当m=0时，
了)=m有3个根t,=0.,=3。=5,此时方程f了(x)》=m有6个根.当-2时，f(t)=m有3个根t1∈（一1,0），t2∈(3,4)，t3∈(4,5)，此时方程f(f(x)=m有5个
根.故方程f(f(x)=m的实数解的个数可能为1或4或5或6或7，故选ABD.
【高三数学·参考答案第1页（共5页）】
11.ABD由正方体的性质知AD∥BC,因为AD丈平面BCK,BCC平
面BCK,所以AD平面BCK,A正确.连接CD1,BA1,由正方体的B
性质易得C,D⊥CD1,BC⊥平面CDD,C1,所以BC⊥C,D,CD1∩
BC=C,所以CD⊥平面BCD1A1,BKC平面BCDA1,所以C1D
⊥BK,B正确.Pi=P馆+Bi+Ai=2B1店+Bi+2A心，Cd
-CC+C=B店+Bi,P.C市=(2B,店+Bi+2A)·(B店+Bi)=}
PH.CD
100十100=150，则向量PH在向量C1D上的投影向量为
1C,D12
.cd-58cd-
CD.C错误.由题意，由下至上第-一层小球有10X10=100个，第二层小球有9×9
81个，奇数层均有100个，偶数层均有81个，第一层与第二层中5个相邻球的球心构成的
一个校长为1的正四校维的高为号，假设共有m层小球则总高度为号(m-1)十1，m∈N,
2(n-1)+1≤10，解得n-1≤92.因为12<(9√2)2<132，所以n-1≤12，小球共有
13层，相邻的两层小球共有100十81=181个，所以该正方体内可以装人181×6十100=
1186个直径为1的小球，D正确.
128根据题登可得T-石-牙解得w一8
13.0.031根据题意可得这个羽毛球是次品的概率为0.3×0.02十0.4×0.04十0.3×0.03=
0.031.
x+215y2
14.[1,2]由题设得
18≤1，因为x>-2所以x2≤x+2,解得-1≤x≤2.设
Axy)x∈[-1,2]，则10A12=x2+y2=x2+18-18x=5x3-8x2+18
55(x+2)=5(x+2)+5,令f(x)
=5x3-8x218
5(x十2》+5，x∈[-1,2]，则f'(x)=2xC5十16，令f'(x)=0,得x=0或x
5(x+2)2
、16
或x=1,当-1≤x<0或10,f(x)单调递增：当0f(x)<0,fx)单调递减f(-1)=1,0)-8.f(1)号f(2)=4,所以fx)的最小值
为1，最大值为4，故线段OA长度的取值范围是[1,2].
15.解：(1)设等差数列{am}的公差为d,则29d=a31一a2=61一3=58，…2分
解得d=2,…4分
则an=3十(n一2)×2=21一1，所以{a.}的通项公式为an=2n一1.…6分
2
111
(2)由（1）可得（0.十3-nm十d=7一0中市…8分
【高三数学·参考答案第2页（共5页）】
