1.3 相似三角形的性质 学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

1.3 相似三角形的性质 编制人：憲福数学 审核人：憲福数学 学案编号：6 时间: 2025 /2 班级 姓名
1.3 相似三角形的性质
【教学目标】
了解相似三角形的性质；
会用相似三角形的性质解决一些简单的问题；
通过相似三角形性质的探索过程，体会相似三角形判定定理的作用，感悟转化的数学思想
【教学重点】相似三角形的性质
【教学难点】相似三角形性质的证明过程
【教学过程】
新知探索
全等三角形的对应线段（对应边上的高、对应边上的中线、对应角的平分线）具有什么性质呢？相似三角形的面积具有什么性质呢？
已知△ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k。
（1）若AD与A'D'分别是对应边BC与B'C' 上的高，AD与A'D' 的比与相似比k有什么关系？如何证明你的结论？
（2）若AD与A'D'分别是∠A 与∠A' 的平分线，AD与A'D' 的比与相似比k有什么关系？如何证明你的结论？
（3）若AD与A'D'分别是BC 与 B'C'上的中线，AD与A'D' 的比与相似比k有什么关系？如何证明你的结论？
（4）△ABC与△A'B'C'的面积的比S△ABC∶S△A'B'C'与相似比k有怎样的关系？
（5）△ABC与△A'B'C'的周长的比C△ABC∶C△A'B'C'与相似比k有怎样的关系？
归纳（1）（2）（3）（4）（5）的结论，你能得到相似三角形的什么性质？
知识点：相似三角形的性质
相似三角形______________等于相似比；面积的比等于______________。
典型例题
例1.如图 1-24，在△ABC 中，DE∥BC，AD∶DB = 3∶1，△ABC 的面积为48 ,求△ADE的面积.
[跟踪练习]
如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：9，则S△BDE与S△CDE的比是________
注意：等高三角形面积的比等于___________
例2.如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边 BC = 12 cm，高AD=8cm。现要用它裁出一个正方形工件，使正方形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB，AC 上，求裁出的正方形工件的边长。
思考：在例2中，如果并排放置的由2个全等的小正方形组成的矩形内接于△ABC，那么小正方形的边长为______；并排放置3个全等的小正方形呢,小正方形的边长为______；如果在△ABC 中并排放 n 个这样的小正方形，你猜测小正方形的边长为_______。
课堂小结
本节课你有什么收获？
当堂检测
1.两个相似三角形对应角平分线的比是1∶4，它们对应高的比是____，面积的比是______，周长的比是______。
2.两个相似三角形对应边的比是2∶3，它们面积的和为78 cm2，较大的三角形的面积为_____.
3.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=10cm，高AD=8cm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个正方形零件的边长。
课后作业
[基础闯关]
1.已知两个相似三角形两条对应边上的中线的长分别是 3 cm 和 5 cm，那么它们的相似比是_____，对应高的比是_____。
2.如图，在△ABC 与△A'B'C' 中，已知∠B =∠B'，,AD,A'D'分别是这两个三角形的高。如果 AD = 1.5，那么A'D' 的长是_____
3.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，AD∶CD = 1∶2，S△ACD∶S△CBD=_____
第2题 第3题
如果两个相似三角形的对应边之比为3：7，其中一个三角形的一边上的中线长为2，则另一个三角形对应中线的长为（　　）
5．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论错误的是（　　）
A．DE∥BC
B．DE：BC＝2：3
C．△ADE与△ABC的面积比为4：9
D．△ADE与四边形DBCE的面积比为1：2
6．已知△ABC和△DEF相似，且△ABC的三边长为3、4、5，如果△DEF的周长为6，那么下列不可能是△DEF一边长的是（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
7．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（　　）
A． B． C． D．
8．在平行四边形ABCD中，点E在AD上，且AE：ED＝3：1，CE的延长线与BA的延长线交于点F，则S△AFE：S四边形ABCE为（　　）
A．3：4 B．4：3 C．7：9 D．9：7
如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则
S△BDE：S四边形DECA的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，则△AEF与五边形EBCDF的面积比为_____________．
第7题 第8题 第9题 第10题
11．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为__________．
12．如图， ABCD中，点E为边BC的中点，AE与BD交于点O，若△BOE的面积为2，则 ABCD的面积为__________．
第11题 第12题
13．如图，AB∥CD，∠ACB＝∠BDC＝90°，CE⊥AB于点E，DF⊥CB于点F．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）已知AC＝2BC，求的值．
[能力提升]
14.如图，有一块锐角三角形的余料 ABC，它的边BC=150 mm，AB=100 mm，要把它 加工成菱形零件，使菱形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB，AC上，加工成的菱形零件的高ED=51 mm，△ABC的高AD=______
15.如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：AF：AB＝1：2：5，则
S△ADE：S四边形DEGF：S四边形FGCB＝（　　）
A．1：2：5 B．1：4：25
C．1：3：25 D．1：3：21
16．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）
A．10 B．15
C．20 D．30
17.（多选）如图，点B，C在x轴上，点A和D的纵坐标分别为2，﹣1，连接AB，AD，BC，DC，AD与BC交于点E，△ABE∽△DCE，下列选项中正确的是（　　）
A．AD：ED＝2：1 B．AB：CD＝2：1
C． D．S△ABE：S△DCE＝4：1
18．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB＝6，则△AEF的面积为______．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为______ ．
[培优创新]
20.如图，在△ABC 中，DE∥BC，BE 和 CD 相交于点 F，且S△EFC = 3S△EFD，S△ADE∶S△ABC=___
21.如图所示，在平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，DECD，连接BE与AC，AD，FE分别交于点O，F．
（1）若△DEF的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
（2）求证OB2＝OE OF．