1.4 图形的位似（2）学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

1.4 图形的位似（2） 编制人：憲福数学 审核人：憲福数学 学案编号：9 时间: 2025 /2 班级 姓名
1.4 图形的位似（2）
【教学目标】
1.能够利用图形的位似解决平面直角坐标系中图形的放大或缩小；
2.理解图形的位似变换与坐标变化的规律
【教学重点】用图形的坐标变化表示图形的位似变换
【教学难点】位似变换与坐标变化的规律
【教学过程】
一、实验与探究
在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点坐标分别为（0，0），（6，0），（6，4），（0，4）。如果将点 O，A，B，C 的横、纵坐标都缩小一半，得到点 O'，A'，B'，C'，顺次连接点 O'，A'，B'，C'。
1.四边形O'A'B'C'是怎样的图形？______________
2.四边形 O'A'B'C' 与矩形 OABC 是位似图形吗？为什么？
3.如果四边形 O'A'B'C' 与矩形 OABC 是位似图形，位似中心是_____，它们的相似比是___________
4.已知△OAB的顶点O是坐标原点，顶点 A，B的坐标分别为（-1，2），（-3，0）。把△OAB各个顶点的横、纵坐标都扩大到原来的 3 倍，得到点 O'，A'，B'。连接 O'A'，O'B'，A'B'，△O'A'B'与△OAB是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？
知识点：
如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在 x 轴上，那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大（或缩小）相同的倍数，所得到的图形与原图形是位似图形，坐标原点是它们的位似中心。
二、典型例题
例1.如图，△ABC的三个顶点坐标分别是A（2,2），B（3,1），C（1,0），试以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A'B'C'，使之与△ABC的相似比为2∶1。
我们发现:
（1）当位似图形与原图形在原点的同侧时，A'（__,__），B'（__,__），C'（__,__）
（2）当位似图形与原图形在原点的异侧时，A'（__,__），B'（__,__），C'（__,__）
（3）由（1）（2）结论，我们可以得出的规律：
在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（位似图形在同侧）或-k（位似图形在异侧）。若原图中一点的坐标为（x0，y0）则其对应点的坐标为（kx0，ky0）或（-kx0，-ky0）。
例2.如图，四边形OABC顶点坐标分别为（0，0），（2，0），（4，4），（-2，2）。
（1）如果四边形O'A'B'C'与四边形OABC位似，位似中心是原点，它的面积等于四边形OABC面积的倍，A'（__,__），B'（__,__），C'（__,__）
（2）画出四边形 OA'B'C'
课堂小结
本节课你有什么收获？
四、当堂检测
1.在直角坐标系中，已知点 E（-4，2），F（-1，-1）。以O为位似中心，把△EFO 缩小到原来的，求点E，F的对应点E'坐标为_______________________，F'坐标为_____________________
2.如图， OABC的一个顶点是坐标原点，点A的坐标是（4，0），点C的坐标是（2，-2）。（1）B（__,__）；
（2）画出以点 O 为位似中心，与 OABC位似的图形，使它与 OABC的相似比为1∶2 。
五、课后作业
[基础闯关]★
1.判断满足下列条件的两个三角形是不是位似图形，如果是，指出位似中心。
（1）如图①所示，AB，CD相交于点O，且∠B =∠D，AD = CB；
（2）如图②所示，AB，CD相交于点O，且∠B =∠A。
2.如图，在△ABC中，E，F 是 AB 的三等分点，FH∥EG∥AC 。
（1）四边形EFHG与四边形FACH是位似图形吗？为什么？
（2）指出图中所有的位似图形。
3.在如图所示的方格纸上，以点O为位似中心，画出与五边形ABCDE位似的图形，使它的周长等于五边形 ABCDE 周长的。
4. 如图，△ABC为正三角形，点A与B的坐标分别为（-1，0），（1，0）。以点C 为位似中心，在点C下方画出一个与△ABC 位似的图形，使它与△ABC的相似比为2∶1。
5.如图，点O是等边三角形ABC 的中心，P，Q，R分别是OA，OB，OC的中点。说明△ABC与△PQR是位似图形，并求出它们的相似比。
6.如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是______________
7.如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为______________
8.如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为（2，4），点E的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为______________
9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是______________．
10．如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是______________．
11．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线相交于点E，A（2，0），B（6，0），将正方形ABCD以A为位似中心，1：2为位似比缩小，点E的对应点E′的坐标是______________．
第9题 第10题 第11题
12．在平面直角坐标系中，已知矩形OA1B1C1与矩形OABC关于坐标原点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，若矩形OABC的顶点B的坐标为B（8，6），则B的对应点B1的坐标为______________．
13．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣3，1），C（﹣1，1），以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将△ABC放大，放大后得到△A'B'C'．画出放大后的图形，并写出A'，B'，C'的坐标．
[能力提升]★★★
14.如图，在6×8 的网格图中，每个小正方形的边长均为1。点O和△ABC的顶点均是格点。以O为位似中心，在网格中画出与△ABC位似，且相似比为 1∶2 的顶点均是格点的三角形。
15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCD与矩形EFGO是位似图形，位似中心在y轴上，对应点B、F的坐标分别为（﹣4，4）、（2，1），则位似中心的坐标为_____________
16．如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且，若点A（﹣1，0），点C（，1），则A′C′＝_____________．
第15题 第16题 第17题
17．如图，四边形ABCD是正方形，原点O是四边形ABCD和A′B′C′D′的位似中心，点B、C的坐标分别为（﹣8，2），（﹣4，0），点B′是点B的对应点，且点B′的横坐标为﹣1，则四边形A′B′C′D′的周长为_____________．
18．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B'的横坐标是 _____________．
[培优创新]★★★★
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB作n次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA1B1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变换后得到等边三角形OA2B2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变换后得到等边三角形OA3B3，其边长OA3缩小为OA2的，…按此规律，经第n次变换后，所得等边出角形OAnBn．的顶点An的坐标为（，0），则n的值是_____________