2.5 解直角三角形的应用（1） 学案（无答案）2024-2025学年青岛版九年级上册

2.5 解直角三角形的应用（1） 编制人：憲福数学 审核人：憲福数学 学案编号：5 时间: 2025 /2 班级 姓名
2.5 解直角三角形的应用（1）
【学习目标】
1.会用解直角三角形的有关知识解某些简单的实际问题；
2.了解仰角、俯角；
3.感悟抽象、转化和数形结合的数学思想
【学习重点】将实际问题转化为解直角三角形问题
【学习难点】将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素间关系进行解题
【学习过程】
一、情境引入
东方明珠塔是上海市的一个标志性建筑。为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200m处的地面上，安放高1.20m的测角仪支架，测得东方明珠塔顶的仰角为60°48'。根据测量结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪支架，DC=1.20 m，CB = 200 m，∠ADE=60°48'。
利用上述数据，你能求出AB的长吗？（学生独立思考，与大家分享自己的解决方法）
二、新知探究
阅读课本第54页“小资料”，回答下面问题：
1.什么叫水平线？什么叫仰角？什么叫俯角？
在实际测量中，从低处观测高处的目标时，____________所成的锐角叫做仰角；从高处观测低处的目标时，____________所成的锐角叫做俯角。
2.试举出生活中仰角、俯角的例子
三、典型例题
例1.如图，一架直升飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为 1.5 km，飞机距目标3 km。求飞机在A处观测目标B的俯角。
（学生独立思考，并完成题目的解答）
武汉长江二桥为斜拉索桥，AB和AC分别是直立塔AD左右两边的两根最长的钢索。已知AB=AC，BC=100m，AB与BC的夹角为30°，求钢索AB的长及直立塔AD的高（精确到 0.1 m）
（同桌互相交流，学生上台板书分享）
总结：直角三角形边角之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要工具。把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的直角三角形。这一解答过程的思路是：
四、课堂小结 本节课你有什么收获？
五、当堂检测
1.如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的距离 BC = 3.2 m，底端到墙根的距离AC = 2.4 m。
（1）求梯子的长度和梯子与地面所成角的大小（精确到 1'，参考数据：tan53°8′≈）；
（2）如果把梯子的底端到墙根的距离减少 0.4 m，那么梯子与地面所成的角是多少？
2.住宅的采光是建楼和购房时人们所关心的问题之一。如图，住宅小区南、北两栋楼房的高度均为16.8 m。已知当地冬至这天中午12时太阳光线与地面所成的角是 35°。（参考数据：tan35°≈0.57）
（1）要使这时南楼的影子恰好落在北楼的墙脚，两楼间的距离应为多少米（精确到0.1 m）？
（2）如果两栋楼房之间的距离为20 m，那么这时南楼的影子是否会影响北楼一楼的采光？
六、课后分层作业
【基础闯关】
1．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（　　）
A．15米 B．米 C．米 D．米
2．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（　　）m．
A．10 B．15 C．15 D．155
3.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是　 m（结果保留根号）
第1题 第2题 第3题 第4题
4．某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，桥AB的长度为________．
5．我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心．当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角∠DPA为30°且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角∠DPB为45°，求天舟二号从A处到B处的平均速度．（结果精确到1m/s，取1.732，1.414）
6．在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府现决定用爆破的方式拆除该烟囱．如图，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员将高为1.2m的测角器放在与烟囱底部B处成一直线的C，D两处，分别测得烟囱顶部A处的仰角∠B′C′A＝60°，∠B′D′A＝30°，同时量得CD的长为60m。求烟囱AB的高度。（结果精确到0.1m．参考数据：1.414，1.732）
【能力提升】
数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（　　）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，
sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
A．28m B．34m C．37m D．46m
8．如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为 　 　m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
9．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　 　米（结果保留根号）．
第7题 第8题 第9题
10．某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）
【培优创新】
11．数学活动课上，小明同学利用无人机测量大楼CD的高度．无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为120米，楼AB的高度为18米的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同平面内）．
（1）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（2）求此时无人机距离地面BC的高度．