2024—2025学年度第一学期学业质量监测
九年级数学（参考卷）
注意事项：
1、全卷分 A卷和 B卷，A卷满分 100 分，B卷满分 50分；考试时间 120分钟。
2、考生使用答题卡作答，在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在试卷和答题卡上。
3、选择题部分使用 2B铅笔填涂；非选择题部分请使用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写，超出答题区域书写的答
案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
A卷 （满分 100分）
第Ⅰ卷（选择题，共 32分）
一、选择题（本大题共 8个小题，每小题 4分，共 32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符
合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下图是由 5个大小相同的小正方体摆成的立体图形，它的左视图是
（A） （B） （C） （D）
2．用配方法解方程 2 6 7 = 0，下列配方正确的是
（A）( 3)2 = 13 （B）( + 3)2 = 13
（C）( 3)2 = 16 （D）( + 3)2 = 16
3．如图，已知∠1 = ∠2，添加下列一个条件后，仍无法判定△ ∽△ 的是
（A）∠ = ∠ B （ ） = （C）∠ = ∠ （D） =
4 ．已知反比例函数 y = 图象经过点(2, 3)，则下列各点不在此函数图象上的是
（A）(3, 2) （B）( 2,3) （C）(1,6) （D）(1, 6)
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5．下列选项中，正方形具有而菱形不具有的性质是
（A）四条边都相等 （B）对角线互相垂直
（C）对角线互相平分 （D）四个角都是直角
6．如图，将两个矩形叠合放置，如果∠1 = 115°，那么∠2等于
（A）25° （B）45° （C）65° （D）85°
7．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么符合
这一结果的实验最有可能的是
6题 7题
（A）掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
（B）掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是 6
（C）在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
（D）袋子中有 1个白球和 2个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
8．如图，在宽度为 20m，长为 32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，
要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽。如果设小路宽为 m，根据题意，所列方程正确的是
（A）（20 ）（32 ） = 540 （B）（20 ）（32 ） = 100
（C）（20 + ）（32 ） = 540 （D）（20 + ）（32 + ） = 540
第Ⅱ卷（非选择题，共 68分）
二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分，答案写在答题卡上）
x y
9．如果 : = 2: 3，那么 y = 。
10．已知关于 x的一元二次方程 2 + 4 + 9 = 0 有一个根为 0，则 = 。
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11．已知反比例函数 = 3 的图象位于第一、三象限，则 的取值范围是 。
12．如图，现有测试距离为 5m的一张视力表，表上一个 E 的高 AB为 2.5cm，要制作测试距离为 3m的视力表，
其对应位置的 E 的高 CD为 cm。
13．如图，边长为 3的正方形 中， 为 边上一点，且 = 1， 是对角线 上的一个动点，则 +
的最小值为 。
三、解答题（本大题共 5个小题，共 48分，答案写在答题卡上）
14．（本小题满分 12分）
2
（1）计算： 1 + 27 + 2025 0 + 3 2 （2）解方程： + 8 ( + 1) = 12。
2
15．（本小题满分 8分）
成都东部新区山水优美、生态独特、底蕴丰厚。拥有“一山一江三廊多湖”的生态格局，坐拥天府明珠三岔
湖，毗邻全球最大的城市森林公园——龙泉山城市森林公园。某校准备组织学生开展一场研学活动，学校选取了
四个研学基地举办此次活动：A.“三岔湖”，B.“丹景台”，C.“世园会”，D.“三鱼萌狮文化村”。为了了
解学生对以上研学基地的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一个喜欢的研学基地），
并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
根据图表信息，解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人，扇形统计图中 D所对应的 = 。
（2）该校一共有 1500名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择 B景点的有多少人？
（3）为更好的宣传新区旅游景点，有 4名学生（恰好 2男 2女）自愿为此次研学基地撰写宣传稿，该校决
定从这四名学生中选取 2人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到一男一女的概率。
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16．（本小题满分 8分）
在成都未来科技城福田 TOD地铁站台，以银杏为设计元素的“科技树”，像一个个超大雨伞，兼具集雨水
收集、灯光联动等功能，实现站台整体的绿色低碳（如图 1）。在数学活动课中，小明利用硬纸板自制 Rt△CHM
测量“科技树”的高度，即 AG的长（如图 2）：已知，在 Rt△CHM中， = 1.2米， = 0.5米，E，F是
树干上两点，目测点 C到地面的距离 = = 2米，到树干的水平距离 = 108.2米，他通过调整位置，使
斜边 CM与点 E在同一直线上，另一条直角边 CH与“科技树”左侧最高点 A在同一直线上，树冠 A的正投影
点 G到树干底端 F距离即 = 17米。求“科技树”AG的高度。
图 1 图 2
17．（本小题满分 10分）
如图，在平行四边形 ABCD中，E，F是 AD和 BC的中点，且 = 。在 BC的延长线上取一点 G，连接
OG 1，使得∠G = ∠ 。
2
（1）求证：四边形 AFCE为菱形；
（2）若 = 8， = 6，求 OG的长。
18．（本小题满分 10分）
如图 1，直线 = + 交反比例函数 y= 的图象于点 A( 2,4)，B(3,a)两点，与 y轴交于点 C，
（1）求一次函数和反比例函数表达式；
（2）已知点 D是 y轴上的一点，且∠ = 45°，请求出点 D坐标；
（3）点 M( 4,2)连接 AM，在直线 AB上取一点 P，连接 MP，将
△PAM以点 P为位似中心作位似图△ ' '，位似比为 3，是否存在点 P，
使 '恰好落在反比例函数图象上，若存在，请直接写出点 P的横坐标，
若不存在，请说明理由。
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B卷(共 50分)
一、填空题（本大题共 5个小题，每小题 4分，共 20分）.
3 2
19．已知 = = ，（ 2 ≠ 0）则代数式 的值为 。
5 2
20．成都某区养羊专业户为了估计农场中羊群的总数，他先从农场羊群中赶出 90 只羊，将每只羊作好记号后放
回农场羊群中，当它们完全混合于羊群后，再从农场羊群中赶出 30 只羊，发现其中带记号的羊有 18 只，
估计该农场里约有 只羊。
21 1 1 1．已知 1 = ， 2 = 1 + ， 3 = 1 + + . . . . . . +
1
+1
= 1 + ，（ ≥ 1，且 n 为正整数）．若 . . . . . . . . =
1 2 1 2 3 7
，则 a的值为 。
22．如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的直角顶点 C在 x轴上，锐角顶点 A在 y轴上，其中点 A的坐
标为(0,4)，点 C的坐标为(2,0)，点 D是斜边 AB的三等分点(BD＞AD)，双曲线 = (x＞0)正好经过 B，
D两点，则 k的值为 。
23．如图，在正方形 ABCD中， = 2 2，对角线 AC、BD交于点 O，点 E是 OA的中点，点 F是 BD上的动
点，连接 AF，将 AF绕点 A顺时针旋转 90°得到 AG，连接 EG，则 AF＋EG的最小值为 。
22题 23题
二、解答题（本大题共 3个小题，共 30分，答案写在答题卡上）
24．（本小题满分 8分）
2024年巴黎奥运会顺利举行，奥运纪念品深受喜爱，某商场两次购进 A，B两款纪念品。第一次购进 A款
纪念品 100件，B款纪念品 80件，共 6200元，第二次购进 A款纪念品 150件，B款纪念品 40件，共 6100元。
（1）求 A，B两款纪念品的进价各是多少元？
（2）商场为了尽快将 A款纪念品销售完，决定对 A款纪念品进行降价销售，当销售单价为每个 60元时，
每周可以卖出 50个，每降 10元，每周就可以多卖 100个，请问商场将每个 A款纪念品降价多少元时，每周销
售 A款纪念品的利润为 2340元？
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25．（本小题满分 10分）
1
如图，在平面直角坐标系中，双曲线 y = 与直线 = 2 交于点 A，点 B( 4,m)。点 C在直线 AB上方
的双曲线上，直线 CB分别交 x轴、y轴于点 D、E，连接 AC交 y轴于点 F。
（1）求点 B的坐标和 k的值；
（2）点 M 为反比例函数图象第四象限上一点，当 =3时，记点 M到直线 BC的距离为 t，求 t取最小值
时点 M的坐标；
（3）在 x轴上有一点 P，反比例函数 y= 的图象上有一点 Q，连接 PQ，PQ∥BC，2 = ，当△AOF
的面积与四边形 OBCF的面积比为 1:2 时，直接写出 P点的坐标。
备用图
26．（本小题满分 12分）
如图，在正方形 ABCD中，M为 BC边上一动点（点 M不与 B，C重合），连接 DM，将线段 DM绕点 M
逆时针旋转 90°得到线段 MN，连接 BD、BN、DN，DN交 AB边于点 P。
（1）如图 1，求证：△DCM∽△DBN；
CM PN
（2）如图 2，设 x， y，
BM DP
①当 x 1时，请探究得出 y的值；
②求出 y与 x之间满足的关系式。并解决问题：如图 3所示，连接 MP，若 = 2 3，当∠ = 30°
时，求 CM的长。
图 1 图 2 图 3
九年级数学 第 6 页 共6页2024—2025 学年度第一学期学业质量监测
九年级数学（参考答案）
A 卷
一、选择题（每小题 4分，共计 32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B C D C B A
二、填空题（每小题 4分，共计 20分）
9 . 10．9 11．m>3 12. 1.5 13. 13
三、解答题
14.（1）解原式：=4 + 3 3 + 1 + 2 3 ............................（4分）
= 7+ 2 3............................（6分）
（2）解： 2 + 9 + 8 = 12
2 + 9 + 20 = 0
( + 4)( + 5) = 0............................（3分）
1 = 4， 2 = 5
15.（1）50， 10 ...............（2分）
2 15（ ） × 100%=30%...........................（3分）
50
1500× 30% = 450人 .......................（4分）
答：选择 B景点的人大约有 450人。（无答语不扣分）
（3）画树状图如下：
16解：根据题意，设 AG于 CF相交于点 B，
由题意得 BE=GF=17，CB=CE =91.2；......................（2分）
CE⊥AB，CE⊥EF；
∴∠CHM=∠ABC=90°
∵∠HCM=∠BCA
∴△HCM∽△BCA......................（4分）
= ∴
= 0.5∴ ......................（6分）
91.2 1.2
解得 AB=38
∴AG=BG+AB=40米......................（7分）
答：科技之树 AG的高度为 40米.......................（8分）
(无答语扣 1分)
17、（1）证：∵四边形 ABCD为平行四边形
∴ ∥=BC...................（1分）
∵E、F为 AD和 BC的中点
∴AE=ED=CF=BF...................（2分）
∴四边形 ABCD是平行四边形
∵ =
∴AF=AE..................（3分）
∴四边形 AECF为菱形..................（4分）
（2）如题所示：
∵AC=8，EF=6
∴OF=3， CO=4， FC=5..................（2分）
∵∠G=1∠ACE
2
∴∠G=1∠OCF..................（7分）
2
∵∠G+∠GOC=∠OCF
∴∠G=∠COG
∴OC=CG=4..................（8分）
作 OH⊥CF
∵OH C=OF CO
12 16
∴OH= ; = 2 2 =
5 5
HG=36∴ ..................（9分）
5
在Rt△GOH中
2 = 2 + 2
OG=12 10解得 ..................（10分）
5
18（1）解：由题可得
8
反比例函数 y= ..................（1分）
所以 B（3， 8）.............（2分）
3
y= 4 x + 4一次函数 ...............................（3分）
3 3
（2）①如图构造一线三等角模型，易证△ABM △BQN
∵A（-2,4）B（3 8， ）
3
AM=BN=5,BM=QN=20
3
Q -11 23∴ （ ， ）..................（4分）
3 3
设 AQ的函数表达式为 y = kx + b
23 = 11 k + b
则 3 3
4 = 2k + b
解得 K=7，b=18
∴D1(0,18)（∠DAB=135°，不合题意舍去）
②AD2与AD1垂直
1
∴设直线AD2的解析式为 y = x + b..................（5分）7
∵A（-2,4）
∴4 = 2 + b
7
26
解得 b=
7
D (0,26∴ 2 )7
26
综上所述 D（0, ）..................（6分）
7
25 29± 457
（3）P点横坐标有 0， ， ..................（10分）
8 8
（少一个答案扣 1分，对一个得 2分，全对得 4分）
B 卷
一、填空题（每小题 4分，共计 20分）
19 3. 20.150 21.4+ 29或 4+ 29 22. 4 23. 17
5
二、解答题
24.（1）解：设每件 A款纪念品 x元，每顶 B款纪念品的价格 y元．
根据题意列方程组为：
100 + 80 = 6200
150 + 40 = 6100............................................................（2分）
解得
= 30
= 40............................................................（3分）
答：每件 A款纪念品 30元，每件 B款纪念品 40元....（4分）
（2）解：设每件 A款纪念品降价 m元，没由题意得
2340=（30-m）（50+10m）............................................................（6分）
解得： 1 = 21，m2 = 4（舍去），............................................................（7分）
答：每个 A款纪念品降价 21元时，每周销售 A款纪念品的利润为 2340元...（8分）
1
25、(1)解：把点B 4,m 代入直线 y x，
2
∴m=2，即 B(-4,2)………………………1分
k
把 B(-4,2)代入 y ，
x
∴k=-8，
∴反比例函数为 y
8
……………………2 分
x
(2)解：过点 B作 BG⊥x 轴于点 G，过点 C作 CH⊥x 轴于点 H，
∴BG∥CH，即△DBG∽△DCH，BG=2，
BG DB
∴ ，
CH DC
CB
∵ 3，
BD
2 1
∴ ，即 CH=8，…………………3 分
CH 3 1
y y 8把 C =8代入 得，x=-1，x
∴C(-1，8)，…………………………………4分
设 yBC k1x b1，代入 C(-1，8)、B(-4,2)得，
k1 b1 8 k1 2
4k b 2，解得
1 1 b1 10
，
∴直线 BC：y=2x+10，………………………………………5分
设过点 M的直线为 l，且 l∥BC，则 l：y= 2x b2 ，
∴当 l 与反比例函数只有一个交点时，t值最小，…………………………6 分
2x b 8= 2∴ 2 ，即 2x b2x 8 0①，x
=b2∴ 2 4 2 8 0，即b2 8（正值舍去），
把b2 8代入①得，x=2，
∴M(2，-4). ………………………………………………………7 分
（3）连接 OC，过点 C作 CK⊥y 轴于点 K，过点 A 作 AL⊥y 轴于点 L，
由△AOF的面积与四边形 OBCF的面积比为1: 2得，
设 S AOF n， S 2n四边形OBCF ，
∴ S ABC 3n，
由反比例函数、正比例函数的对称性得，
OA=OB，A(4,-2)，
∴ S AOC S BOC 1.5n， S COF 0.5n，
S AOF n AF
∴ 2 S , COF 0.5n CF
∵AL∥CK，
∴△AFL∽△CFK，
AL AF 4
∴ ， 2，
CK CF CK
∴CK=2，C(-2,4)，
设 BC： y k3x b3，C(-2,4)，B(-4,2)代入得，
2k3 b3 4 k3 1
4k b 2，解得 3
3 b 6
，
3
∴BC： y x 6，
令 x=0，得 y=6，E(0,6)，
在 Rt△ECK 中，CK=EK=2，CE 2 2，∠ECK=45°
当点 Q 在第二象限时，过点 Q 作 QJ⊥x 轴于点 J，
∵PQ∥BC，
∴∠QPJ=45°,
8
设 Q c, ，
c
8
∴QJ=PJ= ，
c
1
∵PQ= CE，
2
∴PQ= 2，
8 PQ
∴ c ，2
∴c=8，
∴P(-9,0)，
当点 Q 在第四象限时，P(9,0)，
综上，P的坐标为(-9,0)或(9,0). …………………………………10分（一个坐标 2
分，两个坐标 3分）
26.(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
CD 1
∴ ，∠BDC=45°，………………………………1分
BD 2
∵线段 DM绕点 M逆时针旋转 90°得到线段 MN，
∴△DMN是等腰直角三角形，
DM 1
∴ ，∠MDN=45°，…………………………………2分
DN 2
CD DM
∴∠CDM=∠BDN， ，
BD DN
∴△DCM∽△DBN；………………………………3分
CM
(2)解：∵ x 1，
BM
∴设 CM=BM=A，…………………………………4 分
由(1)得△DCM∽△DBN，
CM CD 1
∴ ，∠DBN=∠DCM=90°,
BN BD 2
∴BN= 2a ,∠ABN=∠DBN-∠ABD=90°-45°=45°, ………5 分
过点 N作 NG⊥AB于点 G，
BN
∴△BNG 是等腰直角三角形，NG= =A，
2
∵NG∥AD，
∴△PNG∽△PDA，…………………………………6分
PN NG a 1
∴y= .…………………………………7 分
PD AD 2a 2
x
(3)解：由(2)得 y= ，……………………………8 分
x 1
过点 P作 PH⊥MN于点 H，
∵∠PMN=30°，∠PNH=45°，
∴在 Rt△PHM 中，
设 PH=b，HM= 3b，
在 Rt△PNH 中，
NH=PH=b，PN= 2b，……………………9分
∴在 Rt△DMN中，
MN=NH+HM= 3 1 b，DN= 2 MN= 6 2 b，
y= PN 2b 1∴ ，…………………10 分
PD 6b 3
x
y= 3 1代入 得，x= ，…………………11分
x 1 2
CM 1
∴ ，
BC 3
∵BC=AB=2 3，
1
∴CM= 2 3 =2. ………………12分
3
