河北省保定市2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（A）（图片版，含答案）

河北省保定市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷（A）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 1: 3 + 4 = 10与直线 2: 3 + 4 5 = 0的距离 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.直线 + 2 1 = 0的一个方向向量是( )
A. (1, 2) B. (2,1) C. (2, 1) D. (1,2)
3.在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
4.过三点 (0,0)， 1(6,0)， 2(0,8)的圆的标准方程为( )
A. ( 3)2 + ( + 4)2 = 25 B. ( + 3)2 + ( 4)2 = 25
C. ( + 3)2 + ( + 4)2 = 25 D. ( 3)2 + ( 4)2 = 25
5
5.等比数列{ }的前 项和为 ，
4 = ，则数列{ }的公比 =( ) 2 4
1 1
A. B. 2 C. ± D. ±2
2 2
6.在平行六面体 1 1 1 1中， 与 交于点 ，设 = ， = ， 1 = ，则 1 =( )
1 1 1 1
A. + B. +
2 2 2 2
1 1 1 1
C. + D. + +
2 2 2 2
7.抛物线 2 = 2 ( > 0)与圆( )2 + 2 = 5 2交于 、 两点，| | = + 6，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2 2 3
8.已知 1( , 0)， 2( , 0)分别为椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右焦点，点 为直线 : = + 与椭 4
圆 的一个公共点，满足 1 ⊥ 2，且 △ = 24，则椭圆 的方程为( ) 1 2
2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + 2 = 1
49 25 49 24 25 24 25
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列数列{ }中，一定是单调递增数列的是( )
9
A. 2 = + B. = 2 5 + 4
C. +1 = + D. +1 = 2
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10.如图，在棱长为4的正方体 1 1 1 1中，点 为 1线段的中点，点 在底面四边形 内(包
括边界)移动，且| 1 | = 2√ 5，则( )
A. ⊥ 1
B. 点 1到平面 1 1 的距离为√ 3
C. 点 的轨迹长度为
D. 为线段 上的点，则|| |的最小值为2为2

11.当半径为 的动圆沿着半径为 的定圆的内侧沿圆周无滑动地滚动时，动圆圆周上的一定点 的轨迹为星
4
2 2 2
形线.如图所示现有一个星形线 : 3 + 3 = 83 = 4，下列说法正确的是( )
A. 点(1,5)在曲线 的外部
B. 曲线 所围成的封闭区域的面积小于128
C. 曲线 上的点到原点的距离最小值为4
D. 直线 + 4√ 3 = 0与曲线 有三个交点
三、填空题：本题共 1 小题，每小题 5 分，共 5 分。
12.(1)抛物线 2 = 8 上与焦点的距离等于8的点的纵坐标为 ．
(2)设 是数列{ }的前 项和， 1 = 1且 = 1( ≥ 2)，则 5 = ．
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(3)在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 为平面 1 1 内一动点， 与 所成的角为 ，则动点 所6
在曲线的焦距为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
已知曲线 的方程为 2 + 2 2 + 4 + 2 4 + 5 = 0
(1)若曲线 表示圆，求 的取值范围;
(2)当 = 1时，直线 : 1 = 0与曲线 交于 ， 两点，求| |．
14.(本小题12分)
在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 .点 ， 分别在 ， 上，且 ⊥ ， ⊥ ，
， 分别为 ， 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ;
(2)当 = 4， = 2， = 2，求平面 与平面 的夹角．
15.(本小题12分)
已知数列{ }满足

1 = 6，且 +1 2 = 2 4 .数列{

}的前 和为 ， = 4 ．
(1)证明：数列{ }为等比数列，并求出数列{ }的通项公式;

(2)求数列{ +1 }的前 项和
+1
16.(本小题12分)
古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 的中
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心为原点，焦点 1， 2均在 轴上，| 1 2| = 2√ 3，其面积为2 ．
(1)求椭圆 的方程;
(2) 1， 2分别是椭圆 的左，右顶点， 1， 2分别是椭圆 的上，下顶点，设 为第二象限内椭圆 上的动
点，直线 1与直线 2 2交于点 ，直线 1 与直线 = 2交于点 ，判断直线 的斜率是否为定值，若是
求出这个值;若不是，说明理由．
17.(本小题12分)
从 点引出三个不共面的向量 1 ， 2 ， 3 ，它们之间的关系和右手拇指、食指、中指相同，则这个标架
{ ; 1 , 2 , 3 }构成右手标架，如图所示.规定： × 为一个向量，它的长度为| || |sin < ， >，它的方
向与向量 ， 均垂直，且使{ ; , , × }构成右手标架.该运算满足： × ( ) = ( × ); ( + ) × = ×
+ × ; × ( + ) = × + × ． ， ， 为单位正交基底，且{ ; , , }符合右手标架，以 ， ， 的
正方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，若 = + + ，则记 = ( , , )．
(1)证明： × = ( × );
(2)已知向量 = (1,2,0)， = (1,0,3)，求 × 的坐标表示;
(3) ①三棱锥 中， × = (1,2,2)， = (2,1,2)，求三棱锥 的体积 ;
②请结合“×”与“数量积”的几何意义，用 ， ， 1表示平行六面体 1 1 1 1的体积．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(1)6;
1
(2) ;
5
(3)14.8．
13.【答案】解：(1)若曲线 表示圆，则( 2)2 + (4 )2 4( 2 4 + 5) > 0，
2
解得 > 或 < 2．
3
(2)当 = 1时方程 2 + 2 2 + 4 + 2 4 + 5 = 0为 2 + 2 2 + 4 + 2 = 0表示的圆心(1, 2)
半径为√ 3的圆，
|1+2 1|
圆心(1, 2)到直线 : 1 = 0的距离 = = √ 2，
√ 1+1
因此| | = 2√ 2 2 = 2．
14.【答案】解：(1) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵底面 为矩形，∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
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∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴ ⊥ ，
同理， ⊥ ，
∵ ∩ = ， 、 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)解：以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，
其中 (0,0,2)， (4,0,0)， (0,1,0)， (4,2,0)， (2,0,0)，
由(1)知平面 的法向量为 = (4,2, 2)， = (2,0, 2)， = (0,1, 2)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
{
= 0 2 2 = 0 = ，即{ ，解得{ ， = (1,2,1)，
= 0 2 = 0 = 2
·
4×1+2×2 2×1 1
cos < ， >= = =| || | 2 2，
√ 6×√ 42+22+( 2)
因此平面 与平面 的夹角的为60°．
15.【答案】解：(1)由已知得 +1 = 2 + 2 4
，
+1 +1 +1 +1 4 2 +2 4 4 2( 4
)
=
4
= = = 2，
4
4

因此数列{ }为等比数列．
∵数列{ 4
}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴ 4 = 2 即 = 2 + 4 ；
(2) = 4
= 2 + 4 4 = 2 ，
∴ { }的前 和为 = 2 +1 2，
2 +1 +1 1 1=
(2 +1 2)(2 +2
= ，
+1 2) 2
+1 2 2 +2 2
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1 1 1 1 1 1 1 1
∴ = + + + +
22 2 23 2 23 2 24 2 24 2 25 2 2 +1 2 2 +2 2
1 1
= ．
2 2 +2 2
2 2
16.【答案】解：(1)设椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)，
由题意知 = 2 ， 2 2 = 3，
解得 = 2， = 1，
2
所以 的方程为 + 2 = 1；
4
(2) 1( 2,0)， 2(2,0)， 1(0,1)， 2(0, 1)，
2
设 ( , )则 + 2 = 1即4 2 + 2 = 4，
4
4
直线 1 : = ( + 2)得 (2, )， +2 +2
1
直线 1 : = + 1与直线 2 2: = 2 + 2，
4 +2 2
联立得 ( , )，
2 +2 2 +2
+ 2 2 4

= 2 + 2 + 2 4
2
2 + 2
( + 2 2)( + 2) 4 ( 2 + 2)
=
2( + 2 2)( + 2)
2 2 +8 2 4 4
= ，
2 2+4 +8 8
因为4 2 + 2 = 4即 2 = 4 4 2代入上式
(4 4 2) 2 +8 2 4 4
得 = 2(4 4 2 )+4 +8 8
4 2 2 4 1
= = ．
8 2+4 +8 2
17.【答案】解：(1)证明：若 与 共线时， × = × = 0 ;
若 与 不共线时，| × | = | || |sin < ， >= | || |sin < ， >= | × |，
即 × 与 × 的模相等;
根据定义知 × 与 × 同时垂直于 ， ，因此 × 与 × 共线;
由于按顺序 ， ， × 与 ， ， × 分别构成右手标架{ ; , , × }与{ ; , , × }，
所以 × 与 × 方向相反，因此 × = × ;
(2) = (1,2,0) = + 2 ， = (1,0,3) = + 3 ，
× = ( + 2 ) × ( + 3 ) = × + × 3 + 2 × + 2 × 3 ，
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由定义知 × = × = × = 0 ， × = ， × = ， × = ， × = ，
代入上式得 × = 6 3 2 ，
因此 × 的坐标表示为(6, 3, 2)；
(3) ①| × |的几何意义为以 ， 为邻边的平行四边形的面积，
1
∴ = | ×
3
△ | = ， 2 2

= (2,1,2)在 ×
( × ) 8
方向上的投影向量的长度为| | | = ，
| × | 3
1 ( × ) 1 3 8 4
则 = △ | | = = ; 3 | × | 3 2 3 3
②| × |的几何意义得平行六面体 1 1 1 1底面 的面积为| × |，
点 1到底面 的距离为 1在底面 的法向量 × 的投影向量的长度，
( × )·
因此 = | × | |
1| = |( × ) |.
1 1 1 1 | × | 1
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