江苏省无锡市江阴市四校联考2015-2016学年高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

2015-2016学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（下）期中数学试卷（文科）
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1．命题，则 p：　　　　　　．
2．已知复数z=3+4i（i为虚数单位），则|z|=　　　　　　．
3．设全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}，A={﹣1，0，1，2，3}，若B UA，则集合B的个数是　　　　　　．
4．已知复数z1=2+i，z2=4﹣3i在复平面内的对应点分别为点A、B，则A、B的中点所对应的复数是　　　　　　．
5．已知，那么f（x）的解析式为　　　　　　．
6．已知，其中n∈R，i是虚数单位，则n=　　　　　　．
7．函数的定义域为　　　　　　．
8．函数f（x）=的值域为　　　　　　．
9．若函数在（a，a+6）（b＜﹣2）上的值域为（2，+∞），则a+b=　　　　　　．
10．若命题“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　．
11．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　　　．
12．记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y=2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是　　　　　　．
13．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为　　　　　　．
14．设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[﹣1.5]=﹣2．若函数（a＞0，a≠1），则g（x）=[f（x）﹣]+[f（﹣x）﹣]的值域为　　　　　　．
　
二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知A={x|x2≥9}，B={x|﹣1＜x≤7}，C={x||x﹣2|＜4}．
（1）求A∩B及A∪C；
（2）若U=R，求A∩ U（B∩C）
16．已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．
17．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为 ，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．
18．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
（1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
19．若f（x）为二次函数，﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，求实数m的取值范围．
20．已知函数f（x）=loga（a＞0且a≠1）的定义域为{x|x＞2或x＜﹣2}．
（1）求实数m的值；
（2）设函数g（x）=f（），对函数g（x）定义域内任意的x1，x2，若x1+x2≠0，求证：g（x1）+g（x2）=g（）；
（3）若函数f（x）在区间（a﹣4，r）上的值域为（1，+∞），求a﹣r的值．
　
2015-2016学年江苏省无锡市江阴市四校联考高二（下）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1．命题，则 p：　　．
【考点】命题的否定．
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题，则 p：．
故答案为：
　
2．已知复数z=3+4i（i为虚数单位），则|z|=　5　．
【考点】复数求模．
【分析】直接利用复数模的计算公式得答案．
【解答】解：∵z=3+4i，
∴|z|=．
故答案为：5．
　
3．设全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}，A={﹣1，0，1，2，3}，若B UA，则集合B的个数是　4　．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1，2，3}， UA={﹣2，4}，Ly B UA，即可得出满足条件的集合B的个数．
【解答】解：全集U={x∈Z|﹣2≤x≤4}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A={﹣1，0，1，2，3}，
UA={﹣2，4}，
∵B UA，则集合B= ，{﹣2}，{4}，{﹣2，4}，
因此满足条件的集合B的个数是4．
故答案为：4．
　
4．已知复数z1=2+i，z2=4﹣3i在复平面内的对应点分别为点A、B，则A、B的中点所对应的复数是　3﹣i　．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由复数z1=2+i，z2=4﹣3i在复平面内的对应点分别为点A、B，知A（2，1），B（4，﹣3），所以A、B的中点坐标（3，﹣1）．由此能求出A、B的中点所对应的复数是
【解答】解：∵复数z1=2+i，z2=4﹣3i在复平面内的对应点分别为点A、B，
∴A（2，1），B（4，﹣3），
∴A、B的中点坐标（3，﹣1）．
∴A、B的中点所对应的复数是3﹣i．
故答案为：3﹣i．
　
5．已知，那么f（x）的解析式为　　．
【考点】函数的表示方法．
【分析】函数对定义域内任何变量恒成立，故可以用x代即可求出f（x）解析式．
【解答】解：由可知，函数的定义域为{x|x≠0，x≠﹣1}，
取x=，代入上式得：f（x）==，
故答案为：．
　
6．已知，其中n∈R，i是虚数单位，则n=　1　．
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】化简原式可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解之即可．
【解答】解：∵，∴2=（1﹣i）（1+ni），
化简可得2=1+n+（n﹣1）i，
由复数相等可得，解得n=1，
故答案为：1
　
7．函数的定义域为　[﹣2，0）∪（3，5]　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数，列出使函数有意义的不等式，求出解集即可．
【解答】解：∵函数，
∴1﹣lg（x2﹣3x）≥0，
即lg（x2﹣3x）≤1，
∴0＜x2﹣3x≤10，
解得﹣2≤x＜0或3＜x≤5，
∴函数f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（3，5]．
故答案为：[﹣2，0）∪（3，5]．
　
8．函数f（x）=的值域为　（﹣∞，1]　．
【考点】函数的值域．
【分析】按分段函数分段求f（x）的取值范围，从而解得．
【解答】解：∵x≤0，
∴0＜f（x）=2x≤1，
∵x＞0，
∴f（x）=﹣x2+1＜1，
综上所述，f（x）≤1，
故答案为：（﹣∞，1]．
　
9．若函数在（a，a+6）（b＜﹣2）上的值域为（2，+∞），则a+b=　﹣10　．
【考点】函数的值域．
【分析】把已知函数解析式化简，得到在（a，a+6）上为减函数，由此求得a=﹣2，在结合函数的单调性可知f（4）=1﹣=2，求出b后得答案．
【解答】解：由=，
∵b＜﹣2，∴﹣（b+2）＞0，
则函数在（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）上为减函数，
又函数在（a，a+6）上为减函数，且值域为（2，+∞），
∴a=﹣2，且f（4）=1﹣=2，解得：b=﹣8．
∴a+b=﹣10．
故答案为：﹣10．
　
10．若命题“存在x∈R，ax2+4x+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是　（2，+∞）　．
【考点】复合命题的真假．
【分析】根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使ax2+4x+a＞0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．
【解答】解：∵命题“存在x∈R，使ax2+4x+a≤0”的否定是
“任意实数x，使ax2+4x+a＞0”
命题否定是真命题，
∴，
解得：a＞2，
故答案为：（2，+∞）．
　
11．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的取值范围是　[0，）　．
【考点】函数的值域；分段函数的应用．
【分析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．
【解答】解：当x≥1时，f（x）=2x﹣1≥1，
当x＜1时，f（x）=（1﹣2a）x+3a，
∵函数f（x）=的值域为R，
∴1﹣2ax+3a必须到﹣∞，
即满足：，解得0≤a＜，
故答案为：[0，）．
　
12．记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y=2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是　3　．
【考点】函数的值域；对数函数的图象与性质．
【分析】先去绝对值原函数变成y=，所以可将区间[﹣2，a]分成[﹣2，0），和[0，a]，所以求出每种情况的y的取值范围：x∈[﹣2，0）时，1＜y≤4；而x∈[0，a]时，1≤y≤2a，所以讨论0≤a≤2，和a＞2两种情况，并求出每种情况下函数的值域，从而求出区间[m，n]的长度的最小值．
【解答】解：；
∴①x∈[﹣2，0）时，；
∴此时1＜y≤4；
②x∈[0，a]时，20≤2x≤2a；
∴此时1≤y≤2a，则：
0≤a≤2时，该函数的值域为[1，4]，区间长度为3；
a＞2时，区间长度为2a﹣1＞3；
∴综上得，区间[m，n]长度的最小值为3．
故答案为：3．
　
13．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为　（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N ）　．
【考点】归纳推理．
【分析】根据已知中各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，分析等式两边的数的变化规律，发现等号前为一个平方差的形式，右边是4的整数倍，归纳总结后，即可得到结论．
【解答】解：观察下列各式
9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），
16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），
25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），
36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），
，…，
分析等式两边数的变化规律，我们可以推断
（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N ）
故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N ）
　
14．设[x]表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1，[﹣1.5]=﹣2．若函数（a＞0，a≠1），则g（x）=[f（x）﹣]+[f（﹣x）﹣]的值域为　{0，﹣1}　．
【考点】函数的值域．
【分析】先求出函数f（x）的值域，然后求出[f（x）﹣]的值，再求出f（﹣x）的值域，然后求出[f（﹣x）﹣]的值，最后求出g（x）=[f（x）﹣]+[f（﹣x）﹣]的值域即可．
【解答】解： =∈（0，1）
∴f（x）﹣∈（﹣，）
[f（x）﹣]=0 或﹣1
∵f（﹣x）=∈（0，1）
∴f（﹣x）﹣∈（，）
则[f（﹣x）﹣]=﹣1或0
∴g（x）=[f（x）﹣]+[f（﹣x）﹣]的值域为{0，﹣1}
故答案为：{0，﹣1}
　
二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知A={x|x2≥9}，B={x|﹣1＜x≤7}，C={x||x﹣2|＜4}．
（1）求A∩B及A∪C；
（2）若U=R，求A∩ U（B∩C）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）求出A与C中不等式的解集确定出A与C，求出A与B的交集，A与C的并集即可；
（2）求出B与C的交集，根据全集R求出交集的补集，最后求出A与补集的交集即可．
【解答】解：（1）集合A中的不等式解得：x≥3或x≤﹣3，即A={x|x≥3或x≤﹣3}；
集合C中的不等式解得：﹣2＜x＜6，即C={x|﹣2＜x＜6}，
∴A∩B={x|3≤x≤7}，A∪C={x|x≤﹣3或x＞﹣2}；
（2）∵B∩C={x|﹣1＜x＜6}，全集U=R，
∴ U（B∩C）={x|x≤﹣1或x≥6}，
则A∩ U（B∩C）={x|x≥6或x≤﹣3}．
　
16．已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．
【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入|z|=1+3i﹣z，根据复数相等的充要条件可得a，b方程组，解出a，b可得z，代入，利用复数代数形式的除法运算可得结果．
【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），
而|z|=1+3i﹣z，即，
则，解得，
z=﹣4+3i，
∴==1．
　
17．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为 ，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．
【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；
命题q：不等式的解集为R，∴，解得；
若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；
p真q假时，，解得a≥8；
p假q真时，，解得；
∴实数a的取值范围为：．
　
18．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
（1）当0＜x≤20时，求v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）当4＜x≤20时，设v=ax+b，根据待定系数法求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）根据f（x）的表达式，结合二次函数的性质求出f（x）的最大值即可．
【解答】解　（1）由题意得当0＜x≤4时，v=2；
当4＜x≤20时，设v=ax+b，
由已知得：，解得：，
所以v=﹣x+，
故函数v=；
（2）设年生长量为f（x）千克/立方米，
依题意并由（1）可得f（x）=
当0＜x≤4时，f（x）为增函数，故f（x）max=f（4）=4×2=8；
当4＜x≤20时，f（x）=﹣x2+x=﹣（x2﹣20x）=﹣（x﹣10）2+，
f（x）max=f（10）=12.5．
所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5．
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
　
19．若f（x）为二次函数，﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，求实数m的取值范围．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），由题意和韦达定理待定系数可得；
（2）问题转化为m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，由二次函数区间的最值可得．
【解答】解：（1）设二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），
由f（0）=1可得c=1，
故方程f（x）﹣x﹣4=0可化为ax2+（b﹣1）x﹣3=0，
∵﹣1和3是方程f（x）﹣x﹣4=0的两根，
∴由韦达定理可得﹣1+3=﹣，﹣1×3=，
解得a=1，b=﹣1，故f（x）的解析式为f（x）=x2﹣x+1；
（2）∵在区间[﹣1，1]上，不等式f（x）＞2x+m有解，
∴m＜x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上有解，
故只需m小于函数g（x）=x2﹣3x+1在区间[﹣1，1]上的最大值，
由二次函数可知当x=﹣1时，函数g（x）取最大值5，
∴实数m的取值范围为（﹣∞，5）
　
20．已知函数f（x）=loga（a＞0且a≠1）的定义域为{x|x＞2或x＜﹣2}．
（1）求实数m的值；
（2）设函数g（x）=f（），对函数g（x）定义域内任意的x1，x2，若x1+x2≠0，求证：g（x1）+g（x2）=g（）；
（3）若函数f（x）在区间（a﹣4，r）上的值域为（1，+∞），求a﹣r的值．
【考点】函数的值域；对数函数的图象与性质．
【分析】（1）解可得x＞2，或x＜﹣2，这样即可得出m=2；
（2）根据f（x）的解析式可以求出g（x）=，进行对数的运算可以求出，并可以求出，从而得出；
（3）分离常数得到，可看出a＞1时，f（x）在（a﹣4，r）上单调递减，从而可以得到，且a=6，从而有，这样即可求出r，从而得出a﹣r，同样的方法可以求出0＜a＜1时的a，r值，从而求出a﹣r．
【解答】解：（1）m=2时，解得，x＞2，或x＜﹣2；
∴m=2；
（2）证明：，；
∴g（x1）+g（x2）==；
=；
∴；
（3）；
∴①若a＞1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递减；
∴；
∴；
∴；
∴；
②若0＜a＜1，f（x）在（a﹣4，r）上单调递增；
∴；
∴；
∴，或（舍去）；
∴．
　
2016年4月29日