, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．若tan＝3，则tan α的值为( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选B.tan α＝tan
＝＝＝－.
2．设α、β∈，且tan α＝，tan β＝，则α－β等于( )
A. B．
C.π D．－
解析：选D.tan (α－β)＝＝＝－1.
因为tan α
所以α－β＝－.
3．直线l1：x－2y＋1＝0，倾斜角为α，直线l2：x＋3y－1＝0，倾斜角为β，则β－α＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选B.由题意可知，tan α＝，tan β＝－，
所以0<α<，<β<π.所以0<β－α<π，
所以tan(β－α)＝＝＝－1.
所以β－α＝.
4．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，
则tan Atan B＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B.C＝120°，则A＋B＝60°，
又tan(A＋B)＝，故＝，所以tan Atan B＝.
5．在△ABC中，若sin A－3cos A＝0，sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0，则角C为( )
A. B．
C. D．
解析：选B.由sin A－3cos A＝0得tan A＝3.
由sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0得tan2B－tan B－2＝0，解得tan B＝2或tan B＝－1，
当tan B＝2时，tan C＝－tan(A＋B)＝1，由C∈(0，π)得C＝；当tan B＝－1时，tan C＝－tan(A＋B)＝－，
此时B、C均为钝角不合题意，舍去，综上所述C＝.
6．若A＝18°，B＝27°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是________．
解析：原式＝tan A＋tan B＋tan Atan B＋1＝tan (18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＋1＝2.
答案：2
7.＝________．
解析：原式＝－
＝＝
＝＝.
答案：
8．已知tan＝2，则＝________．
解析：因为tan＝2，所以＝2，
解得tan α＝，
所以＝
＝＝＝.
答案：
9．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan α·tan β的值．
解：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，②
由①②整理得
则tan αtan β＝＝＝－.
10．若tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．
解：由根与系数的关系可得，
tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝
＝＝.
sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝
＝
＝＝－3.
[B.能力提升]
1．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )
A．1 B．2
C．tan 10° D．tan 20°
解析：选A.原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋tan 10°＝，
因为tan(10°＋20°)＝＝，
故tan 10°＋tan 20°＋tan 10°·tan 20°＝，
所以原式＝×＝1.
2．已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则cos β的值为( )
A. B．
C．－ D．
解析：选A.因为α，β为锐角，且cos α＝，
所以sin α＝，所以tan α＝.
又tan(α－β)＝＝＝－，
所以tan β＝，即＝，
因为β为锐角，所以13cos β＝9，
整理得cos β＝.
3．已知tan α＝，cos β＝且0<α<，<β<2π则α＋β的值为________．
解析：因为<β<2π且cos β＝，
所以sin β＝－，
所以tan β＝＝－2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－1，
又因为0<α<，
所以<α＋β<π，
所以α＋β＝π.
答案：π
4．设0<β<α<，且cos α＝，cos(α－β)＝，则tan β的值为________．
解析：由0<β<α<，可得0<α－β<，
又cos α＝，cos(α－β)＝，得
sin α＝＝，
sin(α－β)＝＝，则
tan α＝4，tan(α－β)＝，所以
tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
答案：
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
解：由AB＋BP＝PD，
得a＋BP＝，
解得BP＝a.
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
则tan α＝＝，tan β＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝－18，
又∠APD＋α＋β＝π，所以tan∠APD＝18.
6．(选做题)是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝π；
(2)tan·tan β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解：若α＋2β＝π，则＋β＝，
所以tan＝＝.
又因为tantan β＝2－，
所以tan＋tan β＝3－，
所以tan，tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根，
所以x1＝1，x2＝2－.
由于α是锐角，所以0<<，故tan ≠1，
所以tan＝2－，tan β＝1.
因为0<β<，
所以β＝，α＝－2β＝，
所以存在这样的锐角α＝，β＝.
2．3 两角和与差的正切函数
, )
1．问题导航
(1)公式Tα±β中α，β的取值范围是什么？
(2)如何由公式Tα－β推出公式Tα＋β？
(3)公式Tα－β和公式Tα＋β有何不同？
2．例题导读
P121例4.通过本例学习，学会直接运用公式Tα±β求值．
试一试：教材P123习题3－2 A组T6你会吗？
P122例5.通过本例学习，学会运用公式Tα±β化简求值．
试一试：教材P123习题3－2 A组T2(5)(6)你会吗？
P122例6.通过本例学习，学会运用公式Tα±β求值．
试一试：教材P123习题3－2 A组T7你会吗？
两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切
tan (α＋β)
＝
Tα＋β
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
tan (α－β) ＝
Tα－β
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( )
(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．( )
(3)tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )
解析：(1)正确．当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝
tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立．
(2)错误．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
(3)正确．当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子，当tan αtan β＝1时，α＋β＝＋kπ，k∈Z，tan(α＋β)无意义，所以后一个式子两边同除以1－tan αtan β可得前一个式子成立，两式等价．
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．已知cos α＝－，且α∈，则tan等于( )
A．－ B．－7
C. D．7
解析：选D.因为cos α＝－，且α∈，所以sin α＝.
所以tan α＝＝－，所以tan＝＝7.
3．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝________．
解析：因为tan α＝3，tan β＝，
所以tan(α－β)＝＝＝.
答案：
4.＝________．
解析：＝tan(82°－22°)＝tan 60°＝.
答案：
1．公式Tα±β的结构特征和符号规律
(1)结构特征：公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
2．两角和与差的正切公式的变形与特例
(1)变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)；
tan αtan β＝1－.
(2)公式的特例：
tan＝；
tan＝.
化简求值
计算：
(1)；
(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°；
(3)(3＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 50°＋tan 50°tan 60°)·tan 10°.
(链接教材P122例5)
[解] (1)因为tan 15°＝tan (45°－30°)
＝
＝＝2－.
所以＝＝
＝＝－.
(2)tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝tan (10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋tan 10°tan 50°
＝tan 60°－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°
＝tan 60°＝.
(3)原式＝(1＋tan 30°tan 40°＋1＋tan 40°tan 50°＋1＋tan 50°tan 60°)·tan 10°，
因为tan 10°＝tan(40°－30°)＝，
所以1＋tan 40°tan 30°＝，
同理，1＋tan 40°tan 50°＝，
1＋tan 50°tan 60°＝，
所以原式＝
·tan 10°＝tan 40°－tan 30°＋tan 50°－tan 40°＋tan 60°－tan 50°＝－tan 30°＋tan 60°＝－＋＝.
方法归纳
解答此类问题应注意以下两点：
(1)公式的逆用
一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan 45°＝1，tan 30°＝，tan 60°＝等．
特别要注意tan＝，
tan＝.
(2)公式的变形运用
只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，就要有灵活变形应用公式Tα±β的意识，从而不难获得解题思路．
1．(1)＝________．
(2)tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝________．
(3)求下列各式的值：
①；
②tan 20°·tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°.
解：(1)＝＝＝＝＝－1.故填－1.
(2)因为tan 45°＝tan(19°＋26°)＝＝1，
所以tan 19°＋tan 26°＝1－tan 19°tan 26°，
则tan 19°＋tan 26°＋tan 19°tan 26°＝1.故填1.
(3)①原式＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝
＝＝2－.
②原式＝(tan 20°＋tan 40°)＋tan 40°·tan 20°
＝·tan 60°(1－tan 20°·tan 40°)＋tan 40°·tan 20°
＝1－tan 20°·tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝1.
给值求值(角)
(1)已知tan＝，tan＝2.求：①tan；②tan(α＋β)．
(2)设方程x2＋3x＋4＝0的两根为tan α，tan β，且0<|α|<，0<|β|<，求α＋β的值．
(链接教材P121例4，P122练习T4)
[解] (1)①tan＝tan
＝
＝＝－.
②tan(α＋β)＝tan
＝
＝＝2－3.
(2)由已知，得tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4.
所以tan(α＋β)＝＝＝，
且tan α<0，tan β <0，
所以－<α<0，－<β<0，
所以－π<α＋β <0，
所以α＋β＝－π.
方法归纳
解决给值求值(角)问题的常用策略
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．
提醒：在给值求角的问题中，根据角的范围确定角的大小．
2．已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π，
求(1)tan(α－β)的值；
(2)角α＋β的值．
解：(1)因为tan α＝，tan β＝－2，
所以tan(α－β)＝＝＝7.
(2)tan(α＋β)＝＝＝－1，
因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，
所以α＋β＝.
公式Tα±β的综合应用
(1)已知A，B是△ABC的两个内角，且tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tan C＝________．
(2)在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状．
[解] (1)因为tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，所以tan A＋tan B＝－，tan Atan B＝－，
所以tan(A＋B)＝＝＝－2.
又A＋B＋C＝π，
所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.故填2.
(2)由tan B＋tan C＋tan Btan C＝，
得tan B＋tan C＝(1－tan Btan C)，
因为A，B，C为△ABC的内角，所以1－tan Btan C≠0，
所以＝，即tan(B＋C)＝，
因为0由tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，
得(tan A＋tan B)＝－(1－tan Atan B)，
因为A，B，C为△ABC的内角，所以1－tan Atan B≠0，
所以＝－，即tan(A＋B)＝－.因为0 本例(1)中的方程“3x2＋8x－1＝0”改为“3x2＋8x－m＝0”，求tan C的取值范围．
解：由题意得Δ＝82＋12m≥0，所以m≥－.
因为tan A，tan B是方程3x2＋8x－m＝0的两个实根，所以tan A＋tan B＝－，tan Atan B＝－，则A，B中有一个为钝角，
所以tan(A＋B)＝＝
＝－，
因为A＋B＋C＝π，所以tan C＝tan[π－(A＋B)]＝，
因为m≥－，所以tan C≤－或tan C>0.
当tan C≤－时，C为钝角，此时不能构成三角形，故tan C>0.
方法归纳
公式应用的常见问题类型及处理策略
(1)方程中的应用：两角和与差的正切公式中由于同时出现了两正切的和差以及乘积，往往会与一元二次方程联系在一起，利用根与系数的关系解决有关问题．
(2)判断三角形形状：利用公式及其变形形式，结合题中所给的条件找到角之间的关系．
3．已知tan α，tan β是关于x的方程x2－4px－3＝0(p∈R)的两个实数根，且α＋β≠kπ＋(k∈Z)，求
cos2(α＋β)＋psin(α＋β)cos(α＋β)的值．
解：因为tan α，tan β是方程x2－4px－3＝0的两实根，
所以根据根与系数关系，得
tan α＋tan β＝4p，
tan αtan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝＝＝p，
即sin(α＋β)＝pcos(α＋β)．
原式＝(1＋p2)cos2(α＋β)＝＝＝1.
易错警示
给值求角中的易错误区
已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．
[解析] 由于tan α＝tan [(α－β)＋β]＝
＝＝，且α∈(0，π)，
所以α∈
又由tan β＝－，且β∈(0，π)，
得β∈(，π)，所以2α－β∈(－π，0)．
而tan(2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝＝1，
所以2α－β＝－π.
[答案] －
[错因与防范] (1)解答本题常会得到2α－β的值为，这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的范围扩大而出错．
(2)为了防范类似的错误，应该
①树立函数择优意识
选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式Tα±β较方便快捷，且不易产生增解．
②注意题设隐含条件的挖掘
个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．
4．(1)在△ABC中，若tan A·tan B>1，则△ABC必是( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
(2)已知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解：(1)选C.因为tan A·tan B>1且A、B、C为△ABC的内角，所以tan A>0，tan B>0，
又因为tan(A＋B)＝<0，所以A＋B>，所以C为锐角．
所以△ABC为锐角三角形．
(2)由tan α＝，tan β＝知，0<α<，0<β<，则0<α＋2β<，
又tan 2β＝tan(β＋β)＝＝，
所以tan(α＋2β)＝＝＝1，
所以α＋2β＝.
1.等于( )
A．tan 42° B．tan 3°
C．1 D．tan 24°
解析：选A.＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°.
2．已知tan α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是( )
A．c＝b＋a B．2b＝a＋c
C．b＝a＋c D．c＝ab
解析：选A.
所以tan ＝tan＝＝1，
所以－＝1－，所以－b＝a－c，所以c＝a＋b.故选A.
3．tan 27°＋tan 33°＋tan 27°tan 33°＝________．
解析：tan 27°＋tan 33°＝tan(27°＋33°)(1－tan 27°·tan 33°)
＝tan 60°(1－tan 27°tan 33°)＝－tan 27°·tan 33°，
所以tan 27°＋tan 33°＋tan 27°tan 33°
＝－tan 27°tan 33°＋tan 27°tan 33°＝.
答案：
, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．若tan＝3，则tan α的值为( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选B.tan α＝tan
＝＝＝－.
2．设α、β∈，且tan α＝，tan β＝，则α－β等于( )
A. B．
C.π D．－
解析：选D.tan (α－β)＝＝＝－1.
因为tan α所以α－β＝－.
3．直线l1：x－2y＋1＝0，倾斜角为α，直线l2：x＋3y－1＝0，倾斜角为β，则β－α＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选B.由题意可知，tan α＝，tan β＝－，
所以0<α<，<β<π.所以0<β－α<π，
所以tan(β－α)＝＝＝－1.
所以β－α＝.
4．在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，
则tan Atan B＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B.C＝120°，则A＋B＝60°，
又tan(A＋B)＝，故＝，所以tan Atan B＝.
5．在△ABC中，若sin A－3cos A＝0，sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0，则角C为( )
A. B．
C. D．
解析：选B.由sin A－3cos A＝0得tan A＝3.
由sin2B－sin Bcos B－2cos2B＝0得tan2B－tan B－2＝0，解得tan B＝2或tan B＝－1，
当tan B＝2时，tan C＝－tan(A＋B)＝1，由C∈(0，π)得C＝；当tan B＝－1时，tan C＝－tan(A＋B)＝－，
此时B、C均为钝角不合题意，舍去，综上所述C＝.
6．若A＝18°，B＝27°，则(1＋tan A)(1＋tan B)的值是________．
解析：原式＝tan A＋tan B＋tan Atan B＋1＝tan (18°＋27°)·(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＋1＝2.
答案：2
7.＝________．
解析：原式＝－
＝＝
＝＝.
答案：
8．已知tan＝2，则＝________．
解析：因为tan＝2，所以＝2，
解得tan α＝，
所以＝
＝＝＝.
答案：
9．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tan α·tan β的值．
解：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，②
由①②整理得
则tan αtan β＝＝＝－.
10．若tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．
解：由根与系数的关系可得，
tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3，
所以tan(α＋β)＝
＝＝.
sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝
＝
＝＝－3.
[B.能力提升]
1．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )
A．1 B．2
C．tan 10° D．tan 20°
解析：选A.原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋tan 10°＝，
因为tan(10°＋20°)＝＝，
故tan 10°＋tan 20°＋tan 10°·tan 20°＝，
所以原式＝×＝1.
2．已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则cos β的值为( )
A. B．
C．－ D．
解析：选A.因为α，β为锐角，且cos α＝，
所以sin α＝，所以tan α＝.
又tan(α－β)＝＝＝－，
所以tan β＝，即＝，
因为β为锐角，所以13cos β＝9，
整理得cos β＝.
3．已知tan α＝，cos β＝且0<α<，<β<2π则α＋β的值为________．
解析：因为<β<2π且cos β＝，
所以sin β＝－，
所以tan β＝＝－2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－1，
又因为0<α<，
所以<α＋β<π，
所以α＋β＝π.
答案：π
4．设0<β<α<，且cos α＝，cos(α－β)＝，则tan β的值为________．
解析：由0<β<α<，可得0<α－β<，
又cos α＝，cos(α－β)＝，得
sin α＝＝，
sin(α－β)＝＝，则
tan α＝4，tan(α－β)＝，所以
tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
答案：
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使得AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．
解：由AB＋BP＝PD，
得a＋BP＝，
解得BP＝a.
设∠APB＝α，∠DPC＝β，
则tan α＝＝，tan β＝＝，
所以tan(α＋β)＝＝－18，
又∠APD＋α＋β＝π，所以tan∠APD＝18.
6．(选做题)是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝π；
(2)tan·tan β＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
解：若α＋2β＝π，则＋β＝，
所以tan＝＝.
又因为tantan β＝2－，
所以tan＋tan β＝3－，
所以tan，tan β是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根，
所以x1＝1，x2＝2－.
由于α是锐角，所以0<<，故tan ≠1，
所以tan＝2－，tan β＝1.
因为0<β<，
所以β＝，α＝－2β＝，
所以存在这样的锐角α＝，β＝.
课件49张PPT。第三章 三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系第三章 三角恒等变形1．问题导航
(1)同角三角函数的基本关系与三角函数的定义有怎样的联系？
(2)同角三角函数的基本关系对于任意角都成立吗？
(3)如何理解“同角”？
2．例题导读
P113例1，P114例2，例3.通过此三例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决已知角的一个三角函数值求这个角的其他三角函数值．
试一试：教材P117习题3－1 A组T1你会吗？
P114例4.通过本例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决给值求值问题．
试一试：教材P117习题3－1 A组T2、T3你会吗？
P115例5，例6.通过此二例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决三角函数式的化简问题．
试一试：教材P117习题3－1 A组T5你会吗？
P116例7.通过此例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式进行三角恒等式的证明．同角三角函数的基本关系
1－cos2α1－sin2αtan αcos α√×××C0或8利用同角三角函数关系式求值CB三角函数式的化简 BB1三角恒等式的证明 BDA2本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放第三章 三角恒等变形
§1 同角三角函数的基本关系
, )
1．问题导航
(1)同角三角函数的基本关系与三角函数的定义有怎样的联系？
(2)同角三角函数的基本关系对于任意角都成立吗？
(3)如何理解“同角”？
2．例题导读
P113例1，P114例2，例3.通过此三例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决已知角的一个三角函数值求这个角的其他三角函数值．
试一试：教材P117习题3－1 A组T1你会吗？
P114例4.通过本例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决给值求值问题．
试一试：教材P117习题3－1 A组T2、T3你会吗？
P115例5，例6.通过此二例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决三角函数式的化简问题．
试一试：教材P117习题3－1 A组T5你会吗？
P116例7.通过此例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式进行三角恒等式的证明．
同角三角函数的基本关系
语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，当α≠kπ＋(k∈Z)时，同一个角α的正弦和余弦的商等于α的正切．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意角α，sin22α＋cos22α＝1都成立．( )
(2)对任意角α，＝tan都成立．( )
(3)对任意的角α，β有sin2α＋cos2β＝1.( )
(4)sin2α与sin α2所表达的意义相同．( )
解析：(1)正确．当角α∈R时，sin22α＋cos22α＝1都成立，所以正确．
(2)错误．当＝kπ＋，k∈Z，即α＝2kπ＋π，k∈Z时，tan 没意义，故＝tan 不成立，所以错误．
(3)错误．当α＝，β＝0时，sin2α＋cos2β≠1，故此说法是错误的．
(4)错误．sin2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．已知sin α＝－，α是第三象限角，则tan α等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为sin α＝－，且α是第三象限角．
所以cos α＝－＝－.
所以tan α＝＝.
3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________．
解析：因为3sin α＋cos α＝0，
所以cos α＝－3sin α，
所以tan α＝＝＝－.
答案：－
4．已知sin θ＝，cos θ＝，
则m＝________．
解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得，m＝0或8.
答案：0或8
对同角三角函数的基本关系式的两点说明
(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如与，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin2α＋cos2 α＝1.
(2)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．
利用同角三角函数关系式求值
已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值．
(链接教材P113例1，P114例2，例3)
[解] 法一：因为tan α＝－2<0，
所以α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即cos2α＝.
当α为第二象限角时，cos α＝－，代入①得sin α＝；
当α为第四象限角时，cos α＝，代入①得sin α＝－.
法二：因为tan α＝－2<0，所以α为第二或第四象限角．
由tan α＝，
两边分别平方，得tan2α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，
所以tan2α＋1＝＋1
＝＝，
即cos2α＝.
当α为第二象限角时，cos α<0，
所以cos α＝－
＝－＝－，
所以sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝.
当α为第四象限角时，cos α>0，
所以cos α＝＝＝，
所以sin α＝tan α·cos α＝(－2)×＝－.
方法归纳
已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角所在的象限．当使用cos α＝±或sin α＝±时，要根据角α所在的象限，恰当选定根号前面的正负号．这类题通常有下列几种情况：
(1)如果已知三角函数的值，而且角的象限已被指定，那么只有一组解．
(2)如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解．
(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角在哪个象限，则需要进行讨论．
1．(1)已知α为第三象限的角，且tan α＝，则cos α的值为( )
A. B．±
C．－ D．－
(2)已知tan α＝3，则2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α的值为( )
A．3 B．
C. D．
(3)已知tan θ＝2，求：
①cos θ，sin θ；
②.
解：(1)选C.由题意tan α＝＝，故cos α＝3sin α，代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＝，因为α为第三象限的角，所以sin α＝－，故cos α＝.
(2)选B.法一：因为tan α＝3，即＝3，所以sin α＝3cos α.
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos α＝±，
当cos α＝时，sin α＝，
2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α＝2×＋4××－9×＝＋－＝.
当cos α＝－时，sin α＝－，
2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α
＝2×＋4××－9×＝＋－＝.
综上可知2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α＝.
法二：2sin2α＋4sin αcos α－9cos2α
＝
＝
由于tan α＝3，原式＝＝.
(3)①由题意得
即
所以所以4cos2θ＋cos2θ＝1，
即cos2θ＝，
若θ为第一象限角，则cos θ＝，sin θ＝.
若θ为第三象限角，则cos θ＝－，sin θ＝－.
②原式＝＝＝＝.
三角函数式的化简
(1)若α为第二象限角，则 ＝( )
A．sin α B．－sin α
C．cos α D．－cos α
(2)若tan α·sin α<0，化简 ＋ .
(3)化简·.
[解] (1)选B.
＝＝＝|sin αcos α|.
因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，
则|sin αcos α|＝－sin αcos α，
所以原式＝－sin α.
(2)由于tan α·sin α<0，则tan α，sin α异号，
所以α在第二或第三象限，所以cos α<0，
原式＝＋
＝＋
＝＋
＝＋＝＝－.
(3)原式＝·
＝·
＝·＝
＝
若把本例(1)中“α为第二象限角”改为“α为第四象限角”，则结果如何？
解：由上面化简过程知 ＝|sin αcos α|.
因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，
所以|sin αcos α|＝－sin αcos α，
所以＝＝－sin α.
方法归纳
(1)三角函数式的化简方法
对于三角函数式的化简，其本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则，因此，不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形．
(2)对三角函数式化简的原则
①使三角函数式的次数尽量低；
②使式中的项数尽量少；
③使三角函数的种类尽量少；
④使式中的分母尽量不含有三角函数；
⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号；
⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．
2．(1)已知sin θ<0，tan θ>0，则 化简的结果为( )
A．cos θ B．－cos θ
C．±cos θ D．以上都不对
(2)化简：＝________．
(3)化简： ＋
.
解：(1)选B.因为sin θ<0，tan θ>0，所以θ在第三象限，
所以原式＝ ＝|cos θ|＝－cos θ.
(2)原式＝
＝
＝＝＝1.故填1.
(3)原式＝ ＋
＝ ＋
＝＋.
因为α∈，所以∈，
所以cos－sin>0，cos＋sin>0，
所以原式＝cos－sin＋cos＋sin＝2cos.
三角恒等式的证明
求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2.
(链接教材P116例7)
[证明] 法一：左边＝1＋1－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝1＋sin2α＋cos2α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)
＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2
＝(1－sin α＋cos α)2＝右边．
法二：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
所以左边＝右边．
法三：令1－sin α＝x，cos α＝y，
则(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x.
所以左边＝2x(1＋y)＝2x＋2xy＝x2＋y2＋2xy＝(x＋y)2＝右边．
方法归纳
证明三角恒等式的常用方法
证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．
(2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
3．(1)证明：＝.
(2)求证：－＝.
证明：(1)左边＝
＝
＝＝＝右边．
(2)左边＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝右边．
易错警示
因忽略角的范围致误
在△ABC中，已知sin A＋cos A＝，求tan A的值．
[解] 法一：因为sin A＋cos A＝，①
所以(sin A＋cos A)2＝，
所以2sin Acos A＝－，
所以sin Acos A＜0.
又因为0＜A＜π，所以sin A＞0，cos A＜0，
所以sin A－cos A＝
＝＝.②
由①②，得sin A＝，cos A＝，
所以tan A＝＝－2－.
法二：因为sin A＋cos A＝，所以cos A＝－sin A.
又因为sin2A＋cos2A＝1，所以sin2A＋＝1.
整理，得4sin2A－2sin A－1＝0，
解得sin A＝或sin A＝.
又因为00，
所以sin A＝，cos A＝－sin A＝，
所以tan A＝＝－2－.
[错因与防范] (1)本题易错解为tan A＝－2±，原因在于忽略了三角形内角A的范围为(0，π)这个隐含条件，进而对sin A，cos A的符号判断出现错误．
(2)对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A>0这一条件．
一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin2α＋cos2α＝1，这一条件往往是解题的关键．
4．(1)若sin α＝，cos α＝，α∈，则m的取值范围是( )
A．3C．m>8.5或m<3 D．m>3
(2)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则tan θ的值为________．
(3)已知sin α＋cos α＝－，其中0<α<π，求sin α－cos α的值．
解：(1)选B.由sin2α＋cos2α＝1，得＋＝1，解得m＝8或m＝－.当m＝－时，sin α<0，故舍去；当m＝8时，满足条件．故选B.
(2)将sin θ＋cos θ＝两边平方，得1＋2sin θcos θ＝1－，即sin θcos θ＝－.
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，又sin θcos θ<0，所以θ∈，则sin θ>0，cos θ<0，故sin θ－cos θ＝＝，
综合已知可得sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝－.故填－.
(3)因为sin α＋cos α＝－，所以(sin α＋cos α)2＝，所以1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－.因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，所以sin α－cos α＝.
1．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.因为tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，
所以sin α＝±.
又因为α是第四象限角，所以sin α＝－.
2．若tan θ＝2，则等于( )
A．－2 B．2
C．0 D．
解析：选A.＝
＝＝－2.
3．已知cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5，则tan α＝________．
解析：由题意知，
＝＝5，
整理得tan2α－4tan α＋4＝0，所以tan α＝2.
答案：2
4．若sin θ＝－，tan θ>0，则cos θ＝________．
解析：因为sin θ<0，tan θ>0，所以θ是第三象限角．
所以cos θ＝－＝－.
答案：－
, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．已知tan α＝且α∈，则sin α的值是( )
A．－ B．
C. D．－
解析：选A.因为α∈，所以sin α<0，由tan α＝＝及sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－.
2．已知α是锐角，且tan α是方程4x2＋x－3＝0的根，则sin α＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B.因为方程4x2＋x－3＝0的根为x＝或x＝－1，
又因为tan α是方程4x2＋x－3＝0的根且α为锐角，
所以tan α＝，所以sin α＝cos α，
即cos α＝sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋sin2α＝1，
所以sin2α＝(α为锐角)，所以sin α＝.
3．若sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos6θ＋cos8θ的值等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．
解析：选B.因为sin θ＋sin2θ＝1，sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝cos2θ，
所以原式＝sin θ＋sin3θ＋sin4θ
＝sin θ＋sin2θ(sin θ＋sin2θ)
＝sin θ＋sin2θ
＝1.
4．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.因为sin Acos A＝>0，所以A为锐角，所以sin A＋cos A＝＝＝.
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选B.由题意知tan θ＝2，所以＝＝＝－.
6．已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值为________．
解析：因为α为第二象限角且sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝＝－.
答案：－
7．化简(1＋tan2α)·cos2α＝________．
解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：1
8．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为________．
解析：由Δ≥0知，a≤.
又
由①式两边平方并化简得：sin αcos α＝－，
所以＝－，
所以a＝－.
答案：－
9．证明：＝.
证明：左边＝
＝＝
＝＝＝右边，故原等式成立．
10．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin A·cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解：(1)由sin A＋cos A＝，
两边平方，得1＋2sin A·cos A＝，
所以sin A·cos A＝－.
(2)由(1)得sin A·cos A＝－<0.
又0所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
(3)因为sin A·cos A＝－，
所以(sin A－cos A)2＝1－2sin A·cos A＝1＋＝，
又sin A>0，cos A<0，
所以sin A－cos A>0，
所以sin A－cos A＝.
又sin A＋cos A＝，
所以sin A＝，cos A＝－.
所以tan A＝＝＝－.
[B.能力提升]
1．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θ·cos θ－2cos2θ等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D.因为sin2θ＋sin θ·cos θ－2cos2θ
＝＝
又tan θ＝2，所以原式＝＝.
2．已知sin α－cos α＝，则tan α＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：选A.将等式sin α－cos α＝两边平方，得到
2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0，由sin α－cos α＝和sin α＋cos α＝0，
解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝＝－1.
3.＝________．
解析：因为2是第二象限角，
所以原式＝
＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.
答案：sin 2－cos 2
4．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．
解析：因为|a|＝1，所以可令a＝(cos θ，sin θ)．
因为λa＋b＝0，所以即
由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.
答案：
5．已知 －＝－2tan α，试确定使等式成立的角α的集合．
解：因为 －
＝－
＝－
＝＝.
又因为 －＝－2tan α，
所以＋＝0，
即得sin α＝0或|cos α|＝－cos α≠0，
则α＝kπ或2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，
所以，角α的集合为：
.
6．(选做题)(1)已知sin θ＋cos θ＝m，求sin3θ＋cos3θ的值．
(2)化简：·
.
解：(1)因为sin θ＋cos θ＝m，①
所以sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝m2.
所以sin θcos θ＝.②
又因为sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)，③
将①②代入③式得
sin3θ＋cos3θ＝m·＝(3－m2)．
(2)原式＝·
＝·
＝·＝4·
＝
, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．已知tan α＝且α∈，则sin α的值是( )
A．－ B．
C. D．－
解析：选A.因为α∈，所以sin α<0，由tan α＝＝及sin2α＋cos2α＝1，得sin α＝－.
2．已知α是锐角，且tan α是方程4x2＋x－3＝0的根，则sin α＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B.因为方程4x2＋x－3＝0的根为x＝或x＝－1，
又因为tan α是方程4x2＋x－3＝0的根且α为锐角，
所以tan α＝，所以sin α＝cos α，
即cos α＝sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋sin2α＝1，
所以sin2α＝(α为锐角)，所以sin α＝.
3．若sin θ＋sin2θ＝1，则cos2θ＋cos6θ＋cos8θ的值等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．
解析：选B.因为sin θ＋sin2θ＝1，sin2θ＋cos2θ＝1，
所以sin θ＝cos2θ，
所以原式＝sin θ＋sin3θ＋sin4θ
＝sin θ＋sin2θ(sin θ＋sin2θ)
＝sin θ＋sin2θ
＝1.
4．若△ABC的内角A满足sin Acos A＝，则sin A＋cos A的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A.因为sin Acos A＝>0，所以A为锐角，所以sin A＋cos A＝＝＝.
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则＝( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选B.由题意知tan θ＝2，所以＝＝＝－.
6．已知sin α＝，且α为第二象限角，则tan α的值为________．
解析：因为α为第二象限角且sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝＝－.
答案：－
7．化简(1＋tan2α)·cos2α＝________．
解析：原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：1
8．已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两根，则实数a的值为________．
解析：由Δ≥0知，a≤.
又
由①式两边平方并化简得：sin αcos α＝－，
所以＝－，
所以a＝－.
答案：－
9．证明：＝.
证明：左边＝
＝＝
＝＝＝右边，故原等式成立．
10．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝.
(1)求sin A·cos A的值；
(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．
解：(1)由sin A＋cos A＝，
两边平方，得1＋2sin A·cos A＝，
所以sin A·cos A＝－.
(2)由(1)得sin A·cos A＝－<0.
又0所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．
(3)因为sin A·cos A＝－，
所以(sin A－cos A)2＝1－2sin A·cos A＝1＋＝，
又sin A>0，cos A<0，
所以sin A－cos A>0，
所以sin A－cos A＝.
又sin A＋cos A＝，
所以sin A＝，cos A＝－.
所以tan A＝＝＝－.
[B.能力提升]
1．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θ·cos θ－2cos2θ等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D.因为sin2θ＋sin θ·cos θ－2cos2θ
＝＝
又tan θ＝2，所以原式＝＝.
2．已知sin α－cos α＝，则tan α＝( )
A．－1 B．－
C. D．1
解析：选A.将等式sin α－cos α＝两边平方，得到
2sin αcos α＝－1，整理得1＋2sin αcos α＝0，即sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝0，所以(sin α＋cos α)2＝0，所以sin α＋cos α＝0，由sin α－cos α＝和sin α＋cos α＝0，
解得sin α＝，cos α＝－，故tan α＝＝－1.
3.＝________．
解析：因为2是第二象限角，
所以原式＝
＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.
答案：sin 2－cos 2
4．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．
解析：因为|a|＝1，所以可令a＝(cos θ，sin θ)．
因为λa＋b＝0，所以即
由sin2θ＋cos2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝.
答案：
5．已知 －＝－2tan α，试确定使等式成立的角α的集合．
解：因为 －
＝－
＝－
＝＝.
又因为 －＝－2tan α，
所以＋＝0，
即得sin α＝0或|cos α|＝－cos α≠0，
则α＝kπ或2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z，
所以，角α的集合为：
.
6．(选做题)(1)已知sin θ＋cos θ＝m，求sin3θ＋cos3θ的值．
(2)化简：·
.
解：(1)因为sin θ＋cos θ＝m，①
所以sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝m2.
所以sin θcos θ＝.②
又因为sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)，③
将①②代入③式得
sin3θ＋cos3θ＝m·＝(3－m2)．
(2)原式＝·
＝·
＝·＝4·
＝
课件49张PPT。§2 两角和与差的三角函数
2．1 两角差的余弦函数
2．2 两角和与差的正弦、余弦函数第三章 三角恒等变形1．问题导航
(1)根据α＋β＝α－(－β)，如何由Cα－β推出Cα＋β？
(2)对任意角α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β成立吗？
(3)如何认识公式Cα±β和Sα±β中的角？
2．例题导读
P119例1.通过本例学习，学会利用公式Cα±β解决形式上不具有α±β，但可以拆合成α±β的问题．
试一试：教材P123习题3－2 A组T1前4个小题你会吗？
P119例2.通过本例学习，学会利用公式Cα±β求解此类给值求值的问题．
试一试：教材P123习题3－2 A组T3你会吗？
P120例3.通过本例学习，学会逆用公式Sα＋β求函数的最值、周期等．
试一试：教材P123习题3－2 B组T2(1)(2)(3)你会吗？
1．两角差的正弦、余弦公式
(1)cos(α－β)＝__________________________；(Cα－β)
(2)sin (α－β)＝ __________________________ ．(Sα－β)
2．两角和的正弦、余弦公式
(1)sin (α＋β)＝ __________________________ ；(Sα＋β)
(2)cos(α＋β)＝ __________________________ ．(Cα＋β)
cos αcos β＋sin αsin βsin αcos β－cos αsin βsin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．
( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．
( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成
立．( )
(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )√×√√解析：(1)正确．根据公式的推导过程可得．
(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.
(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
(4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．C4．sin 15°＋cos 15°＝________．
给角求值 C给值求值 给值求角 C辅助角公式的运用BDAA0本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．下面各式，不正确的是( )
A．sin＝sincos＋cos
B．cos＝coscos－sin
C．cos＝coscos＋
D．cos＝cos－cos
解析：选D.cos＝cos≠cos－cos，故D不正确．
2．化简cos(x＋y)sin y－sin(x＋y)cos y等于( )
A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)
C．sin x D．－sin x
解析：选D.cos(x＋y)sin y－sin(x＋y)cos y＝sin[y－(x＋y)]＝－sin x.
3.cos α＋sin α可化为( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
解析：选C.cos α＋sin α＝sincos α＋cossin α
＝sin.
4．如果＝，那么等于( )
A. B．
C. D．
解析：选A.＝＝，
所以nsin αcos β＋ncos αsin β
＝msin αcos β－mcos αsin β，
所以(m－n)sin αcos β＝(m＋n)cos αsin β，
所以＝，即＝.
5．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．不确定
解析：选C.在△ABC中，sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)．因为sin A＝2sin Ccos B，所以sin(B＋C)＝2sin Ccos B，即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B，所以sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0.
又－180°所以B－C＝0，即B＝C，所以△ABC是等腰三角形．
6．已知3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)则φ的值是________．
解析：因为3sin x－cos x＝2
＝2sin，
又因为3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)且φ∈(－π，π)，
所以φ＝－.
答案：－
7．函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．
解析：因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝cos φsin x－sin φcos x＝sin(x－φ)，
又－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.
答案：1
8．若cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos(α－β)＝________．
解析：由已知得cos α－cos β＝，①
sin α－sin β＝－.②
①2＋②2得
(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝＋，
即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝×＝，
所以cos(α－β)＝.
答案：
9．已知α、β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
解：因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.
由cos(α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝.
又因为cos α＝，
所以sin α＝.
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
10．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)f＝2sin＝2sin
＝2×＝.
(2)f＝2sin ＝2sin α＝，所以sin α＝.
f(3β＋2π)＝2sin ＝2sin
＝2cos β＝，所以cos β＝.
因为α，β∈，所以cos α＝＝，
sin β＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
[B.能力提升]
1．设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：选B.由tan α＝得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
所以sin(α－β)＝cos α＝sin.
因为α∈，β∈，
所以α－β∈，－α∈，
所以由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
所以2α－β＝.
2．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为( )
A. B．
C. D．π
解析：选B.因为<α<，所以－<－α<0，
因为<β<，所以<＋β<，
由已知可得cos＝，cos＝－.
则cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
因为<α＋β<π，所以α＋β＝.
3．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，若行列式＝，则x＝________．
解析：因为＝ad－bc，＝
sin xcos－cos xsin＝sin＝，所以x－＝＋2kπ或x－＝＋2kπ，k∈Z，所以x＝＋2kπ或x＝(2k＋1)π，k∈Z.
答案：＋2kπ或(2k＋1)π，k∈Z
4．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．
解析：f(x)＝sin x－2cos x＝，
设＝cos α，＝sin α，
则f(x)＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．
因为x∈R，所以x－α∈R，所以f(x)max＝.
又因为x＝θ时，f(x)取得最大值，
所以f(θ)＝sin θ－2cos θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
所以即cos θ＝－.
答案：－
5．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解：(1)f＝Asin＝Asin＝A＝，所以A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin
＝3
＝6sin θcos ＝3sin θ＝，
所以sin θ＝.又因为θ∈，
所以cos θ＝＝＝，
所以f＝3sin＝3sin
＝3cos θ＝.
6．(选做题)已知向量a＝，b＝(4，4cos x－)．
(1)若a⊥b，求sin的值；
(2)设f(x)＝a·b，若α∈，f＝2，求cos α的值．
解：(1)因为a⊥b?a·b＝0，
则a·b＝4sin＋4cos x－
＝2sin x＋6cos x－
＝4sin－＝0，
所以sin＝，
所以sin＝－sin＝－.
(2)由(1)知f(x)＝4sin－，
所以由f＝2得sin＝，
又α∈，所以α＋∈，
又因为<<，所以α＋∈，
所以cos＝，
所以cos α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
课件52张PPT。2．3 两角和与差的正切函数第三章 三角恒等变形2．例题导读
P121例4.通过本例学习，学会直接运用公式Tα±β求值．
试一试：教材P123习题3－2 A组T6你会吗？
P122例5.通过本例学习，学会运用公式Tα±β化简求值．
试一试：教材P123习题3－2 A组T2(5)(6)你会吗？
P122例6.通过本例学习，学会运用公式Tα±β求值．
试一试：教材P123习题3－2 A组T7你会吗？两角和与差的正切公式√×√D化简求值－11给值求值(角)方法归纳
解决给值求值(角)问题的常用策略
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角
的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据
角的取值范围确定该角的大小．
提醒：在给值求角的问题中，根据角的范围确定角的大小．公式Tα±β的综合应用2CAA本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放§2 两角和与差的三角函数
2．1 两角差的余弦函数
2．2 两角和与差的正弦、余弦函数
, )
1．问题导航
(1)根据α＋β＝α－(－β)，如何由Cα－β推出Cα＋β？
(2)对任意角α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β成立吗？
(3)如何认识公式Cα±β和Sα±β中的角？
2．例题导读
P119例1.通过本例学习，学会利用公式Cα±β解决形式上不具有α±β，但可以拆合成α±β的问题．
试一试：教材P123习题3－2 A组T1前4个小题你会吗？
P119例2.通过本例学习，学会利用公式Cα±β求解此类给值求值的问题．
试一试：教材P123习题3－2 A组T3你会吗？
P120例3.通过本例学习，学会逆用公式Sα＋β求函数的最值、周期等．
试一试：教材P123习题3－2 B组T2(1)(2)(3)你会吗？
1．两角差的正弦、余弦公式
(1)cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β；(Cα－β)
(2)sin (α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β．(Sα－β)
2．两角和的正弦、余弦公式
(1)sin (α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β；(Sα＋β)
(2)cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β．(Cα＋β)
3．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝或asin α＋bcos α＝cos(α－φ)，其中tan φ＝.
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( )
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( )
(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( )
解析：(1)正确．根据公式的推导过程可得．
(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.
(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．
(4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( )
A. B．－
C．0 D．1
解析：选C.逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝cos 90°＝0.
3．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________．
解析：原式＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×＝.
答案：
4．sin 15°＋cos 15°＝________．
解析：sin 15°＋cos 15°＝cos 75°＋cos 15°
＝cos(45°＋30°)＋cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＋cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝2cos 45°cos 30°＝.
答案：
1．公式Cα±β，Sα±β的适用条件
公式中的α、β是任意角，可以是具体的角，也可以是表示角的代数式．
2．公式Cα±β与Sα±β的联系
四个公式Cα±β、Sα±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)cos(α＋β)sin(α＋β)sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．
3．注意公式的结构特征和符号规律
对于公式Cα－β，Cα＋β，可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式Sα－β，Sα＋β，可记为“异名相乘，符号同”．
给角求值
求下列各式的值：
(1)cos 105°＋sin 195°；
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(3)sin－cos.
(链接教材P119例1)
[解] (1)cos 105°＋sin 195°
＝cos(90°＋15°)＋sin(180°＋15°)
＝－sin 15°－sin 15°＝－2sin 15°
＝－2sin(45°－30°)
＝－2(sin 45°·cos 30°－cos 45°·sin 30°)
＝－2＝.
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°
＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝.
(3)法一：sin－cos
＝2
＝2
＝－2cos＝－2cos
＝－2×＝－.
法二：sin－cos
＝2
＝2＝－2sin
＝－2sin＝－2×＝－.
方法归纳
解答此类问题的一般思路是
(1)非特殊角型：把非特殊角转化为特殊角的和或差(如15°＝45°－30°或15°＝60°－45°)，直接应用公式求值．
(2)逆用结构型：把两角的和与差的展开式中的角视为一个整体，借助诱导公式等工具，构造两角和与差的正余弦公式的展开式，然后逆用公式求值．
1．(1)＝( )
A．－ B．－
C. D．
(2)求下列各式的值：
①sin 15°＋cos 15°；
②sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°.
解：(1)选C.原式＝
＝
＝＝.
(2)①法一：sin 15°＋cos 15°
＝
＝(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)
＝sin (15°＋45°)＝sin 60°＝.
法二：sin 15°＋cos 15°
＝
＝(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°)
＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝.
②原式＝sin (29°＋90°)sin (1°＋180°)－sin (1°＋90°)·sin 29°
＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29°
＝－(sin 29°cos 1°＋cos 29°sin 1°)
＝－sin (29°＋1°)＝－sin 30°＝－.
给值求值
设cos＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，求cos.
(链接教材P119例2)
[解] 因为α∈，β∈，
所以α－∈，－β∈.
所以sin ＝
＝ ＝.
cos＝ ＝ ＝.
所以cos＝cos
＝coscos＋sin sin
＝－×＋×＝.
方法归纳
给值求值的解题步骤
(1)找角的差异．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异．
(2)拆角与凑角．根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
(3)求解，结合公式Cα±β和Sα±β求解即可．
2．(1)已知cos＝，则cos α＝________．
(2)已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求sin α.
解：(1)由于0<α－<，cos＝，
所以sin＝.
所以cos α＝cos
＝coscos－sinsin
＝×－×＝.故填.
(2)因为α∈，β∈，
所以α－β∈(0，π)．
因为cos(α－β)＝，所以sin(α－β)＝.
因为β∈，sin β＝－，
所以cos β＝.
所以sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
给值求角
已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值．
[解] 因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝，
又因为0<β<，所以0<α＋β<π，
因为sin(α＋β)＝所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－＝，
又因为0<β<，所以β＝.
把本例中的“0<β<”改为“<β<π”，求角β的值．
解：因为0<α<，cos α＝，
所以sin α＝，
又因为<β<π，
所以<α＋β<，因为sin(α＋β)＝，
所以cos(α＋β)＝－，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－＝，
又因为<β<π，所以β＝.
方法归纳
此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：①求所求角的某个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，或范围过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值．
3．(1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为( )
A. B．
C. D．或
(2)已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：(1)选C. 因为α，β为钝角，所以由sin α＝，得
cos α＝－＝－＝－.
由cos β＝－，得sin β＝
＝＝.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又因为π<α＋β<2π，所以α＋β＝.
(2)由α－β∈，且cos(α－β)＝－，
得sin(α－β)＝.
又由α＋β∈，且cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝－.
cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－1.
又因为α＋β∈，α－β∈，
所以2β∈，所以2β＝π，所以β＝.
辅助角公式的运用
已知函数y＝－acos 2x－asin 2x＋2a＋b，x∈，若函数的值域是[－5，1]，求常数a，b的值．
(链接教材P120例3)
[解] y＝－a(cos 2x＋sin 2x)＋2a＋b
＝－2a＋2a＋b
＝－2acos＋2a＋b.
因为x∈，
所以2x－∈.
所以≤cos≤1.
当a>0时，y最大值＝－2a×＋2a＋b＝1，①
y最小值＝－2a×1＋2a＋b＝－5.②
由①②解得a＝6，b＝－5.
当a＝0时，y＝b与值域为[－5，1]矛盾，
所以a≠0.
当a<0时，y最大值＝－2a×1＋2a＋b＝1，③
y最小值＝－2a×＋2a＋b＝－5.④
由③④解得a＝－6，b＝1.
综上所述，a＝6，b＝－5或a＝－6，b＝1.
方法归纳
辅助角公式及其运用
公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式，这样做有利于三角函数式的化简，更是研究三角函数性质的常用工具．化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．
4．(1)函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2，2] B．[－，]
C．[－1，1] D．
(2)已知函数f(x)＝－1＋2sin 2x＋mcos 2x的图像经过点A(0，1)，求此函数在上的最值．
解：(1)选B.因为f(x)＝sin x－cos x＋sin x
＝＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
(2)因为A(0，1)在函数的图像上，
所以1＝－1＋2sin 0＋mcos 0，
解得m＝2.
所以f(x)＝－1＋2sin 2x＋2cos 2x
＝2(sin 2x＋cos 2x)－1
＝2sin－1.
因为0≤x≤，所以≤2x＋≤.
所以－≤sin≤1.
所以－3≤f(x)≤2－1.
所以函数f(x)的最大值为2－1，最小值为－3.
思想方法
整体思想的应用
已知sin αcos β＝－，则cos αsin β的取值范围是( )
A. B.
C. D．
[解析] 设cos αsin β＝t，
由sin αcos β＋cos αsin β＝－＋t，
得sin(α＋β)＝－＋t；
由sin αcos β－cos αsin β＝－－t，
得sin(α－β)＝－－t.
由得
所以?－≤t≤.
[答案] D
[感悟提高] 整体思想在处理三角问题时，主要是指将角度、三角式子看成一个整体，在解题时不把它们拆开，也不一定解出，这将减少一些不必要的运算，从而使运算过程简单、快速地得到正确的解．
1．若△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B) 的值是( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选A.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，所以sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，所以sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝×－×＝.
2．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则角α的值为( )
A. B．
C. D．无法确定
解析：选A.由题意得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)，
因为α，β均为锐角，所以sin β＋cos β≠0，
所以cos α＝sin α，所以α＝.
3．sin＋2sin－cos＝________．
解析：原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x
＝sin x＋
cos x
＝sin x＋cos x＝0.
答案：0
4．若sin(＋α)＝，则cos α＋sin α＝________．
解析：cos α＋sin α＝2
＝2＝2
＝2sin＝2×＝.
答案：
, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．下面各式，不正确的是( )
A．sin＝sincos＋cos
B．cos＝coscos－sin
C．cos＝coscos＋
D．cos＝cos－cos
解析：选D.cos＝cos≠cos－cos，故D不正确．
2．化简cos(x＋y)sin y－sin(x＋y)cos y等于( )
A．sin(x＋2y) B．－sin(x＋2y)
C．sin x D．－sin x
解析：选D.cos(x＋y)sin y－sin(x＋y)cos y＝sin[y－(x＋y)]＝－sin x.
3.cos α＋sin α可化为( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
解析：选C.cos α＋sin α＝sincos α＋cossin α
＝sin.
4．如果＝，那么等于( )
A. B．
C. D．
解析：选A.＝＝，
所以nsin αcos β＋ncos αsin β
＝msin αcos β－mcos αsin β，
所以(m－n)sin αcos β＝(m＋n)cos αsin β，
所以＝，即＝.
5．在△ABC中，如果sin A＝2sin Ccos B，那么这个三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．不确定
解析：选C.在△ABC中，sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)．因为sin A＝2sin Ccos B，所以sin(B＋C)＝2sin Ccos B，即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Ccos B，所以sin Bcos C－cos Bsin C＝0，即sin(B－C)＝0.
又－180°所以B－C＝0，即B＝C，所以△ABC是等腰三角形．
6．已知3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)则φ的值是________．
解析：因为3sin x－cos x＝2
＝2sin，
又因为3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)且φ∈(－π，π)，
所以φ＝－.
答案：－
7．函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．
解析：因为f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x＝cos φsin x－sin φcos x＝sin(x－φ)，
又－1≤sin(x－φ)≤1，所以f(x)的最大值为1.
答案：1
8．若cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos(α－β)＝________．
解析：由已知得cos α－cos β＝，①
sin α－sin β＝－.②
①2＋②2得
(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝＋，
即2－2cos αcos β－2sin αsin β＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝×＝，
所以cos(α－β)＝.
答案：
9．已知α、β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
解：因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.
由cos(α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝.
又因为cos α＝，
所以sin α＝.
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
10．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)f＝2sin＝2sin
＝2×＝.
(2)f＝2sin ＝2sin α＝，所以sin α＝.
f(3β＋2π)＝2sin ＝2sin
＝2cos β＝，所以cos β＝.
因为α，β∈，所以cos α＝＝，
sin β＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
[B.能力提升]
1．设α∈，β∈，且tan α＝，则( )
A．3α－β＝ B．2α－β＝
C．3α＋β＝ D．2α＋β＝
解析：选B.由tan α＝得＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
所以sin(α－β)＝cos α＝sin.
因为α∈，β∈，
所以α－β∈，－α∈，
所以由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，
所以2α－β＝.
2．若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为( )
A. B．
C. D．π
解析：选B.因为<α<，所以－<－α<0，
因为<β<，所以<＋β<，
由已知可得cos＝，cos＝－.
则cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
因为<α＋β<π，所以α＋β＝.
3．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，若行列式＝，则x＝________．
解析：因为＝ad－bc，＝
sin xcos－cos xsin＝sin＝，所以x－＝＋2kπ或x－＝＋2kπ，k∈Z，所以x＝＋2kπ或x＝(2k＋1)π，k∈Z.
答案：＋2kπ或(2k＋1)π，k∈Z
4．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．
解析：f(x)＝sin x－2cos x＝，
设＝cos α，＝sin α，
则f(x)＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．
因为x∈R，所以x－α∈R，所以f(x)max＝.
又因为x＝θ时，f(x)取得最大值，
所以f(θ)＝sin θ－2cos θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
所以即cos θ＝－.
答案：－
5．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解：(1)f＝Asin＝Asin＝A＝，所以A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin
＝3
＝6sin θcos ＝3sin θ＝，
所以sin θ＝.又因为θ∈，
所以cos θ＝＝＝，
所以f＝3sin＝3sin
＝3cos θ＝.
6．(选做题)已知向量a＝，b＝(4，4cos x－)．
(1)若a⊥b，求sin的值；
(2)设f(x)＝a·b，若α∈，f＝2，求cos α的值．
解：(1)因为a⊥b?a·b＝0，
则a·b＝4sin＋4cos x－
＝2sin x＋6cos x－
＝4sin－＝0，
所以sin＝，
所以sin＝－sin＝－.
(2)由(1)知f(x)＝4sin－，
所以由f＝2得sin＝，
又α∈，所以α＋∈，
又因为<<，所以α＋∈，
所以cos＝，
所以cos α＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
课件52张PPT。§3 二倍角的三角函数
?第1课时 二倍角公式及其应用第三章 三角恒等变形2．例题导读
P124例1，例2.通过此两例学习，学会正用倍角公式求值．
试一试：教材P125练习1T2、T3你会吗？
P125例3.解答本例应注意，在三角形的背景下研究问题，会
带来一些隐含条件，如0试一试：教材P125练习1T4你会吗？
P125例4.通过此例学习，学会利用二倍角公式解决平面图形
的面积最值问题．
试一试：教材P129习题3－3 B组T5你会吗？1．二倍角公式2sin αcos αcos2α－sin2α1－2sin2α2cos2α－11－2sin2α2cos2α－1√××B化简求值 给值求值C二倍角公式在实际中的应用BD本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放§3 二倍角的三角函数
第1课时 二倍角公式及其应用
, )
1．问题导航
(1)倍角公式对任意角都成立吗？
(2)能否由S2α，C2α推出T2α？
(3)已知角α的某个三角函数值，能唯一确定角2α的三角函数值吗？
2．例题导读
P124例1，例2.通过此两例学习，学会正用倍角公式求值．
试一试：教材P125练习1T2、T3你会吗？
P125例3.解答本例应注意，在三角形的背景下研究问题，会
带来一些隐含条件，如0试一试：教材P125练习1T4你会吗？
P125例4.通过此例学习，学会利用二倍角公式解决平面图形
的面积最值问题．
试一试：教材P129习题3－3 B组T5你会吗？
1．二倍角公式
名称
简记符号
公式
适用范围
二倍角的正弦公式
S2α
sin 2α＝2sin_αcos_α
α∈R
二倍角的余弦公式
C2α
cos 2α＝cos2α－sin2α
＝1－2sin2α
＝2cos2α－1
二倍角的正切公式
T2α
tan 2α＝
α≠＋kπ，α≠
＋，
其中k∈Z
2.倍角公式的变形
(1)因为sin2α＋cos2α＝1，所以公式C2α可以变形为
cos 2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；①
或cos2α＝，sin2α＝.②
其中公式①称为升幂公式，②称为降幂公式．
(2)常用的两个变形：
(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝1＋sin 2α，
(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－sin 2α.
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )
(2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )
解析：(1)错误．二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠＋kπ(k∈Z)，故此说法错误．
(2)正确．当α＝kπ(k∈Z)时，sin 2α＝2sin α.
(3)错误．当cos α＝时，cos 2α＝2cos α.
答案：(1)× (2)√ (3)×
2.的值为( )
A．－ B．
C. D．－
解析：选B.原式＝
＝＝＝.
3.＝________．
解析：原式＝×＝tan 30°＝.
答案：
4．若sin α＝，则cos4α－sin4α＝________.
解析：cos4α－sin4α＝(cos2α＋sin2α)(cos2α－sin2α)
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
答案：
对倍角公式的三点说明
(1)前提：所含各三角函数有意义．
(2)联系：公式S2α，C2α，T2α是在公式Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β中，分别令β＝α时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例．
(3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
化简求值
求下列各式的值：
(1)coscos；
(2)－cos2；
(3)tan－.
(链接教材P128习题3－3 A组T1)
[解] (1)原式＝
＝＝
＝＝.
(2)原式＝＝－
＝－cos＝－.
(3)原式＝＝－2·
＝－2×＝＝－2.
方法归纳
解答本类题的关键是抓住公式的特征，如角的关系、次数的关系等．分析题设和结论中所具有的与公式相似的结构特征，并联想相应的公式，从而找到解题的切入点，正确运用公式，同时活用、逆用公式，把所给角的三角函数值转化为可求值的特殊角的三角函数值．
(1)计算：＝________.
(2)求下列各式的值：
①coscosπ；
②2cos2－1；
③.
(3)求sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°的值．
解：(1)原式＝
＝＝.故填 .
(2)①原式＝cossin＝×2cossin
＝sin
＝.
②原式＝cos＝cos＝.
③原式＝tan 300°＝tan(360°－60°)
＝－tan 60°
＝－.
(3)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝
＝
＝
＝
＝＝
＝.
给值求值
(1)已知α∈，sin α＝，则sin 2α＝________，cos 2α＝________，tan 2α＝________.
(2)已知sinsin＝，且α∈，求tan 4α的值．
(链接教材P124例1，例2)
[解] (1)因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，tan 2α＝＝－.故填－，，－.
(2)因为sin＝sin＝cos，
则已知条件可化为sincos＝，
即sin＝，所以sin＝，
所以cos 2α＝.因为α∈，所以2α∈(π，2π)，
从而sin 2α＝－＝－，
所以tan 2α＝＝－2，
故tan 4α＝＝－＝.
把本例(1)中的条件“sin α＝”改为“sin α＋cos α＝”，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
解：因为sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝，
即1＋2sin αcos α＝，sin 2α＝2sin αcos α＝－.
因为α∈(，π)，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，
所以sin α－cos α＝＝＝，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)
＝×＝－，
所以tan 2α＝＝.
方法归纳
(1)从角的关系寻找突破口．这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)另外，注意几种诱导公式的应用，如：
①sin 2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos；
③cos 2x＝sin＝sin
＝2sincos.
2．(1)已知sin＝，则cos的值等于( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈.
①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值．
解：(1)选C.因为cos
＝sin
＝sin＝，
所以cos
＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
(2)①因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
②因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝，
所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β
＝×－×＝－.
二倍角公式在实际中的应用
焊接工王师傅遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？
(链接教材P125例4)
[解] 连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为H，在Rt△AOH中，OH＝cos α，AH＝sin α，所以BH＝＝sin α，所以OB＝OH－BH＝cos α－sin α，设平行四边形ABOC的面积为S，则S＝OB·AH＝·sin α＝sin αcos α－sin2α＝sin 2α－(1－cos 2α)＝sin 2α＋cos 2α－＝－
＝sin－.
由于0<α<，所以<2α＋<π，
当2α＋＝，即α＝时，Smax＝－＝，
所以当A是的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为平方米．
方法归纳
解决此类实际问题，应首先确定主变量角α以及相关的常量与变量，建立关于角α的三角函数式，再利用和(差)角公式或二倍角公式求解．对于求三角函数最值的问题，一般利用三角函数的有界性来解决．
3．如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，由B点到E点的方向前进30 m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m到D点，测得顶点A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
解：因为∠ACD＝θ＋∠BAC，
所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30 m.
又因为∠ADE＝2θ＋∠CAD，所以∠CAD＝2θ，
所以AD＝CD＝10 m.
在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ，
所以10sin 4θ＝30sin 2θ，
即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，所以cos 2θ＝.
又因为2θ∈(0，)，所以2θ＝，所以θ＝.
所以AE＝30sin＝15(m)．
所以θ＝，建筑物AE的高为15 m.
规范解答
关于三角函数性质的综合问题
(本题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
[解] (1)f(x)＝4cos ωx·sin
＝2sin ωx·cos ωx＋2cos2ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋
＝2sin＋.4分
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
从而有＝π，故ω＝1.6分
(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.7分
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)是递增的；9分
当<2x＋≤，即综上可知，f(x)在区间上是递增的，在区间上是递减的.12分
[规范与警示] (1)对于倍角公式、两角和与差的三角公式、辅助角公式，不仅要熟练正用，还要逆用，变形应用．如本例中两个关键步骤：即处由(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋到2sin＋的变化．在处，对2x＋的范围进行判断．
(2)在判定函数单调性和求单调区间时，应在给定区间内求解，如本例中.
1．sincos的值等于( )
A．－＋ B.－
C．－－ D．＋
解析：选B.sincos＝sinsin＝sin2＝＝＝－.
2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A. B．
C. D．
解析：选D.
由题设易知，等腰三角形的腰长是底边长的2倍，如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，设∠BAD＝θ，
因为AB＝4BD，所以sin θ＝，
故cos ∠BAC＝cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.
3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α＝________.
解析：由tan(π＋2α)＝－，得tan 2α＝－，
所以＝－.
因为α是第二象限的角，所以tan α<0，所以tan α＝－.
答案：－
4．锐角三角形ABC中，若B＝2A，则的取值范围是________．
解析：因为B为锐角，所以0又C为锐角，且C＝π－B－A＝π－3A，
所以0<π－3A<.
所以－<3A－π<0.
所以<3A<π，所以<2cos A<.
所以＝＝2cos A∈(，)．
答案：(，)
, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．已知cos α＝，则cos(π－2α)的值等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B.cos(π－2α)＝－cos 2α＝－2cos2α＋1
＝－2×＋1＝，故选B.
2．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B.由sin Bsin C＝
?2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)
?2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C
?cos Bcos C＋sin Bsin C＝1
?cos(B－C)＝1，又－180°3．若tan α＝2，则的值是( )
A. B．
C. D．－
解析：选A.原式＝
＝＝＝.
4．tan 67°30′－的值为( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选C.tan 67°30′－
＝
＝＝＝2.
5．已知0<α<β<，sin α＋cos α＝m，sin β＋cos β＝n，则( )
A．mn
C．mn<1 D．mn>1
解析：选A.m2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，
n2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin 2β，因为0<α<β<，
所以0<2α<2β<，因为y＝sin x在上为增函数，所以sin 2α0，n>0，
所以m6．化简：＝________．
解析：＝
＝＝sin α.
答案：sin α
7．已知tan x＝2，则tan 2＝________．
解析：因为tan x＝2，所以tan 2x＝＝－.
tan 2＝tan＝
＝＝－＝.
答案：
8．函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是________．
解析：y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
所以函数的值域为.
答案：
9．已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝cos x－cos2x＋
＝sin 2x－cos2x＋
＝sin 2x－×＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin∈，所以f(x)∈，
函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
10．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
解：
连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈(0，)．
因为A，D关于点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ
＝400sin 2θ.因为θ∈，
所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
[B.能力提升]
1．已知不等式3sincos＋cos2－－m≤0对于任意的x∈恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥ B．m≤
C．m≤－ D．－≤m≤
解析：选A.3sincos＋cos2－
＝sin＋cos＝sin.
因为x∈，所以＋∈，
所以sin∈[－，]，
由题意可知m≥.
2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sin αcos α＝，所以＝，所以＝，即3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，
所以tan 2α＝＝－.
3．已知方程x2－x＋1＝0的一个根是2＋，则sin 2α＝________.
解析：由题意可知
(2＋)2－(2＋)＋1＝0，
即8＋4－(2＋)＝0，
所以(2＋)＝4(2＋)，
所以sin 2α＝.
答案：
4．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为__________．
解析：由sin α＝＋cos α得sin α－cos α＝，
所以＝1－2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝.
所以＝
＝－，
而＝1＋2sin αcos α＝，
又因为0<α<，所以sin α＋cos α＝，
所以原式＝－.
答案：－
5．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx，2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围．
解：(1)f(x)＝a·b＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋λ＝sin 2ωx－cos 2ωx＋λ
＝2sin＋λ，
且直线x＝π是f(x)的图像的一条对称轴，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
所以ω＝＋(k∈Z)．
又因为ω∈，所以ω＝，
所以f(x)的最小正周期为.
(2)y＝f(x)的图像经过点，
所以f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
则f(x)＝2sin－，又x∈，
则x－∈，所以函数f(x)在区间上的取值范围为[－1－，2－]．
6．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)请根据②式求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°·sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝.
, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．已知cos α＝，则cos(π－2α)的值等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选B.cos(π－2α)＝－cos 2α＝－2cos2α＋1
＝－2×＋1＝，故选B.
2．在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选B.由sin Bsin C＝
?2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)
?2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C
?cos Bcos C＋sin Bsin C＝1
?cos(B－C)＝1，又－180°3．若tan α＝2，则的值是( )
A. B．
C. D．－
解析：选A.原式＝
＝＝＝.
4．tan 67°30′－的值为( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选C.tan 67°30′－
＝
＝＝＝2.
5．已知0<α<β<，sin α＋cos α＝m，sin β＋cos β＝n，则( )
A．mn
C．mn<1 D．mn>1
解析：选A.m2＝(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，
n2＝(sin β＋cos β)2＝1＋sin 2β，因为0<α<β<，
所以0<2α<2β<，因为y＝sin x在上为增函数，所以sin 2α0，n>0，
所以m6．化简：＝________．
解析：＝
＝＝sin α.
答案：sin α
7．已知tan x＝2，则tan 2＝________．
解析：因为tan x＝2，所以tan 2x＝＝－.
tan 2＝tan＝
＝＝－＝.
答案：
8．函数y＝sin 2x＋sin2x，x∈R的值域是________．
解析：y＝sin 2x＋sin2x＝sin 2x＋
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
所以函数的值域为.
答案：
9．已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
解：(1)f(x)＝cos x－cos2x＋
＝sin 2x－cos2x＋
＝sin 2x－×＋
＝sin 2x－cos 2x＝sin，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin∈，所以f(x)∈，
函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－.
10．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？
解：
连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈(0，)．
因为A，D关于点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ
＝400sin 2θ.因为θ∈，
所以当sin 2θ＝1，即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
[B.能力提升]
1．已知不等式3sincos＋cos2－－m≤0对于任意的x∈恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥ B．m≤
C．m≤－ D．－≤m≤
解析：选A.3sincos＋cos2－
＝sin＋cos＝sin.
因为x∈，所以＋∈，
所以sin∈[－，]，
由题意可知m≥.
2．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选C.把条件中的式子两边平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sin αcos α＝，所以＝，所以＝，即3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，
所以tan 2α＝＝－.
3．已知方程x2－x＋1＝0的一个根是2＋，则sin 2α＝________.
解析：由题意可知
(2＋)2－(2＋)＋1＝0，
即8＋4－(2＋)＝0，
所以(2＋)＝4(2＋)，
所以sin 2α＝.
答案：
4．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为__________．
解析：由sin α＝＋cos α得sin α－cos α＝，
所以＝1－2sin αcos α＝，
所以2sin αcos α＝.
所以＝
＝－，
而＝1＋2sin αcos α＝，
又因为0<α<，所以sin α＋cos α＝，
所以原式＝－.
答案：－
5．已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx，2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图像关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图像经过点，求函数f(x)在区间[0，]上的取值范围．
解：(1)f(x)＝a·b＋λ＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋λ＝sin 2ωx－cos 2ωx＋λ
＝2sin＋λ，
且直线x＝π是f(x)的图像的一条对称轴，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
所以ω＝＋(k∈Z)．
又因为ω∈，所以ω＝，
所以f(x)的最小正周期为.
(2)y＝f(x)的图像经过点，
所以f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，
则f(x)＝2sin－，又x∈，
则x－∈，所以函数f(x)在区间上的取值范围为[－1－，2－]．
6．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)请根据②式求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°·sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)＝.
课件56张PPT。第2课时 半角公式及其应用第三章 三角恒等变形2．例题导读
P125例5.通过此例学习，学会运用二倍角公式推导半角公
式，掌握半角公式．
试一试：教材P128习题3－3 A组T9你会吗？
P127例6，例7.通过此两例学习，学会利用半角公式解决给
值求值问题．
试一试：教材P127练习2T1你会吗？正弦、余弦和正切的半角公式√××√DC给值求值BA利用半角公式化简求值－2sin 42 015证明三角恒等式DD本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放第2课时 半角公式及其应用
, )
1．问题导航
(1)如何理解“半角”？
(2)利用半角公式求值时，如何确定符号？
(3)等式sin 15°＝± 成立吗？
2．例题导读
P125例5.通过此例学习，学会运用二倍角公式推导半角公
式，掌握半角公式．
试一试：教材P128习题3－3 A组T9你会吗？
P127例6，例7.通过此两例学习，学会利用半角公式解决给
值求值问题．
试一试：教材P127练习2T1你会吗？
正弦、余弦和正切的半角公式
正弦的半角公式
sin＝±_
余弦的半角公式
cos＝±_
正切的半角公式
tan ＝±_
＝＝
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)cos＝.( )
(2)存在α∈R，使得cos ＝cos α.( )
(3)对于任意α∈R，sin＝sin α都不成立．( )
(4)若α是第一象限角，则tan＝ .( )
解析：(1)错误．只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos＝.
(2)正确．当cos α＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．
(3)错误．当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．
(4)正确．若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan＝ 成立．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知cos α＝，270°<α<360°，那么cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.因为270°<α<360°，
所以135°<<180°，所以cos<0.
故cos＝－＝－
＝－＝－.
3．设－3π<α<－，化简 的结果是( )
A．sin B．cos
C．－cos D．－sin
解析：选C.原式＝ ＝|cos|，
因为－3π<α<－π，
所以－<<－π.
所以cos<0.
因此原式＝－cos.
4．若cos 22°＝a，则sin 11°＝________，cos 11°＝________(用a表示)．
解析：sin 11°>0，cos 11°>0，
所以sin 11°＝ ，cos 11°＝ .
答案：
对半角公式的四点认识
(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．
(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan.
(3)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2＝，cos2＝求解．
给值求值
已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos的值．
(链接教材P127例6，例7)
[解] 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝－，cos β＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－×＋×＝，
又因为<α<π，0<β<，所以0<α－β<π，
所以0<<，
所以cos＝ ＝
＝.
把本例中的条件“α为钝角”改为“α为锐角”，求cos的值．
解：因为α为锐角，β为锐角，sin α＝，sin β＝，
所以cos α＝，cos β＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝，
又因为0<α<，0<β<，
所以－<α－β<，
所以－<<，
所以cos＝ ＝ ＝.
方法归纳
利用半角公式求值的思路
(1)看角．若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围．由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式．涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论．结合(2)求值．
1．(1)已知|cos θ|＝，且<θ<3π，则sin，cos，tan的值分别为( )
A．－，，2 B．－，－，2
C.，－，2 D．－，－，－2
(2)若cos α＝－，α是第三象限的角，则＝( )
A．－ B．
C．2 D．－2
(3)若＝2，则cos α－sin α＝________.
解析：(1)因为|cos θ|＝，<θ<3π，
所以cos θ＝－，<<.由cos θ＝1－2sin2，
得sin＝－＝－＝－.
又cos θ＝2cos2－1，所以cos＝－＝－，所以tan ＝＝2.
(2)因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－，＝
＝＝
＝＝＝－.
(3)＝
＝＝
＝tan＝2.
所以cos α－sin α＝
＝＝＝－.
答案：(1)B (2)A (3)－
利用半角公式化简求值
(1)计算：tan ＋.
(2)化简(－π<α<0)．
(链接教材P128习题3－3 A组T1)
[解] (1)法一：tan ＋
＝＋
＝＋＝＋
＝＋2＋＝1＋＋.
法二：tan ＋
＝＋＝＋
＝＋2＋＝1＋＋.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，
所以sin<0，
所以原式＝＝cos α.
方法归纳
(1)利用半角公式进行化简与计算时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式减少运算量，注意隐含条件中角的范围．
(2)半角的正切公式分无理表达式与有理表达式两种形式，前者有正负号选取，其符号由角的范围确定，必要时需要讨论，后者没有符号选取，其结果的符号由sin α确定，应用十分方便．
2．(1)若＝2 015，则＋tan 2α＝________.
(2)＋2的化简结果是________．
(3)化简(tan 5°－tan 85°)·.
解：(1)＋tan 2α＝＋＝＝＝＝2 015，故填2 015.
(2)原式＝＋2
＝2|cos 4|＋2
＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|.
因为<4<，
所以cos 4<0，sin 4所以sin 4－cos 4<0.
从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4.
故填－2sin 4.
(3)原式＝·
＝·
＝·tan 10°
＝·＝－2.
证明三角恒等式
求证：(1)tan α＋＝.
(2)＝sin 2α.
(链接教材P128例5)
[证明] (1)左边＝＋
＝＋
＝
＝＝右边．
故等式成立．
(2)左边＝＝
＝＝＝cos αsin·cos＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
方法归纳
证明三角恒等式的常用方法
(1)直接法：直接从等式的一边开始转化到等式的另一边，一般是按照由繁到简的原则进行，依据是相等关系的传递性．
(2)综合法：由一个已知的等式(或已有的公式等)恒等变形到所要证明的等式．
(3)中间量法：通过证明等式左右两边都等于同一个式子完成恒等式的证明．
3．(1)求证：2(1＋cos α)－sin2α＝4cos4.
(2)求证：tan－tan＝.
证明：(1)左边＝2×2cos2－
＝4cos2－4sin2cos2
＝4cos2＝4cos4
＝右边．
(2)法一：tan－tan＝－
＝
＝＝
＝
＝.
法二：
＝
＝
＝－＝tan－tan.
规范解答
三角恒等变形的综合应用
(本题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)因为cos x≠0，所以x≠kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为，
2分
f(x)＝
＝2sin x(sin x＋cos x)＝2sin2x＋sin 2x
＝1－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋1，4分
所以f(x)的最小正周期为T＝π.6分
(2)因为－≤x≤，
所以－≤2x－≤，8分
当2x－＝，
即x＝时，f(x)的最大值为2；10分
当2x－＝－，
即x＝－时，f(x)的最小值为－＋1.12分
[规范与警示] (1)在处，直接求函数的定义域，若对函数先化简，则导致分母不存在，再求定义域就出错，此为失分点．
在处，正确地使用降幂公式将函数化为f(x)＝
sin＋1是解题的关键．
在处，容易将2x－的范围算错或忽略，都将导致f(x)的最值求错造成失分．
(2)解答此类问题的两个注意点
①定义域求解时的保原性
定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，故求解时，应保证函数的原解析式有意义，不可随便化简，如本例不可求f(x)＝sin＋1的定义域．
②提高公式的辨析和识记能力
sin2x与cos2x的降幂公式非常相似，解题时务必细心，谨防混淆，可采用先写出cos 2x的公式，再对其变形分别记忆，如本例求解中若把sin2x的公式用错，会导致该题基本不得分．
1．已知α∈(π，2π)，则 等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析：选D.因为α∈(π，2π)，∈，
所以 ＝ ＝|cos |＝－cos.
2．已知α是第三象限角，且sin α＝－，则tan等于( )
A．－ B．
C. D．－
解析：选D.由α为第三象限角，且sin α＝－知cos α＝－.
所以tan＝＝－＝－.
3．已知cos＝，540°<α<720°，则sin＝________.
解析：因为540°<α<720°，所以270°<<360°，所以135°<<180°，因为cos＝，所以sin＝＝.
答案：
4．已知sin 2θ＝，0<2θ<，则＝________.
解析：＝
＝＝＝.因为sin 2θ＝，0<2θ<，
所以cos 2θ＝，所以tan θ＝＝＝，
所以＝＝，
即＝.
答案：
, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，则tan＝( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选B.因为180°<θ<270°，
所以90°<<135°，
所以tan<0，
所以tan ＝－＝－＝－2.
2．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选B.由题意知sin α＝－，α∈，
所以cos α＝－，
因为∈，
所以sin＝cos＝－＝－.故选B.
3．已知θ为第二象限角，25sin2θ＋sin θ－24＝0，则cos的值为( )
A．－ B．±
C. D．±
解析：选B.由25sin2θ＋sin θ－24＝0得sin θ＝或sin θ＝－1(因为θ为第二象限角，故舍去)，所以cos θ＝－，且为第一或者第三象限角，所以2cos2－1＝－，故cos＝±.
4．化简等于( )
A．－cos 1
B．cos 1
C.cos 1
D．－cos 1
解析：选C.原式＝＝＝cos 1，故选C.
5．已知450°<α<540°，则 的值是( )
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
解析：选A.因为450°<α<540°，
所以225°<<270°.
所以cos α<0，sin<0.
所以原式＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝|sin|＝－sin.故选A.
6．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin的值等于________．
解析：因为5π<θ<6π，所以<<，
所以sin＝－＝－
＝－.
答案：－
7．求值：＝________.
解析：＝
＝＝－1.
答案：－1
8．若θ∈，sin 2θ＝，则tan θ＝________．
解析：因为θ∈，则2θ∈，
所以sin θ>0，cos θ>0.
因为sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－，
所以sin θ＝ ＝ ＝，
cos θ＝ ＝ ＝，
所以tan θ＝＝＝.
答案：
9．已知sin φ＝－，且φ是第三象限角，求下列各三角函数的值：
(1)sin；
(2)sin 2φ；
(3)cos；
(4)tan.
解：因为φ是第三象限角，
所以cos φ＝－＝－.
(1)sin＝sin φcos＋cos φsin
＝－.
(2)sin 2φ＝2sin φcos φ＝.
(3)因为φ是第三象限角，所以2kπ＋π<φ<2kπ＋.
所以kπ＋<当k＝2m时，2mπ＋<<2mπ＋(m∈Z)，
cos＝－＝－.
当k＝2m＋1时，2mπ＋<<2mπ＋(m∈Z)，
cos＝ ＝.
(4)tan＝＝－.
10．化简：.
解：法一：(半角正切公式)
因为tan ＝＝，
则有＝＝＝.
所以－tan ＝－＝.
1＋tan θ·tan ＝1＋·
＝1＋＝，
所以
＝·＝.
法二：(切化弦)
－＝＝＝，
1＋tan θ·tan ＝1＋·
＝1＋·
＝1＋
＝1＋＝.
所以
＝·＝ .
[B.能力提升]
1．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos的值等于( )
A．± B．±
C．－ D．－
解析：选A.由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，得sin β＝－.
因为β在第三象限，所以cos β＝－，为第二、四象限角，
所以cos＝± ＝± ＝±.
2．设π<α<3π，cos α＝m，cos＝n，cos＝p，则下列各式正确的是( )
A．n＝－ B．n＝
C．p＝－ D．p＝
解析：选A.因为π<α<3π，
所以<<，
cos＝－，即n＝－，
因为<<，
所以<<，cos＝± ，
所以p＝± .故选A.
3．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则sin＝________.
解析：由题意可知，＝sin αcos β－sin βcos α＝sin(α－β)＝，
因为0<β<α<，所以0<α－β<，
所以cos(α－β)＝，又cos α＝，
所以sin α＝，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝－×＋×＝，
所以sin＝ ＝.
答案：
4．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝________.
解析：因为α，β∈(0，π)，所以sin α＋sin β>0，
所以cos β－cos α>0，cos β>cos α，
又因为在(0，π)上，y＝cos x是减函数，
所以β<α，所以0<α－β<π，
由原式知2sincos＝，
所以tan＝，所以＝，
所以α－β＝.
答案：
5．已知sin α＝，sin(α＋β)＝，α与β均为锐角，求cos.
解：因为0<α<，所以cos α＝＝.
又因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.
若0<α＋β<，
因为sin(α＋β)故<α＋β<π.所以cos(α＋β)＝－.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝，
因为0<β<，所以0<<.
故cos＝＝.
6．(选做题)已知函数f(θ)＝－＋(0<θ<π)．
(1)将f(θ)表示成关于cos θ的多项式；
(2)试求使曲线y＝acos θ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时a的取值范围．
解：(1)f(θ)＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝2cos2θ＋cos θ－1.
(2)由2cos2θ＋cos θ－1＝acos θ＋a，
得(cos θ＋1)(2cos θ－1)＝a(cos θ＋1)．
所以cos θ＝，
所以－1<<1，
即－3, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．已知cos θ＝－，且180°<θ<270°，则tan＝( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选B.因为180°<θ<270°，
所以90°<<135°，
所以tan<0，
所以tan ＝－＝－＝－2.
2．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选B.由题意知sin α＝－，α∈，
所以cos α＝－，
因为∈，
所以sin＝cos＝－＝－.故选B.
3．已知θ为第二象限角，25sin2θ＋sin θ－24＝0，则cos的值为( )
A．－ B．±
C. D．±
解析：选B.由25sin2θ＋sin θ－24＝0得sin θ＝或sin θ＝－1(因为θ为第二象限角，故舍去)，所以cos θ＝－，且为第一或者第三象限角，所以2cos2－1＝－，故cos＝±.
4．化简等于( )
A．－cos 1
B．cos 1
C.cos 1
D．－cos 1
解析：选C.原式＝＝＝cos 1，故选C.
5．已知450°<α<540°，则 的值是( )
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
解析：选A.因为450°<α<540°，
所以225°<<270°.
所以cos α<0，sin<0.
所以原式＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝|sin|＝－sin.故选A.
6．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin的值等于________．
解析：因为5π<θ<6π，所以<<，
所以sin＝－＝－
＝－.
答案：－
7．求值：＝________.
解析：＝
＝＝－1.
答案：－1
8．若θ∈，sin 2θ＝，则tan θ＝________．
解析：因为θ∈，则2θ∈，
所以sin θ>0，cos θ>0.
因为sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－，
所以sin θ＝ ＝ ＝，
cos θ＝ ＝ ＝，
所以tan θ＝＝＝.
答案：
9．已知sin φ＝－，且φ是第三象限角，求下列各三角函数的值：
(1)sin；
(2)sin 2φ；
(3)cos；
(4)tan.
解：因为φ是第三象限角，
所以cos φ＝－＝－.
(1)sin＝sin φcos＋cos φsin
＝－.
(2)sin 2φ＝2sin φcos φ＝.
(3)因为φ是第三象限角，所以2kπ＋π<φ<2kπ＋.
所以kπ＋<当k＝2m时，2mπ＋<<2mπ＋(m∈Z)，
cos＝－＝－.
当k＝2m＋1时，2mπ＋<<2mπ＋(m∈Z)，
cos＝ ＝.
(4)tan＝＝－.
10．化简：.
解：法一：(半角正切公式)
因为tan ＝＝，
则有＝＝＝.
所以－tan ＝－＝.
1＋tan θ·tan ＝1＋·
＝1＋＝，
所以
＝·＝.
法二：(切化弦)
－＝＝＝，
1＋tan θ·tan ＝1＋·
＝1＋·
＝1＋
＝1＋＝.
所以
＝·＝ .
[B.能力提升]
1．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝，且β是第三象限角，则cos的值等于( )
A．± B．±
C．－ D．－
解析：选A.由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，得sin β＝－.
因为β在第三象限，所以cos β＝－，为第二、四象限角，
所以cos＝± ＝± ＝±.
2．设π<α<3π，cos α＝m，cos＝n，cos＝p，则下列各式正确的是( )
A．n＝－ B．n＝
C．p＝－ D．p＝
解析：选A.因为π<α<3π，
所以<<，
cos＝－，即n＝－，
因为<<，
所以<<，cos＝± ，
所以p＝± .故选A.
3．定义运算＝ad－bc，若cos α＝，＝，0<β<α<，则sin＝________.
解析：由题意可知，＝sin αcos β－sin βcos α＝sin(α－β)＝，
因为0<β<α<，所以0<α－β<，
所以cos(α－β)＝，又cos α＝，
所以sin α＝，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，sin 2α＝，
所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝－×＋×＝，
所以sin＝ ＝.
答案：
4．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝________.
解析：因为α，β∈(0，π)，所以sin α＋sin β>0，
所以cos β－cos α>0，cos β>cos α，
又因为在(0，π)上，y＝cos x是减函数，
所以β<α，所以0<α－β<π，
由原式知2sincos＝，
所以tan＝，所以＝，
所以α－β＝.
答案：
5．已知sin α＝，sin(α＋β)＝，α与β均为锐角，求cos.
解：因为0<α<，所以cos α＝＝.
又因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π.
若0<α＋β<，
因为sin(α＋β)故<α＋β<π.所以cos(α＋β)＝－.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－×＋×＝，
因为0<β<，所以0<<.
故cos＝＝.
6．(选做题)已知函数f(θ)＝－＋(0<θ<π)．
(1)将f(θ)表示成关于cos θ的多项式；
(2)试求使曲线y＝acos θ＋a与曲线y＝f(θ)至少有一个交点时a的取值范围．
解：(1)f(θ)＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝－＋
＝2cos2θ＋cos θ－1.
(2)由2cos2θ＋cos θ－1＝acos θ＋a，
得(cos θ＋1)(2cos θ－1)＝a(cos θ＋1)．
所以cos θ＝，
所以－1<<1，
即－3章末优化总结
, )
三角函数式的求值
三角函数求值主要有三种类型，即
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
(1)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos α，sin α的值．
(2)已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，0°<α<90°，0°<β<90°，求β.
[解] (1)因为<β<α<，
所以0<α－β<，π<α＋β<，
所以sin(α－β)＝＝＝，
cos(α＋β)＝－＝－
＝－.
所以cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)
＝×－×＝－.
所以cos2α＝＝＝.
又因为<α<，所以cos α＝－，sin α＝.
(2)因为0°<α<90°，
且tan α＝＝4，sin2α＋cos2α＝1，
所以cos α＝，sin α＝.
因为cos(α＋β)＝－，0°<α＋β<180°，
所以sin(α＋β)＝＝.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又0°<β<90°，所以β＝60°.
三角函数式的化简
三角函数式的化简，主要有以下几类：①对和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式；②对分式，基本思路是分子与分母的约分和逆用公式，最终变成整式或数值；③对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式．在具体过程中体现的则是化归的思想，是一个“化异为同”的过程，通常考虑三个方面
(1)化简的要求
三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出值的应尽量求出值．
(2)化简的方法
①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；
②常用切化弦，异名化同名、异角化同角等．
(3)化简的技巧
①注意特殊角与特殊值的互化；②注意角的变换技巧；③注意“1”的代换．
化简下列各式：
(1)－；
(2).
[解] (1)原式＝
＋
＝
＋
＝＋
＝＋
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝＝2.
三角恒等式的证明
证明三角恒等式是三角恒等变形的重要应用，主要有两种类型：不附加条件的恒等式的证明和条件恒等式的证明．
(1)不附加条件的恒等式的证明
三角恒等式的证明就是通过三角恒等变形，消除三角恒等式两端的差异，这是三角变形的重要应用之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．
(2)条件恒等式的证明
这类问题的解题思路是恰当地、适时地使用条件或仔细探求所附条件与需证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．
(1)求证：tan2x＋＝.
(2)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin 2β，求证：2tan 2β＝tan α＋tan β.
[证明] (1)法一：左边＝＋＝
＝＝
＝＝＝
＝＝＝右边．
所以原式得证．
法二：右边＝＝＝
＝
＝＝tan2x＋＝左边．
原式得证．
(2)因为tan(α－β)＝sin 2β，
tan(α－β)＝，
sin 2β＝，
所以＝.
去分母整理得tan α＝，
所以tan α＋tan β＝＝2tan 2β.
三角恒等变形与三角函数的性质
利用三角公式和基本的三角恒等变形的思想方法，可以化简三角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出有关三角函数值，因而三角恒等变形与三角函数的性质是高考命题的热点．
解决三角恒等变形与三角函数的综合问题关键在于熟练地运用基本的三角恒等变形思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数． 解决与图像和性质有关的问题，在进行恒等变形时，要注意三角恒等思想．
已知向量a＝(2sin x，cos x)，b＝(cos x，2cos x)，定义函数f(x)＝a·b－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的递减区间；
(3)画出函数y＝f(x)，x∈的图像，由图像研究并写出f(x)的对称轴和对称中心．
[解] f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin.
(1)T＝＝π.
(2)2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋?kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的递减区间为(k∈Z)．
(3)列表：
x
－
－
－
2x＋
－π
－
0
π
y
0
－2
0
2
0
描点，连线，如图所示：
从图像可以看出，此函数有一个对称中心，无对称轴．
1．已知f(x)＝，当α∈时，f(sin 2α)－f(－sin 2α)可化简为( )
A．2sin α B．－2cos α
C．－2sin α D．2cos α
解析：选D.f(sin 2α)－f(－sin 2α)＝－＝－
＝|sin α－cos α|－|sin α＋cos α|，
由α∈，
所以sin αf(sin 2α)－f(－sin 2α)＝2cos α.
2．函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x的图像的一个对称中心是( )
A. B．
C. D．
解析：选D.f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，令2x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－，k∈Z，当k＝1时，x＝，此时f(x)＝，所以函数f(x)的一个对称中心是.
3.＝________.
解析：原式＝
＝
＝＝tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝2－.
答案：2－
4．函数f(x)＝sin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值为2，则f(x)的最小正周期为________．
解析：f(x)＝sin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]
＝sin[(1－a)x＋φ]，
所以f(x)max＝，即＝2，a＝3.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
答案：π
5．已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，求的值．
解：因为β为f(x)＝cos的最小正周期，所以β＝π，因为a＝，b＝(cos α，2)，所以a·b＝·(cos α，2)＝tan·cos α－2＝m，所以tancos α＝m＋2.因为0<α<，
所以
＝＝
＝＝2cos α·
＝2cos αtan＝2m＋4.
, [学生用书单独成册])
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选D.＝cos2－sin2＝cos＝cos＝.
2. 函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为( )
A．2π B．
C．π D．
解析：选A.f(x)＝cos x＝cos x＋sin x＝2sin，所以T＝2π.
3．若向量a＝(2cos α，－1)，b＝(，tan α)，且a∥b，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.因为向量a＝(2cos α，－1)，b＝(，tan α)，且a∥b，
所以2cos α·tan α＝－，即2cos α·＝－，解得sin α＝－.
4．当x∈时，函数f(x)＝sin x＋cos x的( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
解析：选D.f(x)＝2＝2sin.
因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2.
5．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B.sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)
＝sin 17°(－sin 43°)＋(－cos 17°)·(－cos 43°)＝cos 60°＝.
6．化简的结果是( )
A. B．tan 2α
C. D．tan α
解析：选B.＝＝＝tan 2α.
7．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有( )
A．cC．a解析：选A.a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，
b＝2cos213°－1＝cos 26°＝sin 64°，c＝＝sin 60°，在区间(0°，90°)上，函数y＝sin x是增函数，所以sin 60°8．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )
A. B．－
C．2 D．或－
解析：选B.因为tan 2θ＝－2且π<2θ<2π，所以<2θ<2π，得<θ<π.
由tan 2θ＝－2得＝－2，整理得tan2θ－tan θ－＝0，解得tan θ＝(舍去)或tan θ＝－.
9．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为0<α<，所以<α＋<，
得sin＝ ＝；
因为－<β<0，所以<－<，
得sin＝ ＝.
则cos＝cos
＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.
10．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.由m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，
得m·n＝sin Acos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
而cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，则由m·n＝1＋cos(A＋B)得sin C＝1－cos C，
即sin C＋cos C＝?sin＝，
而C为△ABC的一个内角，所以二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11.的值是________．
解析：＝＝
＝tan(15°＋30°)＝tan 45°＝1.
答案：1
12．已知sin θ＋cos θ＝，且<θ<，则cos 2θ的值是________．
解析：由消去cos θ得sin2θ－sin θ－＝0，因为<θ<，所以sin θ>0，
所以sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝－.
答案：－
13．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝____________．
解析：根据诱导公式，将已知条件的两个式子化简，联立得解得由tan α＝3和sin2α＋cos2α＝1得结合α为锐角解得，所以sin α＝.
答案：
14．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α＝________．
解析：由题意，知cos β＝－，sin(α＋β)＝，
又因为α，β∈(0，π)，所以sin β＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β＝×＋×＝＋＝.
答案：
15．已知sin α－sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos2＝________．
解析： (sin α－sin β)2＝，(cos α＋cos β)2＝，两式展开相加得
2－2sin αsin β＋2cos αcos β＝1?1＋cos(α＋β)＝
?cos(α＋β)＝－?cos2＝.
答案：
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin αcos α＝.可知(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α
＝1－2sin αcos α＝1－2×＝.
又因为<α<，所以cos α所以cos α－sin α＝－.
(3)因为α＝－＝－6×2π＋，
所以f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos ·sin ＝cos·sin
＝cos·＝·＝－.
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件知cos α＝，cos β＝，且α，β为锐角，
所以sin α＝，sin β＝，因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝－3.
(2)tan 2β＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝－1，
因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<，所以α＋2β＝.
18．(本小题满分10分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．
解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ.又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，所以sin2θ＝.
又θ∈，所以sin θ＝，cos θ＝.
(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)
＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，所以cos φ＝sin φ.
所以cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又因为0<φ<，所以cos φ＝.
19．(本小题满分12分)已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)(其中ω>0)，n＝(f(x)，cos ωx)，m⊥n，且函数f(x)的图像任意两相邻对称轴间距为π.
(1)求ω的值；
(2)探讨函数f(x)在(－π，π)上的单调性．
解：(1)由题意，得m·n＝0，所以f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin＋.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π，又ω＞0，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
因为x∈(－π，π)，所以－＜x＋＜，
当－＜x＋＜，即－π＜x＜时，函数f(x)是递增的；
当≤x＋＜，即≤x＜π时，函数f(x)是递减的．
综上可知，函数f(x)在上是递增的，在上是递减的．
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin xcos
＋.
(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)的表达式及对称轴方程．
解：(1)f(x)＝sin xcos＋
＝sin x＋
＝sin xcos x－sin2x＋＝sin 2x－×＋
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
由－≤x≤，得－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，－≤sin≤，所以f(x)∈.
(2)由(1)知f(x)＝sin，将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝sin
＝sin的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin的图像，所以g(x)＝sin，当4x－＝kπ＋(k∈Z)时，g(x)取最值，所以x＝＋(k∈Z)，所以函数的对称轴方程是x＝＋(k∈Z)．
课件36张PPT。章末优化总结第三章 三角恒等变形三角函数式的求值三角函数式的化简三角恒等式的证明三角恒等变形与三角函数的性质DDπ本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放, [学生用书单独成册])
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.等于( )
A．－ B．－
C. D．
解析：选D.＝cos2－sin2＝cos＝cos＝.
2. 函数f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为( )
A．2π B．
C．π D．
解析：选A.f(x)＝cos x＝cos x＋sin x＝2sin，所以T＝2π.
3．若向量a＝(2cos α，－1)，b＝(，tan α)，且a∥b，则sin α＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选B.因为向量a＝(2cos α，－1)，b＝(，tan α)，且a∥b，
所以2cos α·tan α＝－，即2cos α·＝－，解得sin α＝－.
4．当x∈时，函数f(x)＝sin x＋cos x的( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
解析：选D.f(x)＝2＝2sin.
因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，所以－≤sin≤1，所以－1≤f(x)≤2.
5．sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°等于( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B.sin 163°sin 223°＋sin 253°sin 313°＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－17°)sin(270°＋43°)
＝sin 17°(－sin 43°)＋(－cos 17°)·(－cos 43°)＝cos 60°＝.
6．化简的结果是( )
A. B．tan 2α
C. D．tan α
解析：选B.＝＝＝tan 2α.
7．设a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b＝2cos213°－1，c＝，则有( )
A．cC．a解析：选A.a＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°＝sin(17°＋45°)＝sin 62°，
b＝2cos213°－1＝cos 26°＝sin 64°，c＝＝sin 60°，在区间(0°，90°)上，函数y＝sin x是增函数，所以sin 60°8．已知tan 2θ＝－2，π<2θ<2π，则tan θ的值为( )
A. B．－
C．2 D．或－
解析：选B.因为tan 2θ＝－2且π<2θ<2π，所以<2θ<2π，得<θ<π.
由tan 2θ＝－2得＝－2，整理得tan2θ－tan θ－＝0，解得tan θ＝(舍去)或tan θ＝－.
9．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为0<α<，所以<α＋<，
得sin＝ ＝；
因为－<β<0，所以<－<，
得sin＝ ＝.
则cos＝cos
＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.
10．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选C.由m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，
得m·n＝sin Acos B＋sin B·cos A＝sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
而cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，则由m·n＝1＋cos(A＋B)得sin C＝1－cos C，
即sin C＋cos C＝?sin＝，
而C为△ABC的一个内角，所以二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11.的值是________．
解析：＝＝
＝tan(15°＋30°)＝tan 45°＝1.
答案：1
12．已知sin θ＋cos θ＝，且<θ<，则cos 2θ的值是________．
解析：由消去cos θ得sin2θ－sin θ－＝0，因为<θ<，所以sin θ>0，
所以sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝－.
答案：－
13．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α＝____________．
解析：根据诱导公式，将已知条件的两个式子化简，联立得解得由tan α＝3和sin2α＋cos2α＝1得结合α为锐角解得，所以sin α＝.
答案：
14．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α＝________．
解析：由题意，知cos β＝－，sin(α＋β)＝，
又因为α，β∈(0，π)，所以sin β＝，cos(α＋β)＝－.
所以cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β＝×＋×＝＋＝.
答案：
15．已知sin α－sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos2＝________．
解析： (sin α－sin β)2＝，(cos α＋cos β)2＝，两式展开相加得
2－2sin αsin β＋2cos αcos β＝1?1＋cos(α＋β)＝
?cos(α＋β)＝－?cos2＝.
答案：
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝sin α·cos α.
(2)由f(α)＝sin αcos α＝.可知(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin αcos α＋sin2α
＝1－2sin αcos α＝1－2×＝.
又因为<α<，所以cos α所以cos α－sin α＝－.
(3)因为α＝－＝－6×2π＋，
所以f＝cos·sin
＝cos·sin
＝cos ·sin ＝cos·sin
＝cos·＝·＝－.
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解：由条件知cos α＝，cos β＝，且α，β为锐角，
所以sin α＝，sin β＝，因此tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝－3.
(2)tan 2β＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝－1，
因为α，β为锐角，所以0<α＋2β<，所以α＋2β＝.
18．(本小题满分10分)已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值．
解：(1)因为a⊥b，所以a·b＝sin θ－2cos θ＝0，
即sin θ＝2cos θ.又因为sin2θ＋cos2θ＝1，
所以4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，所以sin2θ＝.
又θ∈，所以sin θ＝，cos θ＝.
(2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ)
＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ，所以cos φ＝sin φ.
所以cos2φ＝sin2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝.
又因为0<φ<，所以cos φ＝.
19．(本小题满分12分)已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)(其中ω>0)，n＝(f(x)，cos ωx)，m⊥n，且函数f(x)的图像任意两相邻对称轴间距为π.
(1)求ω的值；
(2)探讨函数f(x)在(－π，π)上的单调性．
解：(1)由题意，得m·n＝0，所以f(x)＝cos ωx·(cos ωx＋sin ωx)＝＋＝sin＋.
根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π，又ω＞0，所以ω＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋，
因为x∈(－π，π)，所以－＜x＋＜，
当－＜x＋＜，即－π＜x＜时，函数f(x)是递增的；
当≤x＋＜，即≤x＜π时，函数f(x)是递减的．
综上可知，函数f(x)在上是递增的，在上是递减的．
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝sin xcos
＋.
(1)当x∈时，求函数f(x)的值域；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g(x)的图像，求函数g(x)的表达式及对称轴方程．
解：(1)f(x)＝sin xcos＋
＝sin x＋
＝sin xcos x－sin2x＋＝sin 2x－×＋
＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
由－≤x≤，得－≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1，－≤sin≤，所以f(x)∈.
(2)由(1)知f(x)＝sin，将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝sin
＝sin的图像，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝sin的图像，所以g(x)＝sin，当4x－＝kπ＋(k∈Z)时，g(x)取最值，所以x＝＋(k∈Z)，所以函数的对称轴方程是x＝＋(k∈Z)．
