2016版优化方案高中数学人教版必修四配套课件+配套文档：第一章　三角函数（36份）

课件43张PPT。4．3　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.4单位圆的对称性与诱导公式第一章　三 角 函 数试一试：教材P20练习1T1你会吗？
P22例4.通过本例学习，学会利用诱导公式求三角函数值．
试一试：教材P23习题1－4A组T2你会吗？
P22例5.通过本例学习，学会利用诱导公式化简三角函数式．
试一试：教材P24习题1－4A组T8你会吗？
1．根据单位圆理解正弦函数y＝sin x的性质
根据正弦函数y＝sin x的定义，我们不难从单位圆看出函数y＝sin x有以下性质：
(1)定义域是___________；
(2)最大值是______，最小值是______，值域是_________；
(3)它是____________，其周期是________________，最小正周期为____________；．R1－1[－1，1]周期函数2kπ(k∈Z，k≠0)2π(4)从单位圆上看正弦函数y＝sin x在区间
______________________________________
上是增加的，在区间____________________________上是减
少的.2．特殊角的终边的对称关系
(1)π＋α的终边与角α的终边关于____________对称；
(2)－α的终边与角α的终边关于___________对称；
(3)π－α的终边与角α的终边关于__________对称．
3．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝____________，cos(α＋2kπ)＝cos α.(1.8)
(2)sin(－α)＝____________，cos(－α)＝cos α.(1.9)原点x轴y轴sin α－sin αcos α－cos α－sin αcos αsin α√××√√A－cos α给角求值A给值求值AC利用诱导公式化简式子D1本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．如果sin(π＋α)＝－，则cos ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A.因为－＝sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝，
所以cos＝－sin α＝－.
下列三角函数中，与sin数值相同的是(　　)
①sin；②cos；
③sin；④cos ；
⑤sin(n∈Z)．
A．①② B．①②③
C．②③⑤ D．①③⑤
解析：选C.①中n为偶数时，sin＝－sin；
②中cos＝cos＝sin；
③中sin＝sin；
④中cos＝－cos＝－sin；
⑤中sin＝sin＝sin.
故②③⑤正确．
3．已知sin＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－
C. D．
解析：选C.sin＝cos α，故cos α＝，故选C.
4．已知600°角的终边上有点P(a，－3)，则a的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B.cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－，
而cos 600°＝，
所以＝－，
所以a＜0.
解得a＝－.
cos＝(　　)
A. B．
C．－ D．－
解析：选C.cos＝cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
已知sin＝，则cos＝________．
解析：因为＋＝，
所以cos＝cos
＝sin＝.
答案：
7．化简的值等于________．
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝－＝－.
答案：－
计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________．
解析：原式＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝0.
答案：0
化简cos(nπ＋x)＋cos(nπ－x)(n∈Z)．
解：当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，
原式＝cos [(2k＋1)π＋x]＋cos [(2k＋1)π－x]＝cos(π＋x)＋cos(π－x)＝－cos x－cos x＝－2cos x；
当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，
原式＝cos(2kπ＋x)＋cos(2kπ－x)＝cos x＋cos(－x)
＝2cos x，
故原式＝
计算下列各式的值：
(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)
＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°
＝×＋×＝1.
[B.能力提升]
1．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C.因为sin(A＋B－C)＝sin (A－B＋C)，所以sin(π－2C)＝sin(π－2B)，
即sin 2C＝sin 2B，所以2C＝2B或2C＝π－2B，即C＝B或C＋B＝，所以△ABC是等腰或直角三角形．
2．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A. B．
C．0 D．－
解析：选A.因为f(x＋π)＝f(x)＋sin x，
所以f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.
所以f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)．
所以f(x)是以2π为周期的周期函数．
又f＝f＝f，
f＝f＋sin，
所以f＝f－.
因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0，
所以f＝f＝.故选A.
3．若α是三角形的一个内角，且cos＝－cos，则α＝________．
解析：因为cos＝－sin α＝－，
所以sin α＝.
又因为α是三角形的一个内角，
所以α＝或.
答案：或
4．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 014)＝2，则f(2 015)＝________．
解析：因为f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)＝2，
所以f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β)
＝asin [π＋(2 014π＋α)]＋bcos [π＋(2 014π＋β)]
＝－[asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)]＝－2.
答案：－2
5．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第四象限角且sin＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－π，求f(α)．
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因为sin＝sin＝cos α＝，
所以f(α)＝－cos α＝－.
(3)f＝－cos
＝－cos＝－cosπ＝－cos＝－.
6．(选做题)已知f(k)＝sin，k∈Z.
(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值．
解：(1)证明：因为sin＝sin＝sin(k∈Z)，
所以f(k)＝f(k＋8)，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)．
(2)由(1)可知f(k)是以8为一个周期的周期函数，
而2 015＝251×8＋7，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝251[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)．
又因为f(1)＋f(2)＋…＋f(8)
＝sin＋sin＋…＋sin＝0，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin ＋sin ＋sin 
＝sin ＋sin ＋sin ＋sin π－sin －sin －sin ＝sin π＝0.
课件44张PPT。5．2　正弦函数的性质第一章　三 角 函 数1．问题导航
(1)“正弦函数y＝sin x在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？
(2)正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？
(3)正弦曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？
2．例题导读
P29例2.通过本例学习，学会用五点法画出函数y＝asin x＋b的简图，并根据图像讨论它的性质．
试一试：教材P30习题1－5A组T2你会吗？
1．正弦函数的性质
R[－1，1]奇函数2π1－1√××D画正弦函数的图像并讨论函数的性质正弦函数的单调性方法归纳
(1)利用正弦函数的单调性比较大小的步骤：
①一定：利用诱导公式把角化到同一个单调区间上；
②二比：利用正弦函数的单调性比较大小．
(2)解决有关正弦函数的单调性问题的主要理论依据：
①正弦函数的单调性；
②复合函数的单调性：设函数y＝f(μ)和μ＝g(x)在公共区间A内是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在A内也是单调函数，并且若y＝f(μ)和μ＝g(x)的单调性相同(反)，则y＝f[g(x)]在A内是增(减)函数，这个性质简记为“同增异减”．正弦函数的奇偶性　－3sin 3[A.基础达标]
1．函数f(x)＝sin 4x，x∈R的奇偶性为(　　)
A．偶函数
B．奇函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
解析：选B.因为f(－x)＝sin[4(－x)]＝sin(－4x)＝－sin 4x＝－f(x)，所以f(x)＝sin 4x为奇函数．
已知a∈R，函数f(x)＝sin x＋|a|－1，x∈R为奇函数，则a等于(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选D.由题意，得f(0)＝0，即|a|－1＝0，所以a＝±1，即当a＝±1时，f(x)＝sin x为R上的奇函数．
函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋1，x∈R的最小值为(　　)
A. B．1
C．0 D．－1
解析：选D.f(x)＝－＋，当sin x＝－1时，f(x)min＝－1.
函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的递增区间为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.y＝sin x的递增区间就是y＝4sin x＋3的增区间．
函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时的x的值分别为(　　)
A．y＝3，x＝
B．y＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．y＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．y＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：选C.当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y取最大值3.
函数y＝sin |x|的图像关于________对称．
解析：因为sin|－x|＝sin|x|，所以y＝sin|x|是偶函数，其图像关于y轴对称．
答案：y轴
函数y＝2sin x的值域是________．
解析：利用图像解决．
通过图像不难发现y＝2sin x，x∈的值域为(0，2]．
答案：(0，2]
cos 10°，sin 11°，sin 168°从小到大的排列顺序是________．
解析：因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos (90°－80°)＝sin 80°，当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝sin x是增函数，因此sin 11°答案：sin 11°若函数y＝a－bsin x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin bx的最大值与最小值及周期．
解：因为－1≤sin x≤1，当b>0时，－b≤bsin x≤b.
所以a－b≤a－bsin x≤a＋b，
所以解得
所以所求函数为y＝－2sin x.
当b<0时，b≤bsin x≤－b，所以a＋b≤a－bsin x≤a－b.
所以解得
所以所求函数为y＝－2sin(－x)＝2sin x.
所以y＝±2sin x的最大值是2，最小值是－2，周期是2π.
判断函数f(x)＝lg的奇偶性．
解：由>0得(1－sin x)(1＋sin x)>0，
所以－1此函数的定义域为，
关于原点对称，且f(－x)＝lg
＝lg＝lg ＝－lg＝
－f(x)．
所以函数f(x)＝lg为奇函数．
[B.能力提升]
1．已知奇函数f(x)在[－1，0]上是递减的，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是(　　)
A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β)
C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)解析：选D.因为α、β为锐角三角形两内角，则0<－β<α<，所以0f(sin α)．
2．函数y＝2＋sin x，当x∈[－π，π]时，(　　)
A．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的
B．在上是增加的，在和上是减少的
C．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的
D．在和上是增加的，在上是减少的
解析：选B.因为>0，所以函数y＝2＋sin x的单调性与正弦函数y＝sin x的单调性相同，类比正弦函数的单调性可知，函数y＝2＋sin x在上是减少的，在上是增加的，在上是减少的．故选B.
3．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝cos，则f＝________.
解析：由诱导公式可知f(x)＝cos＝sin x，
由f(x)的最小正周期是π，
知f＝f
＝f.
由f(x)是偶函数知f＝f.
又当x∈时，f(x)＝sin x.
所以f＝sin＝.
所以f＝.
答案：
4．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则 f＋f＝________．
解析：因为f(x)是以4为周期的奇函数，所以f＝f＝f，f＝f＝f.
因为当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，所以f＝×＝.因为当1所以f＝sin＝－.又因为f(x)是奇函数，
所以f＝－f＝－，f＝－f＝.
所以f＋f＝－＝.
答案：
5．已知3sin2α＋2sin2β＝2sin α，求sin2α＋sin2β的取值范围．
解：由已知条件知sin2β＝sin α－sin2α，
所以0≤sin α－sin2α≤1，
解得0≤sin α≤，
所以sin2α＋sin2β＝sin2α＋sin α－sin2α
＝－(sin α－1)2＋，设sin α＝t，t∈，
y＝－(t－1)2＋在上是增函数，
所以当t＝0时，ymin＝0，当t＝时，ymax＝.
所以sin2α＋sin2β的取值范围是.
6．(选做题)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图；
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．
解：(1)若x∈，则－x∈.
因为f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.
若x∈，则π＋x∈.
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数，
所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x，
所以x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)函数f(x)在[－π，π]上的函数简图，如图所示：
(3)x∈[0，π]，sin x≥，可得≤x≤，函数周期为π，
所以x的取值范围是，k∈Z.
5．2　正弦函数的性质
1．问题导航
(1)“正弦函数y＝sin x在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？
(2)正弦曲线是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？
(3)正弦曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？
2．例题导读
P29例2.通过本例学习，学会用五点法画出函数y＝asin x＋b的简图，并根据图像讨论它的性质．
试一试：教材P30习题1－5A组T2你会吗？
1．正弦函数的性质
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1，1]
奇偶性
奇函数
周期性
2π为最小正周期
单调性
当(k∈Z)时，
函数是递增的
当(k∈Z)时，
函数是递减的
最大值与最小值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，最大值为1
当x＝2kπ－(k∈Z)时，最小值为－1
正弦函数y＝sin x的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称，关于直线x＝kπ＋(k∈Z)轴对称．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．(　　)
(2)函数y＝asin x(a≠0)的最大值为a，最小值为－a.(　　)
(3)若x＝x0时，y＝sin x取最大值，则x＝x0是函数y＝sin x的对称轴．(　　)
解析：(1)错误．因为定义域不关于原点对称．
(2)错误．要对a分大于0和小于0两种情况讨论，才能确定最大值与最小值．
(3)正确．由正弦曲线可知，此说法是正确的．
答案：(1)×　(2)×　(3)√
2．M和m分别是函数y＝sin x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　)
A.　　　 B．－　　　　
C．－　　　　 D．－2
解析：选D.因为M＝ymax＝－1＝－，
m＝ymin＝－－1＝－，
所以M＋m＝－－＝－2.
3．若函数y＝sin x在[0，a]上为增函数，则a的取值范围为________．
解析：由函数y＝sin x的图像可知，函数y＝sin x在上为增函数，所以[0，a]?，所以0答案：
理解正弦函数的性质应关注三点
(1)正弦函数不是定义域上单调函数．另外，说“正弦函数在第一象限内是增函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
(2)正弦曲线是中心对称图形，对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线与x轴的交点．
(3)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程为x＝kπ＋(k∈Z)，即过正弦曲线最高点或最低点并且垂直于x轴的直线．
　　　　　　　画正弦函数的图像并讨论函数的性质
　
利用五点法画出函数y＝1＋2sin x的简图，并根据图像讨论它的性质．
(链接教材P29例2)
[解]　列表如下.
x
0

π

2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝1＋2sin x
1
3
1
－1
1
根据表中数据画出简图如下．
观察图像得出y＝1＋2sin x的性质(见下表).
函数
y＝1＋2sin x
定义域
R
值域
[－1，3]
奇偶性
既不是奇函数也不是偶函数
周期性
最小正周期T＝2π
单调性
当x∈(k∈Z)时，函数是增加的；
当x∈(k∈Z)时，函数是减少的
最大值与最小值
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，最大值为3；
当x＝2kπ－(k∈Z)时，最小值为－1
方法归纳
解答此类问题的关键在于能正确利用五点法作出函数的简图，然后根据所画图像结合正弦函数的性质，从函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值与最小值这几个方面讨论函数的性质．
1．(1)利用五点法画出函数y＝－1＋2cos的简图，并根据图像讨论它的性质．
(2)画出函数y＝sin x－2(x∈[0，2π])的简图，并根据图像和解析式讨论其性质．
解：(1)y＝－1＋2cos＝－1－2sin x.
列表(如下表).
x
0

π

2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝－1－2sin x
－1
－3
－1
1
－1
根据表中数据画出简图如下．
观察图像得出y＝－1＋2cos的性质(见下表).
函数
y＝－1＋2cos
定义域
R
值域
[－3，1]
奇偶性
既不是奇函数也不是偶函数
周期性
最小正周期T＝2π
单调性
当x∈(k∈Z)时，函数是减少的；
当x∈(k∈Z)时，函数是增加的
最大值与最小值
当x＝2kπ－(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，最小值为－3
(2)列表：
x
0

π

2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝sin x－2
－2
－1
－2
－3
－2
描点，用光滑的曲线顺次连接各点，可得y＝sin x－2(x∈[0，2π])的图像，如图所示．
由图像及解析式可得该函数有以下性质：
定义域：[0，2π]；
值域：[－3，－1]；
奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数；
周期性：不是周期函数；
单调性：在区间与上是增加的，在区间上是减少的．
最大值与最小值：当x＝时，有最大值为1；
当x＝π时，有最小值为－3.
　　　　　　　正弦函数的单调性　
(1)比较下列各组数的大小：
①sin 与sin ；
②sin 与sin .
(2)求函数y＝logsin的递增区间．
[解]　(1)①因为0<<<，且y＝sin x在上是增加的，所以sin >sin .
②sin ＝sin＝sin .
因为<<<π，且y＝sin x在上是减少的．
所以sin >sin ，即sin >sin .
(2)由sin>0得2kπ要求原函数的递增区间，只需求函数y＝sin的递减区间，
令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，②
由①②可知＋2kπ≤x<π＋2kπ(k∈Z)，
所以原函数的递增区间为(k∈Z)．
　本例(2)条件不变，试求函数的递减区间．
解：令
得2kπ故＋2kπ所以原函数的递减区间为(k∈Z)．
方法归纳
(1)利用正弦函数的单调性比较大小的步骤：
①一定：利用诱导公式把角化到同一个单调区间上；
②二比：利用正弦函数的单调性比较大小．
(2)解决有关正弦函数的单调性问题的主要理论依据：
①正弦函数的单调性；
②复合函数的单调性：设函数y＝f(μ)和μ＝g(x)在公共区间A内是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在A内也是单调函数，并且若y＝f(μ)和μ＝g(x)的单调性相同(反)，则y＝f[g(x)]在A内是增(减)函数，这个性质简记为“同增异减”．
2．(1)比较下列各组数的大小；
①sin与sin(－)；
②sin与cos.
(2)求函数y＝－sin x的单调区间．
解：(1)①因为－<－<－<0，且y＝sin x在上是增加的，所以sin>sin.
②因为cos＝sin，又<<＋<，而y＝sin x在上是减少的，所以sin>sin，即sin>cos.
(2)因为－1<0，所以函数y＝－sin x的单调性与正弦函数y＝sin x的单调性相反．
所以函数y＝－sin x的递增区间即函数y＝sin x的递减区间，为(k∈Z)；
函数y＝－sin x的递减区间即函数y＝sin x的递增区间，为(k∈Z)．
故函数y＝－sin x的递增区间是(k∈Z)，递减区间是(k∈Z)．
　　　　　　　正弦函数的奇偶性　
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝sin (x＋7π)cos；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg (1＋sin x)；
(3)f(x)＝.
(链接教材P30习题1－5 A组T6)
[解]　(1)f(x)＝
sincos
＝sin(x＋π)cos＝－sin x·sin x＝－sin2x.
其定义域为R，
又f(－x)＝－sin2(－x)＝－sin2x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(2)由?－1又f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
(3)由1－sin x≠0，得sin x≠1，从而函数的定义域为，不关于原点对称．
所以函数f(x)是非奇非偶函数．
方法归纳
(1)判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
(2)在判断与正弦函数有关的奇偶性时，常用三角函数的诱导公式将函数解析式化简．
3．(1)若函数f(x)＝asin＋3sin是偶函数，则a＝________．
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝lg(sin x＋)．
解：(1)因为f(x)＝asin＋3sin
＝f(－x)＝asin＋3sin
＝－asin－3sin.
所以?a＝－3.故填－3.
(2)①由2sin x－1≥0，即sin x≥得函数f(x)的定义域为(k∈Z)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．
所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．
②因为1＋sin2x>sin2x，所以>|sin x|≥－sin x，
所以sin x＋>0，
所以函数f(x)的定义域为R.
f(－x)＝lg[sin(－x)＋]
＝lg(－sin x＋)
＝lg
＝－lg(sin x＋)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
易错警示
因错用正弦函数的单调性致误
sin 1，sin 2，sin 3按从小到大的顺序排列为________．
[解析]　sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)．
因为0<π－3<1<π－2<.
所以sin(π－3)即sin 3[答案]　sin 3[错因与防范]　解答本题常会得出错误的结论是sin 14．(1)比较cos ，sin 的大小．
(2)①比较大小：sin与sin；
②在锐角△ABC中，比较sin A与cos B的大小．
解：(1)因为cos ＝sin ，
又<＋<<π，
且y＝sin x在上是减函数，
所以sin>sin .
即cos >sin .
(2)①因为sin＝sin＝sin，
且0<<<，y＝sin x在上是增加的，
所以sin即sin②因为△ABC为锐角三角形，
所以A∈，且A＋B>，
所以A>－B，且－B∈.
所以0<－B又因为y＝sin x在上是增加的，
所以sin A>sin，
即sin A>cos B．
1．下列两种说法：①y＝sin x在(k∈Z)上是增加的；②y＝sin x在第二象限内是减少的(　　)
A．均正确　　　　　 B．①正确、②不正确
C．①不正确、②正确 D．都不正确
解析：选B.单调性是针对某个取值区间而言的，所以①正确；②不正确，因为在第二象限，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．
2．定义在R上的奇函数f(x)的周期是π，当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C.f＝f＝f
＝－f＝－sin＝－.
3．函数y＝的递减区间是________．
解析：因为－2sin x≥0，
所以sin x≤0，
所以2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z，
所以函数的定义域是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．
因为y＝与y＝sin x的单调性相反，
所以函数的递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．函数f(x)＝sin 4x，x∈R的奇偶性为(　　)
A．偶函数
B．奇函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
解析：选B.因为f(－x)＝sin[4(－x)]＝sin(－4x)＝－sin 4x＝－f(x)，所以f(x)＝sin 4x为奇函数．
已知a∈R，函数f(x)＝sin x＋|a|－1，x∈R为奇函数，则a等于(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选D.由题意，得f(0)＝0，即|a|－1＝0，所以a＝±1，即当a＝±1时，f(x)＝sin x为R上的奇函数．
函数f(x)＝－sin2x＋sin x＋1，x∈R的最小值为(　　)
A. B．1
C．0 D．－1
解析：选D.f(x)＝－＋，当sin x＝－1时，f(x)min＝－1.
函数y＝4sin x＋3在[－π，π]上的递增区间为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.y＝sin x的递增区间就是y＝4sin x＋3的增区间．
函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时的x的值分别为(　　)
A．y＝3，x＝
B．y＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)
C．y＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)
D．y＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)
解析：选C.当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y取最大值3.
函数y＝sin |x|的图像关于________对称．
解析：因为sin|－x|＝sin|x|，所以y＝sin|x|是偶函数，其图像关于y轴对称．
答案：y轴
函数y＝2sin x的值域是________．
解析：利用图像解决．
通过图像不难发现y＝2sin x，x∈的值域为(0，2]．
答案：(0，2]
cos 10°，sin 11°，sin 168°从小到大的排列顺序是________．
解析：因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos (90°－80°)＝sin 80°，当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝sin x是增函数，因此sin 11°答案：sin 11°若函数y＝a－bsin x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin bx的最大值与最小值及周期．
解：因为－1≤sin x≤1，当b>0时，－b≤bsin x≤b.
所以a－b≤a－bsin x≤a＋b，
所以解得
所以所求函数为y＝－2sin x.
当b<0时，b≤bsin x≤－b，所以a＋b≤a－bsin x≤a－b.
所以解得
所以所求函数为y＝－2sin(－x)＝2sin x.
所以y＝±2sin x的最大值是2，最小值是－2，周期是2π.
判断函数f(x)＝lg的奇偶性．
解：由>0得(1－sin x)(1＋sin x)>0，
所以－1此函数的定义域为，
关于原点对称，且f(－x)＝lg
＝lg＝lg ＝－lg＝
－f(x)．
所以函数f(x)＝lg为奇函数．
[B.能力提升]
1．已知奇函数f(x)在[－1，0]上是递减的，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是(　　)
A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β)
C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)解析：选D.因为α、β为锐角三角形两内角，则0<－β<α<，所以0f(sin α)．
2．函数y＝2＋sin x，当x∈[－π，π]时，(　　)
A．在[－π，0]上是增加的，在[0，π]上是减少的
B．在上是增加的，在和上是减少的
C．在[0，π]上是增加的，在[－π，0]上是减少的
D．在和上是增加的，在上是减少的
解析：选B.因为>0，所以函数y＝2＋sin x的单调性与正弦函数y＝sin x的单调性相同，类比正弦函数的单调性可知，函数y＝2＋sin x在上是减少的，在上是增加的，在上是减少的．故选B.
3．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝cos，则f＝________.
解析：由诱导公式可知f(x)＝cos＝sin x，
由f(x)的最小正周期是π，
知f＝f
＝f.
由f(x)是偶函数知f＝f.
又当x∈时，f(x)＝sin x.
所以f＝sin＝.
所以f＝.
答案：
4．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则 f＋f＝________．
解析：因为f(x)是以4为周期的奇函数，所以f＝f＝f，f＝f＝f.
因为当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，所以f＝×＝.因为当1所以f＝sin＝－.又因为f(x)是奇函数，
所以f＝－f＝－，f＝－f＝.
所以f＋f＝－＝.
答案：
5．已知3sin2α＋2sin2β＝2sin α，求sin2α＋sin2β的取值范围．
解：由已知条件知sin2β＝sin α－sin2α，
所以0≤sin α－sin2α≤1，
解得0≤sin α≤，
所以sin2α＋sin2β＝sin2α＋sin α－sin2α
＝－(sin α－1)2＋，设sin α＝t，t∈，
y＝－(t－1)2＋在上是增函数，
所以当t＝0时，ymin＝0，当t＝时，ymax＝.
所以sin2α＋sin2β的取值范围是.
6．(选做题)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x.
(1)当x∈[－π，0]时，求f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的函数简图；
(3)当f(x)≥时，求x的取值范围．
解：(1)若x∈，则－x∈.
因为f(x)是偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sin x.
若x∈，则π＋x∈.
因为f(x)是最小正周期为π的周期函数，
所以f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sin x，
所以x∈[－π，0]时，f(x)＝－sin x.
(2)函数f(x)在[－π，π]上的函数简图，如图所示：
(3)x∈[0，π]，sin x≥，可得≤x≤，函数周期为π，
所以x的取值范围是，k∈Z.
课件54张PPT。第一章　三 角 函 数§1　周 期 现 象
?§2　角的概念的推广第一章　三 角 函 数1．问题导航
(1)连续抛一枚硬币，面值朝上我们记为0，面值朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出现？
(2)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？
(3)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转第一次到x轴的正半轴所形成的角为90°，这种说法是否正确？2．例题导读
P4例1，例2，例3.通过此三例学习，学会利用周期现象的定义判断一种现象是否为周期现象．
试一试：教材P5习题1－1 T1，T2，T3你会吗？
P7例1.通过本例学习，学会判断一个角是第几象限角．
试一试：教材P8习题1－2 T1，T2你会吗？
P7例2.通过本例学习，学会写出终边落在坐标轴上的角的集合．
P8例3.通过本例学习，学会写出终边与已知角终边相同的角的集合，并能写出该集合中指定范围的元素．
试一试：教材P8习题1－2 T3，T4你会吗？1．周期现象
我们把以相同间隔_________出现的现象叫做周期现象．
2．任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内____________绕着____________从一个位置____________到另一个位置所形成的图形．重复一条射线端点旋转(2)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
逆时针顺时针3.(1)象限角
在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与_________重合，角的始边与_________________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角．原点x轴的非负半轴(2)象限角的集合表示
{α|k·360°<α{α|α＝k·360°，k∈Z}{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}{α|α＝k·180°，k∈Z}{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}{α|α＝k·90°，k∈Z}(4)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S
＝{β|β＝____________，k∈Z}，即任何一个与角α终边相
同的角，都可以表示成角α与_________________的和．
α＋k×360°周角的整数倍1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)钟表的秒针的运动是周期现象．(　　)
(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象．(　　)
(3)钝角是第二象限的角．(　　)
(4)第二象限的角一定比第一象限的角大．(　　)
(5)终边相同的角不一定相等．(　　)√××√√解析：(1)正确．秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象．
(2)错误．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象．
(3)正确．大于90°而小于180°的角称为钝角，它是第二象限角．
(4)错误.100°是第二象限角，361°是第一象限角，但100°<361°.
(5)正确．终边相同的角可以相差360°的整数倍．2．小明今年17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是
(　　)
A．26 B．32
C．36 D．41
解析：由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D.
3．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④
495°，其中是第二象限角的是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
解析：－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．DD4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________．
240°1．对周期现象的理解
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦—望—下弦—朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等．2．对角的概念的两点说明
(1)角是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆．
(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点：
①要明确旋转方向；
②要明确旋转的大小；
③要明确射线未作任何旋转时的位置．
3．角的分类
(1)按旋转方向划分时，先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量．如射线OA绕端点O逆时针旋转290°到OB的位置，则∠AOB＝290°.
(2)今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论．当角的终边落在坐标轴上时，这个角可以称为象限界角或轴线角．
4．任意角概念的四个关注点
周期现象的判断　[解]　(1)是周期现象．因为地球每24小时自转一周，所以地球自转是周期现象．
(2)不是周期现象．某地每年一月份的降雨量是随机的，不是周期性重复出现的．
(3)是周期现象．世界杯足球赛每隔四年举办一届，是周期性重复出现的．
方法归纳
判断某现象是否为周期现象的依据是周期现象的特征，即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象是无差别的重复出现．1．(1)试判断下列现象中是否是周期现象．
①一年二十四节气的变化；
②候鸟迁徙；
③“随机数表”中数的排列．
(2)我们的心跳都是有节奏的、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小．下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系，通过表中数据来研究血压变化的规律.
①根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点
图；
②说明血压变化的规律．
解：(1)①一年二十四节气是重复出现的，是周期现象．
②候鸟迁徙是周期现象．
③随机数表中的数0，1，2，…，9是随机出现的，不是周期现象．
(2)①散点图如图．
②从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T(15 s)，血压就重复出现相同的数值，因此，血压是呈周期性变化的．象限角的判断D四在本例(3)中，写出与β的终边互为反向延长线的角γ，并指出它是第几象限的角．
2．若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在
(　　)
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：当k＝0时，α＝45°，此时α为第一象限角；当k＝1
时，α＝225°，此时α是第三象限角，故选A.
A终边落在过原点的直线上的角方法归纳
(1)写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合，方法步
骤是：①在直角坐标系中画出该直线；②在0°～360°范围内找出满足条件的角；③写出满足条件的角的集合，并注意化简．
(2)要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式，确定出n的取值，再逐一代入计算．3．已知角β的终边在直线y＝－x上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解：(1)如图，区域角的表示方法归纳
区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步
(1)先按逆时针的方向找到这个区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α，β加上
k·360°(k∈Z)．D56°，176°，296°1．下列现象不是周期现象的是(　　)
A．挂在弹簧下方做上下振动的小球
B．游乐场中摩天轮的运行
C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数
D．太阳的东升西落
解析：A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．C2．下列各角中与330°角终边相同的角是(　　)
A．510° B．150°
C．－150° D．－390°
解析：所有与330°角终边相同的角可表示为α＝330°＋
k·360°，当k＝－2时，得α＝－390°，故选D.
3．从13：00到14：00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________．
解析：经过1小时，时针顺时针转过了30°，分针顺时针转过了360°.D－30°　－360°4．若α＝－510°，则α是第________象限角．
解析：由于α＝－510°＝－2×360°＋210°，所以α是第三象限角．
三本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
[A.基础达标]
1．下列说法正确的是(　　)
A．终边相同的角都相等
B．钝角比第三象限角小
C．第一象限角都是锐角
D．锐角都是第一象限角
解析：选D.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误．
2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2 015盆花的颜色为(　　)
A．红 B．黄
C．紫 D．白
解析：选C.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 015÷4＝503……3，所以第2 015盆花为紫色．
3．－495°角的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.－495°＝－2×360°＋225°，因为225°是第三象限角，所以－495°是第三象限角．
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
解析：选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．
5．在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α和β的终边关于y轴对称，则α与β关系为(　　)
A．α＋β＝360°
B．α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z)
C．α＋β＝k·180°(k∈Z)
D．α＋β＝k·360°(k∈Z)
解析：选B.
如图所示，
因为α与β的终边关于y轴对称，
所以α角的终边逆时针旋转(180°－2α)就与β角终边重合．
所以β＝k·360°＋(180°－2α)＋α，
所以α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．
因为当k为整数时，2k－1与2k＋1都表示奇数，
所以α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．
6．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．
解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二．
答案：一　二
7．与2 015°角的终边相同的最小正角是________．
解析：因为2 015°＝5×360°＋215°，
所以215°为最小正角．
答案：215°
8．设集合M＝{α|α＝－36°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N＝________．
解析：对于M，当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°，故M∩N＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案：{－126°，－36°，54°，144°}
9．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．
解：阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，
所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，
因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
所以－950°12′不是该集合中的角．
10．已知角β的终边在直线x－y＝0上，写出角β的集合S.
解：
如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角为60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}．
所以β角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋ (2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
[B.能力提升]
1．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则(　　)
A．M＝N B．NM
C．MN D．M∩N＝?
解析：选C.M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，
N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z}．
因为k∈Z，所以k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，
所以MN，故选C.
2．如图所示，变量y随x的变化呈周期性变化．在区间[－1，11]上，直线y＝与函数y＝f(x)的图像交点的个数为(　　)
A．10 B．12
C．13 D．15
解析：选B.由图可知周期为2，区间[－1，11]的长度为6个周期，在每个周期内y＝和y＝f(x)的交点有2个，故所求交点个数为2×6＝12.
3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．
解析：由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.
答案：270°
4．有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列．
则第100个图片的颜色是________．
解析：由图可知，第5个，第10个，第15个，……第5n个均为黑色圆片.100＝5×20，因此第100个圆片为黑色．
答案：黑色
5．(1)已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角．
a．485°；b.－35°；c.770°；d.－500°.
(2)若β是第四象限角，试确定180°－β是第几象限角．
解析：(1)a.485°＝125°＋360°，所以在0°～360°范围内，与485°终边相同的角是125°，所以485°是第二象限角．
b．－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内，与－35°终边相同的角是325°，所以－35°是第四象限角．
c．770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与770°终边相同的角是50°，所以770°是第一象限角．
d．－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°终边相同的角是220°，所以－500°是第三象限角．
(2)因为β是第四象限角，
所以－90°＋k·360°<β6.(选做题)如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角θ并判定其终边所在的象限．
解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，
则θ＝，k∈Z.
又180°<2θ＋45°<270°，
即67.5°<θ<112.5°，
则67.5°<<112.5°，k∈Z，
所以k＝3或k＝4.
故θ＝或θ＝.
易知0°<<90°，90°<<180°，
故角θ的终边在第一或第二象限．
第一章　三 角 函 数
§1　周 期 现 象
§2　角的概念的推广
1．问题导航
(1)连续抛一枚硬币，面值朝上我们记为0，面值朝下我们记为1，数字0和1是否会周期性地重复出现？
(2)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？
(3)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转第一次到x轴的正半轴所形成的角为90°，这种说法是否正确？
2．例题导读
P4例1，例2，例3.通过此三例学习，学会利用周期现象的定义判断一种现象是否为周期现象．
试一试：教材P5习题1－1 T1，T2，T3你会吗？
P7例1.通过本例学习，学会判断一个角是第几象限角．
试一试：教材P8习题1－2 T1，T2你会吗？
P7例2.通过本例学习，学会写出终边落在坐标轴上的角的集合．
P8例3.通过本例学习，学会写出终边与已知角终边相同的角的集合，并能写出该集合中指定范围的元素．
试一试：教材P8习题1－2 T3，T4你会吗？
1．周期现象
我们把以相同间隔重复出现的现象叫做周期现象．
2．任意角
(1)角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
(2)角的分类
按旋转方向，角可以分为三类：
名称
定义
图形
正角
按逆时针方向旋转形成的角
负角
按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线从起始位置没有作任何旋转形成的角
3.(1)象限角
在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角或象限界角．
(2)象限角的集合表示
象限角
角的集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α(3)轴线角的集合表示
轴线角
角的集合表示
终边落在x轴的非负半轴上的角
{α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上的角
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在x轴上的角
{α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上的角
{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上的角
{α|α＝k·360°－90°，k∈Z}
终边落在y轴上的角
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在坐标轴上的角
{α|α＝k·90°，k∈Z}
(4)终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)钟表的秒针的运动是周期现象．(　　)
(2)某交通路口每次绿灯通过的车辆数是周期现象．(　　)
(3)钝角是第二象限的角．(　　)
(4)第二象限的角一定比第一象限的角大．(　　)
(5)终边相同的角不一定相等．(　　)
解析：(1)正确．秒针每分钟转一圈，它的运动是周期现象．
(2)错误．虽然每次绿灯经过相同的时间间隔重复变化，但每次绿灯经过的车辆数不一定相同，故不是周期现象．
(3)正确．大于90°而小于180°的角称为钝角，它是第二象限角．
(4)错误.100°是第二象限角，361°是第一象限角，但100°<361°.
(5)正确．终边相同的角可以相差360°的整数倍．
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
2．小明今年17岁了，与小明属相相同的老师的年龄可能是(　　)
A．26 B．32
C．36 D．41
解析：选D.由十二生肖知，属相是12年循环一次，故选D.
3．已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°，其中是第二象限角的是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
解析：选D.－120°是第三象限角；－240°是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°是第二象限角．
4．在0°到360°之间与－120°终边相同的角是________．
解析：与－120°终边相同的角α＝－120°＋k·360°(k∈Z)．
由0°≤－120°＋k·360°<360°，k∈Z，得≤k<.
又k∈Z，所以k＝1，此时α＝－120°＋360°＝240°.
答案：240°
1．对周期现象的理解
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性，例如：月亮圆缺变化的周期性，即朔—上弦—望—下弦—朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性等．
2．对角的概念的两点说明
(1)角是用运动的观点来定义的，由始边旋转一个角度到达终边，其中始边和终边要区分，不能混淆．
(2)在描述角度(角的大小)时一定要抓住三点：
①要明确旋转方向；
②要明确旋转的大小；
③要明确射线未作任何旋转时的位置．
3．角的分类
(1)按旋转方向划分时，先确定角的旋转方向，再确定旋转的绝对量．如射线OA绕端点O逆时针旋转290°到OB的位置，则∠AOB＝290°.
(2)今后在学习角时，我们通常把角放在平面直角坐标系中讨论．当角的终边落在坐标轴上时，这个角可以称为象限界角或轴线角．
4．任意角概念的四个关注点
　　　　　　　周期现象的判断　
判断下列现象是否是周期现象．
(1)地球自转；
(2)某地每年一月份的降雨量；
(3)世界杯足球赛的举办时间．
(链接教材P4例1，例2，例3)
[解]　(1)是周期现象．因为地球每24小时自转一周，所以地球自转是周期现象．
(2)不是周期现象．某地每年一月份的降雨量是随机的，不是周期性重复出现的．
(3)是周期现象．世界杯足球赛每隔四年举办一届，是周期性重复出现的．
方法归纳
判断某现象是否为周期现象的依据是周期现象的特征，即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象是无差别的重复出现．
1．(1)试判断下列现象中是否是周期现象．
①一年二十四节气的变化；
②候鸟迁徙；
③“随机数表”中数的排列．
(2)我们的心跳都是有节奏的、有规律的，心脏跳动时，血压在增大或减小．下表是某人在一分钟内的血压与时间的对应关系，通过表中数据来研究血压变化的规律.
t/s
5
10
15
20
25
30
p/mmHg
93.35
136.65
115
93.35
136.65
115
t/s
35
40
45
50
55
60
p/mmHg
93.35
136.65
115
93.35
136.65
115
①根据上表数据在坐标系中作出血压p与时间t的关系的散点图；
②说明血压变化的规律．
解：(1)①一年二十四节气是重复出现的，是周期现象．
②候鸟迁徙是周期现象．
③随机数表中的数0，1，2，…，9是随机出现的，不是周期现象．
(2)①散点图如图．
②从散点图可以看出，每经过相同的时间间隔T(15 s)，血压就重复出现相同的数值，因此，血压是呈周期性变化的．
　　　　　　　象限角的判断　
(1)给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)若α是第一象限角，则－α是第________象限角．
(3)已知α＝－1 910°，把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角．
(链接教材P7例1)
[解]　(1)选D.①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．
(2)因为α与－α的终边关于x轴对称如图所示．
所以－α的终边在第四象限．故填四．
(3)法一：作除法运算，注意余数必须非负，
得：－1 910÷360＝－6……250，
所以α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．
法二：设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)，
令0°≤－1 910°－k·360°<360°，
解得－6所以k的最大整数解为k＝－6，求出相应的β＝250°，
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．
　在本例(3)中，写出与β的终边互为反向延长线的角γ，并指出它是第几象限的角．
解：当β＝250°时，γ＝250°＋180°＋k·360°＝70°＋(k＋1)·360°＝70°＋k′·360°(其中k′＝k＋1，k∈Z)．即γ＝70°＋n·360°，n∈Z，γ是第一象限的角．
方法归纳
判断α是第几象限角的三个步骤
第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式．
第二步，判断β的终边所在的象限．
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
2．若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在(　　)
A．第一或第三象限　　　 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
解析：选A.当k＝0时，α＝45°，此时α为第一象限角；当k＝1时，α＝225°，此时α是第三象限角，故选A.
　　　　　　　终边落在过原点的直线上的角
写出终边在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°<β<720°的元素β写出来．
(链接教材P7例2，P8例3)
[解]　如图，直线y＝x过原点，它向上的方向与x轴正方向的夹角为45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．
由于－360°<β<720°，
即－360°<45°＋n·180°<720°，n∈Z，
解得－所以n＝－2，－1，0，1，2，3.
所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素是
45°－2×180°＝－315°，
45°－1×180°＝－135°，
45°＋0×180°＝45°，
45°＋1×180°＝225°，
45°＋2×180°＝405°，
45°＋3×180°＝585°.
方法归纳
(1)写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合，方法步骤是：①在直角坐标系中画出该直线；②在0°～360°范围内找出满足条件的角；③写出满足条件的角的集合，并注意化简．
(2)要写出所得集合中在某个范围内的元素时，先解不等式，确定出n的取值，再逐一代入计算．
3．已知角β的终边在直线y＝－x上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
解：(1)如图，直线y＝－x过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0°～360°范围内终边在直线y＝－x上的角有两个：135°，315°.因此，终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝135°＋n·180°，n∈Z}．
(2)由于－360°<β<720°，
即－360°<135°＋n·180°<720°，n∈Z.
解得－所以n＝－2，－1，0，1，2，3.
所以集合S中适合不等式－360°<β<720°的元素为：
135°－2×180°＝－225°；
135°－1×180°＝－45°；
135°＋0×180°＝135°；
135°＋1×180°＝315°；
135°＋2×180°＝495°；
135°＋3×180°＝675°.
　　　　　　　区域角的表示　
如图所示，写出终边落在阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．
[解]　(1)由题图(1)可知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角，与l2终边相同的角有310°角．
所以题图(1)阴影部分中角的集合为
S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}．
(2)由题图(2)知，第一象限内阴影部分中角的集合为
S1＝{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}．
第三象限内阴影部分中角的集合为
S2＝{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z}．
所以所求阴影部分中角的集合为S＝S1∪S2
＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．
(3)由题图(3)知，阴影部分的角按逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有－30°角，与l1终边相同的角有30°角．
所以题图(3)阴影部分中角的集合为
S＝{α|－30°＋k×360°<α<30°＋k×360°，k∈Z}．
方法归纳
区域角是指终边落在平面直角坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步
(1)先按逆时针的方向找到这个区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α(3)根据旋转的观点把起始、终止边界对应角α，β加上k·360°(k∈Z)．
4．(1)如图所示，写出终边落在图中阴影部分(实线包括边界，虚线不包括边界)的角的集合．
(2)已知集合A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°，k∈Z}，B＝{β|－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°，k∈Z}．
①试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；
②求A∩B.
解：(1)终边落在第二象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k·360°＋135°<α≤k·360°＋180°，k∈Z}，
终边落在第四象限内阴影部分中的角的集合可表示为{α|k·360°－15°≤α≤k·360°，k∈Z}，
所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为
{α|k·360°＋135°<α≤k·360°＋180°或－15°＋k·360°≤α≤k·360°，k∈Z}．
(2)①如图所示：
集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内，
集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内．
②集合A∩B中的角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内，
所以A∩B＝{γ|30°＋k×360°<γ<45°＋k×360°，k∈Z}．
易错警示
因未能正确理解象限角而出错
已知α是第三象限角，则是第几象限角？
[解]　因为α是第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以60°＋k·120°<<90°＋k·120°(k∈Z)．
当k＝3n(n∈Z)时，60°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
所以是第一象限的角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<<210°＋n·360°(n∈Z)，所以是第三象限的角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，300°＋n·360°<<330°＋n·360°(n∈Z)，所以是第四象限的角．
所以是第一、三、四象限的角．
[错因与防范]　(1)仅以180°<α<270°表示第三象限角是出错的主要原因．
(2)分类讨论：已知角α所在的象限，要求(n∈N＋)所在的象限，应把角α写成k·360°＋β<α(3)几何法(八卦图法)
几何法判定，，…，角的终边所在象限的具体步骤如下：
先将直角坐标系各象限平均分成n份，再从x轴上方起逆时针依次将各区域标1，2，3，4，1，2，3，4，…，直至填充所有区域，最后由α原来是第几象限角对应的标号所在象限，即为终边所在象限．
5．(1)已知α为第三象限角，则所在的象限是(　　)
A．第一或第二象限
B．第二或第三象限
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
(2)已知θ角的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°范围内终边与角的终边相同的角是________．
解析：(1)法一：因为α为第三象限角，
所以k·360°＋180°<α所以k·180°＋90°<当k＝2n(n∈Z)时，有n·360°＋90°<当k＝2n＋1(n∈Z)时，有n·360°＋270°<法二：(八卦图法)如图阴影部分(不包含边界)所示，所在的象限是第二或第四象限．
(2)由已知，得θ＝k·360°＋168°，k∈Z，
所以＝k·120°＋56°，k∈Z.
又因为0°≤k·120°＋56°<360°，满足上式的k值为k＝0，1，2，
所以在0°～360°范围内，终边与角的终边相同的角是56°，176°，296°
答案：(1)D　(2)56°，176°，296°
1．下列现象不是周期现象的是(　　)
A．挂在弹簧下方做上下振动的小球
B．游乐场中摩天轮的运行
C．抛一枚骰子，向上的数字是奇数
D．太阳的东升西落
解析：选C.A，B，D所述都是周期现象，而C中“向上的数字是奇数”不是周期现象．
2．下列各角中与330°角终边相同的角是(　　)
A．510° B．150°
C．－150° D．－390°
解析：选D.所有与330°角终边相同的角可表示为α＝330°＋k·360°，当k＝－2时，得α＝－390°，故选D.
3．从13：00到14：00，时针转过的角度为________，分针转过的角度为________．
解析：经过1小时，时针顺时针转过了30°，分针顺时针转过了360°.
答案：－30°　－360°
4．若α＝－510°，则α是第________象限角．
解析：由于α＝－510°＝－2×360°＋210°，所以α是第三象限角．
答案：三
[A.基础达标]
1．下列说法正确的是(　　)
A．终边相同的角都相等
B．钝角比第三象限角小
C．第一象限角都是锐角
D．锐角都是第一象限角
解析：选D.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误．
2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2 015盆花的颜色为(　　)
A．红 B．黄
C．紫 D．白
解析：选C.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 015÷4＝503……3，所以第2 015盆花为紫色．
3．－495°角的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.－495°＝－2×360°＋225°，因为225°是第三象限角，所以－495°是第三象限角．
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
解析：选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．
5．在直角坐标系中，若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，α和β的终边关于y轴对称，则α与β关系为(　　)
A．α＋β＝360°
B．α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z)
C．α＋β＝k·180°(k∈Z)
D．α＋β＝k·360°(k∈Z)
解析：选B.
如图所示，
因为α与β的终边关于y轴对称，
所以α角的终边逆时针旋转(180°－2α)就与β角终边重合．
所以β＝k·360°＋(180°－2α)＋α，
所以α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)．
因为当k为整数时，2k－1与2k＋1都表示奇数，
所以α＋β＝(2k－1)·180°(k∈Z)．
6．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．
解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二．
答案：一　二
7．与2 015°角的终边相同的最小正角是________．
解析：因为2 015°＝5×360°＋215°，
所以215°为最小正角．
答案：215°
8．设集合M＝{α|α＝－36°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N＝________．
解析：对于M，当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°，故M∩N＝{－126°，－36°，54°，144°}．
答案：{－126°，－36°，54°，144°}
9．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．
解：阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，
所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，
因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，
所以－950°12′不是该集合中的角．
10．已知角β的终边在直线x－y＝0上，写出角β的集合S.
解：
如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角为60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合分别为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}．
所以β角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋ (2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
[B.能力提升]
1．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}，则(　　)
A．M＝N B．NM
C．MN D．M∩N＝?
解析：选C.M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，
N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z}．
因为k∈Z，所以k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，
所以MN，故选C.
2．如图所示，变量y随x的变化呈周期性变化．在区间[－1，11]上，直线y＝与函数y＝f(x)的图像交点的个数为(　　)
A．10 B．12
C．13 D．15
解析：选B.由图可知周期为2，区间[－1，11]的长度为6个周期，在每个周期内y＝和y＝f(x)的交点有2个，故所求交点个数为2×6＝12.
3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．
解析：由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.
答案：270°
4．有白、黑两种颜色的圆片按以下规律排列．
则第100个图片的颜色是________．
解析：由图可知，第5个，第10个，第15个，……第5n个均为黑色圆片.100＝5×20，因此第100个圆片为黑色．
答案：黑色
5．(1)已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，指出下列各角是第几象限角，以及0°～360°范围内与其终边相同的角．
a．485°；b.－35°；c.770°；d.－500°.
(2)若β是第四象限角，试确定180°－β是第几象限角．
解析：(1)a.485°＝125°＋360°，所以在0°～360°范围内，与485°终边相同的角是125°，所以485°是第二象限角．
b．－35°＝325°－360°，所以在0°～360°范围内，与－35°终边相同的角是325°，所以－35°是第四象限角．
c．770°＝50°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与770°终边相同的角是50°，所以770°是第一象限角．
d．－500°＝220°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－500°终边相同的角是220°，所以－500°是第三象限角．
(2)因为β是第四象限角，
所以－90°＋k·360°<β6.(选做题)如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到出发点A，求角θ并判定其终边所在的象限．
解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，
则θ＝，k∈Z.
又180°<2θ＋45°<270°，
即67.5°<θ<112.5°，
则67.5°<<112.5°，k∈Z，
所以k＝3或k＝4.
故θ＝或θ＝.
易知0°<<90°，90°<<180°，
故角θ的终边在第一或第二象限．
课件39张PPT。§3　弧　度　制第一章　三 角 函 数1．问题导航
(1)“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？
(2)“2 rad”的角终边在第几象限？
(3)30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？
2．例题导读
P10例1.通过本例学习，学会把角度换算成弧度，并注意，不要用“rad”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面．
试一试：教材P12习题1－3 T1你会吗？
P10例2.通过本例学习，学会把弧度换算成度，并注意，“
度”的单位“°”不能省略．
试一试：教材P12习题1－3 T2你会吗？
1．度量角的单位制
(1)角度制
规定周角的____________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)单位圆
半径为1的圆称为单位圆．
(3)弧度制
当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，称这个常数为该角的____________．
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为_________．它的单位符号是_______，读作______．这种以________作单位度量角的单位制，叫作弧度制．弧度数1弧度角rad弧度弧度2．弧度数与弧长公式
(1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个______数；任一负角的弧度数都是一个_____数；零角的弧度数是_____．
(2)公式：如图所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数．
弧度数公式：|α|＝____________；
弧长公式：l＝____________；
这就是说，弧长等于弧所对的圆心角_________的绝对值与____________的积．正负0|α|r弧度数半径3．角度制与弧度制的换算
(1)角度与弧度的互化
2π 360°π 180°0.017 45 4.弧长公式及扇形面积公式的两种表示
r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多，记忆和应用也就更加方便．
注意：在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”为单位,则应该先化成弧度后再计算．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度指的是1度的角．(　　)
(2)周角的大小是2π.(　　)
(3)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．(　　)
√×√C3．已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________．
4．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l＝________，面积S＝________．21．对弧度制概念的三点说明
(1)“1 rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关．
(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示．
(3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1 rad角的大小一样，π rad的角表示：长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角，在判断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时需要把π化为小数．3．角度与弧度的区别与联系
(1)定义不同，大小不同
(2)单位不同
(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
(3)表示角时，弧度制与角度制不能混用4.角度制与弧度制换算时应注意的四个问题
(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写，如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．
(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．
(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数．
(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要注意不能混淆．5．角度制与弧度制换算的要点
角度与弧度的互化C54114.6 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
(链接教材P12习题1－3T7)用弧度表示终边相同的角本例(1)中的条件“－1 480°”若换为“－855°”，其他条件不变，其结论又如何呢？
2．(1)与－660°角终边相同的最小正角是________．(用弧度制表示)
(2)将下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它们是第几象限角．
①－1 725°；②870°. 一条弦的长度等于半径r，求：
(1)这条弦所对的劣弧长；
(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．
扇形的弧长和面积公式的应用方法归纳
图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一．本例
中，把弓形面积看成扇形面积与三角形面积的差，即可运用已有知识解决问题．
2B－345°　48本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放§3　弧　度　制
, 　　)
1．问题导航
(1)“1弧度”指的是“1度的角所对的弧”吗？
(2)“2 rad”的角终边在第几象限？
(3)30°的角化为弧度是多少？120°是30°的几倍？其弧度数是多少？
2．例题导读
P10例1.通过本例学习，学会把角度换算成弧度，并注意，不要用“rad”的中文名称“弧度”作单位写在数据的后面．
试一试：教材P12习题1－3 T1你会吗？
P10例2.通过本例学习，学会把弧度换算成度，并注意，“度”的单位“°”不能省略．
试一试：教材P12习题1－3 T2你会吗？
1．度量角的单位制
(1)角度制
规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)单位圆
半径为1的圆称为单位圆．
(3)弧度制
当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，称这个常数为该角的弧度数．
在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．这种以弧度作单位度量角的单位制，叫作弧度制．
2．弧度数与弧长公式
(1)符号：一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0．
(2)公式：如图所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数．
弧度数公式：|α|＝；
弧长公式：l＝|α|r；
这就是说，弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积．
3．角度制与弧度制的换算
(1)角度与弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017_45 rad
1 rad＝°≈57.30°＝57°18′
(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系
角度数
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度数
0









角度数
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度数
π







2π
4.弧长公式及扇形面积公式的两种表示
角度制
弧度制
弧长公式
l＝
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝
S＝r2＝lr
注意事项
r是扇形的半径，n是圆心角的角度数
r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长
显然弧度制下的两个公式在形式上都要简单得多，记忆和应用也就更加方便．
注意：在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”为单位，则应该先化成弧度后再计算．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度指的是1度的角．(　　)
(2)周角的大小是2π.(　　)
(3)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．(　　)
解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角．
(2)正确．周角的大小是＝2π.
(3)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝，故其圆心角是直角．
答案：(1)×　(2)√　(3)√　
2．下列转化结果错误的是(　　)
A．60°化成弧度是　　 B．－π化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－ D.化成度是15°
解析：选C.对于A，60°＝60×＝；对于B，－π＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×＝－；对于D，＝×180°＝15°.
3．已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的弧度数为________．
解析：|α|＝＝＝2.
答案：2
4．若扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长l＝________，面积S＝________．
解析：因为α＝60°＝，r＝1，所以l＝|α|·r＝，
S＝r·l＝×1×＝.
答案：　
1．对弧度制概念的三点说明
(1)“1 rad”是指：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，不是弧长，这个角是固定的，与圆的半径的长度无关．
(2)引入弧度制后，角的集合与实数建立一一对应关系，我们今后表示角时，多用弧度制表示．
(3)表示角时π就是无理数，它表示一个实数，同1 rad角的大小一样，π rad的角表示：长度等于半径的π倍的圆弧所对的圆心角，在判断有理数表示角的象限，与π比较大小时，有时需要把π化为小数．
2．对弧度数计算公式的说明
我们常用α＝来求解圆中圆心角所对弧度数，一般来说，在圆中弧长是个正数，故得出的圆心角也为正数．但在平面直角坐标系中，所求的角不一定为正角，所以常常根据需要在角α上添加正负号，故这个求弧度数的公式常常记为|α|＝.
3．角度与弧度的区别与联系
区别
(1)定义不同，大小不同
(2)单位不同
(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制
联系
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
(3)表示角时，弧度制与角度制不能混用
4.角度制与弧度制换算时应注意的四个问题
(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写，如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．
(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．
(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数．
(4)用“弧度”与“度”去度量每个角时，除了零角以外，所得的结果都是不同的，二者要注意不能混淆．
5．角度制与弧度制换算的要点
　　　　　　　角度与弧度的互化　
(1)把112°30′化为弧度；
(2)将－π rad化为度．
(链接教材P10例1、例2)
[解]　(1)因为1°＝ rad，
所以112°30′＝112.5°＝112.5×＝π.
(2)因为1 rad＝°，
所以－π＝－π×°＝－75°.
方法归纳
(1)在进行角度制和弧度制的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键．由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×°＝度数．
(2)特殊角的弧度数与角度数对应值今后常用，应熟记．
(3)在同一个角的表达式中，角度和弧度不能混合使用．
1．(1)－690°化为弧度是(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
(2)①18°＝________ rad；
②67°30′＝________ rad；
③π rad＝________度；
④2 rad≈________度．(保留一位小数)
解析：(1)因为1°＝ rad，所以－690°＝－690×＝－π.
(2)①18°＝×18 rad＝ rad；
②67°30′＝67.5°＝67.5× rad＝π rad；
③π rad＝π×°＝54°；
④2 rad≈57.3°×2＝114.6°.
答案：(1)C　(2)①　②π　③54　④114.6
　　　　　　　用弧度表示终边相同的角
(1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
(链接教材P12习题1－3T7)
[解]　(1)－1 480°＝－π＝－8π－π
＝－10π＋π＝2×(－5)π＋π，
其中0≤π<2π，因为π是第四象限角，
所以－1 480°是第四象限角．
(2)由题意知：
β＝α＋2kπ＝2kπ＋π(k∈Z)，
又因为β∈[－4π，0]，所以令k＝－1，－2得，
β1＝－π，β2＝－π.
　本例(1)中的条件“－1 480°”若换为“－855°”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解：因为－855°＝－855× rad＝－＝－6π＋，
所以－855°与的终边相同．又因为是第三象限角，
所以－855°是第三象限角．
方法归纳
(1)无论用角度制还是用弧度制来度量角，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应．
(2)用弧度制表示终边相同角α＋2kπ(k∈Z)时，注意2kπ是π的偶数倍，而不是π的奇数倍．
2．(1)与－660°角终边相同的最小正角是________．(用弧度制表示)
(2)将下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它们是第几象限角．
①－1 725°；②870°.
解：(1)因为与角α终边相同的角为α＋k·360°(k∈Z)，所以与－660°角终边相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)，其中最小正角是60°，化为弧度为.故填.
(2)①因为－1 725°＝－5×360°＋75°，
所以－1 725°＝－10π＋.
所以－1 725°与的终边相同，是第一象限的角．
②870°＝π＝＋4π，
所以－870°与终边相同，是第二象限角．
　　　　　　　扇形的弧长和面积公式的应用
　
一条弦的长度等于半径r，求：
(1)这条弦所对的劣弧长；
(2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积．
[解]　(1)如图，半径为r的⊙O中弦AB＝r，则△OAB为等边三角形，所以∠AOB＝，则弦AB所对的劣弧长为r.
(2)因为△AOB是边长为r的正三角形，所以S△AOB＝r2，
S扇形OAB＝|α|r2＝××r2＝r2，
所以S弓形＝S扇形OAB－S△AOB＝r2－r2
＝r2.
方法归纳
图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一．本例中，把弓形面积看成扇形面积与三角形面积的差，即可运用已有知识解决问题．
3．(1)设扇形的半径长为2 cm，面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
(2)解答下列各题：
①已知扇形的面积为1 cm2，它的周长为4 cm，求它的圆心角；
②已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为α，则扇形面积为S＝αr2＝α×22＝4，解得α＝2.故填2.
(2)①设扇形的弧长为l cm，半径为r cm，则l＝4－2r.
因为S扇形＝lr，所以(4－2r)r＝1.
解得r＝1，l＝2，所以圆心角的弧度数为|α|＝＝2(rad)．
②设扇形弧长为l cm，因为72°＝72×＝ rad.
所以l＝|α|r＝×20＝8π(cm)，S＝lr＝×8π×20＝80π(cm2)．
思想方法
函数思想的运用
已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求出这个最大值．
[解]　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，
面积为S.
由已知，得2r＋l＝a，即l＝a－2r.
所以S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r＝－＋.
因为r>0，l＝a－2r>0，所以0所以当r＝时，Smax＝.
此时，l＝a－2·＝，所以|α|＝＝2.
故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积取得最大值.
[感悟提高]　分析题目所给的有关信息，以扇形的有关知识为载体，选择函数为模型，将实际问题转化为求函数的最值问题．运用二次函数求最值，可更快地解决问题．
1．－72°的弧度数是(　　)
A．－　　　　　　　　 B．－π
C．－ D．－
解析：选B.－72°＝－72×＝－π.
2．－π化为角度为________．
解析：－π＝－π×°＝－345°.
答案：－345°
3．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
解析：|α|＝＝＝ rad，S＝l·r＝×12×8＝48.
答案：　48
[A.基础达标]
1．－630°化为弧度为(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
解析：选A.－630°＝－630×＝－.
2．若α＝－3，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.因为α＝－3≈－3×57.30°＝－171.9°，
所以α的终边在第三象限．
3．与角π终边相同的角是(　　)
A.π
B．2kπ－π(k∈Z)
C．2kπ－π(k∈Z)
D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)
解析：选C.选项A中＝2π＋π，与角π终边相同，故A错；2kπ－π，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)之间的角为π，故与π有相同的终边，B错；2kπ－π，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)之间的角为π，与π有相同的终边，故C对；(2k＋1)π＋π，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)之间的角为π，故D错．
4．已知扇形的周长是3 cm，面积是 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．1或4
C．4 D．2或4
解析：选B.设扇形的半径为r，弧长为l，
则所以或
故|α|＝＝1或4.
5．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(　　)
A．1∶3 B．2∶3
C．4∶3 D．4∶9
解析：选B.如图，设内切圆半径为r，则r＝，
所以S圆＝π·＝，S扇＝a2·＝，
所以＝.
6．在[－2π，2π]内，与α＝－的终边相同的角为________．
解析：与α＝－终边相同的角的集合为
P＝，
令k＝1，2，得β＝－，.
答案：－，
7．将时钟拨慢了15分钟，则分针转过的弧度数是________．
解析：因为时钟拨慢了15分钟，所以分针逆时针旋转了90°，即分针转过的弧度数为.
答案：
8．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min所走的圆弧长是 m，则这座大钟分针的长度为________ m.
解析：因为分针20 min转过的角为，所以由l＝αr，
得r＝＝＝0.5(m)，
即这座大钟分针的长度为0.5 m.
答案：0.5
9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．
解：因为150°＝π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S＝.
因为2 014°＝214°＋5×360°＝＋10π.
又π<<，
所以2 014°＝π＋10π∈S.
10．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，
所以S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm2，
这时，θ＝＝＝2 rad.
[B.能力提升]
1．若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(　　)
A. B．
C. D．2
解析：选C.如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
解析：选C.当k为偶数时，令k＝2n，n∈Z，则集合可化为，表示的范围为区域；当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则集合可化为，表示的范围为区域，故选C.
3．若α＝3 rad，则角α的终边在第________象限，与角α终边相同的角的集合可表示为________．
解析：由1 rad＝°≈57.30°.所以3 rad≈171.90°.所以α是第二象限角，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝3＋2kπ，k∈Z}．
答案：二　{β|β＝3＋2kπ，k∈Z}
4．半径为3 cm，圆心角为120°的扇形面积为________cm2.
解析：因为扇形面积为S＝lr＝αr2，
所以S＝··32＝3π(cm2)．
答案：3π
5.如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·＋t·＝2π.解得t＝4，
所以P，Q第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P已经运动到角·4＝π的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－的终边与圆交点的位置，
所以点P走过的弧长为π×4＝π，
点Q走过的弧长为×4＝π×4＝π.
6.(选做题)如图所示，已知一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角，求点A走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积．
解：
木块的翻滚过程如题图所示．第一面运动时，点A的路程为，其圆心角∠ACA1＝，半径为5，弧长＝，所在扇形的面积为π；第二面翻滚时，路程为，圆心角∠A1B1A2＝，半径为3，弧长＝，所在扇形的面积为；第三面翻滚时，A点在A2处不动；第四面翻滚时，点A的路程为，圆心角为∠A2D3A3＝－＝，半径为4，弧长＝，所在扇形的面积为，
故总路程为＋＋＝＋＋＝(cm)，
所在扇形的总面积为＋＋＝(cm2)．

[A.基础达标]
1．－630°化为弧度为(　　)
A．－ B．
C．－ D．－
解析：选A.－630°＝－630×＝－.
2．若α＝－3，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.因为α＝－3≈－3×57.30°＝－171.9°，
所以α的终边在第三象限．
3．与角π终边相同的角是(　　)
A.π
B．2kπ－π(k∈Z)
C．2kπ－π(k∈Z)
D．(2k＋1)π＋π(k∈Z)
解析：选C.选项A中＝2π＋π，与角π终边相同，故A错；2kπ－π，k∈Z，当k＝1时，得[0，2π)之间的角为π，故与π有相同的终边，B错；2kπ－π，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)之间的角为π，与π有相同的终边，故C对；(2k＋1)π＋π，k∈Z，当k＝0时，得[0，2π)之间的角为π，故D错．
4．已知扇形的周长是3 cm，面积是 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1 B．1或4
C．4 D．2或4
解析：选B.设扇形的半径为r，弧长为l，
则所以或
故|α|＝＝1或4.
5．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为(　　)
A．1∶3 B．2∶3
C．4∶3 D．4∶9
解析：选B.如图，设内切圆半径为r，则r＝，
所以S圆＝π·＝，S扇＝a2·＝，
所以＝.
6．在[－2π，2π]内，与α＝－的终边相同的角为________．
解析：与α＝－终边相同的角的集合为
P＝，
令k＝1，2，得β＝－，.
答案：－，
7．将时钟拨慢了15分钟，则分针转过的弧度数是________．
解析：因为时钟拨慢了15分钟，所以分针逆时针旋转了90°，即分针转过的弧度数为.
答案：
8．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min所走的圆弧长是 m，则这座大钟分针的长度为________ m.
解析：因为分针20 min转过的角为，所以由l＝αr，
得r＝＝＝0.5(m)，
即这座大钟分针的长度为0.5 m.
答案：0.5
9．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 014°是不是这个集合的元素．
解：因为150°＝π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S＝.
因为2 014°＝214°＋5×360°＝＋10π.
又π<<，
所以2 014°＝π＋10π∈S.
10．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，所以l＝40－2r，
所以S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2
＝－(r－10)2＋100.
所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm2，
这时，θ＝＝＝2 rad.
[B.能力提升]
1．若圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为(　　)
A. B．
C. D．2
解析：选C.如图，设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，所以圆弧长度为R的圆心角的弧度数α＝＝.
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
解析：选C.当k为偶数时，令k＝2n，n∈Z，则集合可化为，表示的范围为区域；当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则集合可化为，表示的范围为区域，故选C.
3．若α＝3 rad，则角α的终边在第________象限，与角α终边相同的角的集合可表示为________．
解析：由1 rad＝°≈57.30°.所以3 rad≈171.90°.所以α是第二象限角，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝3＋2kπ，k∈Z}．
答案：二　{β|β＝3＋2kπ，k∈Z}
4．半径为3 cm，圆心角为120°的扇形面积为________cm2.
解析：因为扇形面积为S＝lr＝αr2，
所以S＝··32＝3π(cm2)．
答案：3π
5.如图，动点P，Q从点A(4，0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·＋t·＝2π.解得t＝4，
所以P，Q第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P已经运动到角·4＝π的终边与圆交点的位置，点Q已经运动到角－的终边与圆交点的位置，
所以点P走过的弧长为π×4＝π，
点Q走过的弧长为×4＝π×4＝π.
6.(选做题)如图所示，已知一长为4 cm，宽为3 cm的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木块挡住，使木块底面与桌面成30°角，求点A走过的总路程及走过的弧所在的扇形的总面积．
解：
木块的翻滚过程如题图所示．第一面运动时，点A的路程为，其圆心角∠ACA1＝，半径为5，弧长＝，所在扇形的面积为π；第二面翻滚时，路程为，圆心角∠A1B1A2＝，半径为3，弧长＝，所在扇形的面积为；第三面翻滚时，A点在A2处不动；第四面翻滚时，点A的路程为，圆心角为∠A2D3A3＝－＝，半径为4，弧长＝，所在扇形的面积为，
故总路程为＋＋＝＋＋＝(cm)，
所在扇形的总面积为＋＋＝(cm2)．
课件52张PPT。§4　正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式?
4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义?
4．2　单位圆与周期性第一章　三 角 函 数1．问题导航
(1)角α的正弦值和余弦值都是唯一的吗？
(2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律？
(3)一个周期函数一定有最小正周期，对吗？
2．例题导读
P15例1.通过本例学习，学会根据角α的终边上一点的坐标，求角α的三角函数值．
试一试：教材P23习题1－4 A组T1你会吗？
P15例2.通过本例学习，学会在直角坐标系中作出已知角，并能求出其终边与单位圆的交点坐标．
试一试：教材P17练习T4你会吗？
1．任意角的正弦、余弦函数的定义
如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位
圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非
负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的_________v定义为角α的正弦函数，记作____________；点P的_________u定义为角α的余弦函数，记作u＝
________．纵坐标v＝sin α横坐标cos α对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的,
所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点
的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α
可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余
弦函数u＝cos α的定义域为____________．
全体实数2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号
注：按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．＋＋－－－＋－－＋3．终边相同的角的正、余弦函数
(1)公式：sin(x＋k·2π)＝_________，k∈Z；
cos(x＋k·2π)＝_________，k∈Z.
(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别____________．
4．周期函数
(1)定义：对于函数f(x)，如果存在____________T，对定义域内的____________x值，都有____________，则称f(x)为周期函数，__________称为这个函数的周期．
(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是___________.sin xcos x相等非零实数任意一个f(x＋T)＝f(x)T2π1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．(　　)
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.(　　)
(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y＝sin x
的一个周期．(　　)
(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N＋也是函数f(x)的周
期．(　　)√×××解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上．
(2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°.
(3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y＝sin x的一个周期．
(4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. B3．对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为___________________．
解析：由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2.
2(答案不唯一)利用正、余弦函数的定义求值 已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．
(链接教材P15例1)
本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“ 角α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？A单位圆中的角　判断三角函数值的符号及角所在象限3．(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)填空：
①如果sin α>0，且cos α<0，则α是第________象限角；
②如果cos α>0，且sin α<0，则α是第________象限角；
③如果sin αcos α>0，则α是第________象限角；
④如果sin αcos α<0，则α是第________象限角．D二四一或三二或四周期性及其应用B2DB3．已知函数f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________．
解析：f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.
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[A.基础达标]
1．cos的值为(　　)
A．－ B．
C. D．－
解析：选D.－π的终边与π的终边重合，故cos＝cos ＝－.
2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为(　　)
A.　　　 B．－
C．－ D．－
解析：选C.因为sin 30°＝，cos 30°＝，
所以α的终边过点(1，－)，所以r＝＝2，
所以sin α＝＝－，故选C.
3．y＝＋的值域为(　　)
A．{2，0} B．{－2，0}
C．{2，－2} D．{2，－2，0}
解析：选D.x为第一象限角时，y＝2；x为第二象限角时，y＝0；x为第三象限角时，y＝－2；x为第四象限角时，y＝0；
所以值域为{2，－2，0}．
4．若点P的坐标为(cos 2 015°，sin 2 015°)，则点P在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.因为2 015°＝5×360°＋215°，所以角2 015°的终边在第三象限，所以cos 2 015°<0，sin 2 015°<0，所以点P在第三象限．
5．有下列命题：
①存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期函数；
②存在实数T，使得对f(x)定义域内的任意一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数；
③周期函数的周期是唯一的．
其中，正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.①由周期函数的定义，可知f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意一个x都成立，且T≠0，故不正确；
②由周期函数的定义可知T≠0，故不正确；
③若T为周期，则f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)，所以2T也是周期，故不正确．
6．已知角α为第二象限角，则化简的结果为________．
解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此＝|sin α－cos α|＝sin α－cos α.
答案：sin α－cos α
7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)____0.
解析：因为α是第三象限角，
所以－1所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0，
所以sin(cos α)·cos(sin α)<0.
答案：<
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．
解析：r＝＝，且sin θ＝－，所以sin θ＝＝＝－，y<0，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
答案：－8
9．已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，求2sin α＋cos α的值．
解：①当m＞0时，点P在第二象限，|OP|＝5m，
有2sin α＋cos α＝＋＝；
②当m＜0时，点P在第四象限，|OP|＝－5m，
有2sin α＋cos α＝＋＝－.
10．已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，4)时，f(x)＝x2＋2x.
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)求f(－7)．
解：(1)证明：对任意实数x，有f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)．
所以函数f(x)是周期函数．
(2)由(1)知，函数f(x)的周期为4，
所以f(－7)＝f(－7＋2×4)＝f(1)．
因为当x∈[0，4)时，f(x)＝x2＋2x，
所以f(－7)＝f(1)＝3.
[B.能力提升]
1．已知点P(sin α，cos α)在第二象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.因为P(sin α，cos α)在第二象限，
所以
由sin α<0，得α在第三或第四象限或y轴非正半轴上，
由cos α>0，得α在第一或第四象限或x轴非负半轴上，
所以α是第四象限角．
2．已知角α终边经过点P(－8m，－6cos 60°)且cos α＝－，则m的值为(　　)
A. B．－
C．－ D．
解析：选A.点P的坐标可化为(－8m，－3)，
由r＝＝，
由三角函数的定义知cos α＝＝＝－.
即100m2＝64m2＋9，解得m＝±，
当m＝－时，点P的坐标为(4，－3)，则cos α为正，不符合题意，故m＝.
3．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，又因为函数f(x)以2为周期，
所以f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，且
解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．
答案：5
4．设α是第二象限角，且|cos |＝－cos ，则角是第________象限角．
解析：因为角α是第二象限角，
所以2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ＋<当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角，
又因为＝－cos ，
即cos <0，
所以是第三象限角．
答案：三
5．已知角α的终边过点(3m－9，m＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m的取值范围．
解：因为cos α<0，
所以α的终边在第二或第三象限，或x轴的非正半轴上．
又因为sin α>0，
所以α的终边在第一或第二象限，或y轴的非负半轴上．
所以α是第二象限角，
即点(3m－9，m＋2)在第二象限．
所以
解得－2即m的取值范围是(－2，3)．
6．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角．
综上可知角α是第四象限角．
(2)因为点M在单位圆上，
所以＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝－.
§4　正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2　单位圆与周期性
, 　　)
1．问题导航
(1)角α的正弦值和余弦值都是唯一的吗？
(2)正弦值、余弦值的符号变化有什么规律？
(3)一个周期函数一定有最小正周期，对吗？
2．例题导读
2．例题导读
P15例1.通过本例学习，学会根据角α的终边上一点的坐标，求角α的三角函数值．
试一试：教材P23习题1－4 A组T1你会吗？
P15例2.通过本例学习，学会在直角坐标系中作出已知角，并能求出其终边与单位圆的交点坐标．
试一试：教材P17练习T4你会吗？
1．任意角的正弦、余弦函数的定义
如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin_α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos_α．
对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．
2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号
象限
三角函数　　　
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
＋
注：按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．
3．终边相同的角的正、余弦函数
(1)公式：sin(x＋k·2π)＝sin_x，k∈Z；
cos(x＋k·2π)＝cos_x，k∈Z.
(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．
4．周期函数
(1)定义：对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
(2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π.
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．(　　)
(2)若sin α＝sin β，则α＝β.(　　)
(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y＝sin x的一个周期．(　　)
(4)若T是函数f(x)的周期，则kT，k∈N＋也是函数f(x)的周期．(　　)
解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y轴的正半轴上．
(2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°.
(3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y＝sin x的一个周期．
(4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确.
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．若角α的终边与单位圆相交于点，则sin α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点到原点的距离为1，则sin α＝＝－，故选B.
3．对于任意的x∈R都有f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的一个周期为________．
解析：由周期函数的定义知f(x)的一个周期为2.
答案：2(答案不唯一)
1．对正弦函数、余弦函数定义的理解
(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．
(2)角α的终边与单位圆O交于点P(u，v)，实际上给出了两个对应关系，即
实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v正弦
实数α(弧度)对应于点P的横坐标u余弦
(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．
(4)sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的．
2．正弦函数、余弦函数定义的拓展
上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．
设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，如下图，
那么，比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝；比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝.
3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值
利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：
函数名称
终边位置　　　　　
正弦函数
余弦函数
x轴正半轴
0
1
x轴负半轴
0
－1
y轴正半轴
1
0
y轴负半轴
－1
0
4.对周期函数的概念的理解
(1)定义域：在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．
(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0＋T)≠f(x0)，那T就不是函数f(x)的周期．
(3)周期函数的周期有无限多个．若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(x＋kT)＝f(x＋(k－1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立，即f(x＋kT)＝f(x)，所以kT(k∈Z，k≠0)也是周期．
(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(x＋T)＝f(x)成立，则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同．
　　　　　　　利用正、余弦函数的定义求值
　
已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．
(链接教材P15例1)
[解]　法一：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，　
则解得
即P，所以sin α＝y0＝，
cos α＝x0＝.
法二：设点P(a，2a)是角α终边上任意一点，其中a>0.
因为r＝|OP|＝＝a，
所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
　本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“ 角α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解：(1)若α终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝＝a，
所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
(2)若α终边在第三象限内，设点P(a，2a)(a<0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝＝－a(a<0)，
所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝－.
方法归纳
求任意角的三角函数值的两种方法
方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．
方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)(P与原点不重合)；
第二步，计算r：r＝|OP|＝(r>0)；
第三步，求值：由sin α＝，cos α＝求值．
1．(1)设角α的终边上有一点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值是(　　)
A．－ B．
C．－或 D．1
(2)已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则sin α＝________．
(3)已知α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α的值．
解：(1)选A.由三角函数的定义可知sin α＝＝－，cos α＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－，故选A.
(2)因为r＝|OP|＝，
所以cos α＝＝x.
又因为α是第二象限角，所以x<0，
所以x＝－，所以sin α＝＝.故填.
(3)因为α的终边在直线3x＋4y＝0上，所以在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝＝＝5|t|，
当t>0时，r＝5t，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝；
当t<0时，r＝－5t，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－.
综上可知，sin α＝－，cos α＝或sin α＝，cos α＝－.
　　　　　　　单位圆中的角　
在直角坐标系的单位圆中，已知α＝π.
(1)画出角α；
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
(3)求出角α的正弦函数值．
(链接教材P15例2)
[解]　(1)因为α＝π＝2π＋π，
所以角α的终边与π的终边相同．
如图，以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示．
(2)因为α＝π，所以点P在第二象限，
由(1)知∠AOP＝，过点P作PM⊥x轴于点M.
则在Rt△OMP中，∠OMP＝，∠MOP＝，
OP＝1，
由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝，
所以得点P的坐标为.
(3)根据正弦函数的定义有sin ＝.
方法归纳
(1)先将角α表示为α＝β＋2kπ(－π<β≤π，k∈Z)的形式，则角β的终边即为角α的终边，k为x轴的非负半轴逆(k>0)或顺(k<0)旋转的周数．
(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而即得角α的正弦、余弦值．
2．(1)已知角α的终边和单位圆的交点为P，则sin α＝________，cos α＝________．
(2)在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－π.
①画出角α；
②求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
③求出角α的正弦、余弦值．
解：(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知，sin α＝－，cos α＝.故填－和.
(2)①因为α＝－π＝－2π－，所以角α的终边与－的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转π，与单位圆交于点P，则角α如图所示．
②因为α＝－π，所以点P在第四象限．
由①知，∠AOP＝，过点P作PM⊥x轴于点M，
则在Rt△MOP中，∠OMP＝，∠MOP＝，OP＝1，
由直角三角形的边角关系，得OM＝，MP＝，
所以得点P的坐标为.
③根据正弦、余弦函数的定义，得sin＝－，
cos＝.
　　　　　　　判断三角函数值的符号及角所在象限
　
判断符号：(1)sin 340°cos 265°；
(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限．
[解]　(1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角，
所以sin 340°<0，cos 265°<0.所以sin 340°cos 265°>0.
(2)因为sin 2α>0，所以2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ<α当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，有2mπ<α<2mπ＋(m∈Z)；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，
有2mπ＋π<α<2mπ＋(m∈Z)．所以α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．
方法归纳
(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．
(2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．
3．(1)若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　)
A．第一象限　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)填空：
①如果sin α>0，且cos α<0，则α是第________象限角；
②如果cos α>0，且sin α<0，则α是第________象限角；
③如果sin αcos α>0，则α是第________象限角；
④如果sin αcos α<0，则α是第________象限角．
(3)判断下列各式的符号．
①α是第四象限角，sin α·cos α；
②sin 3·cos 4·cos.
解：(1)选D.因为α是第二象限角，
所以cos α<0，sin α>0.
所以点P在第四象限．
(2)①二　②四　③一或三　④二或四
(3)①因为α是第四象限角，
所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0.
②因为<3<π，π<4<，
所以sin 3>0，cos 4<0.
因为－＝－6π＋，
所以cos>0.
所以sin 3·cos 4·cos<0.
　　　　　　　周期性及其应用　
已知函数f(x)在定义域R上恒有：
①f(x)＝f(－x)，②f(2＋x)＝f(2－x)，
当x∈[0，4)时，f (x)＝－x2＋4x.
(1)求f(8)；
(2)求f(x)在[0，2 015]内零点的个数．
[解]　(1)由已知：f(8)＝f(2＋6)＝f(2－6)＝f(－4)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2－2)＝f(0)＝0.
(2)因为f(x)在定义域R上恒有f(2＋x)＝f(2－x)，
所以f(x)＝f(4－x)对x∈R恒成立．
又f(x)＝f(－x)对x∈R恒成立．
故有f(－x)＝f(4－x)对x∈R恒成立．
即4是f(x)的一个周期．
因为x∈[0，4)时，f(x)＝0的根为x＝0，
所以f(x)＝0在R上的根为x＝4k，k∈Z.
由0≤4k≤2 015(k∈Z)得0≤k≤503.75(k∈Z)．
所以f(x)在[0，2 015]内的零点共有504个．
方法归纳
(1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，则不能说T是f(x)的周期．
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期．如本题出现由f(x)＝f(4－x)得4是f(x)的一个周期是错误的．
4．(1)设f(x)是以4为一个周期的函数，且当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，则f的值为(　　)
A．2 B．0
C．－1 D．－3
(2)已知函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x＋1)＝－(f(x)≠0)对任意x∈R恒成立，则f(5)＝________．
(3)已知f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
解：(1)选B.f(x)是以4为一个周期的函数，
所以4k(k∈Z，k≠0)也是f(x)的周期．
所以f(x－4)＝f(x)，
故f＝f，从而f＝f.
又当x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋1，
所以f＝f＝2×＋1＝0.
(2)因为f(x＋1)＝－，所以f(x＋2)＝－，
所以f(x＋2)＝－＝f(x)，
所以f(x)的周期为2，
所以f(5)＝f(1)＝2.故填2.
(3)因为f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝
－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期．
易错警示
因不会挖掘隐含条件致误
已知sin ＝，cos＝－，试确定θ是第几象限角．
[解]　因为sin＝>0，cos ＝－<0，
所以是第二象限角．
又因为sin＝<＝sinπ.
所以2kπ＋π<<2kπ＋π(k∈Z)，
所以4kπ＋π<θ<4kπ＋2π(k∈Z)，
所以θ是第四象限角．
[错因与防范]　(1)在解答过程中，往往只由sin＝，cos＝－，知是第二象限角，忽略给出了具体函数值，而所给的具体函数值则隐含着范围的条件．没有进一步缩小的范围而出错．故而得出错误结果θ是第三象限角或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角．
(2)确定角的范围，不仅要结合正、余弦函数值的符号，还要结合角的具体函数值缩小角的范围．
5．下列各式：
①sin(－100°)；②cos(－220°)；③cos π.
其中符号为负的个数有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选D.－100°在第三象限，
故sin(－100°)<0；
－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；
cos π＝－1<0.
1．若60°角的终边上有一点P(4，a)，则a的值为(　　)
A．－4 B．4
C．2 D．－2
解析：选B.因为cos 60°＝＝，
所以a2＋16＝64，
又因为a>0，所以a＝4.
2．当α为第二象限角时，－的值是________．
解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.
所以－＝－＝2.
答案：2
3．已知函数f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝________．
解析：f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.
答案：1
[A.基础达标]
1．cos的值为(　　)
A．－ B．
C. D．－
解析：选D.－π的终边与π的终边重合，故cos＝cos ＝－.
2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为(　　)
A.　　　 B．－
C．－ D．－
解析：选C.因为sin 30°＝，cos 30°＝，
所以α的终边过点(1，－)，所以r＝＝2，
所以sin α＝＝－，故选C.
3．y＝＋的值域为(　　)
A．{2，0} B．{－2，0}
C．{2，－2} D．{2，－2，0}
解析：选D.x为第一象限角时，y＝2；x为第二象限角时，y＝0；x为第三象限角时，y＝－2；x为第四象限角时，y＝0；
所以值域为{2，－2，0}．
4．若点P的坐标为(cos 2 015°，sin 2 015°)，则点P在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选C.因为2 015°＝5×360°＋215°，所以角2 015°的终边在第三象限，所以cos 2 015°<0，sin 2 015°<0，所以点P在第三象限．
5．有下列命题：
①存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0，使f(x0＋T)＝f(x0)，则f(x)为周期函数；
②存在实数T，使得对f(x)定义域内的任意一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，则f(x)为周期函数；
③周期函数的周期是唯一的．
其中，正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A.①由周期函数的定义，可知f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意一个x都成立，且T≠0，故不正确；
②由周期函数的定义可知T≠0，故不正确；
③若T为周期，则f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)，所以2T也是周期，故不正确．
6．已知角α为第二象限角，则化简的结果为________．
解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此＝|sin α－cos α|＝sin α－cos α.
答案：sin α－cos α
7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)____0.
解析：因为α是第三象限角，
所以－1所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0，
所以sin(cos α)·cos(sin α)<0.
答案：<
8．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________．
解析：r＝＝，且sin θ＝－，所以sin θ＝＝＝－，y<0，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
答案：－8
9．已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，求2sin α＋cos α的值．
解：①当m＞0时，点P在第二象限，|OP|＝5m，
有2sin α＋cos α＝＋＝；
②当m＜0时，点P在第四象限，|OP|＝－5m，
有2sin α＋cos α＝＋＝－.
10．已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，4)时，f(x)＝x2＋2x.
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)求f(－7)．
解：(1)证明：对任意实数x，有f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)．
所以函数f(x)是周期函数．
(2)由(1)知，函数f(x)的周期为4，
所以f(－7)＝f(－7＋2×4)＝f(1)．
因为当x∈[0，4)时，f(x)＝x2＋2x，
所以f(－7)＝f(1)＝3.
[B.能力提升]
1．已知点P(sin α，cos α)在第二象限，则角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.因为P(sin α，cos α)在第二象限，
所以
由sin α<0，得α在第三或第四象限或y轴非正半轴上，
由cos α>0，得α在第一或第四象限或x轴非负半轴上，
所以α是第四象限角．
2．已知角α终边经过点P(－8m，－6cos 60°)且cos α＝－，则m的值为(　　)
A. B．－
C．－ D．
解析：选A.点P的坐标可化为(－8m，－3)，
由r＝＝，
由三角函数的定义知cos α＝＝＝－.
即100m2＝64m2＋9，解得m＝±，
当m＝－时，点P的坐标为(4，－3)，则cos α为正，不符合题意，故m＝.
3．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，又因为函数f(x)以2为周期，
所以f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，且
解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．
答案：5
4．设α是第二象限角，且|cos |＝－cos ，则角是第________象限角．
解析：因为角α是第二象限角，
所以2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，
所以kπ＋<当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角，
又因为＝－cos ，
即cos <0，
所以是第三象限角．
答案：三
5．已知角α的终边过点(3m－9，m＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m的取值范围．
解：因为cos α<0，
所以α的终边在第二或第三象限，或x轴的非正半轴上．
又因为sin α>0，
所以α的终边在第一或第二象限，或y轴的非负半轴上．
所以α是第二象限角，
即点(3m－9，m＋2)在第二象限．
所以
解得－2即m的取值范围是(－2，3)．
6．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x轴的非负半轴上的角．
综上可知角α是第四象限角．
(2)因为点M在单位圆上，
所以＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝－.
4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.4单位圆的对称性与诱导公式
, 　　)
1．问题导航
(1)由于α与－α的终边关于x轴对称，故若β与α的终边关于x轴对称，则必有β＝－α，这样说对吗？
(2)角α与角β的所有三角函数值都相等，则α与β有什么关系？
(3)在应用诱导公式时，公式中的角α必须是锐角吗？
2．例题导读
P20例3.通过本例学习，学会利用α与－α，α与α±π，α与π－α的正弦、余弦函数关系求三角函数值．
试一试：教材P20练习1T1你会吗？
P22例4.通过本例学习，学会利用诱导公式求三角函数值．
试一试：教材P23习题1－4A组T2你会吗？
P22例5.通过本例学习，学会利用诱导公式化简三角函数式．
试一试：教材P24习题1－4A组T8你会吗？
1．根据单位圆理解正弦函数y＝sin x的性质
根据正弦函数y＝sin x的定义，我们不难从单位圆看出函数y＝sin x有以下性质：
(1)定义域是R；
(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]；
(3)它是周期函数，其周期是2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π；
(4)正弦函数y＝sin x在区间，(k∈Z)上是增加的，在区间(k∈Z)上是减少的．
2．特殊角的终边的对称关系
(1)π＋α的终边与角α的终边关于原点对称；
(2)－α的终边与角α的终边关于x轴对称；
(3)π－α的终边与角α的终边关于y轴对称．
3．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝sin_α，cos(α＋2kπ)＝cos α，.(1.8)
(2)sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos α.(1.9)
(3)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos_α．(1.10)
(4)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α．(1.11)
(5)sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12)
(6)sin＝cos_α，cos＝－sin α.(1.13)
(7)sin＝cos α，cos＝sin_α．(1.14)
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由公式(1.9)知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．(　　)
(2)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　)
(3)sin＝cos α.(　　)
(4)若α为第二象限角，则sin＝cos α.(　　)
(5)sin＝cos.(　　)
解析：(1)错误．由公式(1.9)知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．
(2)正确．因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.
(3)错误．因为sin＝－sin＝－cos α，
所以sin＝cos α是错误的．
(4)正确．诱导公式中的角α为任意角，在化简时先限定α为锐角．
(5)正确．因为－α＋＋α＝，所以成立．
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2．已知sin x＝，则cos＝(　　)
A. B.
C. D．－
解析：选A.cos＝cos
＝cos＝sin x＝.
3．化简＝________．
解析：原式＝
＝＝－cos α.
答案：－cos α
对正弦、余弦函数诱导公式的理解
(1)利用诱导公式，可以将任意角的正弦、余弦函数问题转化为锐角的正弦、余弦函数问题．具体步骤是：首先将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，其次转化为0°～360°的三角函数，然后转化为锐角的三角函数，最后运用特殊角的三角函数值求值．步骤可简记为“负化正，大化小，化到锐角再求值”．如：
cos＝cos＝cos＝cos＝
cos＝－cos＝－.
(2)所有诱导公式可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，其中：
①“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变．
②“奇”、“偶”是对k·±α中的整数k来讲的．
③“象限”指k·±α中，将α看作锐角时，k·±α所在象限，再根据“一全正，二正弦，四余弦”的符号规律确定原函数值符号．
例如，将cos写成cos，因为1是奇数，则“cos”变为正弦函数符号“sin”，又将α看作锐角时，＋α是第二象限角，cos的符号为“－”，故有cos＝－sin α.
　　　　　　　给角求值　
求下列各角的三角函数值：
(1)cos(－1 290°)；(2)sin 1 230°；
(3)cos；(4)sincos＋sincos.
(链接教材P22例4)
[解]　(1)cos(－1 290°)＝cos 1 290°
＝cos(210°＋3×360°)＝cos 210°
＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
(2)sin 1 230°＝sin(150°＋3×360°)＝sin 150°
＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝.
(3)cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(4)sincos＋sincos
＝sincos＋sin·cos
＝－sincos＋sin
＝－×＋×＝0.
方法归纳
求正弦、余弦函数值的一般步骤
1．(1)代数式sin 120°cos 210°的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D．
(2)求下列各三角函数式的值：
①sin 1 320°；②cos.
解：(1)选A.由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－×＝－，故选A.
(2)①法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
②法一：cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
法二：cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
　　　　　　　给值求值　
(1)已知sin＝，则cos＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
(2)已知sin＝，则sin＋cos2＝________．
(链接教材P23练习2 T3，P24习题1－4B组T1)
[解析]　(1)由＋＝，
故x＋＝－，
有cos
＝cos
＝sin＝.
(2)因为＋＝π，
所以sin＝
sin＝sin＝.
又因为＋＝，
所以cos＝cos＝
sin＝.
所以sin＋cos2＝＋＝.
[答案]　(1)A　(2)
　若本例(1)中条件不变，求“cos”．
解：因为－＝，
故π－x＝＋，
cos
＝cos
＝－sin＝－.
方法归纳
(1)解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．
(2)常见的角之间的关系有＋＝；＋＝；A＋B＋C＝π，＝(A，B，C是△ABC的三个内角)等．
2．(1)已知sin＝，那么cos α＝(　　)
A．－　　　　　　　 B．－
C. D．
(2)已知cos＝，求cos的值．
解：(1)选C.sin＝sin
＝sin＝cos α＝.
(2)cos＝cos
＝－cos＝－.
　　　　　　　利用诱导公式化简式子　
设k为整数，化简下面的式子：
.
[解]　法一：当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式
＝
＝＝＝－1；
当k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得，原式＝－1.故不论k为奇数还是偶数，原式＝－1.
法二：由(kπ＋α)＋(kπ－α)＝2kπ，[(k－1)π－α]＋[(k＋1)π＋α]＝2kπ，得sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)，cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)．
故原式＝＝－1.
方法归纳
(1)化简三角函数式的过程，实质上是“统一角”“统一函数名”的过程，所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法．
(2)化简三角函数式时，若遇到kπ±α的形式时，需分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论，然后再正确运用诱导公式进行化简．常见的一些关于参数k的结论有
①sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α(k∈Z)．
②cos(kπ＋α)＝(－1)kcos α(k∈Z)．
③sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sin α(k∈Z)．
④cos(kπ－α)＝(－1)kcos α(k∈Z)．
3．化简下列各式．
(1)；
(2).
解：(1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝
＝＝＝－.
易错警示
诱导公式记忆不清导致出错
求sin的值．
[解]　sin＝－sin ＝－sin
＝－sin ＝sin ＝.
[错因与防范]　(1)对“奇变偶不变，符号看象限”的理解错误易出现sin＝cos，是不成立的．
(2)诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数的化简求值，证明中经常使用，因此必须熟记公式．
4．(1)化简：(n∈Z)＝____________．
(2)化简.
解：(1)当n为偶数时，设n＝2k，k∈Z，
原式＝＝；
当n为奇数时，设n＝2k＋1，k∈Z，
原式＝＝－.
故填
(2)原式
＝
＝
＝＝－.
1．sin 210°＝(　　)
A.　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：选D.sin 210°＝sin(180°＋30°)
＝－sin 30°＝－.
2．已知cos＝，则cos＝________．
解析：cos＝cos
＝cos＝.
答案：
3．化简：＝________．
解析：原式＝＝1.
答案：1
, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．如果sin(π＋α)＝－，则cos ＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A.因为－＝sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝，
所以cos＝－sin α＝－.
下列三角函数中，与sin数值相同的是(　　)
①sin；②cos；
③sin；④cos ；
⑤sin(n∈Z)．
A．①② B．①②③
C．②③⑤ D．①③⑤
解析：选C.①中n为偶数时，sin＝－sin；
②中cos＝cos＝sin；
③中sin＝sin；
④中cos＝－cos＝－sin；
⑤中sin＝sin＝sin.
故②③⑤正确．
3．已知sin＝，那么cos α＝(　　)
A．－ B．－
C. D．
解析：选C.sin＝cos α，故cos α＝，故选C.
4．已知600°角的终边上有点P(a，－3)，则a的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B.cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－，
而cos 600°＝，
所以＝－，
所以a＜0.
解得a＝－.
cos＝(　　)
A. B．
C．－ D．－
解析：选C.cos＝cos＝cos
＝cos＝cos＝－cos＝－.
已知sin＝，则cos＝________．
解析：因为＋＝，
所以cos＝cos
＝sin＝.
答案：
7．化简的值等于________．
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝－＝－.
答案：－
计算：cos＋cos＋cos＋cos＋cos＋cos＝________．
解析：原式＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝0.
答案：0
化简cos(nπ＋x)＋cos(nπ－x)(n∈Z)．
解：当n为奇数时，设n＝2k＋1(k∈Z)，
原式＝cos [(2k＋1)π＋x]＋cos [(2k＋1)π－x]＝cos(π＋x)＋cos(π－x)＝－cos x－cos x＝－2cos x；
当n为偶数时，设n＝2k(k∈Z)，
原式＝cos(2kπ＋x)＋cos(2kπ－x)＝cos x＋cos(－x)
＝2cos x，
故原式＝
计算下列各式的值：
(1)cos＋cos＋cos＋cos；
(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．
解：(1)原式＝＋
＝＋
＝＋＝0.
(2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)
＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°
＝×＋×＝1.
[B.能力提升]
1．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C.因为sin(A＋B－C)＝sin (A－B＋C)，所以sin(π－2C)＝sin(π－2B)，
即sin 2C＝sin 2B，所以2C＝2B或2C＝π－2B，即C＝B或C＋B＝，所以△ABC是等腰或直角三角形．
2．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f＝(　　)
A. B．
C．0 D．－
解析：选A.因为f(x＋π)＝f(x)＋sin x，
所以f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.
所以f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)．
所以f(x)是以2π为周期的周期函数．
又f＝f＝f，
f＝f＋sin，
所以f＝f－.
因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f＝0，
所以f＝f＝.故选A.
3．若α是三角形的一个内角，且cos＝－cos，则α＝________．
解析：因为cos＝－sin α＝－，
所以sin α＝.
又因为α是三角形的一个内角，
所以α＝或.
答案：或
4．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 014)＝2，则f(2 015)＝________．
解析：因为f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)＝2，
所以f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β)
＝asin [π＋(2 014π＋α)]＋bcos [π＋(2 014π＋β)]
＝－[asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)]＝－2.
答案：－2
5．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第四象限角且sin＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－π，求f(α)．
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)因为sin＝sin＝cos α＝，
所以f(α)＝－cos α＝－.
(3)f＝－cos
＝－cos＝－cosπ＝－cos＝－.
6．(选做题)已知f(k)＝sin，k∈Z.
(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值．
解：(1)证明：因为sin＝sin＝sin(k∈Z)，
所以f(k)＝f(k＋8)，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)．
(2)由(1)可知f(k)是以8为一个周期的周期函数，
而2 015＝251×8＋7，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝251[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)．
又因为f(1)＋f(2)＋…＋f(8)
＝sin＋sin＋…＋sin＝0，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin ＋sin ＋sin 
＝sin ＋sin ＋sin ＋sin π－sin －sin －sin ＝sin π＝0.
课件39张PPT。§5　正弦函数的图像与性质?
5．1　正弦函数的图像第一章　三 角 函 数2．例题导读
P27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y＝asin x＋b在[0，2π]上的简图．
试一试：教材P28练习题你会吗？
正弦曲线最大值最小值(0，0)(π，0)(2π，0)(3)利用五点法作函数y＝Asin x(A>0)的图像时，选取的五个关键点依次是：
____________，____________，____________，
____________，____________．(0，0)(π，0)(2π，0)2．正弦曲线的简单变换
函数y＝sin x与y＝sin x＋k图像间的关系．
当k>0时，把y＝sin x的图像向____________平移k个单位长度得到函数y＝sin x＋k的图像；
当k<0时，把y＝sin x的图像向____________平移|k|个单位长度得到函数y＝sin x＋k的图像．上下√√√√A5π相同不同用五点法作正弦型函数的图像方法归纳
作形如函数y＝asin x＋b，x∈[0，2π]的图像的步骤
A利用正弦函数的图像求函数的定义域 方法归纳
一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般情况．?
利用正弦函数的图像确定方程解的个数BB2本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．关于正弦函数y＝sin x的图像，下列说法错误的是(　　)
A．关于原点对称
B．有最大值1
C．与y轴有一个交点
D．关于y轴对称
解析：选D.正弦函数y＝sin x的图像如图所示．
根据y＝sin x，x∈R的图像可知A，B，C均正确，D错误．
2．函数y＝sin x的图像与函数y＝－sin x的图像关于(　　)
A．x轴对称
B．y轴对称
C．原点对称
D．直线y＝x对称
解析：选A.在同一直角坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x轴对称．
3．下列函数图像相同的是(　　)
A．y＝sin x与y＝sin(x＋π)
B．y＝sin与y＝sin
C．y＝sin x与y＝sin(－x)
D．y＝sin(2π＋x)与y＝sin x
解析：选D.对A，由于y＝sin(x＋π)＝－sin x，故排除A；对B，由于y＝sin＝－sin，故排除B；对C，由于y＝sin(－x)＝－sin x，故排除C；对D，由于y＝sin(2π＋x)＝sin x，故选D.
函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)
解析：选D.当x＝－时，y＝－sin＝1，故排除A、B、C，选D.
5．函数y＝xsin x的部分图像是(　　)
解析：选A.函数y＝xsin x的定义域为R，令f(x)＝xsin x，则f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，知f(x)为偶函数，排除B、D；当x∈时，f(x)>0，故排除C，故选A.
6．在[0，2π]上，满足sin x≥的x的取值范围为________．
解析：在同一直角坐标系内作出y＝sin x和y＝的图像如图，观察图像并求出交点横坐标，可得到x的取值范围为.
答案：
函数y＝sin x的图像和y＝的图像交点个数是________．
解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：
由图可知交点个数是3.
答案：3
已知sin x＝m－1且x∈R，则m的取值范围是________．
解析：由y＝sin x，x∈R的图像知，－1≤sin x≤1，
即－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.
答案：0≤m≤2
用“五点法”画出函数y＝3－sin x(x∈[0，2π])的图像．
解：(1)列表，如表所示：
x
0

π
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝3－sin x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示．
若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图像与直线y＝k有且只有两个不同的交点，求k的取值范围．
解：f(x)＝作出函数的图像如图：
由图可知当1[B.能力提升]
1．若y＝sin x，x∈，则函数的值域为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．(1，2] D．[1，2]
解析：选B.画出函数y＝sin x，x∈的图像如图所示，可知y∈.
2．设a>0，对于函数f(x)＝(0A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值也无最小值
解析：选B.f(x)＝＝1＋.
因为0所以1＋≥a＋1.
所以f(x)有最小值而无最大值．
故选B.
3．已知f(sin x)＝x且x∈，则f＝________．
解析：因为x∈，所以sin x＝时，x＝，
所以f＝f＝.
答案：
4．若x是三角形的最小角，则y＝sin x的值域是________．
解析：
不妨设△ABC中，0得0所以0<3A≤A＋B＋C，而A＋B＋C＝π，
所以0<3A≤π，即0若x为三角形中的最小角，则0由y＝sin x图像知y∈.
答案：
5．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点，求a的取值范围．
解：列表如下：
x
－π
－
0

π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
(1)由图像可知图像在y＝1上方部分时y>1，在y＝1下方部分时y<1，
所以当x∈(－π，0)时，y>1；当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1所以a的取值范围是{a|16．(选做题)已知函数y＝f(x)为奇函数，且是上的减函数，f(1－sin α)＋f(1－sin2α)<0，求α的取值范围．
解：由题意可知f(1－sin α)<－f(1－sin2α)．
因为f(x)是奇函数，
所以－f(1－sin2α)＝f(sin2α－1)，
所以f(1－sin α)又由f(x)是上的减函数，
所以所以
解得所以2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)或2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)，
所以α的取值范围为∪(k∈Z)．
§5　正弦函数的性质与图像
5．1　正弦函数的图像
1．问题导航
(1)用“五点法”作正弦函数图像的关键是什么？
(2)利用“五点法”作y＝sin x的图像时，x依次取－π，－，0，，π可以吗？
(3)作正弦函数图像时应注意哪些问题？
2．例题导读
P27例1.通过本例学习，学会用五点法画函数y＝asin x＋b在[0，2π]上的简图．
试一试：教材P28练习题你会吗？
1．正弦函数的图像与五点法
(1)图像：正弦函数y＝sin x的图像叫作正弦曲线，如图所示．
(2)五点法：在平面直角坐标系中常常描出五个关键点(它们是正弦曲线与x轴的交点和函数取最大值、最小值时的点)：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线顺次将它们连接起来，得到函数y＝sin x在[0，2π]上的简图，这种画正弦曲线的方法为“五点法”．
(3)利用五点法作函数y＝Asin x(A>0)的图像时，选取的五个关键点依次是：
(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
2．正弦曲线的简单变换
函数y＝sin x与y＝sin x＋k图像间的关系．
当k>0时，把y＝sin x的图像向上平移k个单位长度得到函数y＝sin x＋k的图像；
当k<0时，把y＝sin x的图像向下平移|k|个单位长度得到函数y＝sin x＋k的图像．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin x的图像与y轴只有一个交点．(　　)
(2)函数y＝sin x的图像介于直线y＝1与y＝－1之间．(　　)
(3)用五点法作函数y＝－2sin x在[0，2π]上的图像时，应选取的五个点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．(　　)
(4)将函数y＝sin x，x∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方即可得到函数y＝|sin x|，x∈[－π，π]的图像．(　　)
解析：(1)正确．观察正弦函数的图像知y＝sin x的图像与y轴只有一个交点．
(2)正确．观察正弦曲线可知正弦函数的图像介于直线y＝1与y＝－1之间．
(3)正确．在函数y＝－2sin x，x∈[0，2π]的图像上起关键作用的五个点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(4)正确．当x∈[－π，π]时，y＝|sin x|＝于是，将函数y＝sin x，x∈[－π，π]位于x轴上方的图像保持不变，把x轴下方的图像翻折到x轴上方即可得函数y＝|sin x|，x∈[－π，π]的图像．
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图像时，下列点不是关键点的是(　　)
A. B.
C．(π，0) D．(2π，0)
解析：选A.用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
3．用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．
解析：0＋＋π＋＋2π＝5π.
答案：5π
4．(1)正弦曲线在(0，2π]内最高点坐标为________，最低点坐标为________．
(2)在同一坐标系中函数y＝sin x，x∈(0，2π]与y＝sin x，x∈(2π，4π]的图像形状________，位置________．(填“相同”或“不同”)
解析：(1)由正弦曲线知，正弦曲线在(0，2π]内最高点为，最低点为.
(2)在同一坐标系中函数y＝sin x，x∈(0，2π]与y＝sin x，x∈(2π，4π]的图像，形状相同，位置不同．
答案：(1)　
(2)相同　不同
1．y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈R的图像间的关系
(1)函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像是函数y＝sin x，x∈R的图像的一部分．
(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图像与函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像形状完全一致，因此将y＝sin x，x∈[0，2π]的图像向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)就可得到函数y＝sin x，x∈R的图像．
2．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点
(1)“几何法”的实质是利用正弦线进行的尺规作图，这样作图较精确，但较为烦琐．
(2)“五点法”的实质是在函数y＝sin x的一个周期内，选取5个分点，也是函数图像上的5个关键点：最高点、最低点及平衡点，这五个点大致确定了函数一个周期内图像的形状．
(3)“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精确度不高的情况下常用此法，要切实掌握好．另外与“五点法”作图有关的问题经常出现在高考试题中．
3．关于“五点法”画正弦函数图像的要点
(1)应用的前提条件是精确度要求不是太高．
(2)五个点必须是确定的五点．
(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般在最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”现象．
(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”．
　　　　　　　用五点法作正弦型函数的图像
　
用五点法画函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图．
(链接教材P27例1)
[解]　步骤：①列表：
x
0

π

2π
sin x
0
1
0
－1
0
y
－1
1
－1
－3
－1
②描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：
(0，－1)，，(π，－1)，，(2π，－1)．
③连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sin x－1，x∈[0，2π]的简图，如图所示．
方法归纳
作形如函数y＝asin x＋b，x∈[0，2π]的图像的步骤
1．(1)函数f(x)＝asin x＋b，(x∈[0，2π])的图像如图所示，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝sin x＋1，x∈[0，2π]
B．f(x)＝sin x＋，x∈[0，2π]
C．f(x)＝sin x＋1，x∈[0，2π]
D．f(x)＝sin x＋，x∈[0，2π]
(2)用五点法作出下列函数的简图．
①y＝2sin x，x∈[0，2π]；
②y＝2－sin x，x∈[0，2π]．
解：(1)选A.将图像中的特殊点代入f(x)＝asin x＋b，x∈[0，2π]，不妨将(0，1)与代入得解得b＝1，a＝0.5，故f(x)＝sin x＋1，x∈[0，2π]．
(2)①列表：
x
0

π

2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝2sin x
0
2
0
－2
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．
②列表：
x
0

π

2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝2－sin x
2
1
2
3
2
描点并将它们用光滑的曲线连接，如图：
　　　　　　利用正弦函数的图像求函数的定义域
　
求函数f(x)＝lg (sin x)＋的定义域．
(链接教材P30习题1－5 A组T4)
[解]　由题意，x满足不等式组
即作出y＝sin x的图像，如图所示．
结合图像可得：该函数的定义域为[－4，－π)∪(0，π)．
方法归纳
一些三角函数的定义域可以借助函数图像直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．有时利用图像先写出在一个周期区间上的解集，再推广到一般情况．
2．求函数y＝的定义域.
解：为使函数有意义，需?0根据正弦曲线得，函数定义域为
∪，k∈Z.
　　　　　　利用正弦函数的图像确定方程解的个数
　
在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图像，根据图像判断出方程sin x＝lg x的解的个数．
(链接教材P30习题1－5 A组T1(1))
[解]　建立坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像，再依次向右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图像．
作出y＝lg x的图像，如图所示．
由图像可知方程sin x＝lg x的解有3个．
　若本例中的函数y＝lg x 换为y＝x2，则结果如何？
解：在同一直角坐标系中画出函数y＝x2和y＝sin x的图像，如图所示．
由图知函数y＝x2和y＝sin x和图像有两个交点，则方程x2－sin x＝0有两个根．
方法归纳
方程根(或个数)的两种判断方法
(1)代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．
(2)几何法：①方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图像，利用对应函数的图像，观察与x轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．
②转化为两个函数，分别作这两个函数的图像，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根．
3．(1)函数y＝2sin x与函数y＝x的图像的交点有(　　)
A．2个　　　　　　　 B．3个
C．4个 D．5个
(2)研究方程10sin x＝x(x∈R)根的个数．
解：(1)选B.在同一直角坐标系中作出函数y＝2sin x与y＝x的图像，由图像可以看出有3个交点．
(2)如图所示，当x≥4π时，≥>1≥sin x；当x＝π时，sin x＝sinπ＝1，＝，1>，从而x>0时，有3个交点，由对称性知x<0时，有3个交点，加上x＝0时的交点为原点，共有7个交点．即方程有7个根．
思想方法
数形结合思想的应用
求满足下列条件的角的范围．
(1)sin x≥；(2)sin x≤－.
[解]　(1)利用“五点法”作出y＝sin x的简图，过点作x轴的平行线，在[0，2π]上，直线y＝与正弦曲线交于，两点．结合图形可知，在[0，2π]内，满足y≥时x的集合为.因此，当x∈R时，若y≥，则x的集合为.
(2)同理，满足sin x≤－的角的集合为.
[感悟提高]　形如sin x>a((1)画出y＝sin x的图像，画直线y＝a.
(2)若解sin x>a，则观察y＝sin x在直线y＝a上方的图像．这部分图像对应的x的范围，就是所求的范围．
若解sin x1．函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的大致图像是(　　)
解析：选B.利用五点法画图，函数y＝1－sin x，x∈[0，2π]的图像一定过点(0，1)，，(π，1)，，(2π，1)，故B项正确．
2．已知点M在函数f(x)＝sin x＋1的图像上，则b＝________．
解析：b＝f＝sin＋1＝2.
答案：2
3．若函数f(x)＝2sin x－1－a在上有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：令f(x)＝0得2sin x＝1＋a.
作出y＝2sin x在x∈上的图像，如图所示．
要使函数f(x)在上有两个零点，需满足≤1＋a<2，所以－1≤a<1.
答案：[－1，1)
, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．关于正弦函数y＝sin x的图像，下列说法错误的是(　　)
A．关于原点对称
B．有最大值1
C．与y轴有一个交点
D．关于y轴对称
解析：选D.正弦函数y＝sin x的图像如图所示．
根据y＝sin x，x∈R的图像可知A，B，C均正确，D错误．
2．函数y＝sin x的图像与函数y＝－sin x的图像关于(　　)
A．x轴对称
B．y轴对称
C．原点对称
D．直线y＝x对称
解析：选A.在同一直角坐标系中画出函数y＝sin x与函数y＝－sin x在[0，2π]上的图像，可知两函数的图像关于x轴对称．
3．下列函数图像相同的是(　　)
A．y＝sin x与y＝sin(x＋π)
B．y＝sin与y＝sin
C．y＝sin x与y＝sin(－x)
D．y＝sin(2π＋x)与y＝sin x
解析：选D.对A，由于y＝sin(x＋π)＝－sin x，故排除A；对B，由于y＝sin＝－sin，故排除B；对C，由于y＝sin(－x)＝－sin x，故排除C；对D，由于y＝sin(2π＋x)＝sin x，故选D.
函数y＝－sin x，x∈的简图是(　　)
解析：选D.当x＝－时，y＝－sin＝1，故排除A、B、C，选D.
5．函数y＝xsin x的部分图像是(　　)
解析：选A.函数y＝xsin x的定义域为R，令f(x)＝xsin x，则f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)，知f(x)为偶函数，排除B、D；当x∈时，f(x)>0，故排除C，故选A.
6．在[0，2π]上，满足sin x≥的x的取值范围为________．
解析：在同一直角坐标系内作出y＝sin x和y＝的图像如图，观察图像并求出交点横坐标，可得到x的取值范围为.
答案：
函数y＝sin x的图像和y＝的图像交点个数是________．
解析：在同一直角坐标系内作出两个函数的图像如图所示：
由图可知交点个数是3.
答案：3
已知sin x＝m－1且x∈R，则m的取值范围是________．
解析：由y＝sin x，x∈R的图像知，－1≤sin x≤1，
即－1≤m－1≤1，所以0≤m≤2.
答案：0≤m≤2
用“五点法”画出函数y＝3－sin x(x∈[0，2π])的图像．
解：(1)列表，如表所示：
x
0

π
π
2π
y＝sin x
0
1
0
－1
0
y＝3－sin x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示．
若函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图像与直线y＝k有且只有两个不同的交点，求k的取值范围．
解：f(x)＝作出函数的图像如图：
由图可知当1[B.能力提升]
1．若y＝sin x，x∈，则函数的值域为(　　)
A.　　　　　　　B.
C．(1，2] D．[1，2]
解析：选B.画出函数y＝sin x，x∈的图像如图所示，可知y∈.
2．设a>0，对于函数f(x)＝(0A．有最大值而无最小值
B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值
D．既无最大值也无最小值
解析：选B.f(x)＝＝1＋.
因为0所以1＋≥a＋1.
所以f(x)有最小值而无最大值．
故选B.
3．已知f(sin x)＝x且x∈，则f＝________．
解析：因为x∈，所以sin x＝时，x＝，
所以f＝f＝.
答案：
4．若x是三角形的最小角，则y＝sin x的值域是________．
解析：
不妨设△ABC中，0得0所以0<3A≤A＋B＋C，而A＋B＋C＝π，
所以0<3A≤π，即0若x为三角形中的最小角，则0由y＝sin x图像知y∈.
答案：
5．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]有两个交点，求a的取值范围．
解：列表如下：
x
－π
－
0

π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
(1)由图像可知图像在y＝1上方部分时y>1，在y＝1下方部分时y<1，
所以当x∈(－π，0)时，y>1；当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1所以a的取值范围是{a|16．(选做题)已知函数y＝f(x)为奇函数，且是上的减函数，f(1－sin α)＋f(1－sin2α)<0，求α的取值范围．
解：由题意可知f(1－sin α)<－f(1－sin2α)．
因为f(x)是奇函数，
所以－f(1－sin2α)＝f(sin2α－1)，
所以f(1－sin α)又由f(x)是上的减函数，
所以所以
解得所以2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)或2kπ＋<α<2kπ＋(k∈Z)，
所以α的取值范围为∪(k∈Z)．
课件48张PPT。§6　余弦函数的图像与性质
6．1　余弦函数的图像
6．2　余弦函数的性质第一章　三 角 函 数1．问题导航
(1)由y＝sin x(x∈R)的图像得到y＝cos x(x∈R)的图像，平移的方法唯一吗？
(2)五点法作余弦函数的图像与作正弦函数的图像所取的五点不同，为什么？
(3)余弦函数既是中心对称图形又是轴对称图形，但它是偶函数不是奇函数，为什么？
2．例题导读
P32例．通过本例学习，学会用五点法作函数y＝acos x＋b的简图，并能根据图像讨论函数的性质．
试一试：教材P34习题1-6 A组T2你会吗？
(π，－1)2．余弦函数的图像与性质
x＝2kπ，k∈Zx＝2kπ＋π，k∈Z2π偶函数y轴[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)√×√√AA[0，π]4．余弦函数的周期性
类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z，且k≠0，1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)，容易得出．
5．对余弦函数最值的两点说明
(1)明确余弦函数的有界性，即－1≤cos x≤1.
(2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．画余弦函数的图像并讨论其性质试用五点法画函数y＝－cos x－1，x∈[0，2π]的图像．
描点连线，可得函数y＝－cos x－1在[0，2π]上的图像如图：
余弦函数的定义域、值域余弦函数性质的应用　CDD(－π，0]本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放
[A.基础达标]
1．设M和m分别是函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　)
A. B．－
C．－ D．－2
解析：选D.需根据y＝cos x的性质(或图像)确定M、m.
由y＝cos x－1，可知ymax＝M＝－1＝－，ymin＝m＝－－1＝－.所以M＋m＝－2.
若f(x)＝cos x在[－b，－a](aA．奇函数 B．偶函数
C．减少的 D．增加的
解析：选C.因为f(x)＝cos x在R上为偶函数，所以根据偶函数的性质可知f(x)在[a，b]上是减少的．
3．函数y＝cos，x∈的值域是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.因为0≤x≤，所以≤x＋≤.
因为y＝cos x在[0，π]上为减函数，
所以－≤cos≤ .
4．在△ABC中，“A>B”与“cos AA．由“A>B”能推出“cos AB．由“cos AB”
C．由“A>B”能推出“cos AB”
D．以上均不正确
解析：选C.因为在△ABC中，0B，则cos AB，故选C项．
5．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为(　　)
A．4 B．8
C．2π D．4π
解析：选D.由图可知，图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cos x的图像与直线y＝2所围成的图形面积可以等积的转化为矩形OABC的面积．
因为|OA|＝2，|OC|＝2π，
所以S矩形＝2×2π＝4π，故选D.
6．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．
解析：作函数y＝cos x与y＝x2的图像，如图所示，
由图像，可知原方程有两个实数解．
答案：2
7．函数f(x)的定义域为[0，1]，则f(cos x)的定义域是________．
解析：由0≤cos x≤1得，
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
所以f(cos x)的定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．已知函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x，当x＝时取得最大值1，则a的值为________．
解析：由f＝1得sin＋acos＝1，
所以＋a＝1，解得a＝.
答案：
9．求函数y＝的定义域．
解：若保证函数有意义，则保证：
即可得

所以，该函数的定义域为∪(k∈Z)．
10．求函数y＝cos的对称中心，对称轴方程，递减区间和最小正周期．
解：设t＝2x＋，
则函数y＝cos t的图像如图所示．
由图像可知对称轴t＝kπ(k∈Z)，则2x＋＝kπ(k∈Z)．
所以x＝k·－(k∈Z)即为所求对称轴方程．
令t＝kπ＋(k∈Z)，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)．
所以x＝k·＋(k∈Z)．
所以(k∈Z)即为所求对称中心．
当t∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是递减的，
即2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)．
所以x∈(k∈Z)．
所以其递减区间为(k∈Z)．
因为f＝f.
所以最小正周期T＝π.
[B.能力提升]
1．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：选D.函数f(x)＝的图像如图所示，由图像知只有D正确．
2．f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是(　　)
A．[－1，1] B．
C. D．
解析：选C.当sin x≥cos x时，f(x)＝cos x；当sin x作出函数y＝f(x)的图像，如图实线所示．由图可得函数f(x)的值域为.
3．若cos x＝，且x∈，则m的取值范围是________．
解析：由y＝cos x的图像可知，当x∈时y＝cos x的值域为，所以≤≤1，解之得－≤m≤－.
答案：
4．已知函数y＝cos x与y＝sin (2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
解析：由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是，所以sin＝，又0≤φ<π，解得φ＝.
答案：
5．设a，b为常数，f(x)＝(a－3)sin x＋b，g(x)＝a＋bcos x，且f(x)为偶函数．
(1)求a的值；
(2)若g(x)的最小值为－1，且sin b>0，求b的值．
解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即(a－3)sin(－x)＋b＝(a－3)sin x＋b恒成立．
所以2(a－3)sin x＝0恒成立．所以a＝3.
(2)g(x)的最小值是3－|b|，
所以3－|b|＝－1.
所以|b|＝4，b＝±4.
又因为sin 4<0，sin(－4)＝－sin 4>0，
故舍去b＝4，所以b＝－4.
6．(选做题)设0≤x≤π，函数f(x)＝sin(cos x)，g(x)＝cos(sin x)，
(1)求f(x)的最大值、最小值；
(2)将f(x)，g(x)的最大值、最小值按从小到大的顺序排列；
(3)讨论f(x)和g(x)的大小关系．

解：(1)当0≤x≤时，0≤cos x≤1，
因为sin x在[0，1]上是增加的，
所以f(x)的最大值为sin 1，最小值为0.
当所以f(x)的最小值为sin(－1)，无最大值．综上所述，f(x)的最大值为sin 1，最小值为sin(－1)．
(2)同理，因为0≤x≤π，0≤sin x≤1，cos x在[0，1]上是减少的，
所以g(x)的最大值为cos 0，g(x)的最小值为cos 1.
所以sin(－1)(3)当0≤x<，0因为当0所以sin(cos x)又因为0≤sin x所以cos(sin x)>cos x，
所以sin(cos x)所以f(x)当≤x≤π时，cos x≤0，0≤sin x≤1，
所以sin(cos x)≤0，cos(sin x)>0，
所以sin(cos x)所以f(x)综上，当0≤x≤π时，总有f(x)§6　余弦函数的图像与性质
6．1　余弦函数的图像
6．2　余弦函数的性质
, 　　)
1．问题导航
(1)由y＝sin x(x∈R)的图像得到y＝cos x(x∈R)的图像，平移的方法唯一吗？
(2)五点法作余弦函数的图像与作正弦函数的图像所取的五点不同，为什么？
(3)余弦函数既是中心对称图形又是轴对称图形，但它是偶函数不是奇函数，为什么？
2．例题导读
P32例．通过本例学习，学会用五点法作函数y＝acos x＋b的简图，并能根据图像讨论函数的性质．
试一试：教材P34习题1-6A组T2你会吗？
1．余弦函数图像的画法
(1)变换法：根据诱导公式sin＝cos x及函数图像平移知识，得将y＝sin x的图像向左平移个单位得到y＝cos x的图像，余弦曲线如图所示．
(2)五点法：在函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像上，有5个关键点：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．描出五个关键点，用平滑的曲线连接，可得y＝cos x，x∈[0，2π]的图像，再向左、右平移得y＝cos x，x∈R的图像．
2．余弦函数的图像与性质
图像
性质
定义域
R
值域
[－1，1]
最值
当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1
周期性
周期函数，最小正周期T＝2π
奇偶性
偶函数，图像关于y轴对称
单调性
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦函数y＝cos x是偶函数，图像关于y轴对称，对称轴有无数多条．(　　)
(2)余弦函数y＝cos x的图像既是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)
(3)函数y＝acos x(a≠0)的最大值为a，最小值为－a.(　　)
(4)函数y＝cos x(x∈R)的图像向左平移个单位长度后，得到函数y＝g(x)的图像，则g(x)＝－sin x．(　　)
解析：(1)正确．由余弦函数的性质知，它是偶函数，图像关于y轴对称，直线x＝kπ(k∈Z)为其对称轴．
(2)正确．余弦函数y＝cos x的图像关于直线x＝kπ(k∈Z)对称，也关于点(k∈Z)对称．
(3)错误．要对a分大于0和小于0两种情况讨论，才能确定最大值与最小值．
(4)正确．可得g(x)＝cos＝－sin x，即g(x)＝－sin x.
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．用“五点法”作出函数y＝3－cos x的图像，下列点中不属于五点作图中的五个关键点的是(　　)
A．(π，－1)　　　　　　　 B．(0，2)
C. D．
解析：选A.由五点作图法知五个关键点分别为(0，2)，，(π，4)，，(2π，2)，故A错误．
3．函数y＝－3cos x＋2的值域为(　　)
A．[－1，5] B．[－5，1]
C．[－1，1] D．[－3，1]
解析：选A.因为－1≤cos x≤1，所以－1≤－3cos x＋2≤5.
4．已知函数y＝－cos x，x∈，则其递增区间为________．
解析：当x∈[0，2π]时，函数y＝cos x在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，所以函数y＝－cos x在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数．
答案：[0，π]
1．余弦函数图像的画法
(1)平移法：这种方法借助诱导公式，先将y＝cos x写成y＝sin，然后利用图像平移得到y＝cos x的图像．
(2)“五点法”：在已知函数图像特征的情况下，描出函数图像的关键点，画出草图．这种方法对图像的要求精度不高，是比较常用的一种画图方法．
余弦函数除以上两种常见的画图方法外，还有其他的作图方法(如与正弦函数类似的几何法等)．
2．余弦函数性质与图像的关系
(1)余弦函数性质的研究可以类比正弦函数的研究方法．
(2)余弦函数的性质可以由图像直接观察，但要经过解析式或单位圆推导才能下结论．即数形结合思想的运用．
3．余弦函数的对称性
(1)余弦函数是中心对称图形，其所有的对称中心坐标为(k∈Z)，即余弦曲线与x轴的交点，此时的余弦值为0.
(2)余弦曲线是轴对称图形，其所有的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，即对称轴一定过余弦曲线的最高点或最低点，此时余弦值取得最大值或最小值．
4．余弦函数的周期性
类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z，且k≠0，1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式cos(x＋2kπ)＝cos x(k∈Z)，容易得出．
5．对余弦函数最值的两点说明
(1)明确余弦函数的有界性，即－1≤cos x≤1.
(2)对有些函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
　　　　　　　画余弦函数的图像并讨论其性质
　
画出函数y＝3＋2cos x的简图，根据图像讨论函数的性质．
(链接教材P32例)
[解]　(1)列表，如下表所示
x
0

π
π
2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cos x
5
3
1
3
5
(2) 描点，连线，如图所示：
不难看出，函数y＝3＋2cos x的主要性质有(见下表)
函数
y＝3＋2cos x
定义域
R
值域
[1，5]
奇偶性
偶函数
周期性
2π
单调性
当x∈[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)时，函数是增加的；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)时，函数是减少的
最大值与最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为5；
当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，最小值为1
　试用五点法画函数y＝－cos x－1，x∈[0，2π]的图像．
解：列表如下
x
0

π

2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝－cos x－1
－2
－1
0
－1
－2
描点连线，可得函数y＝－cos x－1在[0，2π]上的图像如图：
方法归纳
(1)用五点法画函数f(x)＝acos x＋b(a≠0)简图的步骤如下：①列表；②描点，描出(0，a＋b)，，(π，－a＋b)，，(2π，a＋b)；③连线，用光滑的曲线顺次连接各点；④将简图左、右平移2π的整数倍得函数f(x)＝acos x＋b(a≠0)的图像．
(2)讨论形如f(x)＝acos x＋b(a≠0)的函数的性质时，一般从定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值六个方面展开讨论．
1．(1)用五点法作函数y＝sin＋1，x∈[0，2π]的图像时，应取的五个关键点是________．
(2)画出函数y＝－cos x＋1的简图，并根据图像讨论函数的性质．
解：(1)因为y＝sin ＋1＝cos x＋1，x∈[0，2π]，所以应取的五个关键点分别为(0，2)，，(π，0)，，(2π，2)．故填(0，2)，，(π，0)，，(2π，2)．
(2)列表：
x
0

π

2π
y＝cos x
1
0
－1
0
1
y＝－cos x＋1
0
1
2
1
0
描点并画出图像．
由图像可知函数y＝－cos x＋1有以下性质：
定义域：R；值域：[0，2]；
奇偶性：偶函数；周期性：最小正周期是2π；
单调性：在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是增加的，在区间[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)上是减少的．
最大与最小值：当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，最大值为2；
当x＝2kπ(k∈Z)时，最小值为0.
　　　　　　　余弦函数的定义域、值域
　
求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；
(2)y＝lg(2cos x－)．
(链接教材P34习题1－6 A组T3、T4)
[解]　(1)由题意，得1－2cos x≥0，
所以cos x≤，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
所以原函数的定义域为
.
因为－1≤cos x≤1，所以－2≤－2cos x≤2，
所以－1≤1－2cos x≤3，又y＝≥0，
所以原函数的值域为[0， ]．
(2)由题意，得2cos x－>0，所以cos x>，结合y＝cos x的图像(如图)可得：－＋2kπ所以原函数的定义域为
.
因为－1≤cos x≤1，
所以－2－≤2cos x－≤2－.
因为y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数．
所以y＝lg(2cos x－)的值域为(－∞，lg(2－)]．
方法归纳
(1)利用余弦函数的图像解三角不等式，其一般步骤是：①作出y＝cos x在一个周期上的图像；②在一个周期内，根据图像求出适合条件的角的范围；③依据y＝cos x的周期性，求出所有符合条件的角的集合．
(2)求三角函数的值域要熟练应用函数图像的单调性及正、余弦函数的有界性．
2．(1)求函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域．
(2)已知x∈，
①求函数y＝cos x的值域；
②求函数y＝－3(1－cos2x)－4cos x＋4的最大值、最小值．
解：(1)要使函数有意义，必须满足
即
作出函数y＝cos x和y＝sin x的图像如图所示，
由正弦、余弦函数的图像，
解得
即＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z.
所以此函数的定义域为(k∈Z)．
(2)①画出函数y＝cos x，x∈的图像，如图所示：
由图像可知：当x＝0时，函数取最大值1.
当x＝时，函数取最小值－.
所以函数y＝cos x，x∈的值域为.
②原函数可化为y＝3cos2x－4cos x＋1.
令t＝cos x，则由①知t∈，
所以y＝3t2－4t＋1＝3－.
当t＝－时，函数取最大值.
当t＝时，函数取最小值－.
所以函数y＝－3(1－cos2x)－4cos x＋4，x∈的最大值为，最小值为－.
　　　　　　　余弦函数性质的应用　
已知f(x)＝2＋acos x(a≠0)．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的最小正周期．
(链接教材P32例)
[解]　(1)因为f(x)＝2＋acos x(a≠0)的定义域为R且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)＝2＋acos x为偶函数．
(2)因为f(x)＝cos x在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的．
所以当a＞0时，f(x)＝2＋acos x的递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.
当a＜0时，f(x)＝2＋acos x的递增区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z，递减区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z.
(3)由f(x＋2π)＝f(x)知f(x)＝2＋acos x的最小正周期为2π.
方法归纳
对于余弦函数的性质，要善于结合余弦函数的图像并类比正弦函数的相关性质进行记忆，其解题规律方法与正弦函数的对应性质解题方法一致．
3．(1)函数f(x)＝4sin的图像(　　)
A．关于x轴对称
B．关于原点对称
C．关于y轴对称
D．关于直线x＝对称
(2)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝3cos 2x；
②f(x)＝sin.
(3)求下列函数的递增区间：
①y＝；
②y＝cos.
解：(1)选C.由题意知f(x)＝－4cos 2x为偶函数，所以该函数的图像关于y轴对称．
(2)①函数的定义域为R.
因为f(－x)＝3cos(－2x)＝3cos 2x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
②函数的定义域为R.f(x)＝sin＝cos x.
因为f(－x)＝cos＝cos＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)①先求定义域为，而要保证递增，则2kπ－≤2x≤2kπ，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ，k∈Z，所以原函数的递增区间为，k∈Z.
②因为y＝cos＝cos，
由2kπ－π≤x－≤2kπ，k∈Z?2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以所求递增区间为，k∈Z.
规范解答
利用分类讨论的思想求参数的值
(本题满分12分)当函数y＝－cos2x＋acos x－－(a≥－2)的最大值为1时，求实数a的值．
[解]　设t＝cos x，则y＝－t2＋at－－
＝－＋－－，3分
其中－1≤t≤1，对称轴t＝.4分
①若－1≤≤1，即－2≤a≤2时，
当t＝时，ymax＝－－，6分
令－－＝1，解得a＝1±，
舍去a＝1＋，所以a＝1－.8分
②若＞1，即a＞2时，
当t＝1时，ymax＝－.
令－＝1，
所以a＝5，11分
综上所述，a＝1－或a＝5.12分
[规范与警示]　(1)在处，换元后将函数的一般式变形为顶点式，为利用二次函数的性质及“最大值为1”这一条件奠定基础．这是解题的关键点．在处，由a≥－2，函数在不同的区间内最值不同，所以对参数a进行分类讨论，分两类讨论，即①－1≤≤1，②＞1，本步为易漏点，也是失分点．
解答本题常忽视处，只是令t＝得ymax＝－a－＝1，从而遗漏了在>1时，t＝1取得最大值这一情况而造成错解是又一失分点，在处的这种总结性概述也是必须的．
(2)要规范地解答本题，除运用好余弦函数的有界性、二次函数在闭区间上求值的方法外，同时还要做好逻辑划分进行分类讨论．
1．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，则下面结论错误的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增加的
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：选D.f(x)＝sin＝－cos x(x∈R)，所以函数f(x)是偶函数．故选D.
2．函数y＝－xcos x的部分图像是下图中的(　　)
解析：选D.因为函数y＝－xcos x是奇函数，图像关于原点对称，所以排除选项A，C；当x∈时，y＝－xcos x<0，所以排除选项B.故选D.
3．函数y＝cos x在区间[－π，a]上是增加的，则a的取值范围为________．
解析：因为y＝cos x在[－π，0]上是增加的，所以－π答案：(－π，0]
4．若函数f(x)＝，则不等式f(x)>2的解集是________．
解析：当x<0时，f(x)＝x2，由x2>2，得x<－；当0≤x<时，f(x)＝4cos x，由4cos x>2，得cos x>，解得0≤x<.综上，不等式f(x)>2的解集是(－∞，－)∪.
答案：(－∞，－)∪
[A.基础达标]
1．设M和m分别是函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　)
A. B．－
C．－ D．－2
解析：选D.需根据y＝cos x的性质(或图像)确定M、m.
由y＝cos x－1，可知ymax＝M＝－1＝－，ymin＝m＝－－1＝－.所以M＋m＝－2.
若f(x)＝cos x在[－b，－a](aA．奇函数 B．偶函数
C．减少的 D．增加的
解析：选C.因为f(x)＝cos x在R上为偶函数，所以根据偶函数的性质可知f(x)在[a，b]上是减少的．
3．函数y＝cos，x∈的值域是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.因为0≤x≤，所以≤x＋≤.
因为y＝cos x在[0，π]上为减函数，
所以－≤cos≤ .
4．在△ABC中，“A>B”与“cos AA．由“A>B”能推出“cos AB．由“cos AB”
C．由“A>B”能推出“cos AB”
D．以上均不正确
解析：选C.因为在△ABC中，0B，则cos AB，故选C项．
5．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为(　　)
A．4 B．8
C．2π D．4π
解析：选D.由图可知，图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cos x的图像与直线y＝2所围成的图形面积可以等积的转化为矩形OABC的面积．
因为|OA|＝2，|OC|＝2π，
所以S矩形＝2×2π＝4π，故选D.
6．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．
解析：作函数y＝cos x与y＝x2的图像，如图所示，
由图像，可知原方程有两个实数解．
答案：2
7．函数f(x)的定义域为[0，1]，则f(cos x)的定义域是________．
解析：由0≤cos x≤1得，
2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.
所以f(cos x)的定义域为，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．已知函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x，当x＝时取得最大值1，则a的值为________．
解析：由f＝1得sin＋acos＝1，
所以＋a＝1，解得a＝.
答案：
9．求函数y＝的定义域．
解：若保证函数有意义，则保证：
即可得

所以，该函数的定义域为∪(k∈Z)．
10．求函数y＝cos的对称中心，对称轴方程，递减区间和最小正周期．
解：设t＝2x＋，
则函数y＝cos t的图像如图所示．
由图像可知对称轴t＝kπ(k∈Z)，则2x＋＝kπ(k∈Z)．
所以x＝k·－(k∈Z)即为所求对称轴方程．
令t＝kπ＋(k∈Z)，则2x＋＝kπ＋(k∈Z)．
所以x＝k·＋(k∈Z)．
所以(k∈Z)即为所求对称中心．
当t∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，函数是递减的，
即2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)．
所以x∈(k∈Z)．
所以其递减区间为(k∈Z)．
因为f＝f.
所以最小正周期T＝π.
[B.能力提升]
1．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解析：选D.函数f(x)＝的图像如图所示，由图像知只有D正确．
2．f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是(　　)
A．[－1，1] B．
C. D．
解析：选C.当sin x≥cos x时，f(x)＝cos x；当sin x作出函数y＝f(x)的图像，如图实线所示．由图可得函数f(x)的值域为.
3．若cos x＝，且x∈，则m的取值范围是________．
解析：由y＝cos x的图像可知，当x∈时y＝cos x的值域为，所以≤≤1，解之得－≤m≤－.
答案：
4．已知函数y＝cos x与y＝sin (2x＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
解析：由题意可得两个函数图像有一个交点坐标是，所以sin＝，又0≤φ<π，解得φ＝.
答案：
5．设a，b为常数，f(x)＝(a－3)sin x＋b，g(x)＝a＋bcos x，且f(x)为偶函数．
(1)求a的值；
(2)若g(x)的最小值为－1，且sin b>0，求b的值．
解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即(a－3)sin(－x)＋b＝(a－3)sin x＋b恒成立．
所以2(a－3)sin x＝0恒成立．所以a＝3.
(2)g(x)的最小值是3－|b|，
所以3－|b|＝－1.
所以|b|＝4，b＝±4.
又因为sin 4<0，sin(－4)＝－sin 4>0，
故舍去b＝4，所以b＝－4.
6．(选做题)设0≤x≤π，函数f(x)＝sin(cos x)，g(x)＝cos(sin x)，
(1)求f(x)的最大值、最小值；
(2)将f(x)，g(x)的最大值、最小值按从小到大的顺序排列；
(3)讨论f(x)和g(x)的大小关系．

解：(1)当0≤x≤时，0≤cos x≤1，
因为sin x在[0，1]上是增加的，
所以f(x)的最大值为sin 1，最小值为0.
当所以f(x)的最小值为sin(－1)，无最大值．综上所述，f(x)的最大值为sin 1，最小值为sin(－1)．
(2)同理，因为0≤x≤π，0≤sin x≤1，cos x在[0，1]上是减少的，
所以g(x)的最大值为cos 0，g(x)的最小值为cos 1.
所以sin(－1)(3)当0≤x<，0因为当0所以sin(cos x)又因为0≤sin x所以cos(sin x)>cos x，
所以sin(cos x)所以f(x)当≤x≤π时，cos x≤0，0≤sin x≤1，
所以sin(cos x)≤0，cos(sin x)>0，
所以sin(cos x)所以f(x)综上，当0≤x≤π时，总有f(x)课件43张PPT。§ 7　正 切 函 数
7．1　正切函数的定义
7．2　正切函数的图像与性质
7．3　正切函数的诱导公式第一章　三 角 函 数2．例题导读
P39例1.通过本例学习，学会已知一个角的正切值，求这个角的正弦值和余弦值的方法．
试一试：教材P40习题1－7 A组T1、T2你会吗？
P40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简求值．
试一试：教材P41习题1－7 A组T7(1)你会吗？y＝tan α2．正切线
(1)定义：
在直角坐标系中，设 单位圆 与x轴的非负半轴的交点为A(1，0)，过点____________作x轴的垂线，与角α的终边或其终边的延长线相交于T点，则称____________为角α的正切线．
(2)画法：
A(1，0)线段AT3．正切函数的图像与性质
tan α－tan α－tan α－tan αtan α1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　)
(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　　)
(3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期π.(　　)
(4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tan x．(　　)××××Atan θ正切函数的图像A④正切函数的性质正切函数诱导公式的应用方法归纳
解决条件求值问题的基本思路是分别将已知条件和所求问
题进行化简，进而寻找已知条件和所求问题间的关系，从
而求得结论．DBB[0，1]本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．函数y＝3tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)．
2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于(　　)
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、三象限
D．第二、四象限
解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．
当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角．
3．函数y＝|tan x|的周期为(　　)
A. B．π
C．2π D．3π
解析：选B.结合函数y＝|tan x|的图像可知周期为π.
4．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)，下列说法不正确的是(　　)
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数
C．存在φ，使f(x)为奇函数
D．对任意的φ ，f(x)都不是偶函数
解析：选A.当φ＝kπ(k∈Z)时，
f(x)＝tan(x＋kπ)＝tan x为奇函数．
5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是(　　)
(1)在上是递减的．
(2)最小正周期为2π.
(3)是奇函数．
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝sin(x＋3π) D．y＝sin 2x
解析：选C.y＝tan x在上是递增的，不满足条件(1)．
B．函数y＝cos x是偶函数，不满足条件(3)．
C．函数y＝sin(x＋3π)＝－sin x，满足三个条件．
D．函数y＝sin 2x的最小正周期T＝π，不满足条件(2)．
6．直线y＝a(a为常数)与函数y＝tan 的图像相交，两相邻交点间的距离为________．
解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期．
答案：2π
7．比较大小：tan 211°________tan 392°.
解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.
tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，
因为tan 31°所以tan 211°答案：<
8．函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：要使函数f(x)有意义，需即解得故≤x≤1.
答案：
9．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α.
10．(1)求y＝tan2x＋4tan x－1的值域；
(2)若x∈时，y＝k＋tan的值总不大于零，求实数k的取值范围．
解：(1)设t＝tan x，则y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，
所以y＝tan2x＋4tan x－1的值域为[－5，＋∞)．
(2)由y＝k＋tan≤0，
得k≤－tan＝tan.
因为x∈，
所以2x－∈.
由正切函数的单调性，得0≤tan≤，
所以要使k≤tan恒成立，只要k≤0即可．
所以k的取值范围为(－∞，0]．
[B.能力提升]
1．已知f(tan x)＝cos 3x，且x∈，则f(tan 375°)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°，
所以f(tan 375°)＝f(tan 15°)＝cos(3×15°)＝cos 45°＝.
2．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是(　　)
A．a>b>c B．aC．b>a>c D．b解析：选C.tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在上为增函数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．
3．已知f(x)＝asin x＋btan x＋1满足f＝7，则f＝________．
解析：依题意得f＝asin ＋btan ＋1＝7，
所以asin ＋btan ＝6，
所以f＝asin π＋btan π＋1＝
asin＋btan＋1
＝－asin －btan ＋1
＝－＋1
＝－6＋1＝－5.
答案：－5
4．给出下列命题：
①函数y＝tan x的图像关于点(k∈Z)对称；
②函数f(x)＝sin |x|是最小正周期为π的周期函数；
③函数y＝cos2x＋sin x最小值为－1；
④设θ为第二象限的角，则tan >cos，且sin>cos.其中正确的命题序号是________．
解析：①函数y＝tan x的图像关于点(k∈Z)对称，正确；②函数f(x)＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f(x)＝sin|x|不是周期函数；③因为函数y＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1，所以其最小值为－1，正确；④设θ为第二象限的角，即＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，即为第一象限或第三象限的角，所以④不对．
答案：①③
5．已知函数f(x)＝.
(1)求函数的定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图像；
(4)写出f(x)的最小正周期及单调性．
解：(1)因为由cos x≠0，得x≠kπ＋(k∈Z)，
所以函数的定义域是.
(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．
又因为f(－x)＝＝－
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
则f(x)在其定义域上的图像如图所示．
(4)f(x)的最小正周期为2π，
递增区间是(k∈Z)，
递减区间是，(k∈Z)．
6．(选做题)已知f(x)＝x2＋2x·tan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1， ]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝－，x∈[－1，]，
所以当x＝时，f(x)的最小值为－，
当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)因为f(x)＝x2＋2x·tan θ－1＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ，
所以原函数的图像的对称轴方程为x＝－tan θ.
因为y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，
所以－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－，
所以＋kπ≤θ<＋kπ或－＋kπ<θ≤－＋kπ，
k∈Z.
又θ∈，
所以θ的取值范围是∪.
§ 7　正 切 函 数
7．1　正切函数的定义
7．2　正切函数的图像与性质
7．3　正切函数的诱导公式
1．问题导航
(1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方法类似？该方法有什么优缺点？
(2)正切函数的定义域能写成(k∈Z)吗？为什么？
(3)正切函数的诱导公式的实质是什么？
2．例题导读
P39例1.通过本例学习，学会已知一个角的正切值，求这个角的正弦值和余弦值的方法．
试一试：教材P40习题1－7 A组T1、T2你会吗？
P40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简求值．
试一试：教材P41习题1－7 A组T7(1)你会吗？
1．正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中 α∈R，α≠＋kπ，k∈Z．根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义可知tan α＝(比值叫作角α的余切函数，记作y＝cot α，其中α∈R且α≠kπ，k∈Z)．
2．正切线
(1)定义：
在直角坐标系中，设单位圆与x轴的非负半轴的交点为A(1，0)，过点A(1，0)作x轴的垂线，与角α的终边或其终边的延长线相交于T点，则称线段AT为角α的正切线．
(2)画法：
3．正切函数的图像与性质
解析式
y＝tan x
图像
定义域
{x|x∈R，x≠＋kπ，k∈Z}
值域
R
周期
kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期是π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性
正切曲线是中心对称图形，其对称中心是(k∈Z)
4.正切函数的诱导公式
(1)tan(2π＋α)＝tan_α(1.16)；
(2)tan(－α)＝－tan_α(1.17)；
(3)tan(2π－α)＝－tan_α(1.18)；
(4)tan(π－α)＝－tan_α(1.19)；
(5)tan(π＋α)＝tan_α(1.20)；
(6)tan＝－cot α(1.21)；
(7)tan＝cot α(1.22)．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　)
(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　　)
(3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期π.(　　)
(4)函数y＝tan x为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tan x．(　　)
解析：(1)错误．如x1＝，x2＝，但tan>tan，不符合增函数的定义．
(2)错误．正切函数在每个单调区间上都为增函数．
(3)错误．正切函数图像相邻两个对称中心的距离为半周期，故此说法是错误的．
(4)错误．当x＝＋kπ(k∈Z)时，tan x没有意义，此时式子tan(－x)＝－tan x不成立．
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．y＝tan(x＋π)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：选A.因为y＝tan(x＋π)＝tan x，所以y＝tan(x＋π)是奇函数．
3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________．
解析：由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．
故定义域为，
且f＝tan＝.
答案：　
4．化简：＝________．
解析：原式＝
＝
＝tan θ.
答案：tan θ
1．对正切函数图像的理解
(1)正切函数的图像是由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．
(2)正切函数的图像向上、向下无限延伸，但永远不和x＝＋kπ(k∈Z)相交，与x轴交于点(kπ，0)(k∈Z)．
(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来，“三点”是指(0，0)，，；“两线”是指x＝和x＝－.作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三点(0，0)，，，用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可．
注意：直线x＝＋kπ，k∈Z叫作正切曲线的渐近线，正切曲线与渐近线无限接近但不相交．
2．对正切函数的性质的理解
(1)正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意．
(2)正切函数的图像的对称中心为(k∈Z)，而不是(kπ，0)(k∈Z)，它没有对称轴．
3．对正切函数的诱导公式的理解
(1)公式的特点与记忆
2π±α，－α，π±α的正切函数值等于α的正切函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．
(2)利用“化切为弦”的方法证明正切函数的诱导公式“化切为弦”是指利用tan α＝，α∈R，且α≠＋kπ，k∈Z，把某角的正切函数值转化为该角正弦函数值与余弦函数值的商，再根据正弦、余弦的有关结论解决问题．
例如，tan(－α)＝＝＝－tan α.
(3)诱导公式的应用
利用诱导公式可把任意角的正切函数转化为锐角三角函数．即
　　　　　　　正切函数的图像　
求函数f(x)＝tan |x|的定义域与值域，并作其图像．
(链接教材P42习题1－7 B组T4)
[解]　f(x)＝tan |x|
＝(k∈Z)，
可知，函数的定义域为
，值域为R.
当x≥0时，函数y＝tan |x|在y轴右侧的图像即为y＝tan x的图像不变；x<0时，y＝tan |x|在y轴左侧的图像为y＝tan x在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示(实线部分)．
　本例中“函数f(x)＝tan |x|”若换为“函数f(x)＝|tan x|”，其他条件不变，其结论又如何呢？
解：函数f(x)＝|tan x|的定义域是，值域是[0，＋∞)，图像如图实线部分所示．
方法归纳
(1)作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移．从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0，0)，，两线是直线x＝±.
(2)如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要做出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
1．(1)函数y＝sin x与y＝tan x在区间上的交点个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
(2)函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是如图中的________．
解析：(1)如图，函数y＝sin x与y＝tan x在区间上的交点个数是3.
(2)函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝
答案：(1)A　(2)④
　　　　　　　正切函数的性质　
求函数f(x)＝tan 的定义域、最小正周期和单调区间．
(链接教材P40练习T2)
[解]　由题意，知2x－≠kπ＋(k∈Z)，
所以x≠＋(k∈Z)，
即函数的定义域为.
由于f(x)＝tan 
＝tan ＝f，
所以最小正周期T＝.
因为kπ－<2x－所以k·－即函数的递增区间为(k∈Z)．
方法归纳
求函数y＝Atan(ωx＋φ)定义域、周期、单调区间的方法
(1)定义域：由ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，求出x的取值集合即为函数的定义域，即.
(2)周期性：利用周期函数的定义来求．
(3)单调区间：在求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的单调区间时，首先要用诱导公式把x的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由kπ－<ωx＋φ提醒：注意A的正负对函数单调性的影响．
2．函数f(x)＝tan(3x＋φ)的图像的一个对称中心是，其中0<φ<，试求函数f(x)的单调区间．
解：由于y＝tan x的对称中心为，k∈Z，
故令3x＋φ＝，其中x＝，
即φ＝－，
由于0<φ<，
所以当k＝2时，φ＝.
故f(x)＝tan.
由于正切函数y＝tan x在(k∈Z)上为增函数，则令kπ－<3x＋故该函数的递增区间为(k∈Z)．
　　　　　　　正切函数诱导公式的应用
　
已知tan(3π－α)＝，
求的值．
(链接教材P40例2)
[解]　因为tan(3π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝，
所以tan α＝－.
原式＝
＝
＝－tan α＝.
方法归纳
解决条件求值问题的基本思路是分别将已知条件和所求问题进行化简，进而寻找已知条件和所求问题间的关系，从而求得结论．
3．(1)已知tan(π＋α)＋＝2，则tan(π－α)＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
(2)已知cos＝，且|φ|<，则tan φ＝________；
(3)已知tan(π＋α)＝lg，求tan的值．
解：(1)选D.tan(π＋α)＋＝tan α＋＝2，即＝0，解得tan α＝1.所以tan(π－α)＝－tan α＝－1.
(2)因为cos＝－sin φ＝，
所以sin φ＝－.
因为|φ|<，所以φ＝－，
所以tan φ＝tan＝－tan ＝－.故填－.
(3)因为tan(π＋α)＝lg＝－，
所以tan α＝－.
tan＝－tan＝－tan 
＝－tan ＝－
＝－＝－＝3.
思想方法
换元法的应用
设函数y＝tan2x＋2tan x＋2，且x∈，求函数的值域．
[解]　因为x∈，所以tan x∈[－，1]，
令tan x＝t，t∈[－，1]，
则y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1.
当t＝－1时，y取得最小值，为1；
当t＝1时，y取得最大值，为5.
所以函数y＝tan2x＋2tan x＋2的值域为[1，5]．
[感悟提高]　(1)三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题．
(2)利用换元法时，要注意新变量的取值范围，把原变量的范围转化给新变量．
1．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
解析：选B.由(tan α，cos α)在第三象限，知tan α<0，cos α<0，所以角α是第二象限角．
2．已知tan＝－5，则tan＝(　　)
A．－5 B．5
C．±5 D．不能确定
解析：选B.tan＝－tan
＝－tan＝－5，
故tan＝5.
3．若tan x－≥0，则x的取值范围是________．
解析：由题意，知tan x≥.由正切函数的图像，知kπ＋≤x答案：
4．函数y＝tan x，x∈的值域是________．
解析：函数y＝tan x在上是增加的 ，
则tan 0≤y≤tan ，即0≤y≤1.
答案：[0，1]

, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．函数y＝3tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.由2x＋≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)．
2．若tan θ·sin θ<0，则θ位于(　　)
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、三象限
D．第二、四象限
解析：选C.依题意，tan θ·sin θ<0，所以tan θ与sin θ异号．当tan θ>0，sin θ<0时，θ为第三象限角．
当tan θ<0，sin θ>0时，θ为第二象限角．
3．函数y＝|tan x|的周期为(　　)
A. B．π
C．2π D．3π
解析：选B.结合函数y＝|tan x|的图像可知周期为π.
4．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)，下列说法不正确的是(　　)
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数
C．存在φ，使f(x)为奇函数
D．对任意的φ ，f(x)都不是偶函数
解析：选A.当φ＝kπ(k∈Z)时，
f(x)＝tan(x＋kπ)＝tan x为奇函数．
5．在下列函数中，同时满足以下三个条件的是(　　)
(1)在上是递减的．
(2)最小正周期为2π.
(3)是奇函数．
A．y＝tan x B．y＝cos x
C．y＝sin(x＋3π) D．y＝sin 2x
解析：选C.y＝tan x在上是递增的，不满足条件(1)．
B．函数y＝cos x是偶函数，不满足条件(3)．
C．函数y＝sin(x＋3π)＝－sin x，满足三个条件．
D．函数y＝sin 2x的最小正周期T＝π，不满足条件(2)．
6．直线y＝a(a为常数)与函数y＝tan 的图像相交，两相邻交点间的距离为________．
解析：结合图像可知(图略)，两相邻交点间的距离恰为一个最小正周期．
答案：2π
7．比较大小：tan 211°________tan 392°.
解析：tan 211°＝tan(180°＋31°)＝tan 31°.
tan 392°＝tan(360°＋32°)＝tan 32°，
因为tan 31°所以tan 211°答案：<
8．函数f(x)＝＋的定义域为________．
解析：要使函数f(x)有意义，需即解得故≤x≤1.
答案：
9．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝＝－＝－tan α.
10．(1)求y＝tan2x＋4tan x－1的值域；
(2)若x∈时，y＝k＋tan的值总不大于零，求实数k的取值范围．
解：(1)设t＝tan x，则y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，
所以y＝tan2x＋4tan x－1的值域为[－5，＋∞)．
(2)由y＝k＋tan≤0，
得k≤－tan＝tan.
因为x∈，
所以2x－∈.
由正切函数的单调性，得0≤tan≤，
所以要使k≤tan恒成立，只要k≤0即可．
所以k的取值范围为(－∞，0]．
[B.能力提升]
1．已知f(tan x)＝cos 3x，且x∈，则f(tan 375°)的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选C.因为tan 375°＝tan(360°＋15°)＝tan 15°，
所以f(tan 375°)＝f(tan 15°)＝cos(3×15°)＝cos 45°＝.
2．已知a＝tan 2，b＝tan 3，c＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是(　　)
A．a>b>c B．aC．b>a>c D．b解析：选C.tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在上为增函数可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．
3．已知f(x)＝asin x＋btan x＋1满足f＝7，则f＝________．
解析：依题意得f＝asin ＋btan ＋1＝7，
所以asin ＋btan ＝6，
所以f＝asin π＋btan π＋1＝
asin＋btan＋1
＝－asin －btan ＋1
＝－＋1
＝－6＋1＝－5.
答案：－5
4．给出下列命题：
①函数y＝tan x的图像关于点(k∈Z)对称；
②函数f(x)＝sin |x|是最小正周期为π的周期函数；
③函数y＝cos2x＋sin x最小值为－1；
④设θ为第二象限的角，则tan >cos，且sin>cos.其中正确的命题序号是________．
解析：①函数y＝tan x的图像关于点(k∈Z)对称，正确；②函数f(x)＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数，错误，函数f(x)＝sin|x|不是周期函数；③因为函数y＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1，所以其最小值为－1，正确；④设θ为第二象限的角，即＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，即为第一象限或第三象限的角，所以④不对．
答案：①③
5．已知函数f(x)＝.
(1)求函数的定义域；
(2)用定义判断f(x)的奇偶性；
(3)在[－π，π]上作出f(x)的图像；
(4)写出f(x)的最小正周期及单调性．
解：(1)因为由cos x≠0，得x≠kπ＋(k∈Z)，
所以函数的定义域是.
(2)由(1)知函数的定义域关于原点对称．
又因为f(－x)＝＝－
＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
(3)f(x)＝
则f(x)在其定义域上的图像如图所示．
(4)f(x)的最小正周期为2π，
递增区间是(k∈Z)，
递减区间是，(k∈Z)．
6．(选做题)已知f(x)＝x2＋2x·tan θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1， ]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－时，f(x)＝x2－x－1＝－，x∈[－1，]，
所以当x＝时，f(x)的最小值为－，
当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)因为f(x)＝x2＋2x·tan θ－1＝(x＋tan θ)2－1－tan2θ，
所以原函数的图像的对称轴方程为x＝－tan θ.
因为y＝f(x)在[－1，]上是单调函数，
所以－tan θ≤－1或－tan θ≥，
即tan θ≥1或tan θ≤－，
所以＋kπ≤θ<＋kπ或－＋kπ<θ≤－＋kπ，
k∈Z.
又θ∈，
所以θ的取值范围是∪.
§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
第1课时
1．问题导航
(1)由y＝sin x的图像能得到y＝sin的图像吗？
(2)函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的最小正周期分别是什么？
(3)对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x，y＝sin x的函数值有什么关系？
2．例题导读
P43例1.通过本例学习，学会分析A对函数y＝Asin x(A>0)及其图像的影响，掌握振幅的概念．
试一试：教材P47练习1T1你会吗？
P45例2.通过本例学习，学会分析φ对函数y＝sin(x＋φ)及其图像的影响，掌握初相和相位的概念．
试一试：教材P47练习1T2你会吗？
P47例3.通过本例学习，学会分析ω对函数y＝sin ωx(ω>0)及其图像的影响，并掌握频率的概念．
试一试：教材P53练习2T1你会吗？
P50例4.通过本例学习，学会由函数y＝sin x的图像画出函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像的方法．
试一试：教材P53练习2T3你会吗？
1．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响
(1)在函数y＝Asin x(A>0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．
(2)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．
(3)在函数y＝sin ωx(ω>0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率．
2．用“图像变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像
(1)相位变换：φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响
y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图像可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
(2)周期变换：ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
(3)振幅变换：A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0(4)平移变换：对于函数y＝sin x＋b的图像，可以看作是把y＝sin x的图像上所有的点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平行移动|b|个单位长度得到的．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图像．(　　)
(2)要得到函数y＝sin ωx(ω>0)的图像，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的ω倍．(　　)
(3)将函数y＝sin x图像上各点的纵坐标变为原来的A(A>0)倍，便得到函数y＝Asin x的图像．(　　)
(4)将函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝cos x的图像．(　　)
解析：(1)错误．将函数y＝sin ωx的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度，便得到函数y＝sin[ω(x－φ)]＝sin(ωx－ωφ)的图像，而不是函数y＝sin(ωx－φ)的图像，故此说法是错误的．
(2)错误．要得到函数y＝sin ωx(ω>0)的图像，只需将函数y＝sin x上所有点的横坐标变为原来的倍，而不是ω倍，故此说法是错误的．
(3)正确．由函数图像的振幅变换知此说法是正确的．
(4)正确．函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝sin的图像，因为y＝sin＝cos x，故正确．
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．把函数f(x)＝sin 2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像，则g(x)的最小正周期为(　　)
A．2π B．π
C. D．
解析：选A.由题意知g(x)＝sin＋1＝sin x＋1，故T＝2π.
3．为了得到y＝sin x，x∈R的图像，只需将函数y＝asin x(a>0)图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，则a＝(　　)
A. B．
C. D．3
解析：选C.由题意知2a＝，故a＝.
4．把函数y＝sin x(x∈R)的图像上的所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是________．
解析：变换过程如下：
y＝sin xy＝sin
y＝sin.
答案：y＝sin，x∈R
1．A对函数y＝Asin x及其图像的影响
(1)若A>0，函数y＝Asin x的值域是[－A，A]，最大值是A，最小值是－A.若A<0，函数y＝Asin x的值域是[－|A|，|A|]，最大值是|A|，最小值是－|A|.
(2)|A|的大小，反映了曲线y＝Asin x的波动幅度的大小．
(3)y＝sin x与y＝Asin x的图像形状不同，此变换称为纵向伸缩变换，也叫振幅变换．
(4)推广到一般有：函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图像，可以看作是把函数y＝f(x)的图像上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02．φ对函数y＝sin(x＋φ)及其图像的影响
(1)y＝sin(x＋φ)与y＝sin x的图像形状是完全一样的，y＝sin(x＋φ)的图像可由y＝sin x的图像平移得到，此变换称为左右平移变换或相位变换．
(2)左右平移是对x本身而言的，如果x前面有负号或有系数，应提取负号或系数，然后再进行左右平移．
(3)推广到一般有：将函数f(x)的图像沿x轴平移|a|个单位长度后，得到函数f(x＋a)(a≠0)的图像．当a>0时，向左平移；当a<0时，向右平移，简记为“左加右减”．
3．ω对函数y＝sin ωx及其图像的影响
(1)ω影响函数y＝sin ωx的周期．
(2)y＝sin ωx(ω≠1)与y＝sin x的图像形状不同．由y＝sin x图像上各点的横坐标变化，纵坐标不变得到y＝sin ωx的图像，此变换称为横向伸缩变换，也叫周期变换．
(3)推广到一般有：函数y＝f(ωx)(ω>0)的图像，可以看作是把函数f(x)的图像上的点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到．
　　　　　　　三角函数图像的平移变换
　
将f(x)＝sin的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数记为g(x)，求函数g(x)在上的最大值和最小值．
(链接教材P45例2)
[解]　将f(x)＝sin的图像向右平移个单位长度，得y＝sin＝sin，即
g(x)＝sin.
又因为x∈，所以－≤2x－≤，
所以函数g(x)在上的最大值为1，最小值为－.
　若将本例中条件“向右平移个单位长度”改为“向左平移个单位长度”其他条件不变，其结论又如何呢？
解：将f(x)＝sin向左平移个单位长度，
得y＝sin＝sin 2x，
即g(x)＝sin 2x.
因为x∈，
所以≤2x≤.
所以－1≤sin 2x≤1.
所以函数g(x)在上的最大值为1，最小值为－1.
方法归纳
已知两个函数的解析式，判断其图像间的平移关系的步骤(1)将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A、ω及名称相同的结构．(2)找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为.(3)明确平移的方向．
1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像(　　)
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选C.由y＝cos 2x，得y＝cos 2，所以向左平移个单位长度．
　　　　　　　三角函数图像的伸缩变换
　
说明y＝2sin＋1的图像是由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到的．
(链接教材P50例4)
[解]　法一：
y＝sin x
y＝2sin x
y＝2sin
y＝2sin
y＝2sin＋1.
法二：
y＝sin x
y＝2sin x
y＝2sin 2x
y＝2sin
y＝2sin＋1.
方法归纳
三角函数图像变换的技巧
由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
先平移后伸缩．
y＝sin x
y＝sin(x＋φ)
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
先伸缩后平移．
y＝sin x
y＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
2．(1)将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像所对应的解析式是(　　)
A．y＝sinx
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
(2)函数y＝5sin＋1的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：(1)选C.y＝sin
y＝sin
y＝sin＝sin.
(2)法一：将函数y＝sin x的图像依次进行如下变换：
①把函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；
②把得到的图像上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；
③把得到的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到函数y＝5sin的图像；
④把得到的图像向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sin＋1的图像．
经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图像．
法二：将函数y＝sin x的图像依次进行如下变换：
①把函数y＝sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图像；
②把得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；
③把得到的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍(横坐标不变)，得到y＝5sin的图像；
④把得到的图像向上平移1个单位长度，得到函数y＝5sin＋1的图像．
经过上述变换，就得到函数y＝5sin＋1的图像．
易错警示
图像变换时弄错平移方向或平移长度致误
函数y＝4sin的图像是由函数y＝4sin 2x的图像经过怎样的变换得到的？
[解]　y＝4sin的图像是由y＝4sin 2x的图像向左平移个单位长度得到的．
[错因与防范]　(1)本题常出现①平移变换时左右方向没有分清的错误．
②本题误认为向左平移个长度单位．
(2)因为y＝4sin＝4sin，所以y＝4sin的图像是由y＝4sin 2x向左平移个单位长度得到，即比较原函数中的自变量x与变换后为x＋，其图像变换满足“左加、右减”．
3．(1)将函数y＝f(x)的图像上每一点的纵坐标缩小为原来的倍，再将横坐标压缩为原来的倍，再将整个图像沿x轴向左平移个单位，可得y＝sin x的图像，则f(x)＝________．
(2)将函数y＝sin的图像先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，求与最终的图像对应的函数的解析式．
解：(1)将y＝sin x的图像向右平移个单位，得y＝sin的图像；把y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝sin的图像；再把y＝sin的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得y＝2sin的图像，所以f(x)＝2sin.故填2sin.
(2)将原函数的图像沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为y＝sin＝
sin，再将所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，则与其对应的函数的解析式为y＝sin.
1．将函数f(x)＝sinx图像上所有点向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图像，则g(x)＝(　　)
A．sin　　　　　 B．sin
C．sin　　　　　　 D．sin
解析：选C.由平移变换的规律知
g(x)＝sin＝sin.
2．为了得到函数y＝3sin x的图像，只需将正弦曲线y＝sin x上所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
解析：选C.将正弦曲线y＝sin x上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，即可得y＝3sin x的图像．
3．将函数y＝sin x的图像向左平移φ(0≤φ≤2π)个单位长度后，得到函数y＝sin的图像，则φ＝(　　)
A.　　　　　　　 B.π
C.π D．π
解析：选D.因为y＝sin的图像与y＝sin的图像相同，所以φ＝π.
, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选D.y＝sin＝sin，所以要得到函数y＝sin的图像，只需将y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度．
为得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin的图像(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B.由y＝sin＝sin
知向右平移个单位长度．
3．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值是(　　)
A.　　　　　　　 B．1
C. D．2
解析：选D.函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin (其中ω>0)，将代入得sin ＝0，所以＝kπ(k∈Z)，故得ω的最小值是2.
4．给出几种变换：①横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；②横坐标缩小为原来的，纵坐标不变；③向左平移个单位长度；④向右平移个单位长度；⑤向左平移个单位长度；⑥向右平移个单位长度，则由函数y＝sin x的图像得到y＝sin的图像，可以实施的方案是(　　)
A．①→③ B．②→③
C．②→④ D．②→⑤
解析：选D.由y＝sin x的图像到y＝sin的图像可以先平移变换再周期变换，即③→②；也可以先周期变换再平移变换，即②→⑤.
将函数y＝sin x的图像向右平移个单位长度后再把图像各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：选C.y＝sin xy＝siny＝sin.
将函数y＝sin 4x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图像，则φ的值为________．
解析：将函数y＝sin 4x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin，所以φ的值为.
答案：
把y＝sin x的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短为原来的，得到________的图像．
解析：将y＝sin x的图像横坐标缩短为原来的得y＝sin 3x的图像，纵坐标再缩短为原来的得到y＝sin 3x的图像．
答案：y＝sin 3x
某同学给出了以下论断：
①将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度，得到y＝－sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度，可得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin (－x)的图像向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图像；
其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．
解析：将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x，所以①正确；
将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－2)，所以②不正确；
将y＝sin(－x)的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin[－(x＋2)]＝sin(－x－2)，所以③正确．
答案：①③
函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π个单位长度所得的曲线是y＝sin x的图像，试求y＝f(x)的解析式．
解：将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度得：
y＝sin，化简得y＝－sin x.
再将y＝－sin x的图像上的横坐标压缩为原来的(纵坐标不变)得：y＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x.
使函数y＝f(x)图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的，然后再将其图像沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图像相同，求f(x)的表达式．
解：法一：正向变换
y＝f(x)y＝f(2x)
y＝f，即y＝f，
所以f＝sin 2x.令2x＋＝t，则2x＝t－，
所以f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
法二：逆向变换
据题意，y＝sin 2x
y＝sin 2＝sin
y＝sin.
[B.能力提升]
将函数y＝sin的图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图像向右平行移动个单位长度，得到的函数图像的一个对称中心是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A.将函数y＝sin的图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，便得到函数y＝sin，
再向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin 2x.经检验是该函数图像的一个对称中心．
2．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图像向右平移φ(φ>1)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则φ的值可以是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.将函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度，得g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]，
由题意得即
解得θ＝，φ＝－kπ或－－kπ(k∈Z)，结合选项取得φ＝.
为得到函数y＝cos x的图像，可以把y＝sin x的图像向右平移φ个单位长度得到，那么φ的最小正值是________．
解析：把y＝sin x的图像向右平移φ个单位长度，所得图像的解析式为
y＝sin (x－φ)＝cos
＝cos＝cos，
又所得图像为函数y＝cos x的图像，所以－－φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝－－2kπ(k∈Z)．令φ>0，即－－2kπ>0解得k<－，又k∈Z，所以当k＝－1时，φ取最小正值为－－2×(－1)×π＝.
答案：π
4．给出下列图像变换方法：
①图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；
②图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；
③图像向右平移个单位长度；
④图像向左平移个单位长度；
⑤图像向右平移个单位长度；
⑥图像向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图像变换为函数y＝sin的图像，那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可)．
解析：可以先平移，再伸缩，故可将y＝sin x的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，故变换序号为④②.也可先伸缩再平移，即先将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位长度，故变换序号为②⑥.
答案：④②或②⑥
5．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)，其图像向左平移个单位长度后，关于y轴对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)说明其图像是由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到的．
解：(1)将函数f(x)＝3sin (2x＋φ)图像上的所有点向左平移个单位长度后，所得图像的函数解析式为y＝3sin＝3sin.
因为图像平移后关于y轴对称，
所以2×0＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为φ∈，所以φ＝.
所以f(x)＝3sin.
(2)将函数y＝sin x的图像上的所有点向左平移个单位长度，所得图像的函数解析式为y＝sin，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图像，再把图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin的图像．
6．(选做题)设ω>0，若函数y＝sin＋2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，求ω的最小值．
解：将y＝sin＋2的图像向右平移个单位长度后，所得图像的函数解析式为
y＝sin＋2
＝sin＋2.
因为平移后的图像与原图像重合，
所以有＝2kπ(k∈Z)，即ω＝，
又因为ω>0，所以k≥1，
故ω＝≥.
故ω的最小值为.
第2课时
, 　　)
1．问题导航
(1)在物理学中，简谐运动的图像就是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)的图像，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？
(2)A，φ，ω对函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像有什么影响？
(3)利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期上的图像，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.
ωx＋φ
0

π
π
2π
x
y
2.例题导读
P53例5.通过本例学习，学会求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的最值及相应x值的集合．
试一试：教材P56习题1－8 A组T6你会吗？
P54例6.通过本例学习，学会求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
试一试：教材P55练习3T4你会吗？
1．简谐振动
简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，A叫作振幅，周期T＝，频率f＝，相位是ωx＋φ，初相是φ．
2．作y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图像的主要方法
(1)用“五点法”作图
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，则z取0，，π，π，2π求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．
(2)由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图像，主要有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
途径一：先平移后伸缩
y＝sin x
y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)．
途径二：先伸缩后平移
y＝sin x
y＝sin ωx
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)
注意：变换次序不同，平移的单位不同．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
奇偶性
φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；φ＝＋kπ(k∈Z)时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调性
递增区间可由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)得到，递减区间可由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(x∈Z)得到
4.函数图像的对称变换
一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到有关函数的图像，叫做函数的初等变换．
前面的平移、伸缩变换均属初等变换．
对称变换主要指下面几种，在此也一并整理，以便同学们系统掌握．
常见的图像变换的特点
(1)平移变换
y＝f(x)y＝f(x＋φ)
y＝f(x)y＝f(x－φ)
y＝f(x)y＝f(x)＋b
y＝f(x)y＝f(x)－b
(2)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ωx)
y＝f(x)y＝Af(x)
(3)对称变换
y＝f(x)y＝f(－x)
y＝f(x)y＝－f(x)
y＝f(x)y＝－f(－x)
(4)翻折变换
y＝f(x)y＝|f(x)|
y＝f(x)y＝f(|x|)
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.(　　)
(2)函数y＝2sin，x∈R的一个对称中心为.(　　)
(3)五点法作函数y＝2sin在一个周期上的简图时，第一个关键点为.(　　)
(4)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.(　　)
解析：(1)错误．根据函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质知，当A>0时，函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值为A，否则为－A.
(2)正确．当x＝时，y＝2sin＝0.
(3)错误．由＋＝0，得x＝－，所以第一个点为.
(4)错误．根据初相的定义知函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为－φ.
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．函数y＝sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，，　　　　　 B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，
解析：选B.由函数解析式知A＝，T＝＝6π，φ＝.
3．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图像如图所示，则(　　)
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝
解析：选C.因为T＝2×[3－(－1)]＝8，
所以ω＝＝＝，
又因为f(1)＝1，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
所以φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0≤φ<2π，所以φ＝.
4．利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图像时，其五点的坐标分别为，，，，，则A＝________，T＝________．
解析：由题知A＝，T＝2＝π.
答案：　π
1．用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图像的步骤
(1)作图时，通常把ωx＋φ看作整体，ωx＋φ依次取0，，π，π，2π.
(2)先由ωx＋φ＝0解出第一个x的值，依次加上，得后面x的取值．
(3)sin(ωx＋φ)的值依次为0，1，0，－1，0.
(4)y的值依次为0，A，0，－A，0.
(5)依x，y的取值，在坐标系中找出相应的点，用平滑的曲线连接这些点．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴、对称中心的求法
与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最高点且垂直于x轴，对称中心即图像与x轴的交点．
y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝(k∈Z)；
y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(k∈Z)成中心对称．
3．由y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质或部分图像确定解析式
解决问题的关键是确定参数A，ω，φ，基本方法是在观察图像的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图像的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)一般可由函数图像上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点横坐标之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)横坐标之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个“零点”作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个“零点”的位置，来确定φ.
　　　　　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
　
已知函数y＝3sin，x∈R.
(1)画出函数图像；
(2)求此函数的对称轴、对称中心、递增区间．
(链接教材P54例6)
[解]　(1)法一：按“五点法”，令2x＋分别取0，，π，，2π时，x相应取－，，，，的值，所对应的五点是函数y＝3sin，x∈的图像上起关键作用的点．
列表：
2x＋
0

π

2π
x
－




y
0
3
0
－3
0
描点画图，如图．
利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y＝3sin，x∈R的简图．
法二：变换法
从图可以看出，y＝3sin的图像，是用下面两种方法得到的．
①
y＝sin x的图像
y＝sin的图像
y＝sin的图像
y＝3sin的图像．
②
y＝sin x的图像
y＝sin 2x的图像
y＝sin ＝sin的图像y＝3sin的图像．
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得x＝＋(k∈Z)，
即函数的对称轴是直线x＝＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－(k∈Z)，
即对称中心为(k∈Z)．
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即该函数的递增区间为(k∈Z)．
　本例中的函数“y＝3sin”若换为“y＝2cos”，试用“五点法”作出该函数一个周期内的图像．
解：(1)列表：
x
－




2x＋
0

π

2π
y
2
0
－2
0
2
(2)描点．
(3)连线．
方法归纳
(1)用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的简图，先作变量代换，令X＝ωx＋φ，再用方程思想由X取0，，π，π，2π来确定对应的x值，最后根据x，y的值描点、连线画出函数的图像．
(2)在三角函数图像变换中，先平移后伸缩变换与先伸缩后平移变换是不一样的，应特别注意．这一变换过程体现了由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想．
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心和对称轴为：对称中心为图像与x轴的交点，对称轴为过图像的最高点或最低点与x轴垂直的直线．
1．(1)作出函数y＝2sin，x∈[0，π]的图像．
(2)①求函数y＝2sin＋1的递减区间；
②求函数y＝3cos－2的递增区间．
解：(1)①列表.
2x－π
－π
－
0

π
π
x
0




π
y
－
－2
0
2
0
－
②描点．
③连线．
(2)①由于函数y＝sin x的递减区间为(k∈Z)，所以2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求函数的递减区间为(k∈Z)．
②由于函数y＝cos x的递增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，所以2kπ－π≤x－≤2kπ，解得4kπ－≤x≤4kπ＋.
故所求函数的递增区间为(k∈Z)．
　　　　　　　求函数的最值及相应自变量的集合
　
求下列函数的最大值、最小值，以及取得最大值、最小值时相应x的集合．
(1)y＝－3sin 2x；
(2)f(x)＝2sin－3(ω>0)，最小正周期是π.
(链接教材P53例5)
[解]　(1)函数y＝－3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.
令z＝2x，使函数y＝－3sin z，z∈R取得最大值的z的集合是，则2x＝－＋2kπ，解得x＝－＋kπ，k∈Z.
因此使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最大值的x的集合是.
同理，使函数y＝－3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是.
(2)由T＝＝π，得ω＝2，所以f(x)＝
2sin－3，则函数f(x)的最大值为2－3＝－1，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，则x＝kπ＋，k∈Z，即自变量x的取值集合是；
函数f(x)的最小值为－2－3＝－5，此时2x＋＝2kπ－，k∈Z，则x＝kπ－，k∈Z，即自变量x的取值集合是.
方法归纳
对于求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的最大值、最小值问题，重点在于求解函数取得最大值、最小值时相应自变量x的取值集合，这时一定要把ωx＋φ看作一个整体，将其与函数y＝sin x(y＝cos x)相类比．当A>0，ω>0时，函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(y＝Acos(ωx＋φ)＋b)的最大值为A＋b，此时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，(ωx＋φ＝2kπ，k∈Z)，最小值为－A＋b，此时ωx＋φ＝－＋2kπ，k∈Z(ωx＋φ＝(2k＋1)π，k∈Z)；当A<0，ω>0时，也可以得出相应的结论．
2．(1)函数y＝最大值为________，最小值为________，取得最小值时相应自变量x的取值集合为________．
(2)已知函数f(x)＝sin.
①求f(x)的最小正周期；
②求f(x)在上的最大值和最小值．
解：(1)要使函数式有意义，需－cos≥0，即cos≤.根据余弦函数的有界性知，
－1≤cos≤1.即－1≤cos≤.
当cos＝－1时，ymax＝＝；
当cos＝，即＋＝2kπ＋或＋＝2kπ＋时，ymin＝0，解得x＝4kπ或x＝4kπ＋，k∈Z.故填和0和.
(2)①函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.
②因为0≤x≤，
所以－≤2x－≤.
由正弦函数的性质，知
当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值f(0)＝－.
因此，f(x)在上的最大值是1，最小值是－.
　　　　　　　由图像确定函数的解析式
　
如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一段，试确定其解析式．
(链接教材P56习题1－8 B组T1)
[解]　法一：“五点法”——第一零点法．
由图像知A＝3，T＝－＝π.
所以ω＝＝2，
所以y＝3sin(2x＋φ)．
因为点在函数图像上，(以此为“五点法”中的第一点)
所以0＝3sin(－×2＋φ)．
所以－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝.
所以y＝3sin.
法二：“五点法”——特殊点法．
易知A＝3，又因为图像过点，(以此为“五点”中的第三点、第五点)
所以解得
所以y＝3sin.
法三：图像变换法．
由A＝3，T＝π，点在图像上，可知函数图像由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，
所以y＝3sin ，即y＝3sin.
方法归纳
(1)三角函数中系数的确定方法
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分，确定A，ω，φ的方法．
①第一零点法：如果从图像可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
②特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
③图像变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图像平移规律确定相关的参数．
(2)A，ω，φ三个量中初相φ的确定是一个难点，除使用初始点外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ.
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的表达式、递增区间．
解：(1)由图知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.
(2)T＝，则ω＝2，
又x＝－时，y＝0，所以sin＝0，
而－<φ<，则φ＝，
所以函数f(x)的表达式为f(x)＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z.
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的递增区间为，k∈Z.
规范解答
正弦型函数的性质及应用
(本题满分12分)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，φ∈(0，π)，x∈R，同时满足：f(x)是偶函数，且关于对称，在上是单调函数，求函数f(x)．
[解]　因为f(x)是偶函数，
所以sin(ω·0＋φ)＝±1，
因为φ∈(0，π)，所以φ＝，3分
所以f(x)＝sin，
因为f(x)关于点对称，
所以ω＋＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－，k∈Z，6分
因为f(x)是偶函数且f(x)在上是单调函数，知≥.
即≥，所以0<ω≤2，9分
因为ω＝－，k∈Z，所以k＝1时，
ω＝，f(x)＝sin，
k＝2时，
ω＝2，f(x)＝sin.12分
[规范与警示]　(1)在处，如果思维不严谨，由sin x＝0直接得出x＝0而丢掉x＝kπ(k∈Z)，就会导致解题错误，造成失分．在处，既考虑函数在[0，]上的单调性，又考虑它是偶函数，再想到周期函数的周期，得到≥，这便缩小了ω的范围，这是关键的一步．对处的取值范围不完整或考虑不全面致使结果不完整而失分．
(2)一些常用性质在解题时往往起到关键作用，所以需要记住，如正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中，求对称轴时令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)；求对称中心时，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，如本例中根据对称轴，对称中心可求ω，φ.
对题目中的条件要认真分析，找出隐含的条件，如本例中函数y＝f(x)在上是单调函数，结合其偶函数的性质，可以得到有关函数周期的范围．
1．为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点(　　)
A．向左平行移动1个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动π个单位长度
D．向右平行移动π个单位长度
解析：选A.函数y＝sin(x＋1)相当于把函数y＝sin x中的x换成了x＋1，因此为了得到函数y＝sin(x＋1)的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点向左平行移动1个单位长度即可．
2．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　)
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝
解析：选D.因为函数f(x)的最小正周期是π，
所以T＝＝π，所以ω＝2.
因为f(0)＝2sin φ＝，所以sin φ＝.
又因为|φ|<，所以φ＝.
3.已知函数y＝f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________．
解析：由图像可得函数f(x)的最小正周期为，
所以T＝＝，所以ω＝.
答案：
4．函数y＝2sin在[0，π]上的递减区间是________．
解析：由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
因为x∈[0，π]，所以函数y＝2sin在[0，π]上的递减区间是.
答案：
, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
函数y＝2sin＋1的最大值是(　　)
A．1　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C.函数y＝2sin＋1的最大值为2＋1＝3.
函数y＝－sin图像上距离原点最近的一个对称中心的坐标是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A.令4x＋＝kπ，
则x＝－＋(k∈Z)．
当k＝0时，x＝－；当k＝1时，x＝.
所以点为所求．
3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则点P(ω， φ)的坐标为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.因为＝－＝，所以T＝π，因此ω＝＝＝2.又因为f＝－1，即2×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为0<φ≤，所以φ＝，故P.
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
解析：选A.由图知A＝1，T＝π，所以＝π，所以ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ)，把点代入得φ＝，
所以函数y＝sin，所以要想得到函数y＝sin的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变．
设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图像关于直线x＝对称
B．f(x)的图像关于点对称
C．把f(x)的图像向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图像
D．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
解析：选C.对于A，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)，而x＝不符合条件，故A错；对于B，f＝sin＝≠0，所以点不是f(x)的对称中心，故B错；对于C，把f(x)的图像向左平移个单位长度可得y＝sin＝sin＝cos 2x，而y＝cos 2x是偶函数，故C正确；对于D，易知f(x)的最小正周期为π，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，而不符合上面的关系式，故D错．
函数y＝2sin的值域是________．
解析：因为－≤x≤，所以－≤x－≤，
所以－1≤sin≤，故y∈[－2，1]．
答案：[－2，1]
函数y＝sin 2x的图像向右平移φ个单位长度(φ>0)得到的图像恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．
解析：向右平移后得到y＝sin [2(x－φ)]，而x＝是对称轴，即2＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝－(k∈Z)．当k＝－1时，φ＝π.
答案：π
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，且此函数的图像如图所示，将其图像向右平移k(k>0)个单位长度后，所得图像关于y轴对称，则k的最小值是________．
解析：函数f(x)的周期为T，则＝－＝，T＝π，ω＝2，将点代入解析式得φ＝，将f(x)的图像向右平移k(k>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin＝sin，由其图像关于y轴对称知g(x)是偶函数，故－2k＝＋mπ(m∈Z)，k＝－－π，k>0，当m＝－1时，k取得最小值，最小值是.
答案：π
某简谐运动的图像对应的函数解析式为：
y＝sin.
(1)指出此简谐运动的周期、振幅、频率、相位和初相；
(2)利用“五点法”作出函数在一个周期(闭区间)上的简图；
(3)说明它是由函数y＝sin x的图像经过哪些变换而得到的．
解：(1)周期：π；振幅：；
频率：；相位：2x－；初相：－.
(2)第一步：列表
x





2x－
0

π

2π
sin
0
1
0
－1
0
y
0

0
－
0
第二步：描点．
第三步：连线画出图像如图所示：
(3)①先将函数y＝sin x的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短至原来的一半得到函数y＝sin 2x的图像；
②再将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图像；
③最后再将函数y＝sin的图像上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍得到函数y＝sin的图像．
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出函数f(x)的图像的所有的对称中心；
(2)若函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点P(4，0)对称，求g(x)的递增区间．
解：(1)由图像可知A＝，T＝16，ω＝，将(－2，0)代入解析式可求得φ＝，故f(x)＝sin，函数f(x)的图像的对称中心为(8k－2，0)(k∈Z)．
(2)设f(x)图像上任一点P1(x1，y1)关于点P(4，0)的对称点为P(x，y)，则即
因为y1＝f(x1)，y＝g(x)，所以f(x1)＝－g(x)，
所以g(x)＝－f(8－x)＝－sin
＝－sin
＝sin.令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，16k＋6≤x≤16k＋14(k∈Z)，即g(x)的递增区间为[16k＋6，16k＋14](k∈Z)．
[B.能力提升]
在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的函数有(　　)
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
解析：选C.①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.
②由图像知，函数的周期T＝π.
③T＝π.
④T＝.
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图像如图所示，则函数y的解析式是(　　)
A．y＝sin＋1
B．y＝sin－1
C．y＝sin＋1
D．y＝sin－1
解析：选A.由＝π－＝，所以T＝π，
所以ω＝＝2，A＝＝，k＝＝1.
由＝sin＋1，
得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝.
所以y＝sin＋1.
设函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
解析：若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)≤f(x)min且f(x2)≥f(x)max，当且仅当f(x1)＝f(x)min，f(x2)＝f(x)max时，|x1－x2|的最小值为f(x)＝2sin的半个周期，即|x1－x2|min＝×＝2.
答案：2
4．若将函数f(x)＝3sin的图像向右平移φ个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
解析：因为函数f(x)＝3sin的图像向右平移φ个单位长度得到g(x)＝3sin＝3sin，
又因为g(x)是偶函数，所以－3φ＝kπ＋(k∈Z)．
所以φ＝－－(k∈Z)．
当k＝－1时，φ取得最小正值.
答案：
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将所得到的图像向x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期上的图像．
解：(1)由已知，易得A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，所以ω＝.
把(0，1)代入解析式f(x)＝2sin，得2sin φ＝1.
又|φ|<，解得φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin，再平移得g(x)＝2sin＝2sin.
列表
x





x－
0

π

2π
2sin
0
2
0
－2
0
图像如图：
6．(选做题)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像经过点P，图像上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)指出函数的递增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解：(1)由题意得A＝5，周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，所以y＝5sin(2x＋φ)，因为图像过点Q，所以5sin ＝5，因为|φ|<，所以φ＝－，所以y＝5sin.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数的递增区间为，k∈Z.
(3)由题意得5sin≤0，所以2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以使y≤0的x的取值范围是，k∈Z.
课件39张PPT。§8　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
第1课时第一章　三 角 函 数2．例题导读
P43例1.通过本例学习，学会分析A对函数y＝Asin x(A>0)及其图像的影响，掌握振幅的概念．
试一试：教材P47练习1T1你会吗？
P45例2.通过本例学习，学会分析φ对函数y＝sin(x＋φ)及其图像的影响，掌握初相和相位的概念．
试一试：教材P47练习1T2你会吗？
P47例3.通过本例学习，学会分析ω对函数y＝sin ωx(ω>0)及其图像的影响，并掌握频率的概念．
试一试：教材P53练习2T1你会吗？
P50例4.通过本例学习，学会由函数y＝sin x的图像画出函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像的方法．
试一试：教材P53练习2T3你会吗？1．A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的影响
(1)在函数y＝Asin x(A>0)中，A决定了函数的_________以及函数的最大值和最小值，通常称A为____________．
(2)在函数y＝sin(x＋φ)中，φ决定了x＝0时的___________，通常称φ为_______，x＋φ为_______．
值域振幅函数值初相相位频率左右|φ|缩短伸长不变伸长缩短A[－A，A]A－A√××√AC三角函数图像的平移变换C三角函数图像的伸缩变换CCCD本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
要得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin 2x的图像(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选D.y＝sin＝sin，所以要得到函数y＝sin的图像，只需将y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度．
为得到函数y＝sin的图像，只需将函数y＝sin的图像(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选B.由y＝sin＝sin
知向右平移个单位长度．
3．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值是(　　)
A.　　　　　　　 B．1
C. D．2
解析：选D.函数f(x)＝sin ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin (其中ω>0)，将代入得sin ＝0，所以＝kπ(k∈Z)，故得ω的最小值是2.
4．给出几种变换：①横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；②横坐标缩小为原来的，纵坐标不变；③向左平移个单位长度；④向右平移个单位长度；⑤向左平移个单位长度；⑥向右平移个单位长度，则由函数y＝sin x的图像得到y＝sin的图像，可以实施的方案是(　　)
A．①→③ B．②→③
C．②→④ D．②→⑤
解析：选D.由y＝sin x的图像到y＝sin的图像可以先平移变换再周期变换，即③→②；也可以先周期变换再平移变换，即②→⑤.
将函数y＝sin x的图像向右平移个单位长度后再把图像各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图像的函数解析式为(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：选C.y＝sin xy＝siny＝sin.
将函数y＝sin 4x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图像，则φ的值为________．
解析：将函数y＝sin 4x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin，所以φ的值为.
答案：
把y＝sin x的图像上所有点的横坐标和纵坐标都缩短为原来的，得到________的图像．
解析：将y＝sin x的图像横坐标缩短为原来的得y＝sin 3x的图像，纵坐标再缩短为原来的得到y＝sin 3x的图像．
答案：y＝sin 3x
某同学给出了以下论断：
①将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度，得到y＝－sin x的图像；
②将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度，可得到y＝sin(x＋2)的图像；
③将y＝sin (－x)的图像向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图像；
其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)．
解析：将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x，所以①正确；
将y＝sin x的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin(x－2)，所以②不正确；
将y＝sin(－x)的图像向右平移2个单位长度所得图像的解析式为y＝sin[－(x＋2)]＝sin(－x－2)，所以③正确．
答案：①③
函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π个单位长度所得的曲线是y＝sin x的图像，试求y＝f(x)的解析式．
解：将y＝sin x的图像向右平移π个单位长度得：
y＝sin，化简得y＝－sin x.
再将y＝－sin x的图像上的横坐标压缩为原来的(纵坐标不变)得：y＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x.
使函数y＝f(x)图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的，然后再将其图像沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图像相同，求f(x)的表达式．
解：法一：正向变换
y＝f(x)y＝f(2x)
y＝f，即y＝f，
所以f＝sin 2x.令2x＋＝t，则2x＝t－，
所以f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
法二：逆向变换
据题意，y＝sin 2x
y＝sin 2＝sin
y＝sin.
[B.能力提升]
将函数y＝sin的图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图像向右平行移动个单位长度，得到的函数图像的一个对称中心是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A.将函数y＝sin的图像上各点的横坐标伸长为原来的3倍，便得到函数y＝sin，
再向右平移个单位，得到函数y＝sin＝sin 2x.经检验是该函数图像的一个对称中心．
2．将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图像向右平移φ(φ>1)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P，则φ的值可以是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.将函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度，得g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]，
由题意得即
解得θ＝，φ＝－kπ或－－kπ(k∈Z)，结合选项取得φ＝.
为得到函数y＝cos x的图像，可以把y＝sin x的图像向右平移φ个单位长度得到，那么φ的最小正值是________．
解析：把y＝sin x的图像向右平移φ个单位长度，所得图像的解析式为
y＝sin (x－φ)＝cos
＝cos＝cos，
又所得图像为函数y＝cos x的图像，所以－－φ＝2kπ(k∈Z)，得φ＝－－2kπ(k∈Z)．令φ>0，即－－2kπ>0解得k<－，又k∈Z，所以当k＝－1时，φ取最小正值为－－2×(－1)×π＝.
答案：π
4．给出下列图像变换方法：
①图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；
②图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；
③图像向右平移个单位长度；
④图像向左平移个单位长度；
⑤图像向右平移个单位长度；
⑥图像向左平移个单位长度．
请用上述变换中的两种变换，将函数y＝sin x的图像变换为函数y＝sin的图像，那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可)．
解析：可以先平移，再伸缩，故可将y＝sin x的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，故变换序号为④②.也可先伸缩再平移，即先将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位长度，故变换序号为②⑥.
答案：④②或②⑥
5．已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)，其图像向左平移个单位长度后，关于y轴对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)说明其图像是由y＝sin x的图像经过怎样的变换得到的．
解：(1)将函数f(x)＝3sin (2x＋φ)图像上的所有点向左平移个单位长度后，所得图像的函数解析式为y＝3sin＝3sin.
因为图像平移后关于y轴对称，
所以2×0＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
因为φ∈，所以φ＝.
所以f(x)＝3sin.
(2)将函数y＝sin x的图像上的所有点向左平移个单位长度，所得图像的函数解析式为y＝sin，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin的图像，再把图像上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，即得函数y＝3sin的图像．
6．(选做题)设ω>0，若函数y＝sin＋2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合，求ω的最小值．
解：将y＝sin＋2的图像向右平移个单位长度后，所得图像的函数解析式为
y＝sin＋2
＝sin＋2.
因为平移后的图像与原图像重合，
所以有＝2kπ(k∈Z)，即ω＝，
又因为ω>0，所以k≥1，
故ω＝≥.
故ω的最小值为.
课件66张PPT。第2课时第一章　三 角 函 数1．问题导航
(1)在物理学中，简谐运动的图像就是函数y＝Asin(ωx＋
φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)的图像，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等，你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗？
(2)A，φ，ω对函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像有什么影响？2.例题导读
P53例5.通过本例学习，学会求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b的最值及相应x值的集合．
试一试：教材P56习题1－8 A组T6你会吗？
P54例6.通过本例学习，学会求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
试一试：教材P55练习3T4你会吗？Aωx＋φφ注意：变换次序不同，平移的单位不同．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
[－A，A]kπ(k∈Z)非奇非偶√×××BCπ函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像求函数的最值及相应自变量的集合0由图像确定函数的解析式AD本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
函数y＝2sin＋1的最大值是(　　)
A．1　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选C.函数y＝2sin＋1的最大值为2＋1＝3.
函数y＝－sin图像上距离原点最近的一个对称中心的坐标是(　　)
A. B．
C. D．
解析：选A.令4x＋＝kπ，
则x＝－＋(k∈Z)．
当k＝0时，x＝－；当k＝1时，x＝.
所以点为所求．
3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则点P(ω， φ)的坐标为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B.因为＝－＝，所以T＝π，因此ω＝＝＝2.又因为f＝－1，即2×π＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又因为0<φ≤，所以φ＝，故P.
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
解析：选A.由图知A＝1，T＝π，所以＝π，所以ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ)，把点代入得φ＝，
所以函数y＝sin，所以要想得到函数y＝sin的图像，只要将y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变．
设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图像关于直线x＝对称
B．f(x)的图像关于点对称
C．把f(x)的图像向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图像
D．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
解析：选C.对于A，令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，即函数f(x)的对称轴为x＝＋(k∈Z)，而x＝不符合条件，故A错；对于B，f＝sin＝≠0，所以点不是f(x)的对称中心，故B错；对于C，把f(x)的图像向左平移个单位长度可得y＝sin＝sin＝cos 2x，而y＝cos 2x是偶函数，故C正确；对于D，易知f(x)的最小正周期为π，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，而不符合上面的关系式，故D错．
函数y＝2sin的值域是________．
解析：因为－≤x≤，所以－≤x－≤，
所以－1≤sin≤，故y∈[－2，1]．
答案：[－2，1]
函数y＝sin 2x的图像向右平移φ个单位长度(φ>0)得到的图像恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．
解析：向右平移后得到y＝sin [2(x－φ)]，而x＝是对称轴，即2＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝－(k∈Z)．当k＝－1时，φ＝π.
答案：π
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，且此函数的图像如图所示，将其图像向右平移k(k>0)个单位长度后，所得图像关于y轴对称，则k的最小值是________．
解析：函数f(x)的周期为T，则＝－＝，T＝π，ω＝2，将点代入解析式得φ＝，将f(x)的图像向右平移k(k>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin＝sin，由其图像关于y轴对称知g(x)是偶函数，故－2k＝＋mπ(m∈Z)，k＝－－π，k>0，当m＝－1时，k取得最小值，最小值是.
答案：π
某简谐运动的图像对应的函数解析式为：
y＝sin.
(1)指出此简谐运动的周期、振幅、频率、相位和初相；
(2)利用“五点法”作出函数在一个周期(闭区间)上的简图；
(3)说明它是由函数y＝sin x的图像经过哪些变换而得到的．
解：(1)周期：π；振幅：；
频率：；相位：2x－；初相：－.
(2)第一步：列表
x





2x－
0

π

2π
sin
0
1
0
－1
0
y
0

0
－
0
第二步：描点．
第三步：连线画出图像如图所示：
(3)①先将函数y＝sin x的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短至原来的一半得到函数y＝sin 2x的图像；
②再将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图像；
③最后再将函数y＝sin的图像上的点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍得到函数y＝sin的图像．
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出函数f(x)的图像的所有的对称中心；
(2)若函数g(x)的图像与f(x)的图像关于点P(4，0)对称，求g(x)的递增区间．
解：(1)由图像可知A＝，T＝16，ω＝，将(－2，0)代入解析式可求得φ＝，故f(x)＝sin，函数f(x)的图像的对称中心为(8k－2，0)(k∈Z)．
(2)设f(x)图像上任一点P1(x1，y1)关于点P(4，0)的对称点为P(x，y)，则即
因为y1＝f(x1)，y＝g(x)，所以f(x1)＝－g(x)，
所以g(x)＝－f(8－x)＝－sin
＝－sin
＝sin.令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，16k＋6≤x≤16k＋14(k∈Z)，即g(x)的递增区间为[16k＋6，16k＋14](k∈Z)．
[B.能力提升]
在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的函数有(　　)
A．②④ B．①③④
C．①②③ D．①③
解析：选C.①y＝cos|2x|＝cos 2x，T＝π.
②由图像知，函数的周期T＝π.
③T＝π.
④T＝.
综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图像如图所示，则函数y的解析式是(　　)
A．y＝sin＋1
B．y＝sin－1
C．y＝sin＋1
D．y＝sin－1
解析：选A.由＝π－＝，所以T＝π，
所以ω＝＝2，A＝＝，k＝＝1.
由＝sin＋1，
得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝.
所以y＝sin＋1.
设函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
解析：若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则f(x1)≤f(x)min且f(x2)≥f(x)max，当且仅当f(x1)＝f(x)min，f(x2)＝f(x)max时，|x1－x2|的最小值为f(x)＝2sin的半个周期，即|x1－x2|min＝×＝2.
答案：2
4．若将函数f(x)＝3sin的图像向右平移φ个单位长度，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
解析：因为函数f(x)＝3sin的图像向右平移φ个单位长度得到g(x)＝3sin＝3sin，
又因为g(x)是偶函数，所以－3φ＝kπ＋(k∈Z)．
所以φ＝－－(k∈Z)．
当k＝－1时，φ取得最小正值.
答案：
5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0，2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将所得到的图像向x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期上的图像．
解：(1)由已知，易得A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，所以ω＝.
把(0，1)代入解析式f(x)＝2sin，得2sin φ＝1.
又|φ|<，解得φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin，再平移得g(x)＝2sin＝2sin.
列表
x





x－
0

π

2π
2sin
0
2
0
－2
0
图像如图：
6．(选做题)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像经过点P，图像上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)指出函数的递增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
解：(1)由题意得A＝5，周期T＝4×＝π，故ω＝＝2，所以y＝5sin(2x＋φ)，因为图像过点Q，所以5sin ＝5，因为|φ|<，所以φ＝－，所以y＝5sin.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数的递增区间为，k∈Z.
(3)由题意得5sin≤0，所以2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以使y≤0的x的取值范围是，k∈Z.
课件43张PPT。§9　三角函数的简单应用第一章　三 角 函 数1．问题导航
(1)如图为电流强度I与时间t的函数关系的图像，根据图像探求下面的问题：
由图知电流强度I与时间t的函数关系式是哪种类型的函数？
(2)结合三角函数的周期性，思考下列物理方面的知识，哪些可以用三角函数模型解决？
①单摆；②简谐振动；③机械波；④电磁学；⑤力学．
(3)应用三角函数模型需注意什么？
2．例题导读
P58例．通过本例学习，学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型，进而解决实际问题．
试一试：教材P59练习你会吗？1．三角函数模型
周期现象是自然界中最常见的现象之一，_________是研究周期现象最重要的数学模型．
2．建立三角函数模型的步骤
三角函数DC1.09×10－8 s9.15×107 Hz应用函数模型解题构建函数模型解题方法归纳
建立三角函数模型解决实际问题的步骤
第一步，阅读理解，审清题意．
第二步，搜集整理数据，建立函数模型．
第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，求得结果．
第四步，将所得结论转译成实际问题的答案．BAA本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放§9　三角函数的简单应用
, 　　)
1．问题导航
(1)如图为电流强度I与时间t的函数关系的图像，根据图像探求下面的问题：
由图知电流强度I与时间t的函数关系式是哪种类型的函数？
(2)结合三角函数的周期性，思考下列物理方面的知识，哪些可以用三角函数模型解决？
①单摆；②简谐振动；③机械波；④电磁学；⑤力学．
(3)应用三角函数模型需注意什么？
2．例题导读
P58例．通过本例学习，学会从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型，进而解决实际问题．
试一试：教材P59练习你会吗？
1．三角函数模型
周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型．
2．建立三角函数模型的步骤
1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为：s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)
A．2π s　　　　　　 B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析：选D.T＝＝1.
2．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)
A．60 B．70
C．80 D．90
解析：选C.因为T＝＝，所以f＝＝80.
3．用作调频无线电信号的载波以y＝asin(1.83×108 πt)为模型，其中t的单位是秒，则此载波的周期为________，频率为________．
解析：T＝＝≈1.09×10－8(s)．
f＝＝9.15×107(Hz)．
答案：1.09×10－8 s　9.15×107 Hz
4．如图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的函数解析式是________．
解析：不妨设所求解析式为y＝Asin(ωt＋φ)，(A＞0，ω＞0)，则A＝2，＝0.8，ω＝，
由于图像过点(0，)，
所以2sin φ＝，
结合图像可取φ＝，
故y＝2sin.
答案：y＝2sin
解答三角函数应用题的基本步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、回归实际问题．
(1)审题
审题是解题的基础，它包括阅读理解、翻译、挖掘等，通过阅读，真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质，初步预测所属数学模型，有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语，要仔细阅读，准确把握，同时，在阅读过程中，注意挖掘一些隐含条件．
(2)建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将试题中的非数学语言转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系——建立三角函数模型．这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题要求，这样便将实际问题转化成了纯数学问题．
(3)解模
运用三角函数的有关公式进行推理、运算，使问题得到解决．
(4)回归实际问题
应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学科学，又要符合实际背景，因此，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判．

　　　　　　　应用函数模型解题
估计某一天的白昼时间的小时数D(t)的解析式是D(t)＝sin＋12，其中t表示某天的序号，t＝0表示1月1日，依此类推，常数k与某地所处的纬度有关．
(1)若在波士顿，k＝6，试作出函数D(t)在0≤t≤365时的图像；
(2)在波士顿，哪一天的白昼时间最长？哪一天最短？
(3)估计在波士顿一年中白昼超过10.5小时的天数．
(链接教材P60习题1－9A组T1、T2、T3)
[解]　(1)当k＝6时，D(t)＝3sin＋12.
设f(t)＝3sin，利用“五点法”，列出下表：
t
79
170
262
353
444
f(t)
0
3
0
－3
0
描点并连线，作出f(t)＝3sin的简图，如虚线图．若t＝0，
f(0)＝3sin
≈3sin(－1.36)≈－2.9.
因为f(t)的周期为365，所以f(365)≈－2.9.
将y＝f(t)，t∈[0，365]的图像向上平移12个单位长度，得到y＝D(t)的图像，如实线图．
(2)因为k＝6，所以D(t)＝3sin＋12.白昼时间最长的一天，即D(t)取得最大值的一天，此时t＝170，对应的是6月20日(闰年除外)．类似地，t＝353时，D(t)取得最小值，即12月20日白昼时间最短．
(3)由D(t)>10.5，即3sin＋12>10.5，
得sin>－，t∈[0，365]，
所以49即约有242天的白昼时间超过10.5小时．
方法归纳
(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)，最大值为A＋b，最小值为b－A.
(2)解答有关实际问题时，一定要明确各个变量所代表的实际意义，同时自变量的取值范围要符合实际意义．
1．(1)已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]．
①求该地区这一段时间内温度的最大温差；
②若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
(2)
如图所示是一个半径为10个单位长度的水轮，水轮的圆心离水面7个单位长度．已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点P到水面的距离d与时间t满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为＝sin .
①求正弦曲线的振幅；
②正弦曲线的周期是多少？
③如果从P点在水中浮现时开始计算时间，写出有关d与t的关系式；
④P点第一次到达最高点大约要多少秒？
解：(1)①x∈[4，16]，则x－∈.由函数图像易知，当x－＝，即x＝14时，函数取最大值即最高温度为30 ℃，当x－＝－，即x＝6时，函数取最小值即最低温度为10 ℃，所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
②令10sin＋20＝15，可得sin＝－，而x∈[4，16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4，16]，所以x＝.
故该细菌的存活时间为－＝(小时)．
(2)①A＝r＝10；
②T＝＝15(s)；
③由＝sin，得d＝bsin＋k.
又b＝A＝10，T＝＝2πa＝15，所以a＝.
因为圆心距水面7个单位长度，
所以k＝7.
所以d＝10sin＋7.
将t＝0，d＝0代入上式，得sin＝0.7，
由计算器计算得h≈0.775，所以h≈1.85.
所以d＝10sin＋7.
④P点第一次到达最高点时，d＝17，代入③中的解析式得17＝10sin＋7.
即sin＝1，所以＝，解得t＝5.6 s.
　　　　　　　构建函数模型解题　
游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O距地面40.5 m，半径40 m．若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5 min后到达最高点．从你登上摩天轮时开始计时，请解答下列问题．
(1)能求出你与地面的距离y与时间t的函数解析式吗？
(2)当你登上摩天轮8 min后，你与地面的距离是多少？
(3)当你第一次距地面30.5 m时，用了多长时间？
(4)当你第四次距地面30.5 m时，用了多长时间？
(链接教材P58例)
[解]　(1)如图所示，O是摩天轮中心，作ON垂直地面于N，交轮于P，ON＝40.5 m，OP＝40 m．由题意可知，t＝0时，你在摩天轮的P点，经过t min，旋转到P1处，P1到地面的距离为P1M＝y.作P1Q垂直OP于Q.因为人从最低点旋转到最高点需5 min，所以摩天轮的旋转速度为 rad/min，经过t min时间摩天轮旋转的角度是t rad，即∠P1ON＝t rad.　
由图不难看出：
y＝P1M＝ON－OQ
＝40.5－OP1cos∠P1OQ
＝40.5－40cos
＝40.5＋40sin.
即所求函数的解析式为
y＝40sin＋40.5.
(2)令t＝8，得y＝40sin＋40.5≈28.14，即登上摩天轮8 min后与地面的距离约为28.14 m.
(3)令y＝30.5，得40sin＝－10，即cos t＝0.25，得t≈2.1，即当第一次距地面30.5 m时，用了约2.1 min.
(4)当第二次距地面30.5 m时，用了约10－2.1＝7.9 min.当第四次距地面30.5 m时，用了10＋7.9＝17.9 min.
　当你登上摩天轮100 s后，你的朋友也在摩天轮的最低处登上摩天轮．问你的朋友登上摩天轮多少时间后，第一次出现你和你的朋友与地面的距离之差最大？求出这个最大值．
解：当你的朋友离地面高度为y2＝40sin＋40.5＝－40cost＋40.5时，
由于100 s＝min，这时你自己离地面的高度为
y1＝－40cos＋40.5.
所以y1－y2＝40.
当两人所处位置的连线垂直于地面时，距离之差最大，此时t＝.
即当你的朋友登上摩天轮min＝100 s后，第一次出现你和你的朋友与地面的距离之差最大，这个最大值为40 m.
方法归纳
建立三角函数模型解决实际问题的步骤
第一步，阅读理解，审清题意．
第二步，搜集整理数据，建立函数模型．
第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答，求得结果．
第四步，将所得结论转译成实际问题的答案．
2．(1)如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低点处．
①试确定在时刻t分时P点距离地面的高度y；
②在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间P点距离地面超过70 m?
(2)某公司的职工活动室全天对职工开放，工作人员经过长期统计而得到的一天中从0时到24时记录的时间t(小时)与到活动室活动人数y的关系如下表：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(人)
100
150
100
50
100
120
100
50
100
①选用一个函数模型来近似描述这个活动室的活动人数y与时间t的函数关系；
②若活动室的活动人数达到140人时需工作人员进入活动室帮助管理，该工作人员应何时进入活动室？每天在活动室需要工作多长时间？
解：(1)①由题意得y＝40sin＋50.
②令40sin＋50＞70，
所以sin＞，
所以2kπ＋＜t－＜2kπ＋(k∈Z)，
所以2kπ＋＜t＜2kπ＋(k∈Z)，
所以3k＋1＜t＜3k＋2(k∈Z)．令k＝0得1＜t＜2.
因此，约有1分钟时间P点距离地面超过70 m.
(2)①以时间t为横坐标、人数y为纵坐标在直角坐标系中画出散点图，如图，根据图像，可以考虑用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b来反映人数与时间之间的对应关系．从数据和图像可以得出：A＝50，b＝100，T＝12，φ＝0.由T＝＝12，得ω＝.
所以这个活动室的活动人数y与时间t的函数关系式为y＝50sin ＋100.
②由y≥140，即y＝50sin ＋100≥140，得sin ≥，若sin ＝，在[0，24]内可得t1＝1.8，t2＝6－1.8＝4.2，t3＝12＋1.8＝13.8，t4＝12＋6－1.8＝16.2，所以工作人员应当在t1＝1.8时即凌晨1点48分左右和t3＝13.8即下午1点48分左右进入活动室．每天在活动室需要工作的时间为t2－t1＋t4－t3＝2.4＋2.4＝4.8(小时)．
思想方法
转化与化归思想
下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏).
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
　　以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据．
①＝cos；②＝cos；
③＝cos；④＝sin.
[解]　(1)(2)如图所示．
(3)1月份的气温最低为21.4，7月份的气温最高为73.0，根据图知，＝7－1＝6，所以T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，
所以A＝25.8.
(5)因为x＝月份－1，
所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得＝＞1≠cos，所以①错误；
代入②，得＝＜0≠cos，
所以②错误；同理④错误，所以四个模型中③最适合这些数据．
[感悟提高]　(1)利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问题，其实施的过程就是转化与化归．根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．
(2)三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意的几点
①反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质；
②充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量；
③结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论．
1．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是(　　)
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
解析：选B.由图知，该质点的振幅为5 cm.
2.如图所示为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则(　　)
A．ω＝，A＝3　　　　　 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：选A.因为T＝＝15，所以ω＝＝.
又ymax＝5，所以A＝3.
3．已知简谐运动f(x)＝2sin的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
A．T＝6，φ＝　　　　 B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
解析：选A.T＝＝＝6，将点(0，1)代入方程，有sin φ＝.因为－＜φ＜，所以φ＝.
, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至(　　)
A．甲　　　　　　　　 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.
2．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D.因为周期T＝，所以＝＝2π，则l＝.
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)
A．[0，5] B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
解析：选C.由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z.当k＝1时，得t∈[3π，5π]，
而[10，15]?[3π，5π]，故在[10，15]上是增加的．
4．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图像可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图像，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
A．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0，24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0，24]
解析：选A.将t＝0及t＝3分别代入给定的四个选项A，B，C，D中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.
5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是(　　)
解析：选C.由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝Rsin ，所以d＝2Rsin ＝2Rsin ，又R＝1，所以d＝2sin ，故结合正弦图像可知，选C.
6.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．
解析：t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.
答案：，
7．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0，0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________．
解析：图中从6时到14时的图像是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像．
所以·＝14－6，解得ω＝，
由图知A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20，
这时y＝10sin＋20，
将x＝6，y＝10代入上式可取φ＝π.
综上所求的解析式为
y＝10sin＋20，x∈[6，14]．
答案：y＝10sin＋20，x∈[6，14]
8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针匀速地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．
解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了 t弧度，如图所示，(1)当t＝0时，d＝0，(2)当0＜t＜30时，由sin ＝，所以d＝10sin ；(3)当t＝30时，d＝10；(4)当30＜t＜60时，sin＝，
即sin＝，
所以d＝10sin＝10sin；(5)当t＝60时，d＝0.
综上可知当0≤t≤60时，均有d＝10sin.
答案：10sin 
9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律．如图所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O距离为r cm，求气针P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期，当φ＝，r＝ω＝1时，说明其图像与函数y＝sin t图像有什么关系？
解：过P作x轴的垂线(图略)，设垂足为M，则MP就是正弦线．
所以y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝.
当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin，其图像是将y＝sin t的图像向左平移个单位长度得到的，如图所示．
10．生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).
时间(时)
温度(℃)
0
36.8
2
36.7
4
36.6
6
36.7
8
36.8
10
37
12
37.2
14
37.3
16
37.4
18
37.3
20
37.2
22
37
24
36.8
(1)在直角坐标系中以时间为横轴，温度为纵轴，描述以上数据组对应的点的图像；
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据；
(3)作出(2)中所选函数的图像．
解：(1)图像如下．
(2)设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋c，则c＝＝37，A＝＝0.4，ω＝＝＝.
由0.4sin＋37＝37.4，得
sin＝1，取φ＝－.
故可用函数y＝0.4sin＋37来近似描述这些数据．
(3)图像如下．
[B.能力提升]
1.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致是(　　)
解析：选C.因为P0(，－)，所以∠P0Ox＝，按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin，
所以d＝2，
当t＝0时，d＝，排除A，D；
当t＝时，d＝0，排除B.
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N＋)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
解析：选A.由得
又T＝2(7－3)＝8.
所以ω＝＝＝，
所以f(x)＝2sin＋7，
由f(3)＝9，得sin＝1.
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又因为|φ|<，
所以φ＝－，所以f(x)＝2sin＋7.
3.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边△ABC，设∠AOB＝x时，S四边形OACB等于________．
解析：如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC.过点B作BD⊥MN于D，
则BD＝BOsin(π－x)，即BD＝sin x.
所以S△AOB＝×2sin x＝sin x.
因为OD＝BOcos(π－x)＝－cos x，
所以AB2＝BD2＋AD2
＝sin2x＋(－cos x＋2)2＝5－4cos x.
所以S△ABC＝AB·ABsin 60°＝－cos x.
所以S四边形OACB＝sin x－cos x＋.
答案：sin x－cos x＋
4．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|＝3，P0为圆周上一点，且∠AOP0＝，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．
(1)1秒钟后，点P的横坐标为________．
(2)t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为________________________________________________________________________．
解析：(1)1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为－.
(2)由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，
则此时点P的横坐标为2cos，
所以点P到直线l的距离为
3－2cos，t≥0.
答案：(1)－　(2)3－2cos(t≥0)
5.
一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：
(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；
(2)点P的运动周期和频率；
(3)如果ω＝ rad/s，l＝2，φ＝，试求y的最值；
(4)在(3)中，试求小球到达x轴的非负半轴所需的时间．
解：(1)y＝lsin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．
(2)由解析式得，周期T＝，频率f＝＝.
(3)将ω＝ rad/s，l＝2，φ＝代入解析式，
得到y＝2sin，t∈[0，＋∞)．
得最小正周期T＝＝＝12.
当t＝12k＋1.5，k∈N时，ymax＝2，
当t＝12k＋7.5，k∈N时，ymin＝－2.
(4)设小球经过时间t后到达x轴非负半轴，
令t＋＝2π，得t＝10.5，
所以当t∈[0，＋∞)时，t＝12k＋10.5，k∈N，
所以小球到达x轴非负半轴所需要的时间为10.5＋12k，k∈N.
6．(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24 单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据平均值如下表：
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.4
1.0
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
(1)试画出散点图；
(2)观察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段．
解：(1)散点图如图．
(2)由散点图可知，选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b函数模型较为合适．
由图可知A＝1.4－1.0＝0.4＝，T＝12，b＝1，ω＝＝，
此时解析式为y＝sin＋1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有×0＋φ＝0，所以φ＝0.
所求函数的解析式为y＝sin＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝sin＋1≥(0≤t≤24)，
得sin≥－，
则－＋2kπ≤≤＋2kπ，(k∈Z)，
得－1＋12k≤t≤7＋12k，(k∈Z)．
令k＝0，1，2，
从而得0≤t≤7或11≤t≤19，或23≤t≤24，
所以应在白天11时～19时进行训练．
, 　　[学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将传播至(　　)
A．甲　　　　　　　　 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选C.相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C.
2．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D.因为周期T＝，所以＝＝2π，则l＝.
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)
A．[0，5] B．[5，10]
C．[10，15] D．[15，20]
解析：选C.由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π，k∈Z.当k＝1时，得t∈[3π，5π]，
而[10，15]?[3π，5π]，故在[10，15]上是增加的．
4．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图像可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图像，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
A．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0，24]
C．y＝12＋3sint，t∈[0，24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0，24]
解析：选A.将t＝0及t＝3分别代入给定的四个选项A，B，C，D中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.
5．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图像大致是(　　)
解析：选C.由l＝αR可知α＝，结合圆的几何性质可知＝Rsin ，所以d＝2Rsin ＝2Rsin ，又R＝1，所以d＝2sin ，故结合正弦图像可知，选C.
6.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率分别是________．
解析：t＝0时，θ＝sin＝，由函数解析式易知单摆周期为＝π，故频率为.
答案：，
7．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0，0<φ<π)，则这段曲线的函数解析式为________．
解析：图中从6时到14时的图像是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图像．
所以·＝14－6，解得ω＝，
由图知A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20，
这时y＝10sin＋20，
将x＝6，y＝10代入上式可取φ＝π.
综上所求的解析式为
y＝10sin＋20，x∈[6，14]．
答案：y＝10sin＋20，x∈[6，14]
8．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针匀速地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．
解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了 t弧度，如图所示，(1)当t＝0时，d＝0，(2)当0＜t＜30时，由sin ＝，所以d＝10sin ；(3)当t＝30时，d＝10；(4)当30＜t＜60时，sin＝，
即sin＝，
所以d＝10sin＝10sin；(5)当t＝60时，d＝0.
综上可知当0≤t≤60时，均有d＝10sin.
答案：10sin 
9.将自行车支起来，使后轮能平稳地匀速转动，观察后轮气针的运动规律．如图所示，轮胎以角速度ω做圆周运动，P0为气针的初始位置，气针(看作一点)到原点O距离为r cm，求气针P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求出P的运动周期，当φ＝，r＝ω＝1时，说明其图像与函数y＝sin t图像有什么关系？
解：过P作x轴的垂线(图略)，设垂足为M，则MP就是正弦线．
所以y＝rsin(ωt＋φ)，因此T＝.
当φ＝，r＝ω＝1时，y＝sin，其图像是将y＝sin t的图像向左平移个单位长度得到的，如图所示．
10．生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型．下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).
时间(时)
温度(℃)
0
36.8
2
36.7
4
36.6
6
36.7
8
36.8
10
37
12
37.2
14
37.3
16
37.4
18
37.3
20
37.2
22
37
24
36.8
(1)在直角坐标系中以时间为横轴，温度为纵轴，描述以上数据组对应的点的图像；
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据；
(3)作出(2)中所选函数的图像．
解：(1)图像如下．
(2)设t时的体温y＝Asin(ωt＋φ)＋c，则c＝＝37，A＝＝0.4，ω＝＝＝.
由0.4sin＋37＝37.4，得
sin＝1，取φ＝－.
故可用函数y＝0.4sin＋37来近似描述这些数据．
(3)图像如下．
[B.能力提升]
1.如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致是(　　)
解析：选C.因为P0(，－)，所以∠P0Ox＝，按逆时针转时间t后得∠POP0＝t，∠POx＝t－，此时P点纵坐标为2sin，
所以d＝2，
当t＝0时，d＝，排除A，D；
当t＝时，d＝0，排除B.
2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N＋)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N＋)
解析：选A.由得
又T＝2(7－3)＝8.
所以ω＝＝＝，
所以f(x)＝2sin＋7，
由f(3)＝9，得sin＝1.
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又因为|φ|<，
所以φ＝－，所以f(x)＝2sin＋7.
3.如图，半圆的直径为2，A为直径MN的延长线上一点，且OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为边作等边△ABC，设∠AOB＝x时，S四边形OACB等于________．
解析：如图，S四边形OACB＝S△AOB＋S△ABC.过点B作BD⊥MN于D，
则BD＝BOsin(π－x)，即BD＝sin x.
所以S△AOB＝×2sin x＝sin x.
因为OD＝BOcos(π－x)＝－cos x，
所以AB2＝BD2＋AD2
＝sin2x＋(－cos x＋2)2＝5－4cos x.
所以S△ABC＝AB·ABsin 60°＝－cos x.
所以S四边形OACB＝sin x－cos x＋.
答案：sin x－cos x＋
4．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|＝3，P0为圆周上一点，且∠AOP0＝，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动．
(1)1秒钟后，点P的横坐标为________．
(2)t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为________________________________________________________________________．
解析：(1)1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为－.
(2)由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，
则此时点P的横坐标为2cos，
所以点P到直线l的距离为
3－2cos，t≥0.
答案：(1)－　(2)3－2cos(t≥0)
5.
一个被绳子牵着的小球做圆周运动(如图)．它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动．已知绳子的长度为l，求：
(1)P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；
(2)点P的运动周期和频率；
(3)如果ω＝ rad/s，l＝2，φ＝，试求y的最值；
(4)在(3)中，试求小球到达x轴的非负半轴所需的时间．
解：(1)y＝lsin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．
(2)由解析式得，周期T＝，频率f＝＝.
(3)将ω＝ rad/s，l＝2，φ＝代入解析式，
得到y＝2sin，t∈[0，＋∞)．
得最小正周期T＝＝＝12.
当t＝12k＋1.5，k∈N时，ymax＝2，
当t＝12k＋7.5，k∈N时，ymin＝－2.
(4)设小球经过时间t后到达x轴非负半轴，
令t＋＝2π，得t＝10.5，
所以当t∈[0，＋∞)时，t＝12k＋10.5，k∈N，
所以小球到达x轴非负半轴所需要的时间为10.5＋12k，k∈N.
6．(选做题)某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24 单位：小时)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据平均值如下表：
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.4
1.0
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
(1)试画出散点图；
(2)观察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b，y＝Acos(ωt＋φ)＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(3)如果确定当浪高不低于0.8米时才能进行训练，试安排白天进行训练的具体时间段．
解：(1)散点图如图．
(2)由散点图可知，选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b函数模型较为合适．
由图可知A＝1.4－1.0＝0.4＝，T＝12，b＝1，ω＝＝，
此时解析式为y＝sin＋1，以点(0，1.0)为“五点法”作图的第一关键点则有×0＋φ＝0，所以φ＝0.
所求函数的解析式为y＝sin＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝sin＋1≥(0≤t≤24)，
得sin≥－，
则－＋2kπ≤≤＋2kπ，(k∈Z)，
得－1＋12k≤t≤7＋12k，(k∈Z)．
令k＝0，1，2，
从而得0≤t≤7或11≤t≤19，或23≤t≤24，
所以应在白天11时～19时进行训练．

章末优化总结
, 　　　　)
　　　　　　　三角函数的值域与最值
求三角函数的值域与最值的三种途径
(1)利用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的值域求解．
(2)将所求三角函数式变形为关于sin x(或cos x)的二次函数的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的性质求解．
(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数求值域的方法(分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函数中也适用．
求y＝的值域．
[解]　将已知函数式看成单位圆上的点A(cos x，sin x)与点B(2，2)连线的斜率，如图所示，观察得到kAB≤y≤kCB.
设过点B的圆的切线方程为y－2＝k(x－2)．
即kx－y－2k＋2＝0.
于是＝1，解得k＝.
故函数的值域为.
已知|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．
[解]　y＝f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1.
令t＝sin x，因为|x|≤，
所以－≤sin x≤.
则y＝－t2＋t＋1＝－＋，
当t＝－，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－＋＝.
　　　　　　　三角函数的性质
1．三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正周期．求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，y＝Acos(ωx＋φ)＋k及y＝Atan(ωx＋φ)＋k的形式，然后用公式求解，另外还可以利用图像求出三角函数的周期．
2．研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点对称，则当φ＝kπ(k∈Z)时，函数为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数为偶函数；当φ≠(k∈Z)时，函数为非奇非偶函数．
3．求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A≠0，ω＞0)的单调区间时(若ω＜0，可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值)，应把ωx＋φ视为一个整体，由A的符号来确定单调性．
函数f(x)＝3sin的图像为C.
(1)图像C关于直线x＝对称；
(2)函数f(x)在区间内是增加的；
(3)由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度可以得到图像C.
以上三个论断中，正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　(1)f＝3sin＝3sin＝－3，
所以直线x＝为图像C的对称轴，故(1)正确；
(2)由－＜x＜，
得－＜2x－＜，
所以函数f(x)在内是增加的，故(2)正确；
(3)f(x)＝3sin 2，
而由y＝3sin 2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝3sin 2的图像，得不到图像C，故(3)错误．
[答案]　C
　　　　　　　三角函数的图像及图像变换
三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求如下：
(1)用五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π.
(2)对于y＝Asin(ωx＋φ)＋b应明确A，ω，φ与单调性的关系，针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)由已知函数图像求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图像求得的y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．
已知函数y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像上的一个最低点为M，周期为π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图像沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图像，写出函数y＝g(x)的解析式；
(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
[解]　(1)因为T＝＝π，
所以ω＝2.
又因为f(x)min＝－2，所以A＝2.
因为f(x)的最低点为M，
所以sin＝－1.
因为0＜φ＜，
所以＜＋φ＜，
所以＋φ＝，
所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)y＝2sin
y＝2sin＝2sin

y＝2sin＝2sin x，
所以y＝g(x)＝2sin x.
(3)因为0≤x≤，
所以≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，
即x＝0时，f(x)min＝2sin＝1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2sin＝.
1．已知sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，则角θ所在的象限是(　　)
A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.因为sin(π＋θ)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0，
又因为cos(π－θ)＝－cos θ＜0，所以cos θ＞0，
所以角θ所在象限为第一象限．
2．函数f(x)＝sin x的图像大致为(　　)
解析：选A.函数的定义域为{x|x≠0}，所以排除B，C.因为f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称，故排除D.
3．化简：＝________．
解析：原式＝＝
＝＝cos 80°.
答案：cos 80°
4．若f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在区间上的最大值是，则ω＝________．
解析：由0≤ωx≤，得0≤x≤，
所以y＝2sin ωx在上是递增的．
又ω∈(0，1)，所以?，
故f(x)＝2sin ωx在上是递增的，
即2sin＝，所以ω＝.
答案：
5．已知函数y＝f(x)＝sin(2x＋φ)的图像过点.
(1)求φ的值，并求函数y＝f(x)图像的对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数y＝f(x)的值域．
解：(1)因为函数图像过点，
所以sin φ＝－，又因为|φ|＜，所以φ＝－，
所以y＝sin，令2x－＝kπ(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，
所以－≤sin≤1，
所以f(x)的值域为.
, 　　　　[学生用书单独成册])
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．化简sin 600°的值是(　　)
A．0.5 B．－
C. D．－0.5
解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
2．已知函数f(x)＝sin x在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos的值为(　　)
A．0 B．
C．1 D．－1
解析：选C.由题知[a，b]?(k∈Z)，所以cos＝cos 2kπ＝1.
3．函数y＝＋＋的值域是(　　)
A．{1} B．{1，3}
C．{－1} D．{－1，3}
解析：选D.当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，tan x＞0，所以y＝＋＋＝3；
当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，tan x＜0，所以y＝＋＋＝－1；
当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，tan x＞0，所以
y＝＋＋＝－1；
当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，tan x＜0，所以
y＝＋＋＝－1.
综上可知，值域为{－1，3}．
4．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝(　　)
A.π B．π
C. D．
解析：选A.y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位得到y＝cos的图象，整理得y＝cos(2x－π＋φ)．
因为其图象与y＝sin的图象重合，
所以φ－π＝－＋2kπ，
所以φ＝＋π－＋2kπ，
即φ＝＋2kπ.
又因为－π≤φ<π，所以φ＝.
5．要得到函数f(x)＝cos的图像，只需将函数g(x)＝sin的图像(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选C.因为函数f(x)＝cos＝sin＝sin，
所以将函数g(x)＝sin的图像向左平移个单位长度，
即可得到函数y＝sin
＝sin的图像．故应选C.
6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：
f1(x)＝2cos 2x，f2(x)＝2cos，f3(x)＝2cos－1，则(　　)
A．f1(x)，f2(x)，f3(x)两两为“同形”函数；
B．f1(x)，f2(x)，f3(x)两两不为“同形”函数；
C．f1(x)，f2(x)为“同形”函数，且它们与f3(x)不为“同形”函数；
D．f2(x)，f3(x)为“同形”函数，且它们与f1(x)不为“同形”函数．
解析：选D.由题意得f2(x)与f3(x)中，A，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f2(x)与f3(x)为“同形”函数，而f1(x)中ω＝2与f2(x)，f3(x)中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f1(x)不为“同形”函数．
7．已知奇函数f(x)在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是(　　)
A．f(cos α)>f(cos β)
B．f(sin α)>f(sin β)
C．f(sin α)>f(cos β)
D．f(sin α)解析：选D.由已知奇函数f(x)在[－1，0]上为减函数，知函数f(x)在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞且0＜α，β＜，则＞α＞－β＞0，所以sin α＞sin，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f(sin α)8．将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选B.法一：将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位后所得图像的解析式为y＝2sin＝2sin，而平移后所得图像与原图像重合，所以＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝4k(k∈Z)，所以ω的值不可能等于6，故选B.
法二：当ω＝4时，将函数f(x)＝2sin(4x＋φ)的图像向左平移个单位长度所得图像的解析式为y＝2sin＝2sin(4x＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数f(x)＝2sin(6x＋φ)的图像向左平移个单位长度所得图像的解析式为y＝2sin＝2sin(6x＋3π＋φ)＝－2sin(6x＋φ)，与原函数不相同，故选B.
9．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|＜π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选C.因为f(x)≤，知f是函数f(x)的最大值或最小值．函数f(x)的周期T＝π，所以f(π)＝f(0)．又因为函数的对称轴为x＝，所以f(0)＝f，知f＞f，所以f是函数f(x)的最小值，所以2×＋φ＝－，解得φ＝－π.由－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
10．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图像．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为(　　)
A．10小时 B．8小时
C．6小时 D．4小时
解析：选B.依题意得解得A＝0.5，b＝1，ω＝，
则y＝0.5cos＋1.令y＝0.5cos＋1>1.25(t∈[0，24])得cos>.又t∈[0，24]，∈[0，4π]，因此0≤<或<≤2π或2π≤<2π＋或2π＋<≤2π＋2π，即0≤t<2或10二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．已知f(x)＝2sin－m在x∈上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
解析：f(x)在上有两个不同零点，即方程f(x)＝0在上有两个不同实数解，
所以y＝2sin，x∈与y＝m有两个不同交点．
令u＝2x－，由x∈得u∈，在同一直角坐标系中做出函数y＝2sin u与y＝m的图像(如图)，可知1≤m<2.
答案：[1，2)
12．函数y＝2sin(x∈[－π，0])的递减区间是________．　
解析：令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝－1，得－≤x≤－，得函数的递减区间为.
答案：
13．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a，b，c的大小关系为________(按由小至大顺序排列)．
解析：a＝sin＝sin＝sin，b＝cos＝sin＝sin，
因为0＜＜＜，y＝sin x在上为增函数，所以b＜a；又因为0＜＜＜，y＝tan x在上为增函数，所以c＝tan＞tan＝1，所以b＜a＜c.
答案：b＜a＜c
14．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度可得y＝sin x的图像，则f＝________．
解析：将y＝sin x的图像向左平移个单位长度可得y＝sin的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图像，故f(x)＝sin.所以f＝sin＝sin＝.
答案：
15．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y＝f(x)的图像关于点对称；
④函数y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称．
其中正确的是________．
解析：①f(x)＝4sin＝4cos＝4cos＝4cos，正确；
②T＝＝π，最小正周期为π，错误；
③令2x＋＝kπ，当k＝0时，x＝－，所以函数f(x)关于点对称，正确；
④令2x＋＝kπ＋，当x＝－时，k＝－，与k∈Z矛盾，错误．
所以①③正确．
答案：①③
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)计算－cos 585°·tan.
解：原式＝－cos(225°＋360°)·tan＝＋cos 225°tan
＝＋(－cos 45°)·tan
＝＋×1＝－.
17. (本小题满分10分)(1)求函数y＝1－2sin的最大值和最小值及相应的x值；
(2)已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
解：(1)当sin＝－1，
即x＋＝－＋2kπ，k∈Z.
所以当x＝－π＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1＋2＝3.
当sin＝1，即x＋＝＋2kπ，k∈Z.
所以当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值1－2＝－1.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以－1≤cos≤.
当a＞0，cos＝时，y取得最大值a＋3.
所以a＋3＝4，所以a＝2.
当a＜0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3.
所以－a＋3＝4，所以a＝－1.
综上可知，实数a的值为2或－1.
18．(本小题满分10分)为得到函数y＝sin＋的图像，只要把函数y＝sin x的图像作怎样的变换？
解：法一：①把函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；
②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；
③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；
④把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin＋的图像．
综上得到函数y＝sin＋的图像．
法二：将函数y＝sin x依次进行如下变换：
①把函数y＝sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图像；
②把得到的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像；
③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到y＝sin的图像；
④把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin＋的图像．
综上得到函数y＝sin＋的图像．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
解：(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，所以sin＝±1.
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.因为－π<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知y＝sin，列表如下：
x
0




π
y
－
－1
0
1
0
－
描点连线，可得函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如下．
20．(本小题满分13分)已知A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，－)，若|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的递增区间；
(3)当x∈时，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为角φ的终边经过点P(1，－)，所以tan φ＝－，且－＜φ＜0，得φ＝－.
函数f(x)的最大值为2，又|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为，得周期T＝，即＝，所以ω＝3.所以f(x)＝2sin.
(2)令－＋2kπ ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的递增区间为，k∈Z.
(3)当x∈时，－≤3x－≤，得－≤f(x)≤1，所以2＋f(x)＞0，
则mf(x)＋2m≥f(x)恒成立等价于m≥＝1－恒成立．
因为2－≤2＋f(x)≤3，所以1－最大值为，
所以实数m的取值范围是.
课件23张PPT。章末优化总结第一章　三 角 函 数三角函数的值域与最值求三角函数的值域与最值的三种途径
(1)利用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的值域求解．
(2)将所求三角函数式变形为关于sin x(或cos x)的二次函数的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的性质求解．
(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数求值域的方法(分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函数中也适用．三角函数的性质1．三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正周期．求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k，y＝Acos(ωx＋φ)＋k及y＝Atan(ωx＋φ)＋k的形式，然后用公式求解，另外还可以利用图像求出三角函数的周期．
C三角函数的图像及图像变换AAcos 80°本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放, 　　　　[学生用书单独成册])
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．化简sin 600°的值是(　　)
A．0.5 B．－
C. D．－0.5
解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
2．已知函数f(x)＝sin x在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos的值为(　　)
A．0 B．
C．1 D．－1
解析：选C.由题知[a，b]?(k∈Z)，所以cos＝cos 2kπ＝1.
3．函数y＝＋＋的值域是(　　)
A．{1} B．{1，3}
C．{－1} D．{－1，3}
解析：选D.当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，tan x＞0，所以y＝＋＋＝3；
当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，tan x＜0，所以y＝＋＋＝－1；
当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，tan x＞0，所以
y＝＋＋＝－1；
当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，tan x＜0，所以
y＝＋＋＝－1.
综上可知，值域为{－1，3}．
4．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝(　　)
A.π B．π
C. D．
解析：选A.y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位得到y＝cos的图象，整理得y＝cos(2x－π＋φ)．
因为其图象与y＝sin的图象重合，
所以φ－π＝－＋2kπ，
所以φ＝＋π－＋2kπ，
即φ＝＋2kπ.
又因为－π≤φ<π，所以φ＝.
5．要得到函数f(x)＝cos的图像，只需将函数g(x)＝sin的图像(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选C.因为函数f(x)＝cos＝sin＝sin，
所以将函数g(x)＝sin的图像向左平移个单位长度，
即可得到函数y＝sin
＝sin的图像．故应选C.
6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：
f1(x)＝2cos 2x，f2(x)＝2cos，f3(x)＝2cos－1，则(　　)
A．f1(x)，f2(x)，f3(x)两两为“同形”函数；
B．f1(x)，f2(x)，f3(x)两两不为“同形”函数；
C．f1(x)，f2(x)为“同形”函数，且它们与f3(x)不为“同形”函数；
D．f2(x)，f3(x)为“同形”函数，且它们与f1(x)不为“同形”函数．
解析：选D.由题意得f2(x)与f3(x)中，A，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f2(x)与f3(x)为“同形”函数，而f1(x)中ω＝2与f2(x)，f3(x)中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f1(x)不为“同形”函数．
7．已知奇函数f(x)在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是(　　)
A．f(cos α)>f(cos β)
B．f(sin α)>f(sin β)
C．f(sin α)>f(cos β)
D．f(sin α)解析：选D.由已知奇函数f(x)在[－1，0]上为减函数，知函数f(x)在[0，1]上为减函数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞且0＜α，β＜，则＞α＞－β＞0，所以sin α＞sin，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f(sin α)8．将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位长度，若所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选B.法一：将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像向左平移个单位后所得图像的解析式为y＝2sin＝2sin，而平移后所得图像与原图像重合，所以＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝4k(k∈Z)，所以ω的值不可能等于6，故选B.
法二：当ω＝4时，将函数f(x)＝2sin(4x＋φ)的图像向左平移个单位长度所得图像的解析式为y＝2sin＝2sin(4x＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数f(x)＝2sin(6x＋φ)的图像向左平移个单位长度所得图像的解析式为y＝2sin＝2sin(6x＋3π＋φ)＝－2sin(6x＋φ)，与原函数不相同，故选B.
9．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|＜π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选C.因为f(x)≤，知f是函数f(x)的最大值或最小值．函数f(x)的周期T＝π，所以f(π)＝f(0)．又因为函数的对称轴为x＝，所以f(0)＝f，知f＞f，所以f是函数f(x)的最小值，所以2×＋φ＝－，解得φ＝－π.由－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
10．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图像．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为(　　)
A．10小时 B．8小时
C．6小时 D．4小时
解析：选B.依题意得解得A＝0.5，b＝1，ω＝，
则y＝0.5cos＋1.令y＝0.5cos＋1>1.25(t∈[0，24])得cos>.又t∈[0，24]，∈[0，4π]，因此0≤<或<≤2π或2π≤<2π＋或2π＋<≤2π＋2π，即0≤t<2或10二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．已知f(x)＝2sin－m在x∈上有两个不同的零点，则m的取值范围是________．
解析：f(x)在上有两个不同零点，即方程f(x)＝0在上有两个不同实数解，
所以y＝2sin，x∈与y＝m有两个不同交点．
令u＝2x－，由x∈得u∈，在同一直角坐标系中做出函数y＝2sin u与y＝m的图像(如图)，可知1≤m<2.
答案：[1，2)
12．函数y＝2sin(x∈[－π，0])的递减区间是________．　
解析：令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，令k＝－1，得－≤x≤－，得函数的递减区间为.
答案：
13．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则a，b，c的大小关系为________(按由小至大顺序排列)．
解析：a＝sin＝sin＝sin，b＝cos＝sin＝sin，
因为0＜＜＜，y＝sin x在上为增函数，所以b＜a；又因为0＜＜＜，y＝tan x在上为增函数，所以c＝tan＞tan＝1，所以b＜a＜c.
答案：b＜a＜c
14．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度可得y＝sin x的图像，则f＝________．
解析：将y＝sin x的图像向左平移个单位长度可得y＝sin的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin的图像，故f(x)＝sin.所以f＝sin＝sin＝.
答案：
15．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y＝f(x)的图像关于点对称；
④函数y＝f(x)的图像关于直线x＝－对称．
其中正确的是________．
解析：①f(x)＝4sin＝4cos＝4cos＝4cos，正确；
②T＝＝π，最小正周期为π，错误；
③令2x＋＝kπ，当k＝0时，x＝－，所以函数f(x)关于点对称，正确；
④令2x＋＝kπ＋，当x＝－时，k＝－，与k∈Z矛盾，错误．
所以①③正确．
答案：①③
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)计算－cos 585°·tan.
解：原式＝－cos(225°＋360°)·tan＝＋cos 225°tan
＝＋(－cos 45°)·tan
＝＋×1＝－.
17. (本小题满分10分)(1)求函数y＝1－2sin的最大值和最小值及相应的x值；
(2)已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
解：(1)当sin＝－1，
即x＋＝－＋2kπ，k∈Z.
所以当x＝－π＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1＋2＝3.
当sin＝1，即x＋＝＋2kπ，k∈Z.
所以当x＝＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值1－2＝－1.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以－1≤cos≤.
当a＞0，cos＝时，y取得最大值a＋3.
所以a＋3＝4，所以a＝2.
当a＜0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3.
所以－a＋3＝4，所以a＝－1.
综上可知，实数a的值为2或－1.
18．(本小题满分10分)为得到函数y＝sin＋的图像，只要把函数y＝sin x的图像作怎样的变换？
解：法一：①把函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像；
②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；
③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到函数y＝sin的图像；
④把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin＋的图像．
综上得到函数y＝sin＋的图像．
法二：将函数y＝sin x依次进行如下变换：
①把函数y＝sin x的图像上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 2x的图像；
②把得到的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像；
③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得到y＝sin的图像；
④把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y＝sin＋的图像．
综上得到函数y＝sin＋的图像．
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
解：(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图像的对称轴，所以sin＝±1.
所以＋φ＝kπ＋，k∈Z.因为－π<φ<0，所以φ＝－.
(2)由(1)知y＝sin，列表如下：
x
0




π
y
－
－1
0
1
0
－
描点连线，可得函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如下．
20．(本小题满分13分)已知A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P(1，－)，若|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的递增区间；
(3)当x∈时，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为角φ的终边经过点P(1，－)，所以tan φ＝－，且－＜φ＜0，得φ＝－.
函数f(x)的最大值为2，又|f(x1)－f(x2)|＝4时，|x1－x2|的最小值为，得周期T＝，即＝，所以ω＝3.所以f(x)＝2sin.
(2)令－＋2kπ ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的递增区间为，k∈Z.
(3)当x∈时，－≤3x－≤，得－≤f(x)≤1，所以2＋f(x)＞0，
则mf(x)＋2m≥f(x)恒成立等价于m≥＝1－恒成立．
因为2－≤2＋f(x)≤3，所以1－最大值为，
所以实数m的取值范围是.