广东省广州市番禺区2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷（含答案）

广东省广州市番禺区2024-2025学年九年级（上）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.将抛物线向右平移个单位，得到抛物线的解析式是( )
A. B. C. D.
3.观察下列四个图形，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
4.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为以，为边作矩形若将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.下列各事件，是必然事件的是( )
A. 掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是 B. 某同学投篮球，一定投不中
C. 经过红绿灯路口时，一定是红灯 D. 画一个三角形，其内角和为
6.在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是( )
A. B.
C. D.
7.如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8.用配方法解方程经过配方得( )
A. B. C. D.
9.关于抛物线，下列说法错误的是( )
A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小
10.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一元二次方程的解为______．
12.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
13.不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为______．
14.在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是：______．
15.如图，分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形若，则此莱洛三角形的周长为______．
16.如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是下列结论：
；
该抛物线与轴的另一个交点坐标是；
若点和在该抛物线上，则；
对任意实数，不等式总成立．
其中正确的有______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解方程：．
18.本小题分
如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接，若，求的度数．
19.本小题分
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、．
画出关于原点对称的，并写出点的坐标；
画出绕点顺时针旋转后的；
写出的坐标，并求旋转过程中所经过的路径长结果保留．
20.本小题分
如图，的直径的长为，弦长为，的平分线交于点试求，的长．
21.本小题分
某商场在实际销售中发现，一品牌运动衫平均每天可售出件，每件盈利元，若每件降价元，则每天可多售出件．
要想尽量扩大销售量且平均每天销售盈利元，问每件运动衫应降价多少元？
当每件运动衫降价多少元时，每天可获得最大利润？最大利润为多少元？
22.本小题分
某校为了解学生身体健康状况，从全校名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理如表，并绘制出不完整的条形统计图如图．
学生体质健康统计表
成绩 频数 百分比
不及格
及格
良好
优秀
如表中 ______， ______， ______；
请补全如图的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
为听取测试建议，学校选出了名“良好”名“优秀”学生，再从这名学生中随机抽取人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
23.本小题分
已知关于的方程为实数．
若方程有两个实数根，求的取值范围；
若是方程的一个根，求其另一个根；
在的条件下，抛物线与轴交于、两点．
结合图形，写出时自变量的取值范围；
若抛物线顶点为，求的面积．
24.本小题分
在中，，是的内切圆，切点分别为，，．
Ⅰ如图，若，，分别求半径长和切线的长；
Ⅱ如图，延长到点，使．
尺规作图：过点作于点不写作法，保留作图痕迹；
判断是否是的切线？并对结论给出证明．
25.本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
求该二次函数的解析式；
点是抛物线在第四象限图象上的一动点，于，小明同学在探究时认为：当点位于抛物线顶点时，的面积最大，他的结论是否正确？若正确请说明理由；若不正确，试探究的面积最大时点的位置，并求此时的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】，
12.【答案】且
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：，
，
，
，．
18.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
．
19.【答案】解：如图，即为所求，点的坐标；
如图，即为所求；
的坐标，
旋转过程中所经过的路径长
20.【答案】解：如图，连接、、．
是的直径，
，
在中利用勾股定理，得；
是的平分线，
，
，
，
，
，
在中利用勾股定理，得．
21.【答案】解：设每件运动衫应降价元，
，
，
，
，
，
解得：，，
需要尽量扩大销售量，
．
答：每件运动衫应降价元；
设每天的利润为元，
，
抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，
当时，最大，元．
答：每件运动衫降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元．
22.【答案】
23.【答案】解：方程有两个实数根，
，即，
解得；
是方程的一个根，
，
解得，
关于的方程为，
解得或，
另一个根是；
由知抛物线解析式为，其图象经过，，，大致图象如下：
由图象可知，时自变量的取值范围是或；
，，
，
，
，
，
的面积为．
24.【答案】解：Ⅰ如图，连接，，，，，．
是的内切圆，切点分别为，，．
，，，
，
，，，
，
，
，
，
半径长为，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，
，是的切线，
；
Ⅱ如图中，直线即为所求；
结论：直线是的切线．
理由：，，，
≌，
与的内切圆的大小一样，
与，相切，
就是的内切圆，
直线是的切线．
25.【答案】解：由题意得：；
由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
过点作轴交于点，
设点，则点，
则，
则的面积，
即当时，的面积最大，故小明的结论不正确，正确的点；
直线的表达式为：，，
故直线的表达式为：，
联立和的表达式得：，
解得：，即点，
由点、、的坐标得，，，
则，
故．
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