2.1数列的概念与简单表示法
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课件42张PPT。2.1 数列的概念与简单表示法童谣 一只青蛙，一张嘴 ，两只眼睛，四条腿；
两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿；
三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿。青蛙 嘴 眼睛 腿
1 1 2 4
2 2 4 8
3 3 6 12
4 4 8 16 ……………………甲乙两位赌王打赌，约定如下：
（1）赌王甲第一天给赌王乙1元钱，第二天给3元，第三天给五元，第四天给7元，按照这个规律付下去。
（2）赌王乙第一天给赌王甲1分钱，第二天给2分，第三天给4分，第四天给8分，按照这个规律付下去。问题：你能写出付款规律吗？
1，3，5，7，9，··· （1）单位：元 1，2，22，23，24 ··· （2）单位：分 两位赌王的付款数按顺序依次排列如下 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字.由于这些数可以用三角形点阵表示，故称其为三角形数.1，3，6，10因为这些数能够表示成正方形，
故称为正方形数.1，4，9，16 1,1,2,3,5,8,13,……斐波那契 （Fibonacci；1170 ? 1250 ） 《算盘书》 1202.1、均是一列数，
2、有一定次序.观察上面4个例子它们有什么共同特点？特点：（1）1，3，6，10，… （2）1，2，4，8，16，…（4）2，4，8，16，32，…（3）1740，1823，1906，1989，…按照一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列的定义数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，······，第n项， ······
1，3, 5, 7是一个数列，
7，5，3，1也是一个数列，
这两个数列是不是同一个数列呢？
不是。数列中的数是有先后次序的，两个数列即使所含的数完全相同，只要排列的次序不同，就是两个不同的数列。
-1，1，-1，1，-1，1.是不是一个数列呢？
数列中的数只要求按一定次序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现。[注 意] 数列与数集是两个不同的概念. 数集 中的元素具有无序性和互异性，而 数列中的数是按一定的次序排列的.
并且数列中可以有相同的数. 项数有限的数列叫做有穷数列，
项数无限的数列叫做无穷数列. 数列的分类1、根据数列项数是否有限分类：2、根据数列各项的变化趋势分类递增数列、递减数列、
摆动数列、常数数列. 从第2项起，每一项都大于它的
前一项的数列； 从第2项起，每一项都小于它的
前一项的数列； 从第2项起，有些项大于它的前
一项，有些项小于它的前一项的数列； 各项都相等的数列.递增数列：递减数列：摆动数列：常数列：其中右下标n表示项的位置序号数列的一般形式可以写成：2，4，8, 16，32 a4a1a2a3a5上面的数列又可简记为[注 意] {an}与an是两个不同的概念.
{an}表示数列a1，a2，a3，……而an表示的是数列{an}的第n项. 如何用数学式子表示递增数列、递减数列
和常数列？递增数列： 递减数列： 常数列： 问题（1）请你写出数列的第7项，第36项吗？
（2）32是该数列的项吗？
有何启迪？
在数列中，由项的序号就可以找到项；
由项就可以了解该项在数列中的位置，即知道该项的序号。
数列中的每一个项都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个项。 对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应.项数n 1 2 3 4 …… 64
项an 1 2 22 23 …… 263
（自变量）（函数值）可以认为：数列与函数由此可见，序号与项构成了一个重要的关系其中自变量是序号；自变量的取值范围是正整数集（或它的有限子集{1，2，3，……，n})
在上面数列中，你能表示项an与项的序号n之间的关系吗？ ——函数（数列是一种特殊的函数）。练习：课本31页 1 数列的项数n与项an之间的关系如果可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。数列通项公式如：数列 2, 4, 6, … …观察下列数列, 写出它们的通项公式：1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )B【解析】逐项验证，注意不能只验一至两项，要多验证几项．全优18页基础夯实1. 并不是所有的数列都有通项;2. 数列的通项可以有不同的形式;3. 数列的通项实际上就是相应函数 的解析式an= f(n), 但这是一类特 殊的函数.[注 意] 例 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：（2） 解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：（3） 解：此数列的前4项的值都等于序号与序号加上1的积的倒数，所以通项公式是： 解：此数列的绝对值都等于1，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：（4）-1，1，-1, 1，-1, 1，-1（5） 解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是： 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：练习：课本31页 4（1）（2）1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式．【解析】(1)原数列可写成∴数列的一个通项公式为全优17页变式训练1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式．【解析】全优17页变式训练(2)这是一个分数数列，分子是偶数列，而分母是1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，为两个连续奇数的积，故所求数列的通项公式为1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式．【解析】全优17页变式训练 (3)∵各项的符号正负相间且绝对值呈分数形式，它的分子为奇数，分母为2的序号次幂，即可表示为1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式．【解析】全优17页变式训练(4)9,99,999,9 999，….(4)各项分别加上1，
变为10,100,1 000,10 000，…，∴an＝10n－1.例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。an
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o 1 2 3 4 5 n数列用图象表示时，是一群孤立的点练习：课本33页 57．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；【解析】(1)设an＝kn＋b，∴an＝4n－2.(n∈N*)．(2)88是否是数列{an}中的项？(2)令an＝88，∴88不是{an}中的项．全优18页能力提升5．已知数列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.2【解析】∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.全优18页基础夯实【例2】 已知数列{an}的通项为an＝n2－5n＋4，(2)n为何值时，an有最小值？并求此最小值．【解析】(2)∵an＝n2－5n＋4∵n∈N*，∴n＝2或3时，an有最小值－2.全优17页典例剖析问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，
an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1）你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。 数列的第n项an与它前面相邻一项an-1
（或相邻几项）所满足的关系式叫递推公式；
给出数列的前几项（初始值）和递推公式
的数列叫递推数列。例3 设数列{an}满足 写出这个数列的前五项。练习：课本31页 22．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2B【解析】观察数列的变化规律：a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，
a5＝a4＋5，…，归纳得出an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2)．全优69页限时规范训练
两只青蛙，两张嘴 ，四只眼睛，八条腿；
三只青蛙，三张嘴 ，六只眼睛，十二条腿。青蛙 嘴 眼睛 腿
1 1 2 4
2 2 4 8
3 3 6 12
4 4 8 16 ……………………甲乙两位赌王打赌，约定如下：
（1）赌王甲第一天给赌王乙1元钱，第二天给3元，第三天给五元，第四天给7元，按照这个规律付下去。
（2）赌王乙第一天给赌王甲1分钱，第二天给2分，第三天给4分，第四天给8分，按照这个规律付下去。问题：你能写出付款规律吗？
1，3，5，7，9，··· （1）单位：元 1，2，22，23，24 ··· （2）单位：分 两位赌王的付款数按顺序依次排列如下 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数字.由于这些数可以用三角形点阵表示，故称其为三角形数.1，3，6，10因为这些数能够表示成正方形，
故称为正方形数.1，4，9，16 1,1,2,3,5,8,13,……斐波那契 （Fibonacci；1170 ? 1250 ） 《算盘书》 1202.1、均是一列数，
2、有一定次序.观察上面4个例子它们有什么共同特点？特点：（1）1，3，6，10，… （2）1，2，4，8，16，…（4）2，4，8，16，32，…（3）1740，1823，1906，1989，…按照一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列的定义数列中的每一个数叫做这个数列的项。各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，······，第n项， ······
1，3, 5, 7是一个数列，
7，5，3，1也是一个数列，
这两个数列是不是同一个数列呢？
不是。数列中的数是有先后次序的，两个数列即使所含的数完全相同，只要排列的次序不同，就是两个不同的数列。
-1，1，-1，1，-1，1.是不是一个数列呢？
数列中的数只要求按一定次序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现。[注 意] 数列与数集是两个不同的概念. 数集 中的元素具有无序性和互异性，而 数列中的数是按一定的次序排列的.
并且数列中可以有相同的数. 项数有限的数列叫做有穷数列，
项数无限的数列叫做无穷数列. 数列的分类1、根据数列项数是否有限分类：2、根据数列各项的变化趋势分类递增数列、递减数列、
摆动数列、常数数列. 从第2项起，每一项都大于它的
前一项的数列； 从第2项起，每一项都小于它的
前一项的数列； 从第2项起，有些项大于它的前
一项，有些项小于它的前一项的数列； 各项都相等的数列.递增数列：递减数列：摆动数列：常数列：其中右下标n表示项的位置序号数列的一般形式可以写成：2，4，8, 16，32 a4a1a2a3a5上面的数列又可简记为[注 意] {an}与an是两个不同的概念.
{an}表示数列a1，a2，a3，……而an表示的是数列{an}的第n项. 如何用数学式子表示递增数列、递减数列
和常数列？递增数列： 递减数列： 常数列： 问题（1）请你写出数列的第7项，第36项吗？
（2）32是该数列的项吗？
有何启迪？
在数列中，由项的序号就可以找到项；
由项就可以了解该项在数列中的位置，即知道该项的序号。
数列中的每一个项都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个项。 对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数（项）an与之对应.项数n 1 2 3 4 …… 64
项an 1 2 22 23 …… 263
（自变量）（函数值）可以认为：数列与函数由此可见，序号与项构成了一个重要的关系其中自变量是序号；自变量的取值范围是正整数集（或它的有限子集{1，2，3，……，n})
在上面数列中，你能表示项an与项的序号n之间的关系吗？ ——函数（数列是一种特殊的函数）。练习：课本31页 1 数列的项数n与项an之间的关系如果可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。数列通项公式如：数列 2, 4, 6, … …观察下列数列, 写出它们的通项公式：1．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )B【解析】逐项验证，注意不能只验一至两项，要多验证几项．全优18页基础夯实1. 并不是所有的数列都有通项;2. 数列的通项可以有不同的形式;3. 数列的通项实际上就是相应函数 的解析式an= f(n), 但这是一类特 殊的函数.[注 意] 例 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；解：此数列的前四项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以通项公式是：（2） 解：此数列的前四项的分母都是序号加1，分子都是分母的平方减去1，所以通项公式是：（3） 解：此数列的前4项的值都等于序号与序号加上1的积的倒数，所以通项公式是： 解：此数列的绝对值都等于1，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是：（4）-1，1，-1, 1，-1, 1，-1（5） 解：此数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加上1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式是： 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：练习：课本31页 4（1）（2）1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式．【解析】(1)原数列可写成∴数列的一个通项公式为全优17页变式训练1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式．【解析】全优17页变式训练(2)这是一个分数数列，分子是偶数列，而分母是1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，为两个连续奇数的积，故所求数列的通项公式为1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式．【解析】全优17页变式训练 (3)∵各项的符号正负相间且绝对值呈分数形式，它的分子为奇数，分母为2的序号次幂，即可表示为1．根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式．【解析】全优17页变式训练(4)9,99,999,9 999，….(4)各项分别加上1，
变为10,100,1 000,10 000，…，∴an＝10n－1.例2、图中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski）三角形，在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。an
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o 1 2 3 4 5 n数列用图象表示时，是一群孤立的点练习：课本33页 57．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．
(1)求{an}的通项公式；【解析】(1)设an＝kn＋b，∴an＝4n－2.(n∈N*)．(2)88是否是数列{an}中的项？(2)令an＝88，∴88不是{an}中的项．全优18页能力提升5．已知数列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.2【解析】∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.全优18页基础夯实【例2】 已知数列{an}的通项为an＝n2－5n＋4，(2)n为何值时，an有最小值？并求此最小值．【解析】(2)∵an＝n2－5n＋4∵n∈N*，∴n＝2或3时，an有最小值－2.全优17页典例剖析问题：如果一个数列{an}的首项a1=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1，
an = 2 an-1 + 1（n∈N，n>1）你能写出这个数列的前三项吗？像上述问题中给出数列的方法叫做递推法，其中an=2an-1+1(n>1)称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。 数列的第n项an与它前面相邻一项an-1
（或相邻几项）所满足的关系式叫递推公式；
给出数列的前几项（初始值）和递推公式
的数列叫递推数列。例3 设数列{an}满足 写出这个数列的前五项。练习：课本31页 22．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N*
B．an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2B【解析】观察数列的变化规律：a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，
a5＝a4＋5，…，归纳得出an＝an－1＋n(n∈N*，n≥2)．全优69页限时规范训练