湖南省衡阳市衡阳县逸夫中学2016届九年级（下）第一次月考数学试卷（解析版）

2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县逸夫中学九年级（下）第一次月考数学试卷
　
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1． =（　　）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
2．下列各式中，正确的有（　　）
A．a3+a2=a5 B．2a3?a2=2a6 C．（﹣2a3）2=4a6 D．﹣（a﹣1）=﹣a﹣1
3．下列各式中，正确的是（　　）
A．23=8 B． =2 C． =﹣4 D．
4．实数，6，1.412，π，，2﹣中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．已知实数a、b在数轴上表示的点如图，化简|a+b|的结果为（　　）

A．a+b B．﹣a﹣b C．0 D．2a
6．用科学记数法表示31410000（　　）
A．3.14×107 B．3.141×107 C．3.141×108 D．3.141×106
7．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．2或﹣1 B．0 C．2 D．﹣1
8．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x≥1
9．，则=（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
10．（a﹣b）2=（　　）
A．a2﹣2ab﹣b2 B．a2+2ab+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2
11．计算﹣12的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
12．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）=900 B．x（x+10）=900 C．10（x+10）=900 D．2[x+（x+10）]=900
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．|﹣3|=　　　　　　．
14．计算：﹣1﹣2=　　　　　　．
15．因式分解：ax2﹣ay2=　　　　　　．
16．计算：（a2）3+（a3）2=　　　　　　．
17． =　　　　　　．
18．规定一种运算：a☆b=（a﹣b）2，其中a、b为实数，计算：9☆（﹣1）=　　　　　　．
　
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（1﹣sin20°）0+sin45°﹣（）﹣1．
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

21．先化简：（1+）÷，再在不等式2x﹣9＜0的解集中，选一个合适的数代入求值．
22．如图，直线a经过点A（1，6），和点B（﹣3，﹣2）．
（1）求直线a的解析式；
（2）求直线与坐标轴的交点坐标；
（3）求S△AOB．

23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．求证：CE为⊙O的切线．

24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．
（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．

26．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．

　

2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县逸夫中学九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1． =（　　）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根，即可解答．
【解答】解： =4．故选：D．
　
2．下列各式中，正确的有（　　）
A．a3+a2=a5 B．2a3?a2=2a6 C．（﹣2a3）2=4a6 D．﹣（a﹣1）=﹣a﹣1
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项法则，单项式的乘法法则，积的乘方以及去括号法则即可作出判断．
【解答】解：A、不是同类项不能合并，故选项错误；
B、2a3?a2=2a4，故选项错误；
C、正确；
D、﹣（a﹣1）=﹣a+1，故选项错误．
故选C．
　
3．下列各式中，正确的是（　　）
A．23=8 B． =2 C． =﹣4 D．
【考点】立方根；有理数的乘方；算术平方根．
【分析】根据有理数的乘方、立方根、算术平方根，即可解答．
【解答】解：A、23=8，正确；
B、=﹣2，故错误；
C、没有意义，故错误；
D、≠3，故错误；
故选：A．
　
4．实数，6，1.412，π，，2﹣中，无理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】无理数．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：π，2﹣是无理数．
故选：A．
　
5．已知实数a、b在数轴上表示的点如图，化简|a+b|的结果为（　　）

A．a+b B．﹣a﹣b C．0 D．2a
【考点】实数与数轴．
【分析】先由数轴上a，b的位置判断出其符号以及a，b绝对值的大小，再根据有理数加法法则得出a+b＞0，然后根据绝对值定义化简即可．
【解答】解：由数轴可a＜0，b＞0，|a|＜b，
所以a+b＞0，
则|a+b|=a+b．
故选A．
　
6．用科学记数法表示31410000（　　）
A．3.14×107 B．3.141×107 C．3.141×108 D．3.141×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】根据科学记数法的表示方法，可得答案．
【解答】解：31410000=3.141×107，
故选：B．
　
7．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．2或﹣1 B．0 C．2 D．﹣1
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由题意可得：x﹣2=0且x+1≠0，
解得x=2．
故选：C．
　
8．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．x≥1
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故选C．
　
9．，则=（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式，根据乘方运算法则计算即可．
【解答】解：由题意得，x+2=0，y﹣2=0，
解得，x=﹣2，y=2，
则=﹣1，
故选：C．
　
10．（a﹣b）2=（　　）
A．a2﹣2ab﹣b2 B．a2+2ab+b2 C．a2﹣b2 D．a2﹣2ab+b2
【考点】完全平方公式．
【分析】利用完全平方公式展开可得．
【解答】解：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，
故选：D．
　
11．计算﹣12的结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】有理数的乘方．
【分析】﹣12表示1的二次方的相反数．
【解答】解：﹣12=﹣1．
故选：A．
　
12．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）=900 B．x（x+10）=900 C．10（x+10）=900 D．2[x+（x+10）]=900
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】首先用x表示出矩形的长，然后根据矩形面积=长×宽列出方程即可．
【解答】解：设绿地的宽为x，则长为10+x；
根据长方形的面积公式可得：x（x+10）=900．
故选B．
　
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．|﹣3|=　3　．
【考点】绝对值．
【分析】根据负数的绝对值等于这个数的相反数，即可得出答案．
【解答】解：|﹣3|=3．
故答案为：3．
　
14．计算：﹣1﹣2=　﹣3　．
【考点】有理数的减法．
【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个是等于加上这个数的相反数进行计算．
【解答】解：﹣1﹣2
=﹣1+（﹣2）
=﹣3．
故答案为﹣3．
　
15．因式分解：ax2﹣ay2=　a（x+y）（x﹣y）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：ax2﹣ay2=a（x2﹣y2）=a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
　
16．计算：（a2）3+（a3）2=　2a6　．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】首先利用幂的乘方运算化简，进而合并同类项即可．
【解答】解：原式=a6+a6
=2a6．
故答案为：2a6．
　
17． =　2　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】将12分解为4×3，进而开平方得出即可．
【解答】解： ==×=2．
　
18．规定一种运算：a☆b=（a﹣b）2，其中a、b为实数，计算：9☆（﹣1）=　100　．
【考点】实数的运算．
【分析】原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题中的新定义得：9☆（﹣1）=[9﹣（﹣1）]2=102=100，
故答案为：100
　
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．（1﹣sin20°）0+sin45°﹣（）﹣1．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1+×﹣2=1+1﹣2=0．
　
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解两个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜2，
解②得：x≥﹣2．

则不等式组的解集是﹣2≤x＜2．
　
21．先化简：（1+）÷，再在不等式2x﹣9＜0的解集中，选一个合适的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的取值范围，选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=?
=，
解不等式2x﹣9＜0得，x＜，
当x=3时，原式==．
　
22．如图，直线a经过点A（1，6），和点B（﹣3，﹣2）．
（1）求直线a的解析式；
（2）求直线与坐标轴的交点坐标；
（3）求S△AOB．

【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）设直线a的解析式为y=kx+b，用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）令x=0和y=0得出直线与坐标轴的交点坐标；
（3）设直线a与有轴交于点C，根据S△AOB=S△AOC+S△COB得出答案即可．
【解答】解：（1）设直线a的解析式为y=kx+b，
∵直线a经过点A（1，6），和点B（﹣3，﹣2），
∴，
解得，
∴直线a的解析式为y=2x+4；
（2）令x=0，得y=4；
令y=0得x=﹣2，
∴直线与坐标轴的交点坐标（﹣2，0）（0，4）；
（3）设直线a与y轴交于点C，
∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×4×3+×4×1=8．

　
23．如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．求证：CE为⊙O的切线．

【考点】切线的判定．
【分析】由已知条件得出，由圆周角定理得出∠BOC=∠A，证出OC∥AD，再由已知条件得出CE⊥OC，即可证出CE为⊙O的切线．
【解答】证明：∵点C、D为半圆O的三等分点，
∴，
∴∠BOC=∠A，
∴OC∥AD，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∴CE为⊙O的切线．
　
24．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
　
25．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．
（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．

【考点】四边形综合题．
【分析】（1）作ME⊥x轴于E，则∠MEP=90°，先证出∠PME=∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出点M的坐标；
（2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN=OA=4；
（3）先证明△PAD∽△PEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果．
【解答】解：（1）作ME⊥x轴于E，如图1所示：
则∠MEP=90°，ME∥AB，
∴∠MPE+∠PME=90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，
∵PM⊥CP，
∴∠CPM=90°，
∴∠MPE+∠CPO=90°，
∴∠PME=∠CPO，
在△MPE和△PCO中，，
∴△MPE≌△PCO（AAS），
∴ME=PO=t，EP=OC=4，
∴OE=t+4，
∴点M的坐标为：（t+4，t）；
（2）线段MN的长度不发生改变；理由如下：
连接AM，如图2所示：
∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵EP=OC=OA，
∴AE=PO=t=ME，
∴四边形AEMF是正方形，
∴∠MAE=45°=∠BOA，
∴AM∥OB，
∴四边形OAMN是平行四边形，
∴MN=OA=4；
（3）∵ME∥AB，
∴△PAD∽△PEM，
∴，
即，
∴AD=﹣t2+t，
∴BD=AB﹣AD=4﹣（﹣t2+t）=t2﹣t+4，
∵MN∥OA，AB⊥OA，
∴MN⊥AB，
∴四边形BNDM的面积S=MN?BD=×4（t2﹣t+4）=（t﹣2）2+6，
∴S是t的二次函数，
∵＞0，
∴S有最小值，
当t=2时，S的值最小；
∴当t=2时，四边形BNDM的面积最小．


　
26．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先求得直线AB与x轴、y轴的交点坐标，然后将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程组求得b、c的值从而可得到抛物线的解析式；
（2）由点A、B的坐标可知OB=OA，从而可求得∠BAO=45°，然后分为∠PQA=90°和∠QPA=90°两种情况求解即可；
（3）由题意可知：EP∥FQ，EF∥PQ，故此四边形EFQP为平行四边形，从而得到PE=FQ，然后设点P的坐标为（t，0）则可表示出点Q、E、F的坐标，从而可求得PE、FQ的长，最后根据PE=FQ列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）．
∵将A（3，0），B（0，3）代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，
∴∠QAP=45°．
如图①所示：∠PQA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3﹣t．
在Rt△PQA中，，即．
解得：t=1．
如图②所示：∠QPA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3﹣t．
在Rt△PQA中， =，即．
解得：t=．
综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形．
（3）如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t．点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），即F（3﹣t，4t﹣t2），则FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2．
∵EP∥FQ，EF∥PQ，
∴四边形EFQP为平行四边形．
∴EP=FQ，即3﹣t=3t﹣t2．
解得：t1=1，t2=3（舍去）．
将t=1代入得点F的坐标为（2，3）．
　

2016年4月30日