江西省南昌市2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌市高二上学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某书架的第一层放有本不同的历史书，第二层放有本不同的地理书从这些书中任取本历史书和本地理书，不同的取法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知直线与直线平行，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.若直线：与圆：只有一个公共点，则( )
A. B. C. D.
4.某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量单位：近似服从正态分布，现有该新品种脐橙个，估计单果质量不低于的脐橙个数为( )
附：若，则，，．
A. B. C. D.
5.小花准备将一颗黄色圣女果、一颗红色圣女果、一颗山楂、一颗草莓、一颗葡萄串起来制作一串冰糖葫芦，若要求两颗圣女果不相邻，则不同的串法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，点在的渐近线上，过点作，垂足为，，则的方程为( )
A. B. C. D.
7.小明参加户外植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则( )
注：设，为两个随机变量，则有．
A. B. C. D.
8.在四棱锥中，底面是菱形，，，是上一点，且，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.由一组样本数据，，，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是( )
A. 直线至少经过点，，，中的一个点
B. 直线必经过点
C. 样本相关系数与回归系数同号
D. 对样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强
10.如图，在八面体中，，，，均是边长为的正三角形，且平面，，均垂直于底面，下列结论正确的是( )
A.
B. 为正三角形
C. 点到平面的距离为
D. 直线与直线所成角的余弦值为
11.已知，分别为椭圆：的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，过点作轴，垂足为，直线，分别与轴交于点，，则下列结论正确的是( )
A. 若是的中点，则
B. 若是的左焦点，则是的中点
C.
D. 若是的中点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的系数为______．
13.已知抛物线：的焦点为，在上，若以为直径的圆与轴相切于点，则 ______．
14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，，，，乙的卡片上分别标有数字，，，，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片弃置的卡片在此后的轮次中不能使用，则甲在第一轮比赛中得分的概率为______，甲的总得分为的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中装有个大小相同的球，其中红球个，黄球个，白球个，从中随机取出个球．
求取出的个球中有个白球的概率；
设表示取到的红球个数，求的分布列与数学期望．
16.本小题分
为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果单位：人：
患病情况服用情况 患病 不患病
服用中药预防方
不服用中药预防方
该中药预防方对预防该种疾病是否有效？
从参与该实验的人中任选一人，表示事件“选到的人服用中药预防方”，表示事件“选到的人患病”利用该调查数据，求，的值．
附：，其中．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面，，点为上的动点．
求三棱锥的体积；
当最小时，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
甲、乙名同学最近次的投篮情况如下：
甲 乙
投中
未投中
用频率估计概率，解答下列问题．
若从甲、乙人中随机选择人投篮次，求投中的概率．
设甲、乙进行投篮比赛，约定甲、乙轮流投篮，第一次由甲先投规定：若其中一人比另一个人多投中次，则停止比赛例如：甲第一次投中，乙第一次未投中，甲第二次投中，则停止比赛，乙不再投第二次，投中次数多的赢得比赛；若甲、乙都投完了次，则也停止比赛，投中次数多的获胜，次数相同则平局甲、乙每次投中与否相互独立．
求甲投了第三次后停止比赛的概率；
求乙投了第四次后停止比赛的概率．
19.本小题分
已知为坐标原点，椭圆：的左顶点为，右焦点为，点在上，且，，直线与直线的斜率之比为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线，分别与交于点，和点，，若，分别为线段和的中点，当直线，的斜率之积为时，求的面积的最大值．
参考答案
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15.解：因为袋中有红球个，黄球个，白球个，
则取出的个球中有个白球的概率；
易知的所有可能取值为，，，
此时，，，
则的分布列为：
故E．
16.解：由已知得
，
所以有的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效；
由题意可得，，
，，
，．
17.解：因为，
而平面，
所以是三棱锥的高，
在中，，
所以三棱锥的体积；
取的中点，连接，以，所在直线分别为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设，，则，，
则，
所以当时，有最小值，
此时，，
设平面的法向量为，
则所以
令，则，，
所以，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以当最小时，平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：甲同学的投篮命中率为，
乙同学的投篮命中率为，
从甲、乙中随机选择人投篮次，投中的概率为．
甲投了次，则乙投了次．
由题意可得甲比乙多投中次，有种情况．
第一种情况：甲投中了次，乙投中了次，
即甲每次投篮都投中，乙第一次投篮投中，
第二次投篮没投中，其概率为，
第二种情况，甲投了次，乙投了次，
即甲第一、三次投篮都投中，第二次投篮没投中，乙每次投篮都投中，
或甲第二、三次投篮投中，第一次投篮没投中，
其概率为，
甲投了第三次后停止比赛的概率为．
乙投了次，则甲投了次，
记甲、乙各投次为一轮，则甲、乙共投了四轮，
在每轮比赛中，记事件为乙投中的次数比甲多次，即乙投中，甲没投中，其概率为，
记事件为甲、乙投中的次数相等，即甲、乙都没投中或都投中，其概率为，
记事件为乙投中的次数比甲少次，即乙没投中，甲投中，其概率为，
投了第四次后停止，即投了四轮后乙投中的次数比甲多次，有种情况：
第一种情况：四轮比赛中，事件，各发生次，即第一至四轮依次为，，，或，，，或，，，，
其概率为，
第二种情况：四轮比赛中，事件发生次，事件发生次，即第一至四轮依次为，，，或，，，，
其概率为，
乙投了第四次后停止比赛的概率为．
19.解：设点在第一象限，
记直线与直线的斜率分别为，，
此时，，
因为直线与直线的斜率之比为，
所以，
所以，
因为，
解得，，，
则椭圆的标准方程为；
显然直线，的斜率存在且不为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
即，
同理得，
所以的中点为，
则的面积，
当且仅当，即时，等号成立．
故的面积的最大值为．
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