6.4.3.2平面向量的应用——正弦定理 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.4.3.2 正弦定理
复习回顾
余弦定理：
推论：
余弦定理及其推论把“”和“”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
新知探究
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式. 如果已知两角和一边，是否也相应的直接解三角形的公式呢？
探究
在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论. 实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系. 从量化的角度看，可以将边、角关系转化为：
在中，设的对边为，的对边为，求，，，之间的定量关系.
新知探究
A
B
C
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.
根据锐角三角函数，在中，有
显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立. 观察发现，他们有一个共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得
新知探究
A
B
C
又因为，
所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即
对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？
新知探究
因为涉及到三角形的边、角关系，所以我们仍然采用向量方法来研究.
我们希望获得中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式. 在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来研究
新知探究
向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦. 如何实
现转化？
思考
由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把角的余弦关系转化为正弦关系.
新知探究
A
B
C
下面先研究锐角三角形的情形.
如图，在锐角中，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.
因为，所以
由分配律，得
新知探究
A
B
C
即
也即
所以
同理，过点作与垂直得单位向量，可得
因此
新知探究
A
B
C
当是钝角三角形时，不妨设为钝角. 过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为.
仿照上述方法，同样可得
新知探究
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
这个公式表达形式的统一性、对称性，不仅使结果更为和谐优美，而更突显了三角形边角关系的本质.
新知探究
正弦定理给出了任意三角形中的三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系. 利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题，还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
你还能用其他方法来证明正弦定理吗？
新知探究
（1）几何作高法证明余弦定理
①当三角形为锐角三角形时，
如图，作交于点，
则，
所以
同理可证
即成立.
A
B
C
D
新知探究
（1）几何作高法证明余弦定理
①当三角形为钝角三角形时，不妨设角为钝角，
如图，作交延长线于点，
则，
即，
所以，
作交于点，可得，
即成立.
A
B
C
D
E
新知探究
（2）外接圆法证明余弦定理
如图，，
同理可得，
即
（为外接圆的半径）
新知探究
根据上面的分析过程与不同方法的证明过程，你能总结正弦定理的不同变形吗？
（1）；；
（2）；；
（3）
典型例题
例1：在中，已知，，，解这个三角形.
由三角形内角和定理，得，
由正弦定理，得
典型例题
例1：在中，已知，，，解这个三角形.
典型例题
例2：在中，已知，，，解这个三角形.
由正弦定理，得
因为 ，，
所以，
于是或.
为什么角有两个值？
典型例题
例2：在中，已知，，，解这个三角形.
（1）当时，，
此时
典型例题
例2：在中，已知，，，解这个三角形.
（2）当时，，
此时
随堂练习
1、在中，已知，，，求和.
2、在中，已知，，，求.
随堂练习
3、在中，已知，，，求，.
本节课到此结束！
谢谢大家！