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《三角形》分课时教学设计
第4课时三角形的中线、角平分线教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 1、了解三角形的角平分线、中线的定义及其特点。 2、能在具体三角形中作出三角形的角平分线、中线。 3、能根据三角形的角平分线、中线的定义进行相关的推理和简单的计算。
学习者分析 “三角形的中线和三角形的角分线”是北师大（2024）七年级(下)第四章4.1认识三角形的内容。本节课是在小学初步认识三角形的基本概念以及刚刚接触到三角形边边关系的基础上,又具体介绍了三角形中的三条重要线段中两条——中线和角平分线,它既是上学期所学线段和角的延续,又是后继学习全等三角形和四边形的基础。在知识体系上具有承上启下的作用。七年级的孩子思维活跃,模仿能力强,对新知事物满怀探求的欲望,他们乐于尝试、探索、思考、交流与合作,在老师引导下能针对某一问题展开讨论并归纳总结。但是受年龄特征的影响,他们知识迁移能力不强,推理能力还需进一步培养,因而老师有必要给学生充分的自由和空间
教学目标 理解三角形角平分线和中线的概念,能正确画出任意三角形的角平分线和中线。 经历探索新知识的过程,提高动手能力和归纳总结能力。 3、能利用与三角形的角平分线和中线有关的相等关系进行简单的推理和计算。 4、在解决问题的过程中,体会用折纸的方法给问题的解决带来的方便,增强学习数学的兴趣。
教学重点 了解三角形的中线,角平分线的定义并掌握其性质,会作三角形的中线和角平分线。
教学难点 通过学生观察、想象、动手做、交流等活动,培养学生探索发现能力、观察能力、动手操作能力和有条理地表达能力。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：旧知导入教师活动1： 1、任意（锐角三角形，直角三角形和钝角三角形)三角形的三条高所在的直线交点一点。 2、锐角三角形的三条高交点在三角形内部。 3、直角三角形的三条高交点直角顶点。 4、钝角三角形)三角形的三条高所在的直线交点在三角形外部。 5、角的平分线。 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。 若射线OC是∠AOB的角平分线， 则∠AOC＝ ∠COB＝ ∠AOB ∠AOB＝2 ∠AOC 或∠AOB＝2 ∠COB学生活动1： 回顾旧知，引入新课。 活动意图说明： 复习旧知角平分线的定义，引入课题三角形的角平分线。让学生以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程。环节二：探究三角形的角平分线教师活动2： 1、引入：任意画一个△ABC，然后把内角∠BAC对折一 次，使AB与AC重合，得到一条折痕AD （如图），你能根据此图得到哪些结论？ 2、三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 ∵AD是 △ ABC的 角平分线,∴∠ BAD = ∠ CAD = ∠BAC 3、三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别呢？ 线段AD是△ABC的角平分线， 射线AD是∠BAC的角平分线 4、在锐角三角形、钝角三角形和直角三角形中 （1）你能分别画出这个三角形的三条角平分线吗 （2）在每个三角形中，这三个角平分线之间有怎么样的位置关系？ 5、小结：三角形的三条角平分线线交于一点 几何语言： ∵线段BE是△ABC的角平分线 ∠ABE=∠CBE= ∠ABC学生活动2： 类比角平分线定义，得到三角形角平分线定义。 用几何语言描述三角形角平分线定义。 分析比较角平分线与三角形角平分线的区别。 通过画锐角、直角、钝角三角形的角平分线，得到任意三角形的角平分线相交于一点。活动意图说明： 采用合作探究学习的方式,实现学生自主学习的目的,让学生亲身体验类比的想法是如何指导数学学习,这样的主动学习过程,既可以体现数学学习的特殊过程,又可以调动学生学习的热情,相互交流,充分表达自己的想法,相互取长补短环节三：探究三角形的中线教师活动3： 1、在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形的中线. ∵AD是△ ABC的 中线，∴ BD =CD =BC 2、三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分。 （等底等高） 3、活动一：在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系 活动二，钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？ 折一折，画一画，并与同伴交流。 活动小结：三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心。 学生活动3 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高，经历观察、操作、分析、推理和想象等活动得出三角形三条中线相交于一点。 活动意图说明： 环节四：典例精析教师活动4 学生活动3 例题1：如图，AD是△BAC的角平分线。已知∠B＝48°，∠C＝63°，求下列 各角的度数： （1）∠BAD；（2）∠ADB 解：（1）∵AD是△BAC的角平分线 ∵∠BAC＋∠C＋∠B＝180° ∴∠BAC＝180°－∠C－∠B ＝180°－63°－48°=＝69° ∴∠BAD＝34.5° （2）∵∠ADB＝∠C＋∠CAD （根据是什么？） ∠CAD＝∠BAD ∴∠ADB＝34.5°＋63°＝97.5° 例题2：在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC 的周长. 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD， ∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm， 则BD+CD＝25－BC. ∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC ＝BD＋CD＋AC ＝25-BC＋AC ＝25－(BC－AC) ＝25－5＝20cm.动意图说明 通过两个例题的分析，能利用与三角形的角平分线和中线有关的相等关系进行简单的推理和计算。 在解决问题的过程中,体会用折纸的方法给问题的解决带来的方便,增强学习数学的兴趣。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交 AC于 E,F为AB上一点,CF交AD于H,判断下列说法的正误. （1）AD是△ABE的角平分线( × ) （2）BE是△ABD边AD上的中线( × ) （3）BE是△ABC边AC上的中线( × ) 2.三角形的角平分线是( ) A.射线 B.线段 C.直线 D.射线或直线 3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB的邻补角∠ACM，若∠BDC=130°，∠E=50°，则∠BAC的度数是 120°. 4.如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则 S△ADF﹣S△BEF= 2 ． 第3题 第4题 5.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB 的度数. 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中， ∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°-∠B-∠BAD ＝180°-36°-34° ＝110°. 选做题： 6在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝ 7cm 【综合拓展类作业】 如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数. 解：∵ＡE是△ABC的角平分线， ∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC. ∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°， ∴∠BAE=37.5°. ∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°， ∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数为（B ） A.40° B.20° C.18° D.38° 2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ C ） A．AB=2BF B．∠ACE= ∠ACB C．AE=BE D．CD⊥BE 第1题 第2题 3．下列说法不正确的是（ C ） A．三角形的重心是其三条中线的交点 B．三角形的三条角平分线一定交于一点 C．三角形的三条高线一定交于一点 D．三角形中，任何两边的和大于第三边 4．如图，在△ABC中，CD是中线.若S△ACD =5，则S△ABC的值是 10 . 第4题 第5题 第6题 5．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为 6 6.如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，则AC= 7 . 7.如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C=70°，∠BED=64°，求∠BAC的度数． 解：∵AD是△ABC的高，∠C=70°，∴∠DAC=20°， ∵BE平分∠ABC交AD于E，∴∠ABE=∠EBD， ∵∠BED=64°，∴∠ABE+∠BAE=64°， ∴∠EBD+64°=90°，∴∠EBD=26°， ∴∠BAE=38°， ∴∠BAC=∠BAE+∠CAD=38°+20°=58°． 选做题： 8.如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P. （1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 度，∠P= 度 （2）∠A与∠P的数量关系为 ，并说明理由. 【应用】 如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为 . 解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°， ∴∠A=50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB， ∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°， ∴∠P=180°﹣65°=115°，故50，115； （2）. 证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴，， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°， ∴， ∴，∴； （3）. 理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC， ∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB， ∴△BCQ中， ∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB） =（∠ABC+∠ACB）， 又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A. 【综合拓展类作业】 9.如图，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD.已知AF=6，BC=10，BG=5. (1)求△ABC的面积； (2)求AC的长； (3)试说明△ABD和△ACD的面积相等. 解：(1)∵△ABC的边BC上的高为AF，AF=6，BC=10， ∴△ABC的面积为0.5BC·AF=0.5×10×6=30. (2)∵AC边上的高为BG，BG=5， ∴△ABC的面积为0.5AC·BG=30，即0.5AC×5=30，∴AC=12. (3)∵△ABC的中线为AD， ∴BD=CD. ∵△ABD以BD为底，△ACD以CD为底，而且等高， ∴S△ABD=S△ACD.
教学反思
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册、第四章
课标要求 1、理解三角形外角、内角、中线、高线角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2、了解三角形重心的概念。3、探索和证明三角形的内角和。掌握它的推论：三角形的外角等于不相邻的两个内角和。证明三角形任意两边之和大于第三边。4、理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边和对应角。5、掌握基本事实：两边及其夹角相等的两个三角形全等。6、掌握基本事实：两角及其夹边相等的两个三角形全等。7、掌握基本事实：三边相等的两个三角形全等。8、证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等9、了解等腰三角形的概念。10、了解直角三角形的概念，并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互补。11、会利用基本图形作三角形：已知三边、两边及夹角、两角夹边作三角形。
内容分析 三角形是生活中最基本的几何图形，它常常出现在建筑或一些物体的基本结构框架中，本章将进一步研究三角形性质和全等关系，感受研究图形性质的基本方法，在一个个结论获得过程中，慢慢体会如何有逻辑的说明它们的正确性；在尺规作图的过程中，感受如何通过对图形的直观分析作出想要的图形，这些学习过程会帮助你积累更多的研究图形的经验，发展几何直观和推理能力。本章主要内容：三角形内角和、三角形三边的关系、三角形的中线、高线、角平分线、全等图形、判断三角形全等的条件、尺规作图、利用三角形全等测高。
学情分析 学生基本技能：学生在小学阶段已经学习了有关三角形的一些初步知识，能在生活中抽象出三角形的几何特征，但不严谨，本章要相对严谨的学习三角形的有关知识，学生在相交线与平行线的学习过程中，对两条直线平行的条件和两直线平行具有的特征探究，使学生具备了利用平行线的结论得出三角形的内角和的结论和基本技能。学生的活动经验：学生以前再几何的学习过程中，已对图形的概念、线段、角的表示法、线段的测量有一定的认识，为认识三角形的概念、三角形的表示奠定了基础，在小学学过的内角和是通过拆、拼的方法得到，具备了直观操作经验。同时在以前的数学学习过程中，经历了很多合作探究过程，具有一定的合作探究经验，具备了一定的合作交流能力。
单元目标 教学目标在探索图形性质的过程中，经历观察、操作、想象、推理交流等活动，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和推理能力。理解三角形中线、高线、角平分线的概念，探索并掌握三角形的内角和及三角形三边之间的关系，了解三角形的稳定性。了解图形的全等，理解全等三角形的概念，经历探究全等三角形的条件的过程，掌握全等三角形的条件，能利用三角形全等解决实际问题。在分别给出两角夹边、两边夹角、三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。尝试用多种方法表达自己的想法，表述问题解决的理由，发展初步的演绎推理能力和有条理的表达能力。感受数学与现实世界的联系。教学重点、难点重点：对三角形基本概念的了解以及对三角形全等的探究。难点：在不同情况下对三角形全等的证明及其实际运用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识三角形12三角形三边之间的关系13三角形的高14三角形的角平分线、中线15全等三角形16探索三角形全等的条件（SSS）17探索三角形全等的条件（ASA)18探索三角形全等的条件（SAS)19利用全等三角形测距离110回顾与思考111问题解决的策略 特殊化1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识三角形1、认识三角形的概念及其基本要素,掌握三角形的三个内角间的关系，会将三角形分类.2、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展推理能力和有条理表达的能力.3、激发学生学习数学的兴趣，使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系.1、结合生活，观察身边的实物，引入新知。2、学生通过观察，归纳认三角形的特点，掌握三角形及其角和边的表示方法。3、学生四人小组合作，进行探究验证。各小组选派代表展示探究成果。4、学生阅读，回答问题，通过逻辑推理得到直角三角形两个锐角互余的结论，并能应用到实际问题中.环节一：情境引入环节二：三角形定义及表示法。环节三：三角形内角和。环节四：三角形按角分类。三角形三边之间的关系 (1)知识与技能：让学生认识等腰三角形，会按边对三角形分类并掌握三边关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题. 结合具体实例,进一步掌握三角形三条边的关系.(2)过程与方法：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理能力和有条理地表达能力. (3)情感与态度：学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.1、回顾旧知，引入新课。2、观察思考、小组讨论归纳出等腰三角形、等边三角形的特征和三角形按边分类的从属关系。3、在教师的引导下合作探究三角形三边之间的关系。4、学生自学例题，质疑反思，总结提升。环节一：复习引入环节二：探究三角形按边分类。环节三：探究三角形三边之间的关系环节四：典例精析。三角形的高知识技能: (1)认识三角形的高线；(2)能画任意三角形的高线。(3) 了解三角形三条高所在直线交于一点。过程与方法:通过观察,操作,想象,推理,交流等活动,发展空间观念,培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力,以及推理能力和有条理的表达能力。情感与态度:通过折纸,画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活。1、学生巩固旧知。2、小组合作交流，探究解决。引出三角形高的定义。3、学生通过判断对三角形的高的定义有了进一步的了解。4、探究三角形任何的高都相交与一点。环节一：旧知引入环节二：探究三角形的高。三角形的高、角平分线理解三角形角平分线和中线的概念,能正确画出任意三角形的角平分线和中线。经历探索新知识的过程,提高动手能力和归纳总结能力。3、能利用与三角形的角平分线和中线有关的相等关系进行简单的推理和计算。4、在解决问题的过程中,体会用折纸的方法给问题的解决带来的方便,增强学习数学的兴趣。1、回顾旧知，引入新课。2、类比角平分线定义，得到三角形角平分线定义。3、用几何语言描述三角形角平分线定义。4、分析比较角平分线与三角形角平分线的区别。通过画锐角、直角、钝角三角形的角平分线，得到任意三角形的角平分线相交于一点。5、分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高，经历观察、操作、分析、推理和想象等活动得出三角形三条中线相交于一点。6、根据三角形角平分线、中线的定义，解决实用问题。体现数学的应用价值。环节一：复习引入环节二：探究三角形角平分线。环节三：三角形的中线。环节四：典例精析。全等三角形1、通过折叠、平移等活动，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，了解全等三角形的定义，2、会用符号表示两个三角形全等，正确找出对应角和对应边。3、了解全等三角形的性质，并应用性质解决实际问题。4、经历“观察，抽象概括；由感性认识到理性认识。”“感悟三角形的全等——语言概括----应用三角形全等”。5、学生积极参探究。建立学习好数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值。了解全等图形的含义，通过几何图形的辨析，对图形全等有感性认识。2、认识全等三角形及几何语言。3、小组活动找全等三角形的对应角和对应边。4、探究全等三角形的性质。5、自学例题1、2提出质疑，小组合作化解质疑。环节一：旧知引入环节二：认识全等三角形。环节三：典例精析探索三角形全等的条件（SSS）1．知识与技能：探索并掌握“三边对应相等的两个三角形全等”的基本事实，会用尺规按要求作出三角形，了解三角形的稳定性．2．过程与方法：在数学活动中体会通过合情推理探索数学结论的过程，发展合情推理与演绎推理的能力，经历分析问题、解决问题、与他人合作交流等过程，增强应用意识，提高实践能力．3．情感态度与价值观；积极参与数学活动，在数学学习过程中，体验成功，克服困难，树立信心．1、回顾旧知2、学生们按小组分别设计给出1个条件、2个条件、3个条件探索三角形全等的条件。3、已知三边作出符合条件的三角形。4、利用身边实例探究三角形的稳定性。5、学生独立解决问题，小组合作交流，各小组选派代表上前展示问题的解题过程。环节一：回顾旧知环节二：探索三角形全等的条件（SSS）。环节三：探究三角形的稳定性环节四：典例精析探索三角形全等的条件（ASA)1．掌握三角形全等的“ASA”条件，以及在其应用过程中，能够进行有条理的思考并进行规范的推理证明。2．经历探索三角形全等条件（ASA）的过程，体会利用操作、归纳得出数学结论的过程以及从特殊到一般分析问题的方法，积累基本活动经验。3．体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理应用结论证明的过程，在数学活动中，发展学生的合情推理能力以及演绎推理能力。求作一个角等于已知角回顾全等三角形的判断。3\思考已知两个三角形的两角及其一边对应相等，这两个三角形全等吗.4、独立操作，合作交流，全体回答。5、在操作交流的基础上归纳概括。6、教师示范按要求画三角形，学生独立完成。7独立思考，合作交流,规范解答。环节一：回顾旧知环节二：探索三角形全等的条件（ASA）。环节三：求作一个三角形(ASA)。环节四：典例精析探索三角形全等的条件（SAS)1．知识与技能：通过分组画图比较，得出SAS的结论，培养学生思维的全面性，能够利用全等条件判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由。2．过程与方法：让学生在活动过程中，发展合作交流能力和语言表达能力。3．情感态度：在解决问题中发现问题，通过虚心交流解决问题，互相启发，互相受益，在活动过程中体会结论的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生依据已知结论分析问题、解决问题的良好习惯。1、复习提问。判断三角形全等的方法有几种，分别用语言加以描述。2、学生以小组为单积极画图；3、学生根据各小组所画的图形，剪下后对比分析，看图形是否完全重合.4、通过对比、交流，最终得出结论：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等.5、按要求作出三角形，教师示范，学生模仿。6、学生独立完成例题的学习+学生展示。环节一：回顾旧知环节二：探索三角形全等的条件（SAS）。环节三：求作一个三角形(SAS)。环节四：典例精析利用全等三角形测距离1、知识与技能： 能利用三角形的全等解决实际问题，并知道何题用延长法、何题用垂直法构造直角三角形2、过程与方法： 通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。 3、情感与态度： 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达, 体会建模思想。1、回答教师所提出的问题。2、让学生主动参与，积极思考，在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度．环节一：回顾旧知环节二：典例精析环节三：课堂练习。回顾与思考1．知识与技能：通过学生自主复习进一步巩固三角形的基本性质，掌握全等图形的性质，三角形全等的判定条件。2．过程与方法：合理运用三角形全等的条件解决一些简单问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的小组合作意识和合作能力。3．情感与态度：让学生理解数学的应用价值，培养学习数学的兴趣。 1、上交并口述思维导图。2、回忆，思考，合作交流，回答问题。3、组织学生对5个专题的探究，小组合作完成相应习题。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：考点讲练。问题解决的策略 特殊化1.抽象思维：通过分析实际问题，学生能从特殊性推断出问题的一般性。2. 逻辑推理：学会运用逻辑推理的方法，解决实际问题，提高解题过程的逻辑性。3. 数学建模：掌握建立解决问题的策略特殊性--一般性的方法，解决现实生活中的问题，培养数学建模素养。提高问题解决素养，增强数学应用意识。1.学生思考并回答问题。2、找出两个全等的三角形，并证明两个三角形全等。3、思考问题的特殊性，推导问题的一般性。环节一：旧知导入环节二：探究新知
《三角形》单元教学设计
活动一：情景引入
活动二：三角形定义及表示法
任务一：认识三角形
活动三：三角形内角和
活动四：三角形按角分类
活动一：复习引入
三
角
形
任务二：三角形三边之间的关系
活动二：三角形按边分类
活动三：三角形三边之间的关系
活动四：典例精析
活动一：旧知引入
任务三：三角形的高
活动二：探究三角形的高
活动一：旧知引入
活动二：探究三角形的角平分线
任务四：三角形的角平分线、中线
活动三：探究三角形的中线线
活动四：典例精析
活动一：旧知引入
任务五：全等三角形
活动二：全等三角形定义、性质
活动三：典例精析
活动一:回顾旧知
三
角
形
任务六：探索三角形全等的条件（SSS）
活动二：探索三角形全等(SSS)
活动三：探究三角形的稳定性
活动四：典例精析
活动一:回顾旧知
任务七：探索三角形全等的条件（ASA）
活动二：探索三角形全等(ASA)
活动三：求作三角形(ASA)
活动四：典例精析
活动一:回顾旧知
活动二：探索三角形全等(SAS)
任务八：探索三角形全等的条件（SAS）
活动三：求作三角形(SAS)
活动四：典例精析
活动一:回顾旧知
任务九：利用全等三角形测距离
活动二:典例精析
活动三:课堂练习
活动一:知识架构
三
角
形
活动二:知识梳理
任务十：回顾与思考
活动三:考点讲练
活动一:引入新课
任务十一：问题解决的策略
特殊化
活动二:探究新知
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（北师大2024版）七年级
下
4.1 三角形中线和角平分线
三角形
第四章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1、理解三角形角平分线和中线的概念,能正确画出任意三角形的角平分线和中线。
2、经历探索新知识的过程,提高动手能力和归纳总结能力。
3、能利用与三角形的角平分线和中线有关的相等关系进行简单的推理和计算。
4、在解决问题的过程中,体会用折纸的方法给问题的解决带来的方便,增强学习数学的兴趣。
知识回顾
1、任意（锐角三角形，直角三角形和钝角三角形)三角形的三条高所在的直线交点一点。
2、锐角三角形的三条高交点在三角形内部。
3、直角三角形的三条高交点直角顶点。
4、钝角三角形)三角形的三条高所在的直线交点在三角形外部。
角的平分线。
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
若射线OC是∠AOB的角平分线，
则∠AOC＝ ∠COB＝ ∠AOB
∠AOB＝2 ∠AOC
或∠AOB＝2 ∠COB
C
O
B
A
知识回顾
新知讲解
探究一；三角形的角的平分线。
任意画一个△ABC，然后把内角∠BCA
对折一次，使AB与BC重合，得到一条
折痕CD（如图），你能根据此图得到
哪些结论？
A
C
D
B
新知讲解
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
A
B
C
D
∵AD是 △ ABC的 角平分线
∠ BAD = ∠ CAD = ∠BAC
1
2
新知讲解
三角形的角平分线与角的 平分线有什么区别呢？
线段AD是△ABC的角平分线
射线AD是∠BAC的角平分线
A
D
B
C
A
C
B
D
新知讲解
在锐角三角形、钝角三角形和直角三角形中
（1）你能分别画出这个三角形的三条角平分线吗
（2）在每个三角形中，这三个角平分线之间有怎么样的位置关系？
三角形的三条角平分线线交于一点
几何语言：
∵线段BE是△ABC的角平分线
∠ABE
=∠CBE =
1
2
∠ABC
A
B
F
E
D
O
C
新知讲解
新知讲解
探究二；三角形中线。
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段,
叫做这个三角形的中线.
∵AD是△ ABC的 中线
BD =CD = BC
1
2
A
B
C
D
三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两部分。（等底等高）
新知讲解
(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的位置关系
三条中线，且相交于一点
新知讲解
(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？ 折一折，画一画，并与同伴交流。
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心。
典例精析
例题1：如图，AD是△BAC的角平分线。已知∠B＝48°，∠C＝63°，求下列各角的度数：
（1）∠BAD；（2）∠ADB
C
A
B
D
解：（1）∵AD是△BAC的角平分线
∵∠BAC＋∠C＋∠B＝180°
∴∠BAC＝180°－∠C－∠B
＝180°－63°－48°=＝69°
∴∠BAD＝34.5°
典例精析
（2）∵∠ADB＝∠C＋∠CAD
（根据是什么？）
∠CAD＝∠BAD
∴∠ADB＝34.5°＋63°＝97.5°
C
A
B
D
典例精析
例题2：在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)
＝25－5＝20cm.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1、如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交 AC于E,F为AB上一点,CF交AD于H,判断下列说法的正误.
（1）AD是△ABE的角平分线( )
（2）BE是△ABD边AD上的中线( )
（3）BE是△ABC边AC上的中线( )
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
×
×
×
课堂练习
2.三角形的角平分线是( )
A.射线 B.线段 C.直线 D.射线或直线
3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB的邻补角∠ACM，若∠BDC=130°，∠E=50°，则∠BAC的度数是
.
4.如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则
S△ADF﹣S△BEF= ．
B
120°
2
课堂练习
5.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°-∠B-∠BAD
＝180°-36°-34°
＝110°.
5.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB 的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，
∴∠DAC＝∠BAD＝34°.
在△ABD中，
∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，
∴∠ADB＝180°-∠B-∠BAD
＝180°-36°-34°＝110°.
B
D
C
A
课堂练习
6.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
7cm
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
课堂练习
7.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°, ∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
课堂总结
（1）一个三角形有三条角平分线和三条中线.
（2）它们都在三角形的内部.
（3）三角形的角平分线和中线都是线段。
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，
且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数为（ ）
A.40° B.20° C.18° D.38°
2.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平
分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
B
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的重心是其三条中线的交点 B．三角形的三条角平分线一定交于一点
C．三角形的三条高线一定交于一点 D．三角形中，任何两边的和大于第三边
4．如图，在△ABC中，CD是中线.若S△ACD =5，则S△ABC的值是 .
C
10
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
5．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为
6. 如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，则AC= .
6
7
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
7.如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C=70°，∠BED=64°，求∠BAC的度数．
解：∵AD是△ABC的高，∠C=70°，∴∠DAC=20°，
∵BE平分∠ABC交AD于E，∴∠ABE=∠EBD，
∵∠BED=64°，∴∠ABE+∠BAE=64°，
∴∠EBD+64°=90°，∴∠EBD=26°，
∴∠BAE=38°，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAD=38°+20°=58°
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
8.如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A= 度，∠P= 度
（2）∠A与∠P的数量关系为 ，并说明理由.
【应用】
如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为 .
作业布置
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
9.如图，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD.已知AF=6，BC=10，BG=5.
(1)求△ABC的面积；
(2)求AC的长；
(3)试说明△ABD和△ACD的面积相等.
解：(1)∵△ABC的边BC上的高为AF，AF=6，BC=10，
∴△ABC的面积为0.5BC·AF=0.5×10×6=30.
作业布置
(2)∵AC边上的高为BG，BG=5，
∴△ABC的面积为0.5AC·BG=30，即0.5AC×5=30，∴AC=12.
(3)∵△ABC的中线为AD，
∴BD=CD.
∵△ABD以BD为底，△ACD以CD为底，而且等高，
∴S△ABD=S△ACD.
板书设计
∵AD是△ ABC的 中线
BD =CD = BC
1
2
A
B
C
D
∵AD是 △ ABC的 角平分线
∠ BAD = ∠ CAD = ∠BAC
1
2
A
B
C
D
Thanks!
2
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