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学 科 数学 年 级 七年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册、第四章
课标要求 1、理解三角形外角、内角、中线、高线角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2、了解三角形重心的概念。3、探索和证明三角形的内角和。掌握它的推论：三角形的外角等于不相邻的两个内角和。证明三角形任意两边之和大于第三边。4、理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边和对应角。5、掌握基本事实：两边及其夹角相等的两个三角形全等。6、掌握基本事实：两角及其夹边相等的两个三角形全等。7、掌握基本事实：三边相等的两个三角形全等。8、证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等9、了解等腰三角形的概念。10、了解直角三角形的概念，并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互补。11、会利用基本图形作三角形：已知三边、两边及夹角、两角夹边作三角形。
内容分析 三角形是生活中最基本的几何图形，它常常出现在建筑或一些物体的基本结构框架中，本章将进一步研究三角形性质和全等关系，感受研究图形性质的基本方法，在一个个结论获得过程中，慢慢体会如何有逻辑的说明它们的正确性；在尺规作图的过程中，感受如何通过对图形的直观分析作出想要的图形，这些学习过程会帮助你积累更多的研究图形的经验，发展几何直观和推理能力。本章主要内容：三角形内角和、三角形三边的关系、三角形的中线、高线、角平分线、全等图形、判断三角形全等的条件、尺规作图、利用三角形全等测高。
学情分析 学生基本技能：学生在小学阶段已经学习了有关三角形的一些初步知识，能在生活中抽象出三角形的几何特征，但不严谨，本章要相对严谨的学习三角形的有关知识，学生在相交线与平行线的学习过程中，对两条直线平行的条件和两直线平行具有的特征探究，使学生具备了利用平行线的结论得出三角形的内角和的结论和基本技能。学生的活动经验：学生以前再几何的学习过程中，已对图形的概念、线段、角的表示法、线段的测量有一定的认识，为认识三角形的概念、三角形的表示奠定了基础，在小学学过的内角和是通过拆、拼的方法得到，具备了直观操作经验。同时在以前的数学学习过程中，经历了很多合作探究过程，具有一定的合作探究经验，具备了一定的合作交流能力。
单元目标 教学目标在探索图形性质的过程中，经历观察、操作、想象、推理交流等活动，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和推理能力。理解三角形中线、高线、角平分线的概念，探索并掌握三角形的内角和及三角形三边之间的关系，了解三角形的稳定性。了解图形的全等，理解全等三角形的概念，经历探究全等三角形的条件的过程，掌握全等三角形的条件，能利用三角形全等解决实际问题。在分别给出两角夹边、两边夹角、三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。尝试用多种方法表达自己的想法，表述问题解决的理由，发展初步的演绎推理能力和有条理的表达能力。感受数学与现实世界的联系。教学重点、难点重点：对三角形基本概念的了解以及对三角形全等的探究。难点：在不同情况下对三角形全等的证明及其实际运用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识三角形12三角形三边之间的关系13三角形的高14三角形的角平分线、中线15全等三角形16探索三角形全等的条件（SSS）17探索三角形全等的条件（ASA)18探索三角形全等的条件（SAS)19利用全等三角形测距离110回顾与思考111问题解决的策略 特殊化1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识三角形1、认识三角形的概念及其基本要素,掌握三角形的三个内角间的关系，会将三角形分类.2、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展推理能力和有条理表达的能力.3、激发学生学习数学的兴趣，使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系.1、结合生活，观察身边的实物，引入新知。2、学生通过观察，归纳认三角形的特点，掌握三角形及其角和边的表示方法。3、学生四人小组合作，进行探究验证。各小组选派代表展示探究成果。4、学生阅读，回答问题，通过逻辑推理得到直角三角形两个锐角互余的结论，并能应用到实际问题中.环节一：情境引入环节二：三角形定义及表示法。环节三：三角形内角和。环节四：三角形按角分类。三角形三边之间的关系 (1)知识与技能：让学生认识等腰三角形，会按边对三角形分类并掌握三边关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题. 结合具体实例,进一步掌握三角形三条边的关系.(2)过程与方法：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理能力和有条理地表达能力. (3)情感与态度：学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.1、回顾旧知，引入新课。2、观察思考、小组讨论归纳出等腰三角形、等边三角形的特征和三角形按边分类的从属关系。3、在教师的引导下合作探究三角形三边之间的关系。4、学生自学例题，质疑反思，总结提升。环节一：复习引入环节二：探究三角形按边分类。环节三：探究三角形三边之间的关系环节四：典例精析。三角形的高知识技能: (1)认识三角形的高线；(2)能画任意三角形的高线。(3) 了解三角形三条高所在直线交于一点。过程与方法:通过观察,操作,想象,推理,交流等活动,发展空间观念,培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力,以及推理能力和有条理的表达能力。情感与态度:通过折纸,画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活。1、学生巩固旧知。2、小组合作交流，探究解决。引出三角形高的定义。3、学生通过判断对三角形的高的定义有了进一步的了解。4、探究三角形任何的高都相交与一点。环节一：旧知引入环节二：探究三角形的高。三角形的高、角平分线理解三角形角平分线和中线的概念,能正确画出任意三角形的角平分线和中线。经历探索新知识的过程,提高动手能力和归纳总结能力。3、能利用与三角形的角平分线和中线有关的相等关系进行简单的推理和计算。4、在解决问题的过程中,体会用折纸的方法给问题的解决带来的方便,增强学习数学的兴趣。1、回顾旧知，引入新课。2、类比角平分线定义，得到三角形角平分线定义。3、用几何语言描述三角形角平分线定义。4、分析比较角平分线与三角形角平分线的区别。通过画锐角、直角、钝角三角形的角平分线，得到任意三角形的角平分线相交于一点。5、分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高，经历观察、操作、分析、推理和想象等活动得出三角形三条中线相交于一点。6、根据三角形角平分线、中线的定义，解决实用问题。体现数学的应用价值。环节一：复习引入环节二：探究三角形角平分线。环节三：三角形的中线。环节四：典例精析。全等三角形1、通过折叠、平移等活动，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，了解全等三角形的定义，2、会用符号表示两个三角形全等，正确找出对应角和对应边。3、了解全等三角形的性质，并应用性质解决实际问题。4、经历“观察，抽象概括；由感性认识到理性认识。”“感悟三角形的全等——语言概括----应用三角形全等”。5、学生积极参探究。建立学习好数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值。了解全等图形的含义，通过几何图形的辨析，对图形全等有感性认识。2、认识全等三角形及几何语言。3、小组活动找全等三角形的对应角和对应边。4、探究全等三角形的性质。5、自学例题1、2提出质疑，小组合作化解质疑。环节一：旧知引入环节二：认识全等三角形。环节三：典例精析探索三角形全等的条件（SSS）1．知识与技能：探索并掌握“三边对应相等的两个三角形全等”的基本事实，会用尺规按要求作出三角形，了解三角形的稳定性．2．过程与方法：在数学活动中体会通过合情推理探索数学结论的过程，发展合情推理与演绎推理的能力，经历分析问题、解决问题、与他人合作交流等过程，增强应用意识，提高实践能力．3．情感态度与价值观；积极参与数学活动，在数学学习过程中，体验成功，克服困难，树立信心．1、回顾旧知2、学生们按小组分别设计给出1个条件、2个条件、3个条件探索三角形全等的条件。3、已知三边作出符合条件的三角形。4、利用身边实例探究三角形的稳定性。5、学生独立解决问题，小组合作交流，各小组选派代表上前展示问题的解题过程。环节一：回顾旧知环节二：探索三角形全等的条件（SSS）。环节三：探究三角形的稳定性环节四：典例精析探索三角形全等的条件（ASA)1．掌握三角形全等的“ASA”条件，以及在其应用过程中，能够进行有条理的思考并进行规范的推理证明。2．经历探索三角形全等条件（ASA）的过程，体会利用操作、归纳得出数学结论的过程以及从特殊到一般分析问题的方法，积累基本活动经验。3．体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理应用结论证明的过程，在数学活动中，发展学生的合情推理能力以及演绎推理能力。求作一个角等于已知角回顾全等三角形的判断。3\思考已知两个三角形的两角及其一边对应相等，这两个三角形全等吗.4、独立操作，合作交流，全体回答。5、在操作交流的基础上归纳概括。6、教师示范按要求画三角形，学生独立完成。7独立思考，合作交流,规范解答。环节一：回顾旧知环节二：探索三角形全等的条件（ASA）。环节三：求作一个三角形(ASA)。环节四：典例精析探索三角形全等的条件（SAS)1．知识与技能：通过分组画图比较，得出SAS的结论，培养学生思维的全面性，能够利用全等条件判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由。2．过程与方法：让学生在活动过程中，发展合作交流能力和语言表达能力。3．情感态度：在解决问题中发现问题，通过虚心交流解决问题，互相启发，互相受益，在活动过程中体会结论的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生依据已知结论分析问题、解决问题的良好习惯。1、复习提问。判断三角形全等的方法有几种，分别用语言加以描述。2、学生以小组为单积极画图；3、学生根据各小组所画的图形，剪下后对比分析，看图形是否完全重合.4、通过对比、交流，最终得出结论：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等.5、按要求作出三角形，教师示范，学生模仿。6、学生独立完成例题的学习+学生展示。环节一：回顾旧知环节二：探索三角形全等的条件（SAS）。环节三：求作一个三角形(SAS)。环节四：典例精析利用全等三角形测距离1、知识与技能： 能利用三角形的全等解决实际问题，并知道何题用延长法、何题用垂直法构造直角三角形2、过程与方法： 通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。 3、情感与态度： 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达, 体会建模思想。1、回答教师所提出的问题。2、让学生主动参与，积极思考，在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度．环节一：回顾旧知环节二：典例精析环节三：课堂练习。回顾与思考1．知识与技能：通过学生自主复习进一步巩固三角形的基本性质，掌握全等图形的性质，三角形全等的判定条件。2．过程与方法：合理运用三角形全等的条件解决一些简单问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的小组合作意识和合作能力。3．情感与态度：让学生理解数学的应用价值，培养学习数学的兴趣。 1、上交并口述思维导图。2、回忆，思考，合作交流，回答问题。3、组织学生对5个专题的探究，小组合作完成相应习题。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：考点讲练。问题解决的策略 特殊化1.抽象思维：通过分析实际问题，学生能从特殊性推断出问题的一般性。2. 逻辑推理：学会运用逻辑推理的方法，解决实际问题，提高解题过程的逻辑性。3. 数学建模：掌握建立解决问题的策略特殊性--一般性的方法，解决现实生活中的问题，培养数学建模素养。提高问题解决素养，增强数学应用意识。1.学生思考并回答问题。2、找出两个全等的三角形，并证明两个三角形全等。3、思考问题的特殊性，推导问题的一般性。环节一：旧知导入环节二：探究新知
《三角形》单元教学设计
活动一：情景引入
活动二：三角形定义及表示法
任务一：认识三角形
活动三：三角形内角和
活动四：三角形按角分类
活动一：复习引入
三
角
形
任务二：三角形三边之间的关系
活动二：三角形按边分类
活动三：三角形三边之间的关系
活动四：典例精析
活动一：旧知引入
任务三：三角形的高
活动二：探究三角形的高
活动一：旧知引入
活动二：探究三角形的角平分线
任务四：三角形的角平分线、中线
活动三：探究三角形的中线线
活动四：典例精析
活动一：旧知引入
任务五：全等三角形
活动二：全等三角形定义、性质
活动三：典例精析
活动一:回顾旧知
三
角
形
任务六：探索三角形全等的条件（SSS）
活动二：探索三角形全等(SSS)
活动三：探究三角形的稳定性
活动四：典例精析
活动一:回顾旧知
任务七：探索三角形全等的条件（ASA）
活动二：探索三角形全等(ASA)
活动三：求作三角形(ASA)
活动四：典例精析
活动一:回顾旧知
活动二：探索三角形全等(SAS)
任务八：探索三角形全等的条件（SAS）
活动三：求作三角形(SAS)
活动四：典例精析
活动一:回顾旧知
任务九：利用全等三角形测距离
活动二:典例精析
活动三:课堂练习
活动一:知识架构
三
角
形
活动二:知识梳理
任务十：回顾与思考
活动三:考点讲练
活动一:引入新课
任务十一：问题解决的策略
特殊化
活动二:探究新知
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《三角形》分课时教学设计
第8课时探索三角形全等的条件（SAS）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 教科书基于学生对前三种判定三角形全等的条件的认识，提出了本课的具体学习任务，根据第一节的经验，可知判定一个三角形全等需要三个条件，除了三边、两角一边、还剩下两边一角的情况。学生能够画图对比，得出“两边及夹角对应相等的两个三角形全等”这个结论。并针对“两边及其中一边的对角”举出反例，与前面几节的学习形成一个严谨的课堂结构.
学习者分析 学生的知识技能基础：学生对三角形比较熟悉，会准确找出边和角。在前面几节中又学习了判定三角形全等的条件：SSS、ASA、AAS。能够根据给出的条件画出满足条件的三角形，并且具备了一定的推理能力. 学生的活动经验基础：在相关知识的学习中，学生已经历了一些画图、推理活动，解决了一些简单的推理问题，感受到了动手画图对比的重要。同时在以前的数学学习中学生已经经历了合作学习的过程，具备了一定的合作交流能力.
教学目标 1．知识与技能：通过分组画图比较，得出SAS的结论，培养学生思维的全面性，能够利用全等条件判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由。 2．过程与方法：让学生在活动过程中，发展合作交流能力和语言表达能力。 3．情感态度：在解决问题中发现问题，通过虚心交流解决问题，互相启发，互相受益，在活动过程中体会结论的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生依据已知结论分析问题、解决问题的良好习惯。
教学重点 掌握三角形全等的条件“SAS”并能用它来判定两个三角形全等.
教学难点 探索“SAS”及应用.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 到目前为止，你知道哪些判定三角形全等的方法？ 三边分别相等（SSS） 两角一边（ASA,AAS） 我们知道：判断三角形全等，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？ 两边一角(两边夹角，两边与其中一边的对角）学生活动1： 复习提问。判断三角形全等的方法有几种，分别用语言加以描述。 活动意图说明： 通过知识回顾。培养学生善于总结、善于反思的学习品质。学生在已有的经验基础上很快说出“已知两边及一角有两种情况，分别是：两边夹角和两角及一边的对角。”从而打开了学习的大门，在课堂中用学生找到的问题作为突破口，极大地激发了学生的学习积极性和主动性环节二：探究新知教师活动2： 探 究一：两边及夹角 三角形两边分别为4.5cm，5.5cm，它们 所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？ 你画的三角形与同伴画的一定全等吗？ 改变上述条件中的角度和边长再试一试 1. 如果三角形两边分别为6.5cm，3.5cm，它们所夹的角为100° 2. 如果三角形两边分别为3cm，4cm，它们所夹的角为90°. 活动小结：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 探究二：两边及其中一边的对角 以4.5cm，5.5cm为三角形的两边，长度为4.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？ 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。 学以致用 1.分别找出各题中的全等三角形。 △ABC≌△EFD (SAS) △ADC≌△CBA (SAS) 2.小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，小明不用测量就能知道EH=FH吗？ ∵△DEH≌△DFH (SAS) ∴EH=FH 探究三，已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形． 已知：线段a, c, . 求作：△ABC，使BC=a AB=c, ∠ABC= . 作法： (1)作∠MBN＝ ∠α 2)在射线B M上截取BC＝a, 在射线B N上截取BA＝c， (3)连接AC 则△ABC为所求作的三角形 感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。学生活动2： 1.学生以小组为单积极画图； 2.学生根据各小组所画的图形，剪下后对比分析，看图形是否完全重合. 3.通过对比、交流，最终得出结论：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等. 4.按要求作出三角形，教师示范，学生模仿。活动意图说明： 让学生类比两角一边的情况得到两边一角的两种情况，从而打开了学习的大门，在课堂中用学生找到的问题作为突破口，极大地激发了学生的学习积极性和主动性。培养学生动手操作能力和分析能力并体会画图方法的多样性。 培养学生分析、比较、归纳的能力, 锻炼了语言表达能力.通过按要求作图，进一步体会三角形全等的判断定理（SAS）环节三：典例精析教师活动3： 如图，已知AB＝AC，AD＝AE。那么∠B与∠C相等吗？为什么？ 解：相等. 理由如下： 在△ABD和△ACE中 ∵ AB＝AC（已知） ∠BAD＝∠CAE（公共角） AD＝AE（已知） ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等） 例2.如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC,那么△ABC与△FED全等吗？为什么？ 解：全等. 理由如下： ∵ BD=EC ∴ BD－CD＝EC－CD 即BC＝ED 在△ABC与△FED中 ∵ AB＝EF （已知） ∠B＝∠E（已知） BC＝ED （已证） ∴ △ABC≌△FED（SAS） 学生活动3 学生独立完成+学生展示活动意图说明： 巩固所学知识，提高学生三角形全等的判断能力。
板书设计 探索三角形全等的条件 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（ D ） A．734克 B．946克 C．1052克 D．1574克 2．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ D ） A．SAS B．SSS C．AAS D．HL 3．如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则 的值为( B ) A．2 B．3 C． D． 4．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△ COE ≌△ DOE 的依据是（ A ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 选做题： 5. 如图，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB＝a，BC＝AC＝2a. 作法：(1)作一条线段AB＝ a ； (2)分别以 A 、 B 为圆心，以 2a 为半径画弧，两弧交于C点； (3)连接 AC 、BC ，则△ABC就是所求作的三角形． 【综合拓展类作业】 6如图所示，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是AP上一点． 求证：∠BDP＝∠CDP. 证明：∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，∴∠ABP=∠ACP=90°． 在Rt△ABP和Rt△ACP中，∵ ，∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL）， ∴∠APB=∠APC． 在△PBD与△PCD中，∵ ， ∴△PBD≌△PCD（SAS）， ∴∠BDP=∠CDP．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是( B ) A.AB＝AC B.DB＝DC C.∠ADB＝∠ADC D.∠B＝∠C 2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有( C ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 3.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为( D ) A.作一条线段等于已知线段 B.作一个角等于已知角 C.作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D.先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 4.下列说法正确的是( D ) A.两点之间，直线最短 B.过一点有一条直线平行于已知直线 C.有两组边与一组角对应相等的两个三角形全等 D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F是中线AD上两点，则图中可证明为全等三角形的有( ) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 选做题： 6如图,在△ABC中,BC＝5厘米,AC＝3厘米, AB＝3.5厘米,∠B＝36°,∠C＝44°,请你选择适当数据,画与△ABC全等的三角形(用三种方法画图,不写作法,但要从所画的三角形中标出用到的数据) 作法一（SSS) （1）作线段BC＝5厘米; (2)以C为圆心, 3厘米为半径画弧; (3)以B为圆心,3.5厘米为半径画弧,两弧相交于点A; (4)连接AB,AC,则△ABC为所求作的三角形. 作法二(ASA) （1）作线段BC＝5厘米; (2)以B为顶点, 作出∠ABC=36° (3)以C为顶点,作出∠ACB=44° (4)连接AB,AC,则△ABC为所求作的三角形. 作法三(SAS) （1）作线段BC＝5厘米; (2)以B为顶点, 作出∠ABC=36° (3)取AB=3.5厘米 (4)连接AC,则△ABC为所求作的三角形. 【综合拓展类作业】 7.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE. (1)求证：AC＝CD； (2)若AC＝AE，求∠DEC的度数 解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°， ∴∠3+∠4＝∠4+∠5， ∴∠3＝∠5， 在△ACD中，∠ACD＝90°， ∴∠2+∠D＝90°， ∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠D， 在△ABC和△DEC中， ∠1＝∠D，∠3＝∠5，BC＝CE， ∴△ABC≌△DEC(AAS)， ∴AC＝CD； (2)∵∠ACD＝90°，AC＝CD， ∴∠2＝∠D＝45°， ∵AE＝AC， ∴∠4＝∠6＝67.5°， ∴∠DEC＝180°-∠6＝112.5°.
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共38张PPT)
（北师大2024版）七年级
下
4.3探究三角形全等的条件（SAS)
三角形
第四章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1．知识与技能：通过分组画图比较，得出SAS的结论，培养学生思维的全面性，能够利用全等条件判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由。
2．过程与方法：让学生在活动过程中，发展合作交流能力和语言表达能力。
3．情感态度：在解决问题中发现问题，通过虚心交流解决问题，互相启发，互相受益，在活动过程中体会结论的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生依据已知结论分析问题、解决问题的良好习惯。
知识回顾
到目前为止，你知道哪些判定三角形全等的方法？
两角及其夹边（ASA）
两角一边
两角及其中一角的对边（AAS）
三边分别相等（SSS）
知识回顾
我们知道：判断三角形全等，至少需要三个条件，除了上述三种情况外，还有哪种情况？
两边及夹角
两边一角
两边及其中一边的对角
活动探究
探 究（1）两边及夹角
三角形两边分别为4.5cm，5.5cm，它们
所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
5.5cm
4.5cm
40°
D
E
F
改变上述条件中的角度和边长再试一试
活动探究
2. 如果三角形两边分别为3cm，4cm，它们所夹的角为90°.
1. 如果三角形两边分别为6.5cm，3.5cm，它们所夹的角为100°.
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
活动小结
在△ABC和△DEF中
∵ AB＝DE（已知）
∠B＝∠E（已知）
BC＝EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（SAS）
以4.5cm，5.5cm为三角形的两边，长度为4.5cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？
探究（2）两边及其中一边的对角
活动探究
E
D
F
40°
5.5cm
4.5cm
B
C
A
4.5cm
5.5cm
40°
两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。
活动探究
学以致用
1.分别找出各题中的全等三角形。
A
B
C
40°
40°
D
E
F
(1)
△ABC≌△EFD (SAS)
D
C
A
B
(2)
△ADC≌△CBA (SAS)
2.小明做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH, ED=FD ，小明不用测量就能知道EH=FH吗？
E
F
H
D
学以致用
∵△DEH≌△DFH (SAS)
∴EH=FH
活动探究
已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段a, c, .
a
c
求作：△ABC，使BC=a AB=c, ∠ABC= .
活动探究
(1)作∠MBN＝ ∠α
作法
(2)在射线B M上截取BC＝a,
在射线B N上截取BA＝c，
(3)连接AC
则△ABC为所求作的三角形
α
D
E
B
M
D′
E′
N
C
A
a
c
α
b
a
a
A
B
M
N
C
C'
a
c
α
两边及夹角
两边及一边的对角
B
E
D
C
A
活动探究
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。
典例精析
例1.如图，已知AB＝AC，AD＝AE。那么∠B与∠C相等吗？为什么？
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等）
解：相等. 理由如下：
在△ABD和△ACE中
∵ AB＝AC（已知）
∠BAD＝∠CAE（公共角）
AD＝AE（已知）
B
D
A
E
C
典例精析
例2.如图，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC,那么△ABC与△FED全等吗？为什么？
解：全等. 理由如下：
∵ BD=EC
∴ BD－CD＝EC－CD
∴ △ABC≌△FED（SAS）
在△ABC与△FED中
∵ AB＝EF （已知）
∠B＝∠E（已知）
BC＝ED （已证）
F
E
D
C
B
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
D
1．小明用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中框架△ABC的质量为840克，CF的质量为106克，则整个金属框架的质量为（ ）
A．734克 B．946克 C．1052克 D．1574克
课堂练习
2．如图，在∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．HL
D
证明两Rt△全等的条件：两个直角三角形的一条斜边与一条直角边分别对应相等，则两个直角三角形全等。简写成“HL”）
课堂练习
3．如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则 的值为( )
A．2 B．3 C． D．
B
课堂练习
4．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△ COE ≌△ DOE 的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
A
课堂练习
5. 如图，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB＝a，BC＝AC＝2a.
作法：(1)作一条线段AB＝ ；
(2)分别以 、 为圆心，以 为半径画弧，两弧交于C点；
(3)连接 、 ，则△ABC就是所求作的三角形．
a
A
B
2a
AC
BC
【综合拓展类作业】
课堂练习
6.如图所示，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是AP上一点．求证：∠BDP＝∠CDP.
证明：∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，∴∠ABP=∠ACP=90°．
在Rt△ABP和Rt△ACP中，∵
∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），
课堂练习
∴∠APB=∠APC．
在△PBD与△PCD中，∵
∴△PBD≌△PCD（SAS），
∴∠BDP=∠CDP．
课堂总结
知识：
1.今天我们学习了 判定两三角形全等。
3.在这四种说明三角形全等的条件中， .
“两边及一边的对角”不能判定两个三角形全等。
本节课从知识、方法等方面你都有哪些收获？
1.数学结论的获得：一般经历“ ”的过程.
2.在解题中，要学会“ ”的数学思想方法.
2.通过这节课的学习，判定三角形全等的条件有：
边角边（SAS）
SSS，ASA，AAS ,SAS.
至少有一个条件：边相等
试验-探究-猜想-验证
转化
方法：
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，已知∠1＝∠2，要得到△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是( )
A. AB＝AC
B. DB＝DC
C.∠ADB＝∠ADC
D.∠B＝∠C
B
作业布置
2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为( )
A.作一条线段等于已知线段 B.作一个角等于已知角
C.作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角
D.先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角
4.下列说法正确的是( )
A.两点之间，直线最短 B.过一点有一条直线平行于已知直线
C.有两组边与一组角对应相等的两个三角形全等
D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F是中线AD上两点，则图中可证明为全等三角形的有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
D
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
6.如图,在△ABC中,BC＝5厘米,AC＝3厘米, AB＝3.5厘米,∠B＝36°,∠C＝44°,请你选择适当数据,画与△ABC全等的三角形(用三种方法画图,不写作法,但要从所画的三角形中标出用到的数据)
C
A
B
3.5厘米
5厘米
3厘米
作业布置
作法一（SSS)
（1）作线段BC＝5厘米;
(2)以C为圆心, 3厘米为半径画弧;
(3)以B为圆心,3.5厘米为半径画弧,两弧相交于点A;
(4)连接AB,AC,则△ABC为所求作的三角形.
B
M
C
A
作业布置
作法二(ASA)
（1）作线段BC＝5厘米;
(2)以B为顶点, 作出∠ABC=36°
(3)以C为顶点,作出∠ACB=44°
(4)连接AB,AC,则△ABC为所求作的三角形.
C
A
B
5厘米
36°
44°
作业布置
作法三(SAS)
（1）作线段BC＝5厘米;
(2)以B为顶点, 作出∠ABC=36°
(3)取AB=3.5厘米
(4)连接AC,则△ABC为所求作的三角形.
C
A
B
3.5厘米
5厘米
36°
想一想：利用SAS还有其他作法吗？
【综合拓展类作业】
作业布置
7.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.
(1)求证：AC＝CD；
(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数
【综合拓展类作业】
作业布置
解：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴∠3+∠4＝∠4+∠5，
∴∠3＝∠5，
在△ACD中，∠ACD＝90°，
∴∠2+∠D＝90°，
∵∠BAE＝∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠D，
在△ABC和△DEC中，
∠1＝∠D，∠3＝∠5，BC＝CE，
∴△ABC≌△DEC(AAS)，
∴AC＝CD；
(2)∵∠ACD＝90°，AC＝CD，
∴∠2＝∠D＝45°，
∵AE＝AC，
∴∠4＝∠6＝67.5°，
∴∠DEC＝180°-∠6＝112.5°.
板书设计
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
在△ABC和△DEF中
∵ AB＝DE（已知）
∠B＝∠E（已知）
BC＝EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（SAS）
探索三角形全等的条件
Thanks!
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