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《三角形》分课时教学设计
第9课时利用全等三角形测距离教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学生学习了全等三角形的性质及其判定条件之后的一节综合应用课。利用三角形全等解决实际问题，首先就要把实际问题转化为三角形全等问题。本节课不仅为学生的动手操作、观察、交流等活动提供了良好的的素材，同时也让学生体验了怎样在实际问题中建立数学模型、解决实际问题。与此同时，培养学生说理表达能力，为今后学习几何证明打下良好的基础。
学习者分析 学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。尤其是通过探索三角形全等，得到了“边边边”， “角边角”，“角角边”， “边角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等,掌握了这些知识，学生就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础。 学生在前几节内容中已经经历过解决实际问题的过程，具备了一定的分析问题和解决问题的活动经验。
教学目标 1、知识与技能： 能利用三角形的全等解决实际问题，并知道何题用延长法、何题用垂直法构造直角三角形 2、过程与方法： 通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。 3、情感与态度： 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达, 体会建模思想。
教学重点 利用三角形全等解决实际问题.
教学难点 全等三角形构造方法的选择
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：回顾旧知教师活动1： 1、要证明两个三角形全等有哪些必要条件？ 2、如图：△ABC ≌△ADE, ∠B=60°, BC=4cm, 则DE= 4cm ,∠D= 60° . 3、全等三角形的性质：对应边 相等 ，对应角 相等 . 4、判定三角形全等的方法有：SSS,SAS,ASA,AAS. 5.请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，应该怎么画？ 学生活动1： 回答教师所提出的问题，活动意图说明： 通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础.环节二：探究新知教师活动2： 例题1：下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事： 在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何估测这个距离呢？ 办法： 1.他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子， 2.使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部； 3.然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态， 4.这时视线落在了自己所在岸的某一点上； 5.他用步测的办法量出自己与那个点的距离， 这个距离就是他与碉堡间的距离．你能解释其中的道理吗？ 已 知：如图，在△ABC中， ∠BAD= ∠CAD，AD⊥BC.求 证：BD=CD. 理由：在△ADB与△ADC中， ∴△ADB≌△ADC (ASA)． ∴DB=DC (全等三角形的对应边相等)． 例题2：小明在上周末游览风景区时，看到了一个美丽的池塘 ，他想知道最远两点A、B之间的距离， 但是他没有船，不能直接去测。手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来。 方案一： 1．取一点C； 2．连接AC并延长到D, 使CD=AC； 3．连接BC并延长到E，使CE=CB； 4．连接DE并测量出它的长度，即为AB的长． 理由如下： ∵ AC = DC，∠ACB =∠DCE ， CE = CB， ∴ △ABC ≌△DCE （SAS）. ∴ AB= DE（全等三角形的对应边相等）. 方案二： 1．作三角形ABC； 2．找一点D，使AD∥BC，并使AD=BC； 3．连结CD，测CD的长，即得AB的长． 理由如下： AC∥BD，所以∠CAD=∠ADB ∵ 在△ABD和△DCA 中， ∵ AD = AD，∠CAD=∠ADB ， AC = BD， ∴ △ABD≌△DCA（SAS）. ∴ AB= CD（全等三角形的对应边相等）. 方案三： 1．找一点D，使AD⊥BD； 2．延长BD至C，使CD=BD； 3．连结AC，测AC的长，即得AB的长． 理由如下： ∵AD⊥BD ，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在△ABD与△ACD中， ∵AD= AD，∠ADB =∠ADC， BD = CD， ∴△ABD≌△ACD(SAS)． ∴AB=AC． 还有其他方法吗？ 归纳小结 1．目的：变不可测距离为可测距离. 2．依据：全等三角形对应边相等. 3．关键：根据判定条件(SAS、ASA等) ，构造全等三角形.学生活动2： 让学生主动参与，积极思考，在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度． 活动意图说明： 用真实的故事引入新课，可吸引学生的注意力，产生学习的积极性和好奇心. 通过设置悬念激发学生的学习兴趣，让学生体会数学的魅力，积蓄求知欲．同时引导学生明确解决问题的关键是把不可测量的距离转化成可测量的距离，从而总结出解题关键是构造全等三角形。
板书设计 利用三角形全等测距离 目的：变不可测距离为可测距离. 依据：全等三角形的性质. 关键：构造全等三角形.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( B ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离. 在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；连接BO并延长到D，使BO=DO，连接CD.可以证△ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO的理由是( D ) A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 3.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？ ( D ) A. AO=CO B. BO=DO C. AC=BD D. AO=CO且BO=DO 4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( C ) A.大于100 m B.等于100 m C.小于100 m D.无法确定 选做题： 5.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理. 解： ∵ AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF， ∴ △BME≌△CMF(ASA)， ∴ BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离. 【综合拓展类作业】 6.为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？ 解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°， ∴∠DCP=∠APB=52°. 在△CPD和△PAB中 ∵， ∴△CPD≌△PAB（ASA）， ∴DP=AB， ∵DB=33，PB=8， ∴AB=33﹣8=25（m）， 答：楼高AB是25米．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 如下图，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( A ). A.等于100 m B.小于100 m C.大于100 m D.无法确定 第1题图 第2题图 2. 如上图，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中△ABC的周长为24 cm，CF=3 cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 （ A ） A. 45 cm B. 48 cm C. 51 cm D. 54 cm 3．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ D ） A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了 C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可 4．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（ D ） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS （第3题图） （第4题图） 5．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE= 90 度． 选做题： 6.1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战，德军兵营在莱茵河东岸Q处，如图所示。因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌兵营，聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站的位置B与O点间的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营。试问法军能命中目标吗？ 解：法军能击中目标。 证明: 在△ABO与△POQ中， ∠BAO=∠OPQ AB=PO ∠ABO=∠POQ △ABO≌△POQ（ASA） BO=OQ（ 全等三角形的对应边相等 ） 【综合拓展类作业】 7.把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5 cm和3 cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为( C ) A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.求不出来 解析：选C. 因为∠CEA=∠ADB=∠CAB=90°， 所以∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB =∠DAB+∠DBA=90°， ∠ECA=∠DAB，∠EAC=∠DBA， 又AC=AB，所以△AEC ≌△BDA， 所以AE=BD，AD=CE， 所以DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8 (cm).
教学反思
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册、第四章
课标要求 1、理解三角形外角、内角、中线、高线角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2、了解三角形重心的概念。3、探索和证明三角形的内角和。掌握它的推论：三角形的外角等于不相邻的两个内角和。证明三角形任意两边之和大于第三边。4、理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边和对应角。5、掌握基本事实：两边及其夹角相等的两个三角形全等。6、掌握基本事实：两角及其夹边相等的两个三角形全等。7、掌握基本事实：三边相等的两个三角形全等。8、证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等9、了解等腰三角形的概念。10、了解直角三角形的概念，并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互补。11、会利用基本图形作三角形：已知三边、两边及夹角、两角夹边作三角形。
内容分析 三角形是生活中最基本的几何图形，它常常出现在建筑或一些物体的基本结构框架中，本章将进一步研究三角形性质和全等关系，感受研究图形性质的基本方法，在一个个结论获得过程中，慢慢体会如何有逻辑的说明它们的正确性；在尺规作图的过程中，感受如何通过对图形的直观分析作出想要的图形，这些学习过程会帮助你积累更多的研究图形的经验，发展几何直观和推理能力。本章主要内容：三角形内角和、三角形三边的关系、三角形的中线、高线、角平分线、全等图形、判断三角形全等的条件、尺规作图、利用三角形全等测高。
学情分析 学生基本技能：学生在小学阶段已经学习了有关三角形的一些初步知识，能在生活中抽象出三角形的几何特征，但不严谨，本章要相对严谨的学习三角形的有关知识，学生在相交线与平行线的学习过程中，对两条直线平行的条件和两直线平行具有的特征探究，使学生具备了利用平行线的结论得出三角形的内角和的结论和基本技能。学生的活动经验：学生以前再几何的学习过程中，已对图形的概念、线段、角的表示法、线段的测量有一定的认识，为认识三角形的概念、三角形的表示奠定了基础，在小学学过的内角和是通过拆、拼的方法得到，具备了直观操作经验。同时在以前的数学学习过程中，经历了很多合作探究过程，具有一定的合作探究经验，具备了一定的合作交流能力。
单元目标 教学目标在探索图形性质的过程中，经历观察、操作、想象、推理交流等活动，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和推理能力。理解三角形中线、高线、角平分线的概念，探索并掌握三角形的内角和及三角形三边之间的关系，了解三角形的稳定性。了解图形的全等，理解全等三角形的概念，经历探究全等三角形的条件的过程，掌握全等三角形的条件，能利用三角形全等解决实际问题。在分别给出两角夹边、两边夹角、三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。尝试用多种方法表达自己的想法，表述问题解决的理由，发展初步的演绎推理能力和有条理的表达能力。感受数学与现实世界的联系。教学重点、难点重点：对三角形基本概念的了解以及对三角形全等的探究。难点：在不同情况下对三角形全等的证明及其实际运用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识三角形12三角形三边之间的关系13三角形的高14三角形的角平分线、中线15全等三角形16探索三角形全等的条件（SSS）17探索三角形全等的条件（ASA)18探索三角形全等的条件（SAS)19利用全等三角形测距离110回顾与思考111问题解决的策略 特殊化1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识三角形1、认识三角形的概念及其基本要素,掌握三角形的三个内角间的关系，会将三角形分类.2、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展推理能力和有条理表达的能力.3、激发学生学习数学的兴趣，使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，进一步体验数学与实际生活的密切联系.1、结合生活，观察身边的实物，引入新知。2、学生通过观察，归纳认三角形的特点，掌握三角形及其角和边的表示方法。3、学生四人小组合作，进行探究验证。各小组选派代表展示探究成果。4、学生阅读，回答问题，通过逻辑推理得到直角三角形两个锐角互余的结论，并能应用到实际问题中.环节一：情境引入环节二：三角形定义及表示法。环节三：三角形内角和。环节四：三角形按角分类。三角形三边之间的关系 (1)知识与技能：让学生认识等腰三角形，会按边对三角形分类并掌握三边关系,并能运用三边关系解决生活中的实际问题. 结合具体实例,进一步掌握三角形三条边的关系.(2)过程与方法：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动,发展空间观念,推理能力和有条理地表达能力. (3)情感与态度：学生通过观察、操作、交流和反思,获得必需的数学知识,激发学生的学习兴趣.1、回顾旧知，引入新课。2、观察思考、小组讨论归纳出等腰三角形、等边三角形的特征和三角形按边分类的从属关系。3、在教师的引导下合作探究三角形三边之间的关系。4、学生自学例题，质疑反思，总结提升。环节一：复习引入环节二：探究三角形按边分类。环节三：探究三角形三边之间的关系环节四：典例精析。三角形的高知识技能: (1)认识三角形的高线；(2)能画任意三角形的高线。(3) 了解三角形三条高所在直线交于一点。过程与方法:通过观察,操作,想象,推理,交流等活动,发展空间观念,培养学生动手动脑,发现问题及解决问题的能力,以及推理能力和有条理的表达能力。情感与态度:通过折纸,画图等活动,培养学生的动手能力,提高学生的识图技能,使学生的思维变得更灵活。1、学生巩固旧知。2、小组合作交流，探究解决。引出三角形高的定义。3、学生通过判断对三角形的高的定义有了进一步的了解。4、探究三角形任何的高都相交与一点。环节一：旧知引入环节二：探究三角形的高。三角形的高、角平分线理解三角形角平分线和中线的概念,能正确画出任意三角形的角平分线和中线。经历探索新知识的过程,提高动手能力和归纳总结能力。3、能利用与三角形的角平分线和中线有关的相等关系进行简单的推理和计算。4、在解决问题的过程中,体会用折纸的方法给问题的解决带来的方便,增强学习数学的兴趣。1、回顾旧知，引入新课。2、类比角平分线定义，得到三角形角平分线定义。3、用几何语言描述三角形角平分线定义。4、分析比较角平分线与三角形角平分线的区别。通过画锐角、直角、钝角三角形的角平分线，得到任意三角形的角平分线相交于一点。5、分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高，经历观察、操作、分析、推理和想象等活动得出三角形三条中线相交于一点。6、根据三角形角平分线、中线的定义，解决实用问题。体现数学的应用价值。环节一：复习引入环节二：探究三角形角平分线。环节三：三角形的中线。环节四：典例精析。全等三角形1、通过折叠、平移等活动，经历观察、发现和实践操作重叠图形等过程，了解全等三角形的定义，2、会用符号表示两个三角形全等，正确找出对应角和对应边。3、了解全等三角形的性质，并应用性质解决实际问题。4、经历“观察，抽象概括；由感性认识到理性认识。”“感悟三角形的全等——语言概括----应用三角形全等”。5、学生积极参探究。建立学习好数学的自信心，体会图形全等在现实生活中的应用价值。了解全等图形的含义，通过几何图形的辨析，对图形全等有感性认识。2、认识全等三角形及几何语言。3、小组活动找全等三角形的对应角和对应边。4、探究全等三角形的性质。5、自学例题1、2提出质疑，小组合作化解质疑。环节一：旧知引入环节二：认识全等三角形。环节三：典例精析探索三角形全等的条件（SSS）1．知识与技能：探索并掌握“三边对应相等的两个三角形全等”的基本事实，会用尺规按要求作出三角形，了解三角形的稳定性．2．过程与方法：在数学活动中体会通过合情推理探索数学结论的过程，发展合情推理与演绎推理的能力，经历分析问题、解决问题、与他人合作交流等过程，增强应用意识，提高实践能力．3．情感态度与价值观；积极参与数学活动，在数学学习过程中，体验成功，克服困难，树立信心．1、回顾旧知2、学生们按小组分别设计给出1个条件、2个条件、3个条件探索三角形全等的条件。3、已知三边作出符合条件的三角形。4、利用身边实例探究三角形的稳定性。5、学生独立解决问题，小组合作交流，各小组选派代表上前展示问题的解题过程。环节一：回顾旧知环节二：探索三角形全等的条件（SSS）。环节三：探究三角形的稳定性环节四：典例精析探索三角形全等的条件（ASA)1．掌握三角形全等的“ASA”条件，以及在其应用过程中，能够进行有条理的思考并进行规范的推理证明。2．经历探索三角形全等条件（ASA）的过程，体会利用操作、归纳得出数学结论的过程以及从特殊到一般分析问题的方法，积累基本活动经验。3．体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理应用结论证明的过程，在数学活动中，发展学生的合情推理能力以及演绎推理能力。求作一个角等于已知角回顾全等三角形的判断。3\思考已知两个三角形的两角及其一边对应相等，这两个三角形全等吗.4、独立操作，合作交流，全体回答。5、在操作交流的基础上归纳概括。6、教师示范按要求画三角形，学生独立完成。7独立思考，合作交流,规范解答。环节一：回顾旧知环节二：探索三角形全等的条件（ASA）。环节三：求作一个三角形(ASA)。环节四：典例精析探索三角形全等的条件（SAS)1．知识与技能：通过分组画图比较，得出SAS的结论，培养学生思维的全面性，能够利用全等条件判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由。2．过程与方法：让学生在活动过程中，发展合作交流能力和语言表达能力。3．情感态度：在解决问题中发现问题，通过虚心交流解决问题，互相启发，互相受益，在活动过程中体会结论的客观真实性，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生依据已知结论分析问题、解决问题的良好习惯。1、复习提问。判断三角形全等的方法有几种，分别用语言加以描述。2、学生以小组为单积极画图；3、学生根据各小组所画的图形，剪下后对比分析，看图形是否完全重合.4、通过对比、交流，最终得出结论：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等.5、按要求作出三角形，教师示范，学生模仿。6、学生独立完成例题的学习+学生展示。环节一：回顾旧知环节二：探索三角形全等的条件（SAS）。环节三：求作一个三角形(SAS)。环节四：典例精析利用全等三角形测距离1、知识与技能： 能利用三角形的全等解决实际问题，并知道何题用延长法、何题用垂直法构造直角三角形2、过程与方法： 通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。 3、情感与态度： 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达, 体会建模思想。1、回答教师所提出的问题。2、让学生主动参与，积极思考，在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度．环节一：回顾旧知环节二：典例精析环节三：课堂练习。回顾与思考1．知识与技能：通过学生自主复习进一步巩固三角形的基本性质，掌握全等图形的性质，三角形全等的判定条件。2．过程与方法：合理运用三角形全等的条件解决一些简单问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的小组合作意识和合作能力。3．情感与态度：让学生理解数学的应用价值，培养学习数学的兴趣。 1、上交并口述思维导图。2、回忆，思考，合作交流，回答问题。3、组织学生对5个专题的探究，小组合作完成相应习题。环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：考点讲练。问题解决的策略 特殊化1.抽象思维：通过分析实际问题，学生能从特殊性推断出问题的一般性。2. 逻辑推理：学会运用逻辑推理的方法，解决实际问题，提高解题过程的逻辑性。3. 数学建模：掌握建立解决问题的策略特殊性--一般性的方法，解决现实生活中的问题，培养数学建模素养。提高问题解决素养，增强数学应用意识。1.学生思考并回答问题。2、找出两个全等的三角形，并证明两个三角形全等。3、思考问题的特殊性，推导问题的一般性。环节一：旧知导入环节二：探究新知
《三角形》单元教学设计
活动一：情景引入
活动二：三角形定义及表示法
任务一：认识三角形
活动三：三角形内角和
活动四：三角形按角分类
活动一：复习引入
三
角
形
任务二：三角形三边之间的关系
活动二：三角形按边分类
活动三：三角形三边之间的关系
活动四：典例精析
活动一：旧知引入
任务三：三角形的高
活动二：探究三角形的高
活动一：旧知引入
活动二：探究三角形的角平分线
任务四：三角形的角平分线、中线
活动三：探究三角形的中线线
活动四：典例精析
活动一：旧知引入
任务五：全等三角形
活动二：全等三角形定义、性质
活动三：典例精析
活动一:回顾旧知
三
角
形
任务六：探索三角形全等的条件（SSS）
活动二：探索三角形全等(SSS)
活动三：探究三角形的稳定性
活动四：典例精析
活动一:回顾旧知
任务七：探索三角形全等的条件（ASA）
活动二：探索三角形全等(ASA)
活动三：求作三角形(ASA)
活动四：典例精析
活动一:回顾旧知
活动二：探索三角形全等(SAS)
任务八：探索三角形全等的条件（SAS）
活动三：求作三角形(SAS)
活动四：典例精析
活动一:回顾旧知
任务九：利用全等三角形测距离
活动二:典例精析
活动三:课堂练习
活动一:知识架构
三
角
形
活动二:知识梳理
任务十：回顾与思考
活动三:考点讲练
活动一:引入新课
任务十一：问题解决的策略
特殊化
活动二:探究新知
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（北师大2024版）七年级
下
4.4利用全等三角形测距离
三角形
第四章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1、知识与技能： 能利用三角形的全等解决实际问题，并知道何题用延长法、何题用垂直法构造直角三角形
2、过程与方法： 通过让学生体会教科书中提供的情境,明白战士的具体做法,并尝试思考其中的道理,体会数学与实际生活的联系。
3、情感与态度： 通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣,引发他们去思考,并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达, 体会建模思想。
知识回顾
要证明两个三角形全等有哪些必要条件？
已知条件 是否全等 形成结论
三边
三角
两角一边 两角夹边
两角对边
两边一角 两边夹角
两边对角
SSS
ASA
√
√
√
√
AAS
×
×
SAS
知识回顾
1、如图：△ABC ≌△ADE, ∠B=60°, BC=4cm, 则DE= ,∠D= .
4cm
60°
B
A
E
C
D
2、全等三角形的性质：对应边 ，对应角 .
相等
相等
3、判定三角形全等的方法有： ， ， ， 。
SSS
ASA
AAS
SAS
知识回顾
5.请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC全等，应该怎么画？
A
C
B
B
C
A
新知讲解
例题1：下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事：
在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望。为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，如何估测这个距离呢？
你能替这位战士想想办法吗？
新知讲解
办法：
1.他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，
2.使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；
3.然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，
4.这时视线落在了自己所在岸的某一点上；
5.他用步测的办法量出自己与那个点的距离，
这个距离就是他与碉堡间的距离．你能解释其中的道理吗？
碉堡距离
步测距离
已 知：如图，在△ABC中， ∠BAD= ∠CAD，AD⊥BC.
求 证：BD=CD.
1
2
A
B
D
C
新知讲解
1
2
A
B
D
C
理由：在△ADB与△ADC中，
∠1=∠2（已知）
AD=AD（公共边）
∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义）
∴△ADB≌△ADC (ASA)．
∴DB=DC (全等三角形的对应边相等)．
新知讲解
例题2：小明在上周末游览风景区时，看到了一个美丽的池塘 ，他想知道最远两点A、B之间的距离， 但是他没有船，不能直接去测。手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能测出A、B之间的距离呢？把你的设计方案在图上画出来。
图1
新知讲解
方案一：
1．取一点C；
2．连接AC并延长到D, 使CD=AC；
3．连接BC并延长到E，使CE=CB；
4．连接DE并测量出它的长度，即为AB的长．
新知讲解
图2
∵ AC = DC，∠ACB =∠DCE ， CE = CB，
∴ △ABC ≌△DCE （SAS）.
∴ AB= DE（全等三角形的对应边相等）.
理由如下：
新知讲解
方案二：
1．作三角形ABC；
2．找一点D，使AD∥BC，并使AD=BC；
3．连结CD，测CD的长，即得AB的长．
在△ABD和△DCA 中，
∵ AD = AD，∠CAD=∠ADB ， AC = BD，
∴ △ABD≌△DCA（SAS）.
∴ AB= CD（全等三角形的对应边相等）.
∵ AC∥BD，所以∠CAD=∠ADB.
理由如下：
D
A
B
C
新知讲解
方案三：
1．找一点D，使AD⊥BD；
2．延长BD至C，使CD=BD；
3．连结AC，测AC的长，即得AB的长．
理由如下：
∵AD⊥BD ，∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ABD与△ACD中，
∵AD= AD，∠ADB =∠ADC， BD = CD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
∴AB=AC．
还有其他方法吗？
新知讲解
ASA
A
B
E
C
D
2
1
4
3
ASA
SAS
B
A
●
●
C
D
E
1
2
3
4
B
C
A
2
1
归纳小结
新知讲解
1．目的：
2．依据：
3．关键：
变不可测距离为可测距离
全等三角形对应边相等
根据判定条件(SAS、ASA等) ，构造全等三角形
转化思想
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
B
如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
B
A
●
●
D
C
E
F
2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离. 在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；连接BO并延长到D，使BO=DO，连接CD.可以证△ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO的理由是( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS
课堂练习
D
D
课堂练习
3.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？ ( )
A. AO=CO
B. BO=DO
C. AC=BD
D. AO=CO且BO=DO
D
O
D
C
B
A
课堂练习
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
A.大于100 m B.等于100 m
C.小于100 m D.无法确定
C
课堂练习
5.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
解： ∵ AB∥CD,所以∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF，
∴ △BME≌△CMF(ASA)， ∴ BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
【综合拓展类作业】
课堂练习
6.为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？
课堂练习
解∵∠CPD=38°∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=52°.
在△CPD和△PAB中 ∵
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP=AB，
∵DB=33，PB=8，
∴AB=33﹣8=25（m），
答：楼高AB是25米．
课堂总结
1、知识：
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离。
依据：全等三角形的性质。
关键：构造全等三角形。
2、方法：（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形。
3、数学思想：
树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想。
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1. 如图，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( ).
A.等于100 m B.小于100 m C.大于100 m D.无法确定
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2. 如图，是工人师傅用同一种材料制成的金属框架，已知∠B=∠E，AB=DE，BF=EC，其中△ABC的周长为24 cm，CF=3 cm，则制成整个金属框架所需这种材料的总长度为 （ ）
A. 45 cm
B. 48 cm
C. 51 cm
D. 54 cm
A
作业布置
3．一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以
B．带1、2或2、3去就可以了
C．带1、4或3、4去就可以了
D．带1、4或2、4或3、4去均可
D
作业布置
4．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC．将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．
则说明这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
D
作业布置
5．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE= 度．
90
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战，德军兵营在莱茵河东岸Q处，如图所示。因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌兵营，聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站的位置B与O点间的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营。试问法军能命中目标吗？
B
A
O
P
Q
作业布置
法军能击中目标。
证明: 在△ABO与△POQ中，
∠ABO=∠POQ
AB=PO
BO=OQ（ ）
∠BAO=∠OPQ
△ABO≌△POQ（ASA）
B
A
O
P
Q
全等三角形的对应边相等
【综合拓展类作业】
作业布置
把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5 cm和3 cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为( )
A.4 cm B.6 cm
C.8 cm D.求不出来
解析：选C.
因为∠CEA=∠ADB=∠CAB=90°，
所以∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB
=∠DAB+∠DBA=90°，
∠ECA=∠DAB，∠EAC=∠DBA，
又AC=AB，所以△AEC ≌△BDA，
所以AE=BD，AD=CE，
所以DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8 (cm).
作业布置
作板书设计
利用三角形全等测距离
目的：变不可测距离为可测距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
Thanks!
2
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