沪教版八年级数学下册试题 22.3.2 特殊的平行四边形 菱形（含答案）

22.3.2 特殊的平行四边形--菱形
一、单选题
1．菱形不具备的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线一定相等
C．对角线平分对角 D．是中心对称图形
2．如图，已知菱形的两条对角线与长分别是和，则这个菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．18 B．18 C．36 D．36
4．如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．20
6．在下列条件中，能够判定为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，四边形，当 ，时，再下列选项中，添加一个条件，使得四边形是菱形的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．有一个内角是直角
8．两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形，则对角线的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
9．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作于点E，连接OE．若，，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，把菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，作EG⊥AB，垂足为G，EG与CD相交于点K，GD的延长线交EF于点H，连接DE，则下列结论：①BG=AB+HF；②DG=DE；③∠DHE=∠BAD；④∠B=∠DEF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如果一个菱形的一条边长为，那么这个菱形的周长为 ．
12．菱形的对角线，则菱形的高为 ．
13．如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则 °．
14．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为 ．
15．如图，等边的边长为，将向右平移到的位置，连接，，则的长为 ．
16．四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件 ．
17．如图，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接ED，若，则DE的长为 ．
18．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④．其中正确的结论是 （请填写正确的序号）
三、解答题
19．如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为点，，，求、的长．
20．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，且．
(1)求菱形周长；
(2)，求的长．
21．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点C作交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的周长．
22．如图，在菱形中，E为对角线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
23．已知：如图，在菱形ABCD中，，O为垂足．求证：是菱形．
24．如图，在四边形中，与相交于点O．且，点E在上，满足．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形是菱形．
25．如图1，已知在矩形ABCD中，，，，的垂直平分线分别交、于点E，F，垂足为点O，连接、．
(1)①求证：四边形为菱形；
②求的长；
(2)如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿方向运动，到达点A停止，点Q沿方向运动，到达点C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，设运动时间为t秒，当以A，P，C，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
26．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处．
（1）求F点的坐标；
（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；
（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．
27．如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，AC⊥BD交于点O．
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)如图2，过四边形的顶点A作于点，交于点，若，求四边形的面积；
(3)如图3，过菱形的顶点A作，且，线段交于点，交BC于点，若、、三点共线，求证：．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据菱形的性质逐一判断即可．
【解析】解：A．菱形的四条边都相等，故本选项不合题意；
B．菱形的对角线不相等，故本选项符合题意；
C．菱形的对角线平分内角，故本选项不合题意；
D．菱形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
2．C
【分析】直接由菱形面积等于对角线乘积的一半列式计算即可．
【解析】解：∵四边形是菱形，，，
∴，
故选：C．
3．B
【分析】过点AE⊥BC于点E，根据菱形的性质可得BC=AB=6，然后根据含30度角的直角三角形以及勾股定理可得AE，进而可以解决问题．
【解析】解：如图，过点AE⊥BC于点E，
在菱形ABCD中，BC=AB=6，∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴BE=AB=3，
∴AE==3，
∴菱形ABCD的面积=BC AE=6×3=18．
故选：B．
4．D
【分析】根据坐标意义，点A坐标与垂线段有关，过点A向x轴垂线段AE，求得OE、AE的长即可知点A坐标．
【解析】过点A作AE⊥x轴，垂足为E，则∠AEO=90°，
∵，∠AEO=90°
∴，
∴
∵菱形的边长为2即AO=2，∠AEO=90°，
∴，即
解得：．
∴点A坐标为，
故选：D．
5．B
【分析】由三角形中位线定理可求BC＝2，由菱形的性质可求周长．
【解析】解：∵E，F分别是AB，AC的中点，EF＝1，
∴BC＝2EF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长＝4×2＝8，
故选：B．
6．B
【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、由，不能判定为菱形，故选项不符合题意；
B、由，能判定为菱形，故选项符合题意；
C、由，不能判定为菱形，故选项不符合题意；
D、由，能判定为矩形，不能判定为菱形，故选项不符合题意；
故选：B．
7．C
【分析】先证明四边形是平行四边形，再结合各选项逐一判断即可．
【解析】解：∵ ，，
∴四边形是平行四边形，
∴添加，
可得四边形是菱形；故C符合题意；
添加A不能判定，添加B，可判断四边形是矩形，
添加D，可判断四边形四边形是矩形，
故选C
8．D
【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形和等边三角形的性质，易证四边形是菱形，可求得AB=2，AO=1，由勾股定理可求得，继而可求得对角线的长．
【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，
由题意可得和是等边三角形，且边长都为2，
∴AB=BC=CD=DA=AC=2，
∴四边形是菱形，
∴，BD=2BO，AC⊥BD，
在中，由勾股定理得：，
∴．
故选：D．
9．A
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得AC＝2OE＝2，则OA＝AC＝，再由勾股定理得OB＝，则BD＝2OB＝2，然后由菱形面积求出AE的长，即可解决问题．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，
∵AE⊥CD，
∴∠AED＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝2，
∴OA＝AC＝，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝，
∴BD＝2OB＝2，
∵S菱形ABCD＝CD AE＝AC BD＝×2×2＝2，
∴AE＝，
∴DE＝，
故选：A．
10．C
【分析】首先证明△ADG≌△FDH，再利用菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质即可一一判断．
【解析】解：∵菱形ABCD向右平移至DCEF的位置，
∴AB∥CD∥EF，AD＝CD＝DF，
∴∠GAD＝∠F，
∵∠ADG＝∠FDH，
∴△ADG≌△FDH，
∴DG＝DH，AG＝FH，
∴BG =AB＋AG＝AB＋HF，故①正确，
∵EG⊥AB，
∴∠BGE＝∠GEF＝90°，
又∵DG＝DH，
∴DE＝DG＝DH，故②正确，
∴∠DHE＝∠DEH，
∵∠DEH＝∠CEF，∠CEF＝∠CDF＝∠BAD，
∴∠DHE＝∠BAD，故③正确，
∵∠B＝∠DCE，∠CED＝∠CDE＝∠DEF＝∠DHE，
∴∠DCE＝∠EDH，
∴∠B＝∠EDH，
若 ∠B=∠DEF，则∠EDH=∠DEF=∠DHE，那么 DHE是等边三角形，
但题目中没有明确 DHE是等边三角形，故④错误．
故选：C．
二、填空题
11．8
【分析】根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为，即可求出菱形的周长．
【解析】解：菱形的四条边都相等，
其边长都为，
菱形的周长．
故答案为：8．
12．
【分析】先根据菱形的性质和勾股定理计算出，再根据等面积法即可计算出菱形的高．
【解析】解：如图所示：
，
菱形的对角线，
，，
，
设菱形的高为，
则，
即，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】根据菱形的性质得出，进而得出，据此即可求解．
【解析】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，进一步可求出，，利用菱形的面积公式求解即可．
【解析】解：∵，且为菱形，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴菱形的面积，
故答案为：96．
15．
【分析】证明四边形是菱形，进而求得，根据勾股定理即可求解．
【解析】解：等边的边长为，将向右平移到的位置，
cm，,
四边形是菱形，
，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故可添加：．
【解析】
解：如图，，、、、分别是线段、、、的中点，
则、分别是、的中位线，
、HG分别是、的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，，，
则四边形是平行四边形，
当有成立，则四边形是菱形．
应满足条件：，
故答案为：．
17．
18．①③④
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确；
③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；
④证OG是△ACD的中位线，得OG∥CD∥AB，OG=CD，则S△ACD=4S△AOG，再由S△AOG=S△BOG，则S△ACD=4S△BOG，④正确；
②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵OA=OC，AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥CD∥AB，OG=CD，
∴S△ACD=4S△AOG，
∵S△AOG=S△BOG，
∴S△ACD=4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF=S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故答案为：①③④．
三、解答题
19．解：∵菱形的对角线、相交于点，，，
∴，
∴中，，
∵，
∴，
∴．
20．（1）解：∵四边形是菱形，，
∴菱形周长；
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，即为等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∴．
21．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形周长为，
∴四边形的周长为22．
22．（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
在和中，
，
∴△ABE≌△OBE（SAS），
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．证明：在平行四边形中，（平行四边形的对角线互相平分）．
∵，
∴垂直平分线段，
∴（线段垂直平分线线上的点到线段两个端点的距离相等）．
∴平行四边形ABCD是菱形（菱形的定义）．
24．（1）证明：在△AOE和△COD中，
∴△AOE≌△COD（），
（2）证明：△AOE≌△COD
四边形是平行四边形
，
四边形是菱形
25．（1）解：①四边形是矩形，
，
，．
垂直平分，
．
在和中，
，
，
．
，
四边形是平行四边形，
，
四边形为菱形．
②设菱形的边长，则，
在中，，由勾股定理，得
，
解得：，
．
（2）解：由作图可以知道，点上时，点上，此时，，，四点不可能构成平行四边形；
同理点上时，点在或上，也不能构成平行四边形．
只有当点在上，点在上时，才能构成平行四边形，
以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，
，
点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
，，
，
解得：．
以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．
26.解：（1）∵B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3，
∴点E坐标是（，7），
∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝AO＝4，OC＝AB＝7，CE＝，BE＝BC CE＝，
∵将矩形沿直线DE折叠，点C落在AB边上点F处，
∴EF＝CE＝，
∴BF＝，
∴AF＝7 2＝5，
∴点F（4，5）；
（2）如图2中，连接PF交DE于J，过点D作DM⊥AB，
当四边形PEFD是矩形时，△PDE≌△FDE≌△CED，
设OD=x，则CD=DF=7-x，FM=7-2-x=5-x，
在中，，解得：x=2，
∴D（0，2），
∵E（，7），DJ＝JE，
∴J（，），
∵PJ＝JF，
∴P（ ，4）；
（3）①当DF为菱形的对角线时，M、N分别在AB与OC上， ND=NF，
设N（0，y），
∴(y-2)2=，解得：，
∴N（0，），FM=DN=-2=,
∴AM=5-=，
∴M（4，）；
②当DF为菱形的边时，M在AB的延长上，点N与点C重合， ND=DF=5，
∴MF=5，AM=5+5=10，
∴M（4，10），N（0，7）；
③当DF为菱形的边时，N在CO的延长上，点M与点A重合， ND=DF=5，
∴ON=5-2=3，
∴N（0，-3），M（4，0）．
综上所述：M，N的坐标为：（4，），（0，）或（4，10），（0，7）或（4，0），（0，-3）．
27.（1）证明：∵AD=AB，AC⊥BD，
∴AC垂直平分BD，
∴BC=CD，
∴BC=CD=AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）如图，连接CH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC，
∵AB＝AC＝6，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE⊥CB，
∴BE＝CE＝3，
∴AE＝，
∵AO＝OC，BE＝EC，
∴，
∴；
（3）证明：如图中，连接CH，在OC上取一点Q，使得OH＝OQ，连接HQ．
∵AF⊥AD，AD＝AF，
∴∠ADF＝∠F＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC＝∠ADC＝45°，ADCB，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠BAE=∠ABC=45°，
∴BE=AE，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝67.5°，
∴∠EAC＝∠EBH＝22.5°，
∴△BEH≌△AEC（ASA），
∴BH＝AC＝2OC，
∵BD垂直平分线段AC，
∴HA＝HC，
∴∠HCA＝∠HAC＝22.5°，
∵OQ＝OH，
∴∠OHQ＝∠OQH＝45°，
∵∠OQH＝∠QHC+∠QCH，
∴∠QHC＝∠HCQ＝22.5°，
∴QH＝QC＝OH，
设OH＝m，则OQ＝m，HQ＝CQ＝m，
∴OC＝m+m，
∴OH+OC＝m+m+m＝2m+m，
∵BH＝OC＝（m+m）＝m+2m，
∴OH+OC＝BH．