专题07 函数的单调性与最大(小)值（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】确定函数的单调性(区间) 4
【考点2】求函数的最值 6
【考点3】函数单调性的应用 7
【分层检测】 8
【基础篇】 8
【能力篇】 10
【培优篇】 11
考试要求：
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点1】确定函数的单调性(区间)
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
4．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则实数m的取值范围为
B．若，，则实数m的取值范围为
C．若，，则实数m的取值范围为
D．若，，则实数m的取值范围为
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，对于定义域内任意的x，y，都有，且在上单调递减，则不等式的解集为 .
6．（2023·北京密云·三模）设函数.
①当时，的单调递增区间为 ；
②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围 .
反思提升：
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
易错警示 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.
【考点2】求函数的最值
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）函数满足，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．8
4．（2022·福建漳州·一模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．是偶函数
C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为
三、填空题
5．（2023·云南保山·二模）对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 .
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ．
反思提升：
1.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【考点3】函数单调性的应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·广西贺州·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．为增函数
C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为
D．
4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，设函数，则下列结论成立的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．
C．当实数时，函数在区间上单调递减
D．在区间内，若函数有4个零点，则实数的取值范围是
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 .
6．（21-22高三上·浙江绍兴·阶段练习）已知函数，则对任意的，存在、（其中、且），能使以下式子恒成立的是 .
①；②；③；④.
反思提升：
1.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.
2. 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.
3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点 B．是单调函数
C．是奇函数 D．是周期函数
2．（2021·甘肃金昌·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的值域为
C．当时，函数的图象关于直线对称
D．函数的增区间为，
3．（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象与轴围成的三角形面积为2
二、多选题
5．（2023·辽宁抚顺·二模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2023·福建南平·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江西·模拟预测）已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．的值域为 B．在区间上单调递增
C． D．若，则的最小值为-3
三、填空题
8．（2024·辽宁·一模）已知圆：，直线交圆于、两点，点，则三角形面积的最大值为 .
9．（2021·山东淄博·一模）已知函数在上的最大值是6，则实数的值是 .
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
11．（2022·河南郑州·一模）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，.
(1)求在上的解析式；
(2)判断在上的单调性；
(3)当为何值时，方程在上有实数解.
12．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象关于点对称．
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称
B．在上单调递增
C．的解集为
D．若对恒成立，则实数的取值范围为
三、填空题
3．（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 .
四、解答题
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)，，使得，求实数的取值范围．
【培优篇】
一、单选题
1．（2022·河南开封·模拟预测）对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．e
二、多选题
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数的图象关于点中心对称，函数，且函数在上单调递减，函数的导函数分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．若，则
D．
三、填空题
3．（2024·全国·二模）已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是 .
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【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 6
【考点1】确定函数的单调性(区间) 6
【考点2】求函数的最值 12
【考点3】函数单调性的应用 16
【分层检测】 23
【基础篇】 23
【能力篇】 31
【培优篇】 35
考试要求：
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I，都有f(x)≤M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M (1) x∈I，都有f(x)≥M； (2) x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
1.有关单调性的常用结论
在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.
2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津·高考真题）函数的图像为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
1．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
2．C
【分析】
利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】
对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
3．A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
4．D
【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
5．D
【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
6．A
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
【考点1】确定函数的单调性(区间)
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·广东惠州·一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）小菲在学校选修课中了解了艾宾浩斯遗忘曲线．为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量y与时间（单位：天）之间的函数关系．则下列说法中正确的是（ ）
A．随着时间的增加：小菲的单词记忆保持量降低
B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C．天后，小菲的单词记忆保持量不低于40%
D．天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
4．（2024·河南·一模）定义在R上的函数（且，），若存在实数m使得不等式恒成立，则下列叙述正确的是（ ）
A．若，，则实数m的取值范围为
B．若，，则实数m的取值范围为
C．若，，则实数m的取值范围为
D．若，，则实数m的取值范围为
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数，对于定义域内任意的x，y，都有，且在上单调递减，则不等式的解集为 .
6．（2023·北京密云·三模）设函数.
①当时，的单调递增区间为 ；
②若且，使得成立，则实数a的一个取值范围 .
参考答案：
1．D
【分析】由对任意的，都有，得在上单调递减，由函数是定义在上的奇函数得，，在上单调递减，画出的简图，即可求解．
【详解】对任意的，都有，
所以在上单调递减，
因为函数是定义在上的奇函数，，，
所以在上单调递减，则可画出的简图，如图所示，
所以，
则或或，
即或或，
解得，
故选：D．
2．C
【分析】
利用基本不等式可求得，知A错误；由时，可知B错误；根据、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C正确；根据函数定义域可知D错误.
【详解】对于A，（当且仅当，即时取等号），
在上的最大值为，与图象不符，A错误；
对于B，当时，，与图象不符，B错误；
对于C，，当时，；
又过点；
由得：，解得：，即函数定义域为；
又，
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称；
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：与图象相符，C正确；
对于D，由得：，不存在部分的图象，D错误.
故选：C.
3．AB
【分析】根据艾宾浩斯遗忘曲线对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由函数解析式和图象可知随着的增加而减少，故A正确．
由图象的减少快慢可知：第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，B正确．
当时，，
则，
即天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C错误．
，故D错误．
故选：AB
4．BD
【分析】先判断函数为奇函数，再分和讨论的单调性，分和讨论函数的单调性，根据复合函数的单调性判断得出的单调性，利用单调性将进行等价转化成含参数的不等式，求解即得.
【详解】对于函数，因，则函数是奇函数.
不妨设，则，
对于A项，当时，在定义域内为增函数，
因，则在R上也是增函数，故在R上也是增函数.
由，则，即（*），
①当时，此时恒成立；② 当时，由（*）可得，解得，综上可知，，故A项错误；
对于B项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是减函数，故在R上是增函数，
由A项分析可得，恒成立可得，，故B项正确；
对于C项，当时，在定义域内为增函数，因，则在R上是减函数，故在R上是减函数，
由，则，即（*），
①当时，无解；② 当时，由（*）可得，解得或，综上可知，，故C项错误；
对于D项，当时，在定义域内为减函数，因，则在R上也是增函数，故在R上是减函数，
由C项分析可得，恒成立可得，，故D项正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：一般先考虑函数的奇偶性，再根据参数分类判断，构成复合函数的内外函数的单调性，利用单调性去掉抽象函数的符号，将其化成含参数的不等式恒成立问题，再对参数分类讨论不等式解的情况即得.
5．或
【分析】由，利用赋值法，得到函数的奇偶性，构造函数，研究其单调性和奇偶性，再由，将不等式转化为求解.
【详解】由，令，得，所以.
令，得.令，得，所以函数为偶函数.
构造函数，因为，所以为偶函数，且在上为减函数.
因为，
所以不等式等价于，
所以，即，所以或，
故不等式的解集为或.
故答案为：或.
6．
【分析】当时，作出的图象，结合图象，即可求得函数的递增区间，由，得到的图象关于对称，结合题意，即可求得的取值范围.
【详解】①当时，可得，函数的图象，如图所示，
可得函数的单调递增区间为.
②由，可函数的图象关于对称，
若且，使得成立，
如图所示，则满足，即实数的取值范围为.
故答案为：；.
反思提升：
1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
易错警示 函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.
【考点2】求函数的最值
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）函数满足，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2024·湖南岳阳·三模）已知函数，不存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·江苏南通·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（ ）
A． B． C．0 D．8
4．（2022·福建漳州·一模）已知函数，则（ ）
A．的定义域为 B．是偶函数
C．函数的零点为0 D．当时，的最大值为
三、填空题
5．（2023·云南保山·二模）对于函数，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称为“倒戈函数”，设函数是定义在上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 .
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】通过 解方程可得的解析式，由化简可得，结合基本不等式可得，运用分离常数法化简可得，进而可得其最小值.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，即，
所以，
因为，，所以，，
所以，
整理得，
解得或（舍），
所以，当且仅当即时取等号.
故的最小值为.
故选：C.
2．C
【分析】分别在条件下结合指数函数单调性及二次函数性质，确定函数的取值规律，由条件列不等式求的范围，可得结论.
【详解】（1）当时，若，则，
因为函数在上单调递增，所以，
若，则，当且仅当时取等号，
因为不存在最小值，
所以，所以，
（2）当时，若，则，
因为函数在上单调递增，所以，
若，则，当且仅当时取等号，
因为不存在最小值，
所以，所以，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
3．BD
【分析】对b分类讨论，当 时，由得到在上恒成立，则不存在；当 时，由，结合图象利用数学结合的思想得出a，b的整数解．
【详解】当时，由得到在上恒成立，则不存在，
当时，由可设，，
又的大致图象如下，
那么由题意可知：，再由是整数得到或
因此或-2．
故选：BD
4．AD
【分析】根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.
【详解】对A，由解析式可知的定义域为，故A正确；
对B，因为，可知是奇函数，故B不正确；
对C,，得，故C不正确；
对D, 当时，，当且仅当时取等号，
故D正确.
故选：AD
5．
【分析】根据新定义得到存在，使，转化为有解，建立不等式求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的“倒戈函数”，
所以存在，使，
即，
即，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，当或时，，所以，
所以.
故答案为：
6．/
【分析】化简式子，利用整体代入，结合基本不等式，可得结果.
【详解】因为，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：．
反思提升：
1.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【考点3】函数单调性的应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·广西贺州·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．为增函数
C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为
D．
4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，设函数，则下列结论成立的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．
C．当实数时，函数在区间上单调递减
D．在区间内，若函数有4个零点，则实数的取值范围是
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 .
6．（21-22高三上·浙江绍兴·阶段练习）已知函数，则对任意的，存在、（其中、且），能使以下式子恒成立的是 .
①；②；③；④.
参考答案：
1．C
【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建立不等式，可得答案.
【详解】令，则．
当时，在上单调递增，
则由复合函数的单调性可知在上单调递增，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递增，
则，解得．
当时，在上单调递减，
则由复合函数的单调性可知在上单调递减，
且在上恒成立，
所以，解得或（舍去）．
所以在上单调递减，
则，解得，与矛盾．
综上所述，.
故选：C．
2．B
【分析】构造函数，求导确定其单调性，根据单调性确定建立的不等关系，以及的不等关系，整理化简得答案.
【详解】令，则，
因为当时，有恒成立，
所以当时，，
即在上单调递减，
所以，即，即，A 错误，B正确，
，即，即，CD错误.
故选：B.
3．ABD
【分析】先令，求出，再令，即可判断A；令，结合已知判断的符号，即可判断B；根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断C；根据函数的奇偶性和单调性即可判断D.
【详解】对于A，令，则，所以，
令，则，所以，
所以是奇函数，故A正确；
对于B，令，
则，
因为，所以，
所以，，
所以，
又因为当时，，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
又是奇函数，且，
所以函数为增函数，故B正确；
对于C，由，得，
所以，解得，故C错误；
对于D，，
即，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
4．ACD
【分析】根据偶函数可得即可判断A，由得周期结合偶函数可判断B，求出的解析式利用一次函数单调性判断C，画出函数图象和函数的图象可判断D.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以函数的图象关于对称，可知A正确；
由，可得，知函数的周期，
由周期和奇偶性得，故B不正确；
当时，则，，所以，
由函数为偶函数且周期为2可得，，
由函数在区间上为单调递减函数，所以，即.得C正确；
函数在区间有4个零点，有4个解，
即与直线在有4个交点，利用周期和偶函数，结合在的解析式，
可画出函数和函数在上的图像.如图：
由图可得，即，实数的取值范围是,D正确.
故选：ACD.
5．
【分析】构造函数，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解.
【详解】由知是奇函数，，
设，则，
在上单调递增，由得，
即，，得的取值范围是.
故答案为：
6．①②③
【分析】取，，利用导数研究函数的单调性，可判断①；取可判断②；取，利用导数研究函数的单调性，可判断③；分、两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，可判断④.
【详解】对于①，取，，则，，
所以，函数在上为增函数，
因为，即，故恒成立，①对；
对于②，取，，则，
所以，，则，②对；
对于③，当时，，则，
所以，函数在上为增函数，，故，③对；
对于④，当时，.
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为，
所以，函数的极大值为，极小值为，
，所以，，
，所以，，
则不恒成立；
当时，，则在上为增函数，
因为，，所以，、的大小关系无法确定，④错.
故答案为：①②③.
反思提升：
1.利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到一个单调区间内，然后利用单调性比较大小.
2. 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域.
3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点 B．是单调函数
C．是奇函数 D．是周期函数
2．（2021·甘肃金昌·二模）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的值域为
C．当时，函数的图象关于直线对称
D．函数的增区间为，
3．（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·贵州·模拟预测）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象与轴围成的三角形面积为2
二、多选题
5．（2023·辽宁抚顺·二模）已知函数，且满足，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2023·福建南平·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·江西·模拟预测）已知函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．的值域为 B．在区间上单调递增
C． D．若，则的最小值为-3
三、填空题
8．（2024·辽宁·一模）已知圆：，直线交圆于、两点，点，则三角形面积的最大值为 .
9．（2021·山东淄博·一模）已知函数在上的最大值是6，则实数的值是 .
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
11．（2022·河南郑州·一模）定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，.
(1)求在上的解析式；
(2)判断在上的单调性；
(3)当为何值时，方程在上有实数解.
12．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象关于点对称．
(1)求函数的解析式和单调递增区间；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．D
【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，根据即可判断单调性求解B，根据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据和同为有理数或同为无理数即可求解D.
【分析】对于A，因为或均为有理数，
所以，故没有零点，A错误，
对于B，因为，所以，
故不是单调函数，B错误，
对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以，
故是偶函数，C错误，
对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数，
所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，
故选：D.
2．D
【分析】根据函数奇偶性定义，函数单调性等性质对选项一一分析即可.
【详解】由，
可知函数为偶函数，A错误；
不妨设，此时，
由（当且仅当时，等号成立），
有，可得，可知函数的值域为，B错误；
由，
，可知当时，函数的图象不关于直线对称，C错误；
由函数的增区间为，减区间为，由复合函数单调性可知函数的增区间为，，D正确．
故选：D
3．A
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.
【详解】函数的对称轴为，
由函数在上单调递增可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
4．C
【分析】去掉绝对值，得到，画出其图象，进而判断出四个选项.
【详解】A选项，，
画出其函数图象，如下：
故不是偶函数，A错误；
B选项，在上单调递减，故B错误；
C选项，的图象关于直线对称，C正确；
D选项，的图象与轴围成的三角形面积为，D错误.
故选：C
5．AD
【分析】令，则.讨论的奇偶性和单调性，由得，由的单调性得，解出实数的取值范围即可得到答案.
【详解】令，则，因为，
所以为奇函数.又因为，所以根据单调性的性质可得为增函数.
因为，所以，等价于，即，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：AD
6．BD
【分析】利用函数单调性一一判定即可.
【详解】易知在定义域上单调递减，故时，，即A错误；在定义域上单调递增，故时，，即B正确；
在定义域上单调递减，故时，，即C错误；
，则，即在定义域上单调递增，
所以时，有，即，故D正确.
故选：BD
7．BCD
【分析】将函数转化为，再逐项判断.
【详解】函数，
A. 的值域为，故错误；
B. 在区间上单调递增，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为，则的最小值为，故正确；
故选：BCD
8．
【分析】求出圆心到直线的距离为，和到直线的距离为，利用垂径定理得到，表达出，换元后得到面积的最大值.
【详解】的圆心，半径为3，易知，
则到直线的距离为，解得，
到直线的距离为，
，故，
令，由于，故，
则，
当时，取得最大值，最大值为.
故答案为：
9．或
【分析】对进行分类讨论，结合函数的单调性和最值，求得的值.
【详解】不妨设的定义域为，
当时，，
，不符合题意.
当时，设，
在区间上递增，值域为，即.
即.
，
而，，
在上为增函数，
故要使函数在上的最大值是6，
则或，所以或.
故答案为：或
10．
【分析】作出在内的图象，数形结合，将问题转化为斜率问题求解即可.
【详解】由得，作出在内的图象如图所示，
设，
直线恒过定点，
直线的斜率，直线的斜率，
所以数形结合可知，即的取值范围为．
故答案为：.
11．(1)
(2)在上为减函数
(3)或
【分析】（1）根据奇函数的定义即可求解，
（2）由单调性的定义即可求解,
（3）由单调性求解函数的值域，即可求解.
【详解】（1）是上的奇函数，.
又为最小正周期，.
设，则，
（2）设，由于所以，，
所以
在上为减函数.
（3）在上为减函数，，即.
同理，在上时，.
又，
当或时，在内有实数解.
12．(1)，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出和最小正周期，求出，代入，求出，求出解析式，利用整体法求出单调递增区间；
（2）先根据得到，根据得到，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题知：，函数的最小正周期，
故，解得，
所以，则，
即，
，，
∵，
∴，
故，
令，
解得，
故函数的单调递增区间是；
（2）因为，所以，
故，，
所以，
∵不等式在上恒成立，
，即在上恒成立，
，解得，
即实数的取值范围是．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称
B．在上单调递增
C．的解集为
D．若对恒成立，则实数的取值范围为
三、填空题
3．（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 .
四、解答题
4．（2022·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)，，使得，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】对数函数的单调性与底数有关，分和两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得的取值范围.
【详解】设函数，则．
①若，则在定义域上单调递减．
又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故对任意的恒成立．
又，所以对任意的显然成立．
又因为对任意恒成立，所以0，故．
②若，则在定义域上单调递增．
又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故对任意的恒成立．
因为抛物线的开口向上，所以不可能对任意的恒成立．
所以的取值范围为．
故选：A．
2．BC
【分析】对于A，对抽象函数的等式分别赋值和即可判断是奇函数；对于B，利用函数的单调性定义推理即得；对于C，利用A,B项分析得到的函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式即可；对于D，利用C的结论得出函数在上的最大值，将等价转化为在上恒成立，结合关于的一次函数的图象即得参数的范围.
【详解】对于，令，得，所以，令，则，即，则，
所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，故A错误；
对于，设，则，又当时，，则有，
即，则，故在上单调递增，故B正确；
对于，根据选项可知，函数在上单调递增，又因为是定义在上的奇函数，
，所以，则的解集为，故C正确；
对于，因为在上单调递增，所以当时，，
又对恒成立，所以，即在上恒成立，
将看成关于的一次函数，则需,
由① 可得或，由② 可得或，故的范围为或，故D错误．
故选：BC．
3．
【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出，再计算判断即得.
【详解】由，得，由，得，
依题意，直线与函数图象交点的横坐标分别为，
而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，
因此直线与函数图象的交点关于直线对称，即点在直线上，
则，，于是，
，而，
所以，即.
故答案为：
【点睛】结论点睛：同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）把函数化成分段函数，再分类讨论求解不等式作答.
（2）求出函数的最小值，再求出在当时的最小值，利用恒能成立问题求解作答.
【详解】（1）函数，不等式可化为：或或，
解得：，解得：，解得：，
所以不等式的解集为.
（2）由（1）知，当时，，当时，，当时，，
因此，当时，，当时，，
当且仅当，即时取“=”，
因，，使得，
则有的最小值不小于在上的最小值，即有，解得，
所以实数的取值范围是.
【培优篇】
一、单选题
1．（2022·河南开封·模拟预测）对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．e
二、多选题
2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知定义在实数集上的函数的图象关于点中心对称，函数，且函数在上单调递减，函数的导函数分别是，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．若，则
D．
三、填空题
3．（2024·全国·二模）已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是 .
参考答案：
1．D
【分析】将不等式化为，构造有，利用函数的单调性及参变分离法有在上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果.
【详解】∵，
∴．
令，则不等式化为．
∵为增函数，
∴，即．
令，则，
当时，，即递减；
当时，，即递增；
所以．
∴实数a的最大值为e．
故选：D
2．ACD
【分析】选项A，验证等式是否成立即可；选项B，验证等式是否成立即可；选项C，由等式出发，证明成立即可；选项D，构造函数，借助其单调性证明不等式即可.
【详解】对于选项A，因为函数的图象关于点中心对称，
所以，两边求导数得： ，
成立，所以函数的图象关于直线对称.
故选项A正确；
对于选项B，因为函数，
则，
用替换，得：，故的图象关于直线对称，
故选项B错误；
对于选项C，接上个选项解析中，
两边求导得：则，即，
将代入，得：，
故选项C正确；
对于选项D，因为的图象关于直线对称，
所以，
设，
则，
又设，
则有，
从而在上单调递增，则，
即在上单调递增，，
故有恒成立，则，
又因在上单调递减，则在上单调递增，
又，故，即：，
故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查抽象函数的对称性以及应用导数证明不等式，注意赋值法的使用，属于难题.抽象函数的对称性主要有两种形式：（1）若成立，函数的对称轴为；（2）若成立，函数的对称中心为.
3．6
【分析】先对不等式等价变换为，令得，构造函数，从而，又，利用不等式性质即可求解范围.
【详解】因为，所以，
则不等式等价于，
等价于，令，则，
从而，令，由对勾函数的性质知，
因为，即，所以，
令，则，解得，
所以，当且仅当即时取等号，
故的最大值是6.
故答案为：6
【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的值域及不等式的性质，解题的关键是对不等式等价变形，利用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可.
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