浙江省新阵地教育联盟2025届高三下学期第二次联考数学试卷（PDF版，含解析）

{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考
数学参考答案
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求.
1．【答案】A
【解析】 B = [ 1,2]， A B = { 1,0,1,2}
2．【答案】B
【解析】 z 对应的点在第四象限， z =1+ 2i ， z 的虚部是 2 ， z = 5
3．【答案】D
3 1 3
【解析】 sin = cos = tan = 3 ， tan = 3 sin = ，
2 2 2
4．【答案】B
【解析】 S5 = 5a1 +10d = a2 + a5 + a7 = 3a1 +11d 2a1 = d ，
d 3d d 9
∴ a1 = ，a2 = ，∴ am = + (m 1)d = d m = 5 .
2 2 2 2
5．【答案】D
【解析】法一：运用公式计算得出结果.
法二：求得 x = 3, y = 6，因为中心点在回归线上，排除 A；因为 x, y 是正相关，排除 D；
根据表格数据可知，C 的拟合度高于 B 的拟合度，∴选 D
6．【答案】C
9 9
【解析】A： S = r(r + l) = ；B： S = 2 r(r + l) = ；
16 16
2 9 9
C： S = 4 r = ；D： S = r(r + l) + r (r + l) =
4 16
7．【答案】C
【解析】
如图所示， a1 的值共有 6 个，选 C
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 1 页 共 9 页
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
8．【答案】A
【解析】画出 y = ln x ， y = x3 ， y = x m的图象：（为使图象清晰，解析里比例有所调整）
y
x1
x0
x2
x1(x0)
x0 x2
x1 x2
x
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得
6 分，部分选对得部分分，有选错得得 0 分.
9．【答案】AD
【解析】A：5 男 7 女，C15C
1
7 = 35种，正确；
B：8 0.7 = 5.6 ，第 6 个数是 9.4，错误；
n(AB) 4
C：记“选到女生”为事件 A，“来自甲班”为事件 B，则 P(B A) = = ，错误.
n(A) 7
2 6
D： X 服从超几何分布， E(X ) = 3 = ，正确。也可以通过分布列求解.
5 5
X 0 1 2
1 6 3 61 6 3 E(X ) = 0 +1 + 2 =
P 10 10 10 5
10 10 10
10．【答案】ABD
3
【解析】A：∵ AO ⊥ BD，CO ⊥ BD ，∴ AOC = 60 ，而 AO =1，CO = 2，∴ h = ，
2
1 3 1 3
∴V = 3 2 = 是定值，正确. A BCD
3 2 2 2
B：由 A 可知， BD ⊥面 AOC ，∴ BD ⊥ AC ，而 AO ⊥ AC ，∴ AC ⊥面 ABD ，∴正确.
9 + 6 + 15
C：由 B 可知，当 a =1时，易得： S = ，考虑对称性，表 a = 2的表面积也
2
是该值，∴错误.
D：由 B 可知， AC ⊥面 ABD ，三棱锥改为C 为顶点
画法：如图，P 是 ABD 的外心，Q 是三棱锥外接
球 球 心 . 易 知 ， 外 接 球 半 径
r = AQ = AP2 + PQ2
3
= AP2 + ，
4
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 2 页 共 9 页
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
BD 3 3
2AP = AP = ，
sin BAD 2sin BAD 2
∴ r 3 ，即当 ABD 是直角三角形时，外接球半径最小值
为 3 . a(3 a) =1有解，∴ ABD 能取到直角三角形，∴D 正确.
11．【答案】ACD
【解析】先根据对称性可以得到完整曲线，如图 1：
y y
(0,4) (0,4)
(1,1) (1,1)
(4,0) (4,0)
(-4,0) x (-4,0) x
(0,-4) (0,-4)
图 1 图 2
y
(0,4) (4,4)
(1,1)
(4,0)
(-4,0) x
(0,-4)
图 3
A：根据 (x, y),( x, y),(y, x),( y, x)与 (x, y) 代入方程都一样，得到 4 条对称轴，正确.
B：结合图 2，内部圆半径最大为 2 ，错误.证明：根据对称性，研究第一象限 x + y = 2 ，
( x + y )2 2 2 (x + y)
2
则 x + y = 2，则 x + y = 2，所以内部圆半径最大 2 .
2 2
C：如图 2，结合对称性，曲线长度大于“四角星”形状图形的周长 L = 8 10 25 正确.
证明：根据对称性，只需证：当 0 x 1时， 3x + 4 (2 x)2 恒成立，
即证：当 0 x 1时， x(x 1) 0 恒成立，显然成立.
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 3 页 共 9 页
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
D：如图 3，以 (4,4)为圆心，4 为半径作圆弧， (1,1)到 (4,4)距离为3 2 4 ，所以第一
象限内圆弧在曲线上方，面积 S 4(S正方形 S ) = 64 16 14扇形 正确.
证明：根据对称性，研究第一象限，只需证： x + y = 2 时，(x 4)2 + (y 4)2 16 .
x + y = 2 x + y = 4 2 xy ，
(x 4)2 + (y 4)2 = x2 + y2 8(x + y) + 32 = (x + y 4)2 2xy +16 = 2xy +16 16
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分.
2 2
12．【答案】例： ( , )
2 2
a b 2x + 2y
【解析】设 a = (x, y) ，则 = =1 x + y = 2 ，满足方程的点均可.
b 2 2
y
13．【答案】 2 1 B
【解析】运用圆锥曲线通径知识，
b2 D
DF a p
A
= = = 2 2ac = b2 = a2 c2
p O F
x
OF c
2
e2 + 2e 1= 0 e = 2 1
14．【答案】2
【解析】解法一：设切线方程为 y = kx + b，则 kx + b = 2x sin x sin x = (2 k)x b ，
∴ y = sin x 上两个点处的切线均为 y = (2 k)x b ，且之间无公共点，结合正弦函数图象
特征可知， y = (2 k)x b 只能是直线 y = 1，∴ k = 2
解法二：设切点为 (x0 ,2x0 sin x0 )， f (x0 ) = 2 cos x0，切线方程为：
y = (2 cos x0 )(x x0 ) + 2x0 sin x0 = (2 cos x0 )x + x0 cos x0 sin x0 ，
用 x1，x2 表示两个切点横坐标，则有 2 cos x1 = 2 cos x2 ，
①若 x2 = x1 + 2k ，则 x1 cos x1 sin x1 = x2 cos x2 sin x2 = (x1 + 2k )cos x1 sin x1，

∴ 2k cos x1 = 0 ，∴ x1 = 2k + 或 x1 = 2k ，代入可得：斜率为 2；
2 2
当 k = 1时，满足 f (x) 与 l 在 A, B 之间无公共点.
②若 x2 = x1 + 2k ，则 x1 cos x1 sin x1 = x2 cos x2 sin x2 = ( x1 + 2k )cos x1 + sin x1，
即 x1 cos x1 sin x1 = k cos x1③
y = (2 cos x1)x + x1 cos x1 sin x1
xcos x1 sin x = x1 cos x1 sin x1
y = 2x sin x
结合③式可知， (k ,2k ) 是 f (x) 与 l 的公共点，且在 A, B 之间，该情况无解.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
3 3
15．【答案】（1） 2 ；（2） S ABC ( ,6 3) .（作图法答案正确也给满分）
2
【解析】

（1） f (x) = sin x + 3 cos x = 2sin(x + ) …………………………………………………………2 分
3
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 4 页 共 9 页
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
2
∴T = = 2 ………………………………………………………………………………4 分
1

（2） f (A) = 2sin(A+ ) = 3 ，∴ A = ，……………………………………………………6 分
3 3
边 AC 上的高 h = 3，∴ AB = 2 3 ，

2 3 sin(C + )
根据正弦定理得： AC AB
= AC = 3
3 ，………………9 分
= 3 +
sin B sin C sin C tan C
∵ ABC 是锐角三角形，
3
∴C ( , ) ，∴ tan C ( ,+ )，……………………………………………………11 分
6 2 3
3 3
∴ AC ( 3,4 3)，∴ S ABC ( ,6 3) .……13 分
2
E
15
16．【答案】（1）见解析；（2）
5
【解析】
（1）过点 A 作 AD ⊥ BB1，交 BB1于点 D ，
∵四边形 BCC D 1B1 是正方形，∴ B1B ⊥ BC ，B1B = BC = 2
而 AB ⊥ BC ，∴ BC ⊥面 ABB1A1 .………………2 分
解法一：∵ BC ⊥面 ABB1A1 ，∴面 BCC1B1 ⊥面 ABB1A1
而 AD ⊥ BB1，∴ AD ⊥面 BCC1B1 ，…………4 分

∴ AD =1又∵ AB = 2 ∴ = ，……………………6 分
4
∴ AB1 ⊥ AB ，由 BC ⊥ 面 ABB1A1 可知 BC ⊥ AB1 ，∴ z
AB1 ⊥面 ABC ………………8 分
解法二：以 B 为原点， BC, BA方向为 x, y 轴，垂直于
平面 ABC 向上方向为 z 轴，建系.
∵ BC ⊥面 ABB1A1 ，∴ B1(0,2cos ,2sin )，
y
则 x BC = (2,0,0) ，BA = (0, 2,0) BB1 = (0,2cos ,2sin ) ，
∴平面 BCC1B1 的法向量为 n = (0,sin , cos )，…5 分
BA n
∴点 A到平面 BCC1B1 的距离为 = 2 sin =1，
n

∴ = …………………………………………………7 分
4
∴ B1(0, 2, 2)，∴ AB1 = (0,0, 2)，∴ AB1 ⊥面 ABC .………8 分
（2）解法一：过点 B1作 B1E ⊥ A1C1交 A1C1 于点 E ，连 AE
由（1）可知 AB1 ⊥面 ABC ，∴ AB1 ⊥ AC ， AB1 ⊥ B1E
∵ B1E ⊥ A1C1，∴ B1E ⊥ AC ，∴ AC ⊥面 AB1E ，∴ AC ⊥ AE
∴ B1AE 为面 ACC1A1与面 ACB1 的夹角，………………………………………………12 分
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 5 页 共 9 页
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
2 30
在 Rt AB1E 中， AB = 2 ， B1E = 31 ， AE = ， 3 3
15
∴ cos B AE = …………………………………………………………………………15 分 1
5
解法二： AB1 = (0,0, 2)， AC = (2, 2,0) ， AA = (0, 2, 2) …………………………9 分 1
平面 ACB1的法向量m = (1, 2,0) ，………………………………………………………11 分 1
平面 ACC1A1的法向量m = (1, 2, 2)，………………………………………………13 分 2
3 15
∴ cos m ,m .…………………………………………………………15 分 1 2 = =
3 5 5
3 3 1
17．【答案】（1）增区间： ( ,0)，( ,+ ) ，减区间： (0,1)，(1, ) ；（2） (0, )
2 2 5
【解析】
（1） f (x) 的定义域为 ( ,1) (1,+ ) （答案没考虑定义域扣 2 分）
2x 1 1 x(2x 3)
f (x) = ex ex = ex ………………………………………………2 分
x 1 (x 1)2 (x 1)2
3 3
∴ f (x) 在 ( ,0)，( ,+ )上单调递增，在 (0,1)，(1, ) 上单调递减.……………6 分
2 2
x ax 1 x 1 a
2
x ax (a +1)x + 2 a
（2） f (x) = e + e = e .…………………………………9
x 1 (x 1)2 (x 1)2
分
设 g(x) = ax2 (a +1)x + 2 a(a 0)
解法一：注意到 g(2) = a 0 ……………………………………………………………11 分
a +1
2
∴只需满足 2a …………………………………………………13 分
= (a +1)
2 + 4a(a 2) 0
1
a 1
3 0 a …………………………………………………………………15 分 1
0 a 5
5
a +1 1
解法二：①若 2，即 a 时， g(2) 0 a 0，∴ ……………………12 分
2a 3
a +1 1 1
②若 2 ，即 a 时， = (a +1)2 + 4a(a 2) = 5a2 6a +1 0，∴ 0 a …15 分
2a 3 5
解法三： ax2 (a +1)x + 2 a = 0在 (2,+ )上有穿根.
a(x2 x 1) = x 2在 (2,+ )上有穿根.
1 x2 x 1 t 2 + 3t +1
= = (t (0,+ )) ……………………………13 分
a x 2 t
1 1
结合双勾函数图象可得 (5,+ ) .∴ a (0, ) …………………15 分
a 5
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 6 页 共 9 页
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
x2 y2 6
18．【答案】（1） =1；（2） = 2 2 + 2 ；（3） k 1
3 3 6
y
【解析】 B
2
a = b = c A a = 3 x2 y2
（1） 2 ，∴ =1……3 分
ab 6 b = 3 3 3 T O = x
c 2
（2）设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ， l : x = 2y 3， C
代入双曲线方程，得： y2 4y + 2 = 0，…………4 分
由韦达定理可得： y1 + y2 = 4, y1y2 = 2 .
y1 y2 (y + y )
2
解法一∴ + + 2 = 1 2 = 8，∵ y2 y1 0
y2 y1 y1y2
y2
∴ = 3+ 2 2 ，………………………………………6 分
y1
∵T , A, B 三点共线，
AB TB y
= = 1 = 2∴ 1= 2 2 + 2 …………………………………………………8 分
TA TA y1
解法二：∵ TA = AB ，∴ y1 = y2 y1 y2 = ( +1)y1
4
y1 =
结合韦达定理解得： + 2 ……………………………………………………
6 分
4( +1)
y2 =
+ 2
16( +1)
∴ y
2
1y2 = = 2 4 4 = 0 = 2 2 + 22 ………………………………8 分 ( + 2)
解法三：解得 y1 = 2 2, y2 = 2+ 2 …………………………………………………6 分
AB y2 y1 2 2
∴ = = = = 2 2 + 2………………………………………………8 分
TA y1 2 2
b2
（3）由题意得： kAC kAB =1= ，∴ B,C 两点关于原点对称.…………………………10 分
a2
或证明：
设C(x3 , y3)，lAB : y = k(x x1) + y1 ，代入双曲线方程得：
(1 k 2 )x2 2k(y 21 kx1)x (y1 kx1) 3 = 0，
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 7 页 共 9 页
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
2k(y1 kx )
∴ x2 =
1 x1 ，
1 k 2
2 1
(y1 x1)
k k 2(ky1 x1)
同理可得： x3 = x1 = x1 1
1 k
2 1
k 2
2x (1 k 2 )
∴ x2 + x
1
3 = 2x1 = 0，
1 k 2
∴ B,C 两点关于原点对称
S OAB S ABC S TB TBC y2
∴ 2 4 5 5 5 …………………………12 分
S TAC S TAC S TAC TA y1
x = ty 3
解法一：设 l : x = ty 3(t 1) (t
2
， 1)y
2 6ty + 6 = 0
x2 2
，
y = 3
6t 6
由韦达定理得： y1 + y2 = , y1y2 = ，
t 2 1 t 2 1
y1 y2 (y
2
1 + y2 ) 6t
2 36
∴ + + 2 = = ，……………………………………………15 分
y y y 22 1 1y2 t 1 5
2 6解得：1 t 6 ，所以 k 1 .……………………………………………………17 分
6
1
x = y 3
解法二：设 l : y = k(x + 3)(0 k 1)
2 2
， k (1 k )y 6ky + 6k
2 = 0 ，
2 x y
2 = 3
6k 6k 2
由韦达定理得： y1 + y2 = , y1y2 =
1 k 2 1 k 2
y1 y
2
+ 2
(y1 + y ) 6 36+ 2 = 2 = ………………………………………………15 分
y2 y y
2
1 1y2 1 k 5
6
解得： k 1………………………………………………………………………17 分
6
19．【答案】见解析
【解析】
（1） …………4 分
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 8 页 共 9 页
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}
（2）参考走法（不唯一） …6 分
对于第二个方格，则不能达成“胜利”，理由如下：
设 aij 表示 aij 中 i + j 的值，例如： a34 = 3+ 4 = 7 ，则
在5 5方格中，共有 25 个 aij 。将 aij 是偶数的称为偶数
格，奇数的称为奇数格，易知，偶数格有 13 个，奇数格有
12 个。按照题意，当移动到奇数格时，下一步将移动到偶
数格，当移动到偶数格时，下一步将移动到奇数格。∴若要
达成“胜利”， 偶数格 奇数格 1 .………………8 分
而中，涂黑了 a22，a45，a52 ，即两个奇数格，一格偶数格，
此时剩下 12 个偶数格，10 个奇数格，∴无论如何移动都不
能达成“胜利”.…………10 分
（3）首先判断， n 6 .
然后证明： n = 6时不成立.证明如下：
将挖去的 6 格记为 am ，a1k1 m k ，am k ，am k ，am k ，a ， 其中， 2 2 3 3 4 4 5 5 m6k6
{m1,m2 ,m3 ,m4 ,m5 ,m6}与{k1,k2 ,k3 ,k4 ,k5 ,k6}均为{1,2,3,4,5,6}的一种排列，
6 6 6
∴ am k = (mi + ki ) = 2 i = 42为偶数………………………………………………13 分 i i
i=1 i=1 i=1
由（2）可知，若要在6 6 方格中挖去 6 格达成“胜利”，必须挖去 3 个奇数格，3 格偶数格.
而 3 个奇数与 3 个偶数之和为奇数矛盾.
∴不可能挖去 6 格.…………………………………………………………………………15 分
最后证明： n = 5 时，能成立，举例法：…………………………………………………17 分
挖法和走法均不唯一.
综上所述， n最大值为 5.（猜出答案 5 给 1 分）
浙江省新阵地教育联盟 2025 届第一次联考 数学答案 第 9 页 共 9 页
{#{QQABYQKAggigABBAAQgCEQFCCAGQkBGACSoOxBAcoAABAANABAA=}#}