成都七中高 2025 届高三下入学测试
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 A x∣y 3x x2 ,B y∣y 3x 2 ．则 A B （ ）
A．[0,3] B． (0, 2] C．[2,3] D． (2,3]
2．若 是第一象限角，则下列结论一定成立的是（ ）
A． sin
0 B． cos
0
2 2
C． tan
0 D． sin cos 0
2 2 2
3．设 a,b为非零向量，则“ a b”是“ a b a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若复数 z满足 z 2 i 2i，则在复平面内 z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
y25．若双曲线 x2 1的离心率是 2，则实数 k的值是（ ）
k
1
A． 3
1
B． C．3 D．
3 3
6．某圆锥的侧面展开图是一个半径为 2 6，圆心角为 π的扇形，则该圆锥的内切球体积为
（ ）
A 8 2π B 8 3π． ． C． 4π D． 6π
3 3
7．已知数列 an 是各项为正数的等比数列，公比为 q，在 a1,a2之间插入 1个数，使这 3个
数成等差数列，记公差为 d1，在a2,a3之间插入 2个数，使这 4个数成等差数列，公差为 d2 , ，
在 an ,an 1之间插入 n个数，使这 n 2个数成等差数列，公差为 dn . 以下能使得数列 dn 单
调递增的是（ ）
3
A. q 1 B.1 q C.d1 d2 D. d2 d2 3
8. 等腰三角形它的三个顶点都在曲线C : x2 m2y2 m2 (m 1)上，且该等腰三角形恰有
两个顶点在 x轴或 y轴上.若满足以上条件的等腰三角形大于 16 个，求m的范围（ ）
试卷第 1页，共 4页
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 经过点 1, 3 且与直线 l : x 3y 1 0垂直的直线方程为 .
13. 3 x 2
n
在 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于 ．
x
14. 现有 2n 1个编号为1，2， ，2n 1 n N*，n 2 的小球随机从中取出 n个．记 为取
出的 n个球中最大的编号.对 n 2， E _____ .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 人教 A版必修第二册第 46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐
角VABC中，过点A作与 AC垂直的单位向量 j，因为 AC CB AB ，所以
j AC CB j AB，由分配律，得 j AC j CB j AB，即
j AC cos j CB cos C j AB cos
A
2 2 2
，也即 asinC csin A．请用上述向
量方法探究，如图 2，直线 l与VABC的边 AB、AC分别相交于点D、E．设 AB c，BC a，
CA b， ADE ．则 与VABC的边和角之间的等量关系？请写出推导的过程.
16．如图，在正四棱锥 P ABCD中，PA AB 2 2，E F分别为 PB PD的中点，平面 AEF
与棱 PC的交点为G .
(1)证明： EF PC ；
(2)求平面 AEF与平面 ABCD所成锐二面角的余弦值大小；
(3)求点G的位置.
试卷第 3页，共 4页
17. 已知定义在（0, ）上的函数 y f (x)的表达式为 f x sin x xcos x，其所有的零点按
从小到大的顺序组成数列 xn （ n 1,n N）.
(1)求函数 y f x 在 ,1 处的切线方程；
2
(2)判断并证明函数 y f x 在区间 0,2025 上的零点个数；
(3)求证： xn 1 xn .
18. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置 0出发，每次只
能向左或者向右运动 1个单位，且每次运动方向相互独立，质点向右运动的概率为
p(0 p 1) .设移动 n次后质点位于位置 n .
1
(1)当 p 时，求 P 4 2 ；2
1
(2)当 p 时，
3
①若 n 2025，求质点最有可能运动到的位置对应的数，并说明理由；
②求D n 的值.
19. x2已知抛物线 2py(p 0)上有三点 A,B,C .当 AB 10时，线段 AB的中点M 的纵
19
坐标的最小值为 .
4
（1）求抛物线的方程；
（2）若以 AC为直径的圆过点B
①当 B在坐标原点时，过 B作 AC的垂线，垂足为D，求D的轨迹方程；
3 3
②求证： AB BC .
2
试卷第 4页，共 4页成都七中高2025届高三下入学测试参考答案
一、单选题
1.D2.C3.C4.B5.A6.A7.C8.B
二、多选题
9.ABC 10.ABD 11.ACD
三、填空题
12.y=V3x
13.112
142n
n+1
15.解：如下图所示，过点D作DF/BC,
DE
在△ABC中，AB+BC+CA=0,取单位向量n=
DE
4分
则n(AB+BC+CA=0,即n-AB+n-BC+n.C=0,8分
i·AB=AB cos(π-0)=-ccos0,元.BC=BCcos(B-0)=a cos(B-0),10分
.C=Ccos(4+0)=bcos(4+0),
所以，-ccos0+acos(B-0)+bcos(A+0)=0,即acos(B-0)+bcos(A+0)=ccos0.13分
16.解：(1)连接AC,BD,相交于点O,
因为四边形ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，BD⊥AC,连接PO,因为四棱锥
P-ABCD是正四棱锥，则POL底面ABCD,即PO⊥BD,可知BD⊥平面POC:
因为E、F分别为PBPD的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，∴.EF/IBD
则EF⊥平面POC,即可证EF⊥PC4分
(2)由(1)可知EFIBD,因为BDC平面ABCD,EF丈平面ABCD,所以EFI平面ABCD,
设平面AEGF与平面ABCD相交于直线I,故EF∥I∥DB,连接QA,
则因为AE=AF,所以AQ⊥EF,又因为OA⊥BD,
故∠QAO即为平面AEGF与平面ABCD所成锐二面角，其中
000p=1,40=2,所以m20Q-岩分故
c08∠040-2Y5.即平面0与平面4D所成锐面角的余弦ǜ为25
10分
(3)延长AQ,则由肉半面杆交的性质可得AQ定过点G,过点G作GM#PO交AC于
点M,囚为PO⊥底面1BCD,所i以GM⊥底自ABCD
设G(Cfx,则41-4x内第二间知：tan∠01Q=
,所以C11
1M2
4
0、x」晖得：x=2’议=o3
1
PC OP 2 3
，所以点G的位
4-x2
苴为线段PC常近P的三等分点.
(也可建立空间坐标系，算对酌情给分)
......15分
17.解：(1)由f"(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,
化简可得切线方程为y-产
2
4
4分
(2)当xe(π，(n+l)πj吋，f'(x)=cosx-(cosx-xsinx)=xsi山x
①：当是偶数时，'(x)>0,的数y=f(x)在区间（π，(+1）)是严格培函数：
②当是奇数时，f(x)<0,函激y=f(x)在区间（π（功+1）π)上.是严挤减函缀：
Ilf(ur)=(-1）π，放fπf(n+I)π)=-(n+I)π2<0，
所以山零点存布定理可，函数y=f(x)在X问（π，(n+1)π）上有H仅有·个季点.
义644.5π<2025<645x，4从（π，2π)(2π，3π)…(643r,644z)各有个零点：
又因为+}-少，放(mm+引-<0，
所以州零点存在性定拜可知，函数y=f(x)在m+2
上有几仪有一个零点x·
即在区问(644π，644.5π)上还有一个菱点。
综上函数y=f(x)布X问(0,2025)上的零点个数为644个..9分
(3)由(2》可函数f(x)在（阮(n-)π）上有且仅有个零点x,
