绝密★考试结束前
2024 年学年第一学期浙南名校联盟返校联考
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 A x | x 0 ，则CRA =( )
A． x | x 0 B． x | x 0 C． x | x 0 D． x | x 0
2.“ x 1 1”是“ 1”的（ ）
x
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3.若函数 f (x 1) e x ，则 f (1 ln 2)的值为（ ）
e e2 2
A． B． C．3e D． 2e
2 2
4. 终边上一点坐标为 5，12 ，则 tan 的值为 （ ）
2
5 12 5 12
A． B． C． D．
12 5 12 5
5.若函数 f (x)对任意的 x1, x2 (0, )，有 f (x1) f (x2 ) 2 f (
x1 x 2 )恒成立，则函数 f (x)可
2
能为（ ）
1
2 x 1 1
A． f (x) 1 x B． f (x) x 2 C． f (x) D． f (x) log x
x 2
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xa 1 a, x 1
6.已知函数 f (x) 1 在 (0, )上是减函数，则 的取值范围为（ ）
ax ,0 x
a
1
x
A．[0,1) B． ( ,1) C． ( ,0] D．[ 1,1）
2
7.已知 x 0， y 0， x 1 2，则 xy 2 的最小值为（ ）
y x xy
17
A． B．5 C． 2 2 2 D．2 2
3
3
8.设 a 2 4 ，b 4lg3， c log3 4，则（ ）
A． a b c B． a c b C．b c a D．b a c
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9.为了得到函数 g x cos 2x 的图象，只需将函数 f x sin 2x 图象上的点（ ）
3 4
17
A．向右平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
12 24
7 7
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
12 24
10.已知 f (x) loga (ax
2 2x 1)，则下列说法正确的有（ ）
A．当 a 2时， f (x)在 (1, )上单调递增
a 1 1B．当 时，方程 f (x) 有两个不同的实数根 x
2 2 1
， x2，且 x1 x2 2
f (x) x (0, 2C．若 在 )时，有 f (x) 0恒成立，则a的取值范围为 (1, )
a
D．存在实数 t，使 f (x t)为偶函数
11.对于平面内的一个有限点集（由有限个点组成的集合），若该点集内的每个点都恰有三个与之距
离最近的点（这三个点也在点集内），则称这样的点集为“对称集”，记作Dn，其中 n表示该点集内
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点的个数.如集合D3不存在；集合D16存在，该集合内 16 个点的一种分布方式为： ，
则使Dn存在的 n还可以为（ ）
A.20 B.24 C.4 D.5
非选择题部分
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.若扇形的弧长为 2，面积为 4，则扇形的圆心角为____弧度.
13.已知函数 f (x) cos( x a) 2|x a| ( 0,a 0)，且 y f (x a)为偶函数，则 f (a) 1 的
值为_________.
1
, 0, sin
2
14.已知 ，若1 cos cos sin ，则 2sin 2 的取值范 2 2
围是_____.
四、解答题:本题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13 分）已知集合 A x | x2 x 1 3x 2 0 ， B x | 0
x
（1）求 A B；
（2）若 x2 2x m 0的解集为C，CR A B C，求实数m取值范围.
16.（15 分）已知函数 f (x) x2 1 .
x
（1）判断 f (x)在定义域上的单调性，并用定义证明；
（2）若存在 x [1,4] 2，使方程 k[ f (x)] f (x) k 1 0有解，求实数 k的取值范围.
17.（15分）如图为一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为 5m，圆上最低点与地面距离为 1m,300
秒转动一圈.图中 OA与地面垂直，摩天轮上的某车厢开始位于最低点 A处，以 OA为始边，逆时针
转动 角到 OB，设 B点与地面距离是 h.
(1)求 h与θ间的函数关系式；
(2)设从 OA开始转动，经过 t秒后到达 OB，求 h与 t之间的函数关系式，并求
该车厢第 2次到达最高点时用时是多少.
高一数学学科 试题 第3页(共 4 页)
2
18.（17 分）已知函数 f (x) log1 ( 1)为奇函数.
3 x a
（1）求 a的值；
（2）若 g(x) f (x 1) x，求不等式 g(x) g(2 x2 ) 2的解集.
e x e x e x e x
19.（17 分）在人教 A 版（2019）必修第一册 P160 页中，出现了 f x ，g x
2 2
e x e x
这两个函数.其实这两个函数在数学中被定义为双曲函数：双曲正弦函数 sinh x ，双曲
2
e x e x
余弦函数 cosh x .（ e是自然对数的底数，e 2.71828 ）双曲函数是与三角函数相类
2
e x e x e x e x
似的函数.比如 sinh x 为 R上的奇函数， cosh x 为R上的偶函数.
2 2
（1）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲正弦公式： sinh x y _______，并加以证明；
（2）证明： h x sinh x 5 sin x，在 x , 上有且仅有一个零点；cosh x 2 6
（3）已知 c R，记函数H x cosh x c，R x a sinh x c .函数 y H x 的零点为 x1，x2；
函数 y R x x x 2x x的零点为 3，且满足 x1 x x 1 2 32 3，若 e 4 cos c 恒成立，求 a的取值范
围.
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高一年级数学学科参考答案
命题：永嘉中学 倪阿亮 李艳丹
审稿：苍南中学 苍南中学 徐贤安
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
A A D C D B C D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.
9 10 11
BD ACD AB
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
12. 13.1 14. ， 1
2
四、解答题:本题共 5 个小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（1） x2 3x 2 0 x 1 x 2 0 A 1,2 ；.....................2 分
x 1 x 1 x 0
0 B 0,1 ........................................4 分x x 0
所以 A B 0,2 ..........................................................6 分
（2）记 f x x2 2x m，因为CR A B ,0 2, ，.............9 分
f 0 0
CR A B C，故 ，所以m 0 ................................13 分 f 2 0
16.（1） f (x)在定义域 (0, )上单调递增， …………………………………………2 分
证明如下：任取 x1, x2 (0, )且 x1 x2 ，
x x
f (x1) f (x )
1 1
2 x
2
1 x
2
2 x1 x2 x1 x2 1 2 ， …………4 分x1 x2 x1x2
又 x2 x1 0，则 x1 x2 0， x1 x2 0， x1 x2 0，
1
所以 f (x1) f (x2 ) 0，即 f (x1) f (x2 )，
即 f (x)在定义域 (0, )上单调递增. ………………………………………6 分
（2）令 t f (x), x 1,4 ，
又 f (x) 31在 1,4 上单调递增，则 t [0, ]，
2
31
即方程在 kt 2 t k 1 0在 t [0, ]上有解. ………………………………………9 分
2
解法 1：①当 t 1时，此时不成立； ……………………………………………11 分
②当 t 1，即 t 0,1 1, 31 k 1 t 1 时， 2 ， 2 t 1 t 1
1 2
又
, 1, ，t 1 29
2
所以 k , 1, . ………………………………………………………15 分 29
解法 2：令 g(t) kt 2 t k 1，
31
因为 g( 1) 0， 1 0, ……………………………………………11 分 2
31
所以若 g(t) kt 2 t k 1在 t [0, ]在上有零点.
2
31
所以 g(0) g( ) 0
2
(1 k)(29化简得 k 1) 0，
2
k 2 , 即解得 1, . ……………………………………………………15 分 29
17.(1)以圆心O原点，建立如图所示的坐标系，
π
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ ，故点 B 坐标为
2
5cos
,5sin
..........................3 分
2 2
2
h 6 5sin 6 5cos ..........................6 分
2
2
（2）300 秒转动一圈，所以该摩天轮转动的周期T 300(s)，所以其转动的角速度是 ，
300 150
t t
故 t s 转过的弧度数为 ，∴ ，..........................9 分
150 150
∴ h 6 5cos t t 0, ．
150
令6 5cos t 11 cos t t ，得 1，所以 2k ,k Z ，.............12 分
150 150 150
解得 t 150 300k ,k Z，令 k 1，得 t 450s
∴该车厢第 2 次到达最高点时，用的时间为 450s.................................15 分
18.（1）由 f (x)为奇函数，得 f (x) f ( x) 0， ……………………………………2分
代入计算可得 a 1. ………………………………………………………2 分
（2）由（1）可得， f (x) log
2
1 ( 1)x 1 ，令 t
2
1，
3 x 1
2
由 t 1在 ( 1,1)上单调递减， y log1 t在
x 1 3 (0, )
上单调递减，
2
所以 f (x) log1 ( 1) ( 1,1)x 1 在 上单调递增， ……………………………………8分3
又 y x在 ( 1,1)上也单调递增，
所以 y f (x) x在 ( 1,1)上单调递增， …………………………………………10 分
由 f (x)的定义域为 ( 1,1)得， 1 x 1 1，
所以 g(x) f (x 1) x的定义域为 (0,2)， ……………………………………12 分
又 g(x) g(2 x) 2，则 g(2 x) 2 g(x)，
则 g(x) g(2 x2 ) 2可转化为 g(2 x2 ) g(2 x)， ……………………………14 分
因为 g(x)在 (0,2)上单调递增，
3
所以0 2 x 2 x2 2，解得 x 0,1 ，
即不等式的解集为 x | 0 x 1 . ………………………………………………………17 分
e x e x e y e y e x y e x ysinh x cosh y e
x y e x y
19.（1）由于 ；.....1 分
2 2 4
x x y y x y x y x y x y
cosh x sinh y e e e e e e e e ；所以
2 2 4
sinh x y sinh x cosh y cosh x sinh y .................................3 分
sinh x e2x 1 2 5
（2）考虑函数 h x sin x 2x sin x 1 2x sin x，在
x , 上单调
cosh x e 1 e 1 2 6
递增，................................................................... 5 分
5
3
h 2
5 1 2 e 3
0 h
5
， 5 5 ,因为 3 ，
2 6 2 e 1
3
e 3 1 2 e 3 1 e 3 e 3 0
sinh x
所以由零点存在定理，函数 h x sin x在 ,
5
上有且仅有 1 个零点 ....7 分cosh x 2 6
x x
（3）由 x1 x2 x3，知 a 0 cosh x e e， 1，所以 c 1...................8 分2
x x
考虑 cosh x c e e c 0 ， e2x 2ce x 1 0 ，因为存在两个零点 x
2 1
x2 ，所以
2 2
c2 1 0， x ln c c 1 , x ln c c 1 ...........................10 分1 2
x
a sinh x c ae ae
x
同理 c 0， ae2x 2ce x a 0，
2
c c2 a2
由于 e x 0所以 x ln ， ...........................12 分3 a
4
e xcosh x e
x
又由于 为偶函数，所以
2
c e x 2x x e x x c c2 1 c c 2 1 2 3 2 3 1 ，关于 c 1, 单调递增; .....14 分a
a
当 c趋向 1 时， 4 cos c 趋向最大的取值 5， 1 1c 趋向最小的取值 2 1 ，所以要使不
a a
1 1 1 1 5 等式恒成立，则 1 5，令 a 1，关于 a 0单调递减，且 2 2 5，a a a a 12
所以0 a 5 .........17 分（此处也可以通过解不等式获得答案）
12
5
