16.1 第1课时 二次根式的概念 课件（共31张PPT） 人教版数学八年级下册

(共31张PPT)
人教版八年级数学下册
第16章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念
学习目标
1. 理解二次根式的概念.
2. 掌握二次根式有意义的条件.
3. 会利用二次根式的非负性解决相关问题.
我们知道,负数没有平方根.
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
问题1：什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2：你怎样理解算术平方根 如何表示？
正的平方根.
a的平方根是
如何表示？
所有数都有平方根吗？
记作
非负数.
正数的算术平方根是它的
0的算术平方根是 .
0
？
非负数.
复习回顾
（1）面积为3 的正方形的边长为 ，面积为S 的正方形的边长为 ．
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为 m．
思考：用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
新知探究
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为 ．
离地面的高度h
（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数 ;
②被开方数 .
都为2
为非负数
新知探究
“ ”称为二次根号.
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
新知讲解
×
×
×
例1：下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(m≤0)，
(x，y 异号)
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，
其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.
(2) (3)(5)(7)均不是二次根式.
异号得负
×
非负数
+正数
形如 的式子
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ”
②内在特征：被开方数a ≥0
典例分析
例2：当x是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时，二次根式 在实数范围内有意义.
两个必备特征
被开方数a≥0
说一说 x取何值时，下列二次根式有意义
x ≥1
x≤0
x可取任
意实数
x=0
针对训练
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，知x≥2；
又因x-3≠0，知x≠3；
∴ x≥2 且x≠3.
归纳：在实数范围内有意义，同时满足条件：
1. 二次根式的被开方数≥0
2. 分母不为零.
凑成含完全平方的形式
解：由x -1＞0，
∴ x＞1
x≠0
变式训练
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得
x-3 ≥ 0 且 6-x ≥ 0
则有 x ≥ 3且 x ≤ 6
∴ 3 ≤ x ≤ 6
归纳：含多个二次根式的式子有意义的条件：
每个二次根式的被开方数都为非负数.
变式训练
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的条件：
(3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0；
(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0.
归纳总结
1.下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ）
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
B
2. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______;
3. 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________.
x ≥1
x≥0且x≠2
针对训练
问题1：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；
当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.
这就是说，当a≥0时， ≥0.
问题2：二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
思考
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
新知讲解
若 ，求a -b+c的值.
归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
二次根式的实质是表示一个非负数的算术平方根.
二次根式本身也是非负数.
双重非负性
新知应用
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
针对训练
2. 式子 有意义的条件是（ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
3. 当x=____时，二次根式 取最小值，其最小值为____．
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
0
-1
当堂巩固
4. 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
5. (1)若二次根式 有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
6. 若x，y是实数，且y＜ ，求 的值.
解：根据题意得
∴x=1.
∵y＜ ,
∴y＜ ，
∴ .
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0，
由乘法法则得
解得x≥1 或x≤0.
即当x≥1 或x≤0时， 有意义.
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？
能力提升
解：由题意得
则
解得x≥2或x＜ ，
即当x≥2或x＜ 时， 有意义．
1.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【解答】解：由题意得：x﹣7≥0，
解得：x≥7，
故答案为：x≥7．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
感受中考
2.已知a，b都是实数．若 ，则a-b= ．
【解答】解：∵ ， ， ，
∴a+1=0，b-2=0，
解得a=-1，b=2，
∴a-b=-1-2=-3．
故答案为：-3．
感受中考
3.若 ，则ab=（ ）
A． B． C． D．9
【解答】解：由题意得， ， ，
解得 ， ，
所以， ．
故选：B．
感受中考
4.已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足
(2a+3b﹣13)2＝0，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
感受中考
【解答】解：∵ (2a+3b﹣13)2＝0，
∴ ，
解得： ，
当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，周长为7；
当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8，
∴等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理、二元一次方程方程组，关键是根据2，3分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中，a≥0且
≥0
课堂小结
P5：习题16.1：第1、3题.
布置作业