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8.1 平方根
第1课时 平方根
学习目标
1.经历平方根概念的形成过程,理解并掌握平方根的应用.
2.在探索平方根概念的过程中,经历由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想过程.
3.通过对开方和乘方互为逆运算关系的学习,体现事物之间对立又统一的辩证关系,启发探索数学的兴趣.
自主探索
1.填空：
(1)32= ,(-3)2= ;
(2)()2= ,(-)2= ;
(3)0.82= ,(-0.8)2= .
2.反过来，如果已知一个数的平方，你能求出这个数吗？
任务一 平方根的概念
活动1 1.如果一个数的平方等于9,这个数是多少
2.填表：
x2 1 16 25 36 49
x
归纳总结：
平方根的概念：如果一个数x的 等于a,即 =a,那么这个数就叫作a的平方根或二次方根.
开平方的概念：求一个数的 的运算,叫作开平方.
3.连一连.
总结归纳
开平方运算与 运算互为逆运算.根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根.
【范例应用】
例1 求下列各数的平方根.
(1)64; (2);(3)0.01.
【即时测评】
1.下列说法不正确的是( )
A．6是36的平方根 B．－6是36的平方根
C．36的平方根是±6 D．36的平方根是6
2.的平方根为 ．
任务二 平方根的性质
活动2 合作交流
(1)正数的平方根有什么特点？
(2)0 的平方根是多少？
(3)负数有平方根吗？
归纳总结：平方根的性质：正数有 个平方根,它们互为 ;0的平方根是 ;负数 平方根.
练习
归纳总结：正数a的正的平方根记为“ ”，读作 ,a叫作 ；
正数a的负的平方根可以用“ ”来表示，所以正数a的平方根可以用“ ”来表示，读作“ ”.
问题1 说一说，-，±分别表示什么意义？它们的值分别是多少？
问题2 0的平方根怎样表示？
问题3 有意义吗？为什么？
问题4 有意义，那么a应该符合什么条件？
归纳总结：只有当a 0时,有意义；当a 0时，没有意义.
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1)0.36; (2)-5;(3)(-4)2.
【即时测评】
1.下列各数没有平方根的是（ ）
A．0 B．（-2）2 C．16 D．-|-5|
2.若有理数x有平方根，则x一定是 .
3.正数a的一个平方根是-7，那么它的另一个平方根是 .
当堂达标
1.判断下列说法是否正确.
(1)是的一个平方根;
(2)是6的平方根;
(3)的值是±4;
(4)(-5)2的平方根是-5.
2. 分别求 64，，6.25的平方根.
3.求下列各式中的x.
(1)16x2-25=0; (2)x2+1=1.01.
参考答案
当堂达标
1.解：(1)正确；(2)正确；(3)不正确，是4.(4)不正确，是±5.
2.解：64的平方根是±8,的平方根是±，6.25的平方根是±2.5.
3.解:(1)原方程可化为x2=,开平方得x=±=±.
(2)原方程可化为x2=0.01,
开平方得x=±=±0.1.
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第1课时 平方根的概念
课标摘录 1.了解平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根. 2.了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求百以内完全平方数的平方根.
教学目标 1.理解平方根的概念,能用开平方运算求某些非负数的平方根. 2.经历探索平方根的概念的过程,感受平方根的求法. 3.培养学生的分类能力和合作能力,体会数系扩张的实际应用价值.
教学重难点 重点:理解平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根. 难点:了解开平方与平方是互逆运算,会用开平方运算求非负数的平方根.
教学策略 教学中从复习有理数的平方入手,为本节课学习平方根做铺垫,加深学生对平方与平方根关系的理解,通过学生的自主学习及回答问题,引导学生形成“平方根”的概念,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化,教师应关注学生能否准确地用语言表达平方根的概念,以此培养学生自学、观察、分析及归纳总结的能力.
情境导入 1.见课件、导学案. 2.反过来,如果已知一个数的平方,你能求出这个数吗 设计意图:通过填空,让学生回顾平方运算的方法,同时让学生体会平方等于一个正数的数有两个.
新知初探 探究一 平方根的概念 活动1 如果一个数的平方等于9,这个数是多少 师生活动:学生思考并讨论,使学生明白这样的数有两个,它们是3和-3.受前面知识的影响,学生可能不易想到-3这个数,这时可提醒学生,这里的这个数可以是负数.注意(-3)2=9中括号的作用. 设计意图:这个思考题是引入平方根概念的切入点,要让学生有充分的时间进行思考和体验. 追问1:3和-3有什么关系 追问2:3和-3互为相反数,会不会是巧合呢 活动2 填表.见课件、导学案. 师生活动:学生先独立填表,教师再引导学生总结出平方根的概念. 归纳总结:见课件. 设计意图:通过填写表中的x的值,进一步加深“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象,为平方根的引入做准备.通过学生的自主学习及回答问题,引导学生形成“平方根”的概念,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化,教师应关注学生能否准确地用语言表达平方根的概念,以此培养学生自学、观察、分析及归纳总结的能力. 活动3 见课件. 师生活动:学生独立思考,共同作答完成连线. 追问:比较两图中的两种运算的特点,你能发现什么
归纳总结:见课件. 设计意图:让学生明白平方与开平方互为逆运算,知道求一个数的平方根就是寻求哪个数的平方等于这个数. 【例1】见教材P40例1或课件、导学案. 师生活动:学生独立思考完成计算,选三位学生回答问题,其他同学判断正误. 设计意图:加强学生对平方根的概念的掌握,培养应用意识,锻炼知识运用能力和解题能力. 【即时测评】见课件、导学案. 探究二 平方根的性质 活动4 见课件、导学案. 师生活动:学生独立思考,选三位学生回答问题,其他同学判断正误. 设计意图:梳理所学,巩固学生对平方根及其性质的认识和理解,培养自主学习及合作交流的能力. 归纳总结:见课件. 追问:平方根的性质体现了什么样的数学思想 【即时测评】见课件、导学案. 师生活动:学生独立思考并作答. 归纳总结:见课件、导学案. 追问1:说一说,-,±分别表示什么意义 它们的值分别是多少 追问2:0的平方根怎样表示 追问3:有意义吗 为什么 追问4:有意义,那么a应该符合什么条件 归纳总结:见课件、导学案. 设计意图:体验分类思想,巩固平方根的概念,加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用. 【例2】见教材P41例2或课件、导学案. 师生活动:学生独立思考完成计算,选三位学生回答问题,其他同学判断正误. 设计意图:进一步理解和学会计算平方根. 【即时测评】见课件、导学案. 探究二 意图说明 通过思考正数、0和负数的平方根,体验分类讨论的数学思想方法,通过例题和训练让学生学会识别一个数是否有平方根及计算一个非负数的平方根,教师要注意强调书写规范,请学生理解一个非负数a的平方根用“±”来表示,不要漏掉“±”.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.什么是平方根 平方根与平方是什么关系 2.一个正数的平方根怎样表示 3.平方根具有什么样的性质 4.本节课你还有哪些收获 存在什么问题
板书设计 8.1 平方根 第1课时 平方根的概念 1.平方根 (1)概念 (2)表示方法 2.开平方 3.平方根的性质 正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根
教学反思
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第8章 实数
8.1 平方根
第1课时 平方根
学习目标
1.经历平方根概念的形成过程,理解并掌握平方根的应用.
2.在探索平方根概念的过程中,经历由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想过程.
3.通过对开方和乘方互为逆运算关系的学习,体现事物之间对立又统一的辩证关系,启发探索数学的兴趣.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
（1）32= ，（－3）2= ；
（2） ， ；
（3）0.82= ，（－0.8）2= .
9
0.64
0.64
1. 填空
9
思考：反过来，如果已知一个数的平方，你能求出这
个数吗？
新知初探
贰
新知初探
任务一 平方根的概念
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
想一想：3和-3有什么特征？
由于 ，
所以这个数是3或-3.
3和-3互为相反数，会不会是巧合呢
2.填表：
x2 1 16 25 36 49
x
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.由此我们抽象出下述概念：
如果一个数x的平方等于a,即x2=a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根.
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.
求一个数的平方根的运算,叫作开平方.
3.连一连.
总结归纳： 开平方运算与平方运算互为逆运算.
范例应用
例1 求下列各数的平方根.
(1)64; (2) ;(3)0.01.
解：(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8；
(2)因为(± ) 2= ,所以 的平方根是± ;
(3)因为(±0.1) 2=0.01,所以0.01的平方根是±0.1.
即时测评
1.下列说法不正确的是( )
A．6是36的平方根 B．－6是36的平方根
C．36的平方根是±6 D．36的平方根是6
2. 的平方根为 ．
D
±
任务二 平方根的性质
活动2 合作交流
(1)正数的平方根有什么特点？
(2)0 的平方根是多少？
(3)负数有平方根吗？
平方根的性质：
1.正数有两个平方根,它们互为相反数;
2.0的平方根是0;
3.负数没有平方根.
要点归纳
1. 144 的平方根是什么？
2. 0 的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4 有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
试一试
表示a的正的平方根
表示a的负的平方根
记作
a﹙a≥0﹚的平方根表示为
一个非负数的平方根的表示方法：
平方根的数学符号表示
说一说
各表示什么意义？
表示 7 的正的平方根
表示 7 的负的平方根
表示 7 的平方根
0的平方根怎样表示？
有意义，那么a应该符合什么条件？
只有当a≥0时，有意义；当a＜0时，没有意义.
归纳
范例应用
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1)0.36; (2)-5; (3)(-4)2.
解：(1)因为0.36是正数，所以0.36有两个平方根，± =±0.6；
(2)因为-5是负数，所以-5没有平方根；
(3)因为(-4)2=16是正数，所以(-4) 2有两个平方根，± =±4.
即时测评
1.下列各数没有平方根的是（ ）
A．0 B．（-2）2 C．16 D．-|-5|
2.若有理数x有平方根，则x一定是 .
3.正数a的一个平方根是-7，那么它的另一个平方根是 .
D
非负数
7
当堂达标
叁
当堂达标
1. 判断下列说法是否正确.
正确.
（4）(-5)2的平方根是-5.
（1） 是 的一个平方根；
（2） 是6的平方根；
（3） 的值是±4；
正确.
不正确，是 4.
不正确，是 ±5.
2. 分别求 64， ，6.25的平方根.
64的平方根是8与-8， 的平方根是
与 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
解:
3.求下列各式中的x.
(1)16x2-25=0;
(2)x2+1=1.01.
解:(1)原方程可化为x2= ,开平方得x=± .
(2)原方程可化为x2=0.01,开平方得x=±0.1.
课堂小结
肆
课堂小结
1. 定义：若x2=a，则x叫作a的平方根.
2. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，
0的平方根是0，负数没有平方根.
3. 平方根与开平方间的关系：
(1)开平方是求平方根的运算；
(2)平方根是开平方运算的结果.
求一个非负数的平方根的方法：
① 求一个非负数a的平方根，就是要把平方后等于a的
数找出来，从而求出a的所有平方根；
② 求带分数的平方根时，应先将带分数化为假分数，
这也是常出错的地方.
注意：正数的平方根有两个，前面必定有“±”号.
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1，2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题
谢
谢(共15张PPT)
8.1 平方根
第1课时 平方根
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫作a的
或二次方根.
2.求一个数的 的运算,叫作开平方.平方与开平方互为
.
正数有 个平方根,它们 ;0的平方根是 ;负数 .
平方根
平方根
逆运算
两
互为相反数
0
没有平方根
正、负根号a
课堂互动
知识点一 平方根的概念及计算
C
例2 下列各数是否有平方根 若有,求出它的平方根;若没有,请说明理由.
(1)(-1)2;(2)-32;(3)-(a2+2).
解:(1)(-1)2的平方根是±1.
(2)没有平方根,理由如下:
∵-32是负数,∴-32没有平方根.
(3)没有平方根,理由如下:
∵-(a2+2)是负数,
∴-(a2+2)没有平方根.
知识点二 平方根的性质
例3 已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平
方根.
解:由题意,得2a-1=9且3a+b-1=16,
∴a=5,b=2.
∴a+2b=5+4=9.
∴a+2b的平方根为±3.
基础题
1.(2024内江)16的平方根是( )
A.2 B.-4 C.4 D.±4
D
C
3.平方等于64的数是 .
4.若一个正数的平方根是a+2和2a-5,则a= .
5.若x+3是16的一个平方根,则x的值为 .
±8
1
1或-7
6.(教材练习变式)求下列各数的平方根.
(1)(-5)2; (2)0; (3)-2; (4)|-4|.
解:(1)∵(-5)2=25,
∴(-5)2的平方根是±5.
(2)0的平方根是0.
(3)-2没有平方根.
(4)∵|-4|=4,
∴|-4|的平方根是±2.
7.若m是169的正的平方根,n是121的负的平方根,求:
(1)m+n的值;
(2)(m+n)2的平方根.
解:(1)∵132=169,∴m=13.
∵(-11)2=121,
∴n=-11.
∴m+n=13+(-11)=2.
(2)(m+n)2=4=(±2)2,
∴(m+n)2的平方根是±2.
中档题
A
9.如果实数m没有平方根,那么m可以是( )
A.-(-3)2 B.|-3|
C.(-3)2 D.-(-3)
10.若2m-4与3m-1是同一个正数的平方根,则这个正数为( )
A.4 B.4或100
C.100 D.±4
A
B
6
11.如果某数的一个平方根是-6,那么这个数的另一个平方根是 ,这个数是 .
36
80
13.按照如图所示的操作步骤,若输入x的值为3,则输出的值为 .
15.(教材练习变式)求下列各式中x的值.
(1)169x2=100;
(2)(x+1)2=81.
素养题
(1)试猜想第⑤个等式应为 ;
(2)试用含n(n为正整数)的式子表示你发现的规律.
