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8.1平方根
第2课时 算术平方根
学习目标
1.能表述数的算术平方根的概念,领会其性质,会用符号(根号)表示一个数的算术平方根.
2.能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值;
3.体验“无限不循环小数”的含义,感受存在着不同于有理数的一类新数,从而激发学习数学的兴趣.
自主探索
想一想 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？为什么？
任务一 算术平方根的概念
活动1 1.思考下列问题：
(1)什么是平方根？
(2)平方根有什么性质？怎样表示一个正数的平方根？
2.计算下列各数的平方根.
(1)144；(2)0.81；(3).
小结:正数a有 个平方根，其中 叫作a的算术平方根.
正数a的算术平方根用 来表示.
0的算术平方根是 ，0的算术平方根也记为 .
若a是一个 数,则a有算术平方根，它的算术平方根也是一个 数.
问题 平方根与算术平方根有什么联系与区别？
【范例应用】 例1 求下列各数的算术平方根:
(1)100;(2);(3)0.000 1.
例2 求下列各式的值：
(1)； (2)； (3).
例3 （1）16 的算术平方根是______；（2）的算术平方根是______.
【即时测评】
1.9的算术平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．81 D．﹣81
2.下列说法正确的是( )
A．因为52＝25，所以5是25的算术平方根
B．因为(－5)2＝25，所以－5是25的算术平方根
C．因为(±5)2＝25，所以5和－5都是25的算术平方根
D．以上说法都不对
3.一个数的算术平方根是4，则这个数是 .
任务二 算术平方根的估算
活动2 能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？允许将小正方形剪开再拼接.
填空：
问题 观察图形,用刻度尺测量小正方形边长，大正方形的边长，大正方形对角线的长度，比较它们的大小关系,你得到了什么结论？
活动3 新正方形的边长是dm,表示2的算术平方根，那么它到底是个多大的数 你能求出它的近似值吗
(1)是整数吗？如果不是，你知道在哪两个相邻整数之间吗？
(2)能使的取值范围更加精确吗？
问题 观察的精确近似值，它的小数数位是有限的吗？小数部分是循环的吗？
归纳总结：
无限不循环小数的概念：小数位数 ，且小数部分 的小数称为无限不循环小数.
当堂达标
1. 下列各数，没有算术平方根的是( )
A．2 B．－4 C．(－1)2 D．0.1
2.下列说法中正确的是( )
A.任何数都有算术平方根
B.一个正数的算术平方根的平方就是它的本身
C.只有正数才有算术平方根
D.不是正数没有算术平方根
3.填空：
(1) 一个数的算术平方根是 3，则这个数是 .
(2) 一个自然数的算术平方根为 a，则这个自然数是_____.
(3) 25的算术平方根为 .
(4) 6的算术平方根为____.
4.求下列各数的算术平方根：
(1)121； (2)0； (3)； (4)0.01.
5.某小区要扩大绿化带面积,已知原绿化带的形状是一个边长为10 m的正方形,计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形,并且其面积是原绿化带面积的4倍,求扩大后绿化带的边长.
参考答案
当堂达标
1.B 2.B 3.(1)9 (2)a2 (3)5 (4)
4.解：(1)11. (2)0. (3). (4)0.1.
5.解:设扩大后绿化带的边长为x(x>0) m,
由题意,得x2=4×102,所以x==20.
答:扩大后绿化带的边长为20 m.
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第2课时 算术平方根
课标摘录 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根. 2.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
教学目标 1.通过实例了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根,发展抽象思维,初步培养符号意识. 2.根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根,并总结其性质(被开方数越大,对应的算术平方根也越大). 3.能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值,体会“无限不循环小数”的含义,感受不同于有理数的一类新数.
教学重难点 重点:了解算术平方根的概念,根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根. 难点:夹值法及估计一个无理数的大小的思想.
教学策略 本节课从生活中的场景引发学生思考,学生已经学方根,再来接触算术平方根的概念,需要注意强调二者之间的区别与联系.在教学过程中,要让学生理解算术平方根的真正含义,加深印象,发展符号意识,培养抽象逻辑思维,养成严谨的数学思维习惯.
情境导入 想一想: 小明到装饰城购买瓷砖,老板给了他一块面积为36 dm2的正方形瓷砖,聪明的你能告诉小明这块瓷砖的边长吗 师生活动:学生独立思考,教师顺势引出本节课内容——算术平方根. 设计意图:用生活中的场景引发学生思考,激发学生的学习兴趣,感受本课内容与实际生活的联系.
新知初探 探究一 算术平方根的概念 活动1 1.思考下列问题:(1)什么是平方根 (2)平方根有什么性质 怎样表示一个正数的平方根 2.计算下列各数的平方根. (1)144; (2)0.81; (3). 归纳总结:见课件. 追问1:0有算术平方根吗 追问2:负数有算术平方根吗 追问3:如果一个数有算术平方根,那么这个数是一个什么数 追问4:如果一个数有算术平方根,那么这个算术平方根是一个什么数 归纳总结:见课件. 设计意图:通过思考0和负数的算术平方根,扩大算术平方根的适用范围,加深对算术平方根的非负性的理解,培养自主思考的能力,发展推理意识. 问题:平方根与算术平方根有什么联系与区别 师生活动:学生独立思考,再在班内交流展示,教师归纳总结.
归纳总结:见课件. 设计意图:进一步理解算术平方根的概念,避免混淆平方根与算术平方根. 【例1】见教材P42例3或课件、导学案. 追问:比较三个数及它们的算术平方根的大小,你能发现什么规律吗 归纳总结:见课件. 【例2】见课件、导学案. 【即时测评】见课件、导学案. 探究二 算术平方根的估算 活动2 能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形 允许将小正方形剪开再拼接. 师生活动:学生独立思考并回答,随后小组讨论,选代表说明自己的验证方案. 预设:直接在纸上画出两个面积为1 dm2的小正方形和面积为2 dm2的大正方形,再把它们剪下来尝试拼剪. 填空: 面积/dm212边长/dm
师生活动:学生独立思考共同作答完成填空. 问题:观察图形,用刻度尺测量小正方形的边长,大正方形的边长,大正方形对角线的长度,比较它们的大小关系,你能得到什么结论 设计意图:让学生直观感受 dm的大小,明确 dm是一个长度,是一个数.加深对的理解,通过数形结合大致感知是一个有大小的数,即1<<2,为下一步估算奠定基础. 活动3 新正方形的边长是 dm,表示2的算术平方根,那么它到底是个多大的数 你能求出它的近似值吗 (1) 是整数吗 如果不是,你知道 在哪两个相邻的整数之间吗 (2)能使 的取值范围更加精确吗 师生活动:教师引导学生拓展:1.42=1.96,1.52=2.25得出1.4<<1.5,1.412=1.988 1,1.422=2.016 4得出1.41<<1.42…这样一步一步推导出的精确近似值.教师顺势总结这种估算算术平方根的取值范围的方法,叫作“夹值法”. 问题:观察的精确近似值,它的小数数位是有限的吗 小数部分是循环的吗 追问:你以前见过这种数吗 归纳总结:见课件.
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.算术平方根的意义是什么 它与平方根之间是什么关系 2.怎样求一个正数的算术平方根 3.这一节课你还有哪些收获 存在什么问题
板书设计 第2课时 算术平方根
教学反思
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第8章 实数
8.1平方根
第2课时 算术平方根
学习目标
1.能表述数的算术平方根的概念,领会其性质,会用符号(根号)表示一个数的算术平方根.
2.能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值;
3.体验“无限不循环小数”的含义,感受存在着不同于有理数的一类新数,从而激发学习数学的兴趣.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？为什么？
应取 5 dm，
因为 52 = 25.
新知初探
贰
新知初探
任务一 算术平方根的概念
±12
1.思考下列问题：
(1)什么是平方根？
(2)平方根有什么性质？怎样表示一个正数的平方根？
2.说出下列各数的平方根.
(1)144；
(2)0.81；
(3) .
± 0.9
正数a有两个平方根，其中正的平方根 叫作a的算术平方根.
练一练
1.因为22=4 ，所以4的算术平方根是＿＿；
2
2.下列说法正确的是 .
①5是25的算术平方根.
② 0.01是0.1的算术平方根.
①
算术平方根的概念
a的算术平方根
互为
逆运算
根号
被开方数
读作：根号a
（a≥0)
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？
(x≥0)
数学符号表示
1.一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根是0.
2.0的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3.-1有算术平方根吗？负数有算术平方根吗
一个正数的算术平方根有1个
合作与交流：
算术平方根的性质
平方根与算术平方根的区别：
（1）定义不同：如果一个数x的平方等于a，那么这个
数x叫作 a的平方根，如果一个正数x的平方等于a,
即x2 =a,那么这个正数x叫作a的算术平方根.
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正
数的算术平方根只有一个;
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示为 ，
而正数a的平方根表示为± .
平方根与算术平方根的联系：
（1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术
算术平方根是平方根的一种;
（2）存在条件相同:只非负数才有平方根和算术平方根;
（3）0的平方根和算术平方根都是0.
范例应用
例1 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100， （2） ， （3）0.0001 .
解:（1）由于102=100，
因此 ；
（2）由于 2= ，
因此 ；
（3）由于0.012=0.0001，
因此 .
不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.这个结论对所有正数都成立.
例2 求下列各式的值：
(1) ； (2) ； (3) .
解：(1)因为92＝81，所以 ＝9.
(2)因为( )2＝，所以 ＝ .
(3)因为1 0002＝1 000 000，
所以 ＝1 000.
（1）16 的算术平方根是______；
4
2
一步运算
两步运算
（2） 的算术平方根是______.
例3 填空：
注意文字或算术的表述，读清题意，再进行计算，以防误解.
归纳
算术平方根的双重非负性
算术平方根具有双重非负性
a 的算术平方根
非负数
非负数
即时测评
1.9的算术平方根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．81 D．﹣81
2.下列说法正确的是( )
A．因为52＝25，所以5是25的算术平方根
B．因为(－5)2＝25，所以－5是25的算术平方根
C．因为(±5)2＝25，所以5和－5都是25的算术平方根
D．以上说法都不对
3.一个数的算术平方根是4，则这个数是 .
16
A
A
探究二 算术平方根的估算
能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
1
1
1
1
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，大正方形的边长为 ，从而说明边长为1的小正方形的对角线为 .
小正方形的对角线是多长呢？
设大正方形的边长为 x dm，则
x2 = 2
由算术平方根的意义可知
x =
所以大正方形的边长是 dm
新正方形的边长是 dm,表示2的算术平方根，那么它到底是个多大的数 你能求出它的近似值吗
大于 1 而小于 2
想
是整数吗？如果不是，你知道在哪两个相邻整数之间吗？
因为12 = 1，22 = 4，
而 1 < 2 < 4，
所以 1 < < 2．
能使 的取值范围更精确吗？
因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，而 1.96 < 2 < 2.25，
所以 1.4 < < 1.5．
因为1.412 = 1.9881，1.422 = 2.0164，
而 1.9881 < 2 < 2.0164，
所以 1.41 < < 1.42．
因为1.4142 = 1.999396，1.4152 = 2.002225，
而 1.999396 < 2 < 2.002225，
所以 1.414 < < 1.415．
是一个无限不循环的小数.
小数位数无限,且小数部分不循环
事实上，继续重复上述的过程，可以得到
小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为
无限不循环小数.
无限不循环小数的概念
当堂达标
叁
当堂达标
1. 下列各数，没有算术平方根的是( )
A．2 B．－4 C．(－1)2 D．0.1
2.下列说法中正确的是( )
A.任何数都有算术平方根
B.一个正数的算术平方根的平方就是它的本身
C.只有正数才有算术平方根
D.不是正数没有算术平方根
B
B
3.填空：
(1) 一个数的算术平方根是 3，则这个数是 .
(2) 一个自然数的算术平方根为 a，则这个自然数是_____.
(3) 25的算术平方根为 .
(4) 6的算术平方根为____.
4.求下列各数的算术平方根：
(1)121； (2)0； (3) ； (4)0.01.
9
a2
5
解：(1)11. (2)0. (3) . (4)0.1.
5.某小区要扩大绿化带面积,已知原绿化带的形状是一个边长为10 m的正方形,计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形,并且其面积是原绿化带面积的4倍,求扩大后绿化带的边长.
解:设扩大后绿化带的边长为x(x>0) m,
由题意,得x2=4×102,所以x= =20.
答:扩大后绿化带的边长为20 m.
课堂小结
肆
课堂小结
算术平方根
算术平方根的概念
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
1. 表示的是a的算术平方根，由算术平方
根的定义知它具有“双重”非负性：a≥0，
≥0，即算术平方根及它的被开方数都
为非负数．
2.对于所有的算术平方根，被开方数越大，对
应的算术平方根也越大；反之亦然．
课后作业
基础题：1.课后习题 第1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题
谢
谢(共15张PPT)
第2课时 算术平方根
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
2.被开方数越大,对应的算术平方根就 .
正
算术平方根
越大
课堂互动
知识点一 算术平方根的定义与性质
例1 下列各数中,没有算术平方根的是( )
A.-4 B.0
C.14 D.102
例2 若x是36的算术平方根,则x是( )
A
C
例3 0.64的算术平方根的相反数是( )
A.0.8 B.-0.8
C.±0.8 D.0
B
知识点二 算术平方根的非负性
16
基础题
2.下列说法正确的是( )
A.因为52=25,所以5是25的算术平方根
B.因为(-5)2=25,所以-5是25的算术平方根
C.因为(±5)2=25,所以5和-5都是25的算术平方根
D.以上说法都不对
B
A
3.下列各数中,没有算术平方根的是( )
A.0 B.(-3)2
C.-32 D.-(-3)
C
C
5.一块面积为5 m2的正方形桌布,其边长为 .
0
3
-3
中档题
A
D
B
11.(2024广东)完全相同的4个正方形面积之和是100,则正方形的边长是( )
A.2 B.5
C.10 D.20
12.有下列说法:①任何数都有算术平方根;②一个数的算术平方根一定是正数;③a2的算术平方根是a;④(π-4)2的算术平方根是π-4;⑤算术平方根不可能是负数.其中不正确的有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
C
5
13.有一个数值转换器,原理如图所示,当输入的x为2时,输出的y的值为 .
15.(教材练习变式)小华的书房地面面积为10.8 m2,地面所铺的正方形地砖正好是120块,每块地砖的边长是多少
解:设每块地砖的边长是x m.
由题意,得120x2=10.8,即x2=0.09.
∵x>0,
∴x=0.3.
答:每块地砖的边长为0.3 m.
素养题
(1)大正方形的边长是 cm;
(2)若将此大正方形纸片的局部剪掉,能否剩下一个长、宽之比为3∶1且面积为
12 cm2 的长方形纸片,若能,求出剩下的长方形纸片的长和宽;若不能,请说明理由.
解:(1)4
(2)不能.理由如下:
设长方形纸片的长为3x cm,宽为x cm.
则3x·x=12,解得x=2,
∴3x=6.
∵6>4,
∴不能使剩下的长方形纸片的长、宽之比为3∶1且面积为12 cm2.
