2025年中考数复习提升训练：图形旋转问题（含解析）

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2025年中考数学一轮复习提升训练：图形旋转问题
一、单选题
1．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在延长线上，已知，，，则的长为（ ）．
A． B．1 C． D．
3．如图，在中，，点为的中点，将绕点按逆时针方向旋转得到，点的对应点分别为．当落在边上时，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，绕点顺时针方向转动得，点恰好在边上，则度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的阴影图案是由绕O点旋转形成的，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ）
A． B． C． D．6
7．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接．则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转所得点的坐标是 ．
10．如图，将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上．已知，，则的长是 ．
11．如图，在矩形中，，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时， ；当是线段的三等分点时， ．
12．如图，在中，，将绕点顺时针旋转 与重合，则 ， ，与的位置关系是 ．
13．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为 ．
14．如图所示，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，，并延长交于点，则的度数是 ，的长为 ．
15．如图，正方形中，点为正方形对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，使点恰好落在边上的点处，（不与点重合），连接，交于点，下列结论：①；②；③；④若时，则；其中正确的结论有 （填序号）．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，……，绕点连续旋转24次得到线段，那么线段的长度为 ．
三、解答题
17．如图，点P是等边内的一点，且将绕点B逆时针旋转60度，使点A与边上的点C重合，得到．
(1)求点P与点D之间的距离；
(2)连接，试判断的形状，并说明理由．
18．如图，在中，，，点为的中点，点在上，以点为中心，将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，．
(1)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
(2)过作的垂线，垂足为，与相交于点，求证：．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)以点C为旋转中心将旋转，画出旋转后的；
(2)将平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
(3)若将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为________．
20．如图，在等腰中，，，为的中点，将△绕点逆时针方向旋转，得到，点的对应点为，连接、并延长交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若，且，求的值．
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《2025年中考数学一轮复习提升训练：图形旋转问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C A D B C
1．D
【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理，理解旋转的性质，掌握三角形的内角和定理，图形结合分析思想是解题的关键．
先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的，由此即可求解．
【详解】解：设与相交于点，如图所示：
∵中，将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，故D选项正确；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵不一定等于，
∴不一定等于，
∴不一定成立，故B选项不正确；
∵，，不一定等于，
∴不一定成立，故A选项不正确；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，故C选项不正确；
故选：D．
2．A
【分析】在上截取，过点A作，根据，求出，由旋转的性质得到，易得，证明，推出，进而推出，结合，得到，利用勾股定理求出，推出是等腰直角三角形，求出，再利用三角形外角的性质求出，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，即可求出，即可得出结果．
【详解】解：如图，在上截取，过点A作，
∵，
∴，
由旋转的性质得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及直角三角形的性质，正确作出辅助构造三角形全等是解题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查含角的直角三角形，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．设与交于点，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质求出的度数，从而证得，再由三角形的面积计算公式计算即可．
【详解】解：设与交于点，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选D．
4．C
【分析】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解题的关键．
由绕点顺时针方向转动得，可得，，继而求得的度数．
【详解】解：∵绕点顺时针方向转动得，
∴，，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】该题主要考查了旋转性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
根据旋转性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意可得，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查旋转的性质以及特殊锐角三角函数的应用，由题意得，在中，利用特殊锐角三角函数得出和，进一步即可得出．
【详解】解：绕点旋转得到，
，
， ，
,
又，
在中，
，
，
，
，
．
故选：D．
7．B
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则．在中，由勾股定理得，，进而可得答案．
【详解】解：由旋转得，
四边形为矩形，
四边形为正方形，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，点的坐标变化规律，连接，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，每旋转次为一个周期，掌握点的坐标变化规律是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
由题知，四边形是正方形，且，
∴点的坐标为，
由勾股定理得，，
∴点的坐标为，
依次类推点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，每旋转次为一个周期，
∵，
∴点的坐标为，
故选：．
9．
【分析】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，根据绕原点旋转后两点关于原点对称，再根据关于坐标原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答．
【详解】解：∵点绕原点旋转后所得点与点A关于坐标原点对称，
∴所得的点的横坐标为3，纵坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
10．1
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，进而利用得出即可．
【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上，
，
，，
，
的长是：．
故答案为：1．
11． 或
【分析】当落在线段上时，，在中利用勾股定理进行求解即可，当是线段的三等分点时，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵旋转，
∴，
当落在线段上时，如图，则，
在中，，
即：；
当是线段的三等分点时，分两种情况：
①当时，设，则：，，
连接，过点作，则：（平行线间的距离处处相等），
∴，即：，
∴，
在中，，
∴，
解得：或（舍去）；
∴；
②当时，设，则：，
同法可得：，
在中，，
∴，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
综上：或；
故答案为：；或．
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，二次根式的运算，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
12．
【分析】本题考查旋转的性质，延长，交于点F，根据旋转前后对应角相等、对应边相等，可得，，证明，得出，即可得出答案．
【详解】解：延长，交于点F，如图所示：
∵，
∴将绕点顺时针旋转与重合，
由旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；；；．
13．/70度
【分析】本题考查了旋转性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，先由将绕直角顶点顺时针旋转，得，得，，则，因为，所以，故，即可作答．
【详解】解：∵将绕直角顶点顺时针旋转，得，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质．过点作交的延长线于点．由旋转的性质，得，，，．所以，，得到是等腰直角三角形，根据勾股定理，求得．证明，求得的长．再根据求解即可．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于点．
由旋转的性质，得，，，．
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴根据勾股定理，得，
在中，
，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：，．
15．②③/③②
【分析】连接，如图所示，由正方形性质及过点有且只有一条直线与垂直即可判断①；过点作、，如图所示，由正方形性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质即可得证②；将绕着点逆时针旋转得到，如图所示，由旋转性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理判定即可得证③；根据，由平行线分线段成比例及②中的求证过程即可得到即可判断④，从而确定答案．
【详解】解：连接，如图所示：
在正方形中，，
与的交点为，
根据过点有且只有一条直线与垂直可知，错误，即①不符合题意；
过点作、，如图所示：
，
由旋转性质可知，，
在正方形中，是的角平分线，则，
在和中，
，
，
，
在正方形中，，，则四边形为正方形，
，
，
在中，，，则为等腰直角三角形，
，
，，
，
，即，即②符合题意；
将绕着点逆时针旋转得到，如图所示：
，
，，，，
，
在中，由勾股定理可得，，即，
，
，
在和中，
，
，
，
，即③符合题意；
过点作、，如图所示：
，
由平行线分线段成比例可得，
设，则，
，且正方形的边长，
，
，
，
，即④不符合题意；
综上所述，正确的结论有②③，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查几何综合，综合性强，难度很大，涉及正方形的判定与性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转性质、平行线分线段成比例等知识，熟记相关几何性质并灵活运用是解决问题的关键．
16．3
【分析】根据旋转的性质，得到线段每旋转4次，回到初始位置，即可求出旋转24次线段的位置，即可求解，
本题考查了，旋转的性质，坐标与图形，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质．
【详解】解：由题意可得，线段每旋转4次，回到初始位置，
∵，
∴线段与线段重合，点与点重合，
∴，
故答案为：3．
17．(1)点P与点D之间的距离是10
(2)是直角三角，理由见解析
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转性质和勾股定理的逆定理是解答的关键．
（1）连接，根据旋转性质得到，，可证明是等边三角形，进而利用等边三角形的性质得到即可求解；
（2）先由旋转性质得到，在中，推导出，利用勾股定理的逆定理可得结论．
【详解】（1）解：连接，
∵将绕点B逆时针旋转60度，得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
即点P与点D之间的距离是8；
（2）解：．理由为：
∵将绕点B逆时针旋转60度，得到，，
∴，
在中，，，
∴，又，
∴，
∴是直角三角形，且．
18．(1)，见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，根据全等三角形的判定和性质，得，，根据，等量代换，即可；
（2）根据等腰三角形的判定和性质，可得是等腰三角形，方法一：延长、交于点，作交于点，根据等腰三角形的性质，可得，，；根据，可得，得到，根据全等三角形的判定和性质，得到，即可；方法二：延长、交于点，过点作的平行线交直线于点，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，，，根据全等三角形的判定和性质，得到，即可；方法三：延长、交于点F，过点作的延长线于点，作于点，同理，证明是等腰三角形
，推出；根据全等三角形的判定和性质，得到，即可．
【详解】（1）解：证明如下：
由旋转可得，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴．
（2）解：方法一：延长、交于点，作交于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
∴，
∴；
方法二：延长、交于点，过点作的平行线交直线于点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴；
方法三：延长、交于点F，过点作的延长线于点，作于点，
同理，证明是等腰三角形，
∴，
∴；
由（1）得，
∴，
∴；
∴，
∴；
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形，等腰三角形，平行线，旋转等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三线合一，平行线的性质，构造全等三角形，进行解答，即可．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】坐标与图形变换—旋转和平移：
（1）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解；
（2）找到点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可求解；
（3）根据旋转的性质解答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：因为将绕点旋转可以得到，
所以旋转中心的坐标为．
故答案为：
20．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（）由旋转的性质可得，，，进而得，，即可由证明；
（）利用等腰三角形的性质可得，，再根据平角定义即可求解；
（）根据得，即得，得到，即得，得到，即得，又由得，进而可得，设，则，，在中，由勾股定理得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转可得，，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
整理得，，
解得或（不合，舍去），
∴的值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键．