2025年中考数学复习提升训练：二次函数综合（角度问题）（含解析）

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2025年中考数学提升训练：二次函数综合（角度问题）
1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
(1)求m的值和直线对应的函数表达式；
(2)P点是对称轴上的一点，当的值最小时，求点P的坐标；
(3)Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上．
①求点的坐标；
②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标．
3．在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，．抛物线与轴交于，两点．
(1)如图1，若抛物线经过点，求抛物线的表达式；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，为线段上一点，连接，若，请判断和是否相等，并说明理由；
(3)若抛物线的顶点为，取的中点，则以，，为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由．
4．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点D是第一象限抛物线上的点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，交于点E、交y轴于点F，求的最大值及此时点D的坐标．
(3)如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
5．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点E是抛物线上一动点，过点E作轴，若，求点D的坐标．
(3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线．点P为抛物线上一动点，过P作轴，点Q为射线上一点，过点Q的直线交抛物线于M，N两点，若与的面积之积为2．点Q的轨迹是否确定？若确定，求出轨迹的解析式：若不确定，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上有一动点，连接，点是点关于轴的对称点，过点作直线轴，点为直线上一动点，轴，垂足为，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，点为中点，在新抛物线上存在一点使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式：
(2)点P为直线下方抛物线上一动点，作轴交于点E，轴交于点E，当的周长最大时，求点P的坐标和周长的最大值；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，得到新的抛物线，在新的抛物线上是否存在点H，使，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点，连接和，点在抛物线上运动，连接和．
(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)点在抛物线上从点运动到点的过程中（点与点不重合），作点关于轴的对称点，连接，记的面积为，记的面积为，若满足，求的面积；
(3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，试探究在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．抛物线经过点和点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作轴于点D，作轴于点E，当时，求的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的一动点，连接，当线段长度取得最大值时，求周长的最小值；
(3)点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
11．已知抛物线经过点和．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图．
①求的面积；
②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为，点B为抛物线上一动点，连接，，过点B的直线与抛物线交于另一点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点B在直线上，且，求点C的坐标；
(3)设抛物线的对称轴与x轴相交于点Q，过Q作直线分别与抛物线相交于点M、N（M在对称轴左侧抛物线上），求的值．
13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．其中，，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)平分交x轴于D．点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点E，交直线于点F．点M、N是x轴上两个动点，（M在N的左侧），连接、，当线段取最大值时，求的最小值；
(3)如图2，连接，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，且与直线相交于另一点H．点Q为新抛物线上的一个动点．当，直接写出所有符合条件的点Q的坐标．
14．如图所示，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点A、B两点，与轴的正半轴交于点．已知点，点，连接BC．
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图1，点为抛物线第一象限内的一点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，点是线段的中点，将抛物线沿着射线的方向平移个单位得到新抛物线，点在新抛物线上，是否存在点使 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），为抛物线上第一象限内一点，若，求点的坐标；
(3)如图（2），为轴上方一动点，直线与抛物线均只有唯一公共点，于点，且的面积是10，求线段长度的最大值．
16．如图①，二次函数的图象经过点，并且与直线相交于坐标轴上的、两点，点在抛物线图像上且坐标为．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图①，连接，，设的面积为，求的值；
(3)如图②，过点，作直线，求证：是直角三角形；
(4)如图②，抛物线上是否存在点，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，为抛物线上的一个动点，且点的横坐标为．
(1)直接写出抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)若，当抛物线在点和点之间的部分（包括、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
(3)在第一象限的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
18．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点，过点作轴与交于点，过点作轴与轴交于点，求的最大值和此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度，新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，问在平移后的抛物线上是否存在点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
19．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若M是抛物线上的一动点，且，求点M的坐标；
(3)点Q在抛物线上，且Q的横坐标为，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P，且的面积等于的面积，求点P的坐标．
20．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，点D在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，，请求出面积的最大值及此时点D的坐标；
(3)点D在抛物线上移动，连接，是否存在点D，使得，若存在求出点D的坐标；不存在请说明理由．
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《2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（角度问题）》参考答案
1．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）根据对称性得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可；
（3）过点作且，过点作轴，证明，求出点坐标，进而求出的解析式，联立直线和抛物线的解析式，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得：
，
解得：或（舍去）；
∴，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为：，把代入，得：，
∴；
（2）∵，
∴对称轴为直线，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴当点在线段上时，最小，
∵点在对称轴上，
∴，
把代入，得：，
∴；
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作且，过点作轴，
则：，，
∴，点在直线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：；
∴直线的解析式为：，
联立，解得：或；
故．
2．(1)；
(2)①；②
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质等知识．
（1）点C的坐标为，得到在中，，得到，点A的坐标为，得到，解得；
（2）①点B的坐标为，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点P关于x轴的对称点为，得到在直线上，得到，解方程即可得到答案；②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N，证明，求出直线的解析式为，得到，得到，证明，在中，,设，则则，得到，由得到，则，得到，则点H的坐标是，求出直线的解析式为，与抛物线解析式联立得到求出点M的横坐标，即可得到点M的坐标．
【详解】（1）解：当时，，
∴点C的坐标为，
∴
在中，，
∴
∴点A的坐标为，
∵抛物线与轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴；
（2）①当时，，解得或，
∴点B的坐标为，
设直线的解析式为
∴
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，
则点P关于x轴的对称点为，
∵在直线上，
∴，
解得或（不合题意，舍去）
∴，
∴点P的坐标为；
②设交抛物线的对称轴于点H，过点H作于点N，
∵，，
∴
设直线的解析式为，
则
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∵，且点D在抛物线对称轴直线上，
∴，
∵
∴，
在中，,
设，则则，
∴，
∵，
∴，则
∴，
则点H的坐标是，即，
设直线的解析式为，
则
解得，
∴直线的解析式为，
与抛物线解析式联立得到
解得，（不合题意，舍去）
当时，
∴
3．(1)
(2)和相等，理由见解析
(3)或或或
【分析】（1）根据矩形的性质先求解C的坐标，再结合A的坐标，利用待定系数法求解解析式即可；
（2）如图，连接，求解，结合，，设，可得，，从而可得答案；
（3）先求解，可得，，可得，，，再分三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，，
∴，
∵抛物线与轴交于，，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，连接，
∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，，
∴，，
∴，
∵，，设，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴和相等；
（3）解：∵抛物线与轴交于，
∴，
∴，
∴抛物线为，
∴顶点为，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
，
，
如图，当时，则为直角三角形；
∴，
解得：或；
当时，则为直角三角形；如图，
∴，
解得：；
当时，则为直角三角形；
∴，
整理得：，
∴，
∴该方程无解；
综上：为直角三角形，则或或或．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题，直角三角形问题，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
4．(1)；
(2)取最大值，此时；
(3)点的坐标为或．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）先求出直线的解析式为，设，则，可得，利用二次函数的性质即可求解；
（）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：解方程可得，，，
∴，
设直线的解析式为，
把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
当时，即，取最大值；
（3）解：存在．
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点，
∵与关于轴对称，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
同理可得直线解析式为，
设直线解析式为，将代入得，，
∴，
∴，
由，
解得或，
∴；
当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点，
∵，，
同理可得直线解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
解得或，
∴；
综上，点的坐标为或．
5．(1)抛物线为：
(2)的坐标为：或．
(3)点Q的轨迹是抛物线，解析式为
【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，与y轴交于点，再建立方程组解题即可；
（2）如图，在轴上取点，使，可得，延长交抛物线于，，满足，如图，当在轴的上方时，取关于轴的对应点，直线与抛物线的交点为，，再进一步解答即可；
（3）将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线．可得为：；再分两种情况讨论：如图，设，，，，当时，可得，令，可得，，结合与的面积之积为2，可得，再整理即可，当或时，同理可得结论．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，与y轴交于点．
∴，解得：，
∴抛物线为：．
（2）解：如图，在轴上取点，使，
∴，
∴，
延长交抛物线于，
∵轴，
∴轴，
∴，满足，
设，而，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为：，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，当在轴的上方时，取关于轴的对应点，直线与抛物线的交点为，
∴，
同理可得：为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：的坐标为：或．
（3）解：，
将抛物线向左平移个单位长度得到抛物线．
∴为：；
如图，当时，设，，，
∴，
设直线为：，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，，
∵与的面积之积为2，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点Q的轨迹是抛物线，解析式为．
当或时，如图，
设，，，
∴，
设直线为：，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，，
∵与的面积之积为2，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点Q的轨迹是抛物线，解析式为．
综上：点Q的轨迹是抛物线为
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一次函数的综合，角度问题，二次函数与一元二次方程的关系，本题的计算量很大，熟练的利用数形结合的方法，细心的计算是解本题的关键．
6．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）利用二次函数解析式可得，进而可得直线的解析式为，设点，过点作轴 ，交直线于点，可得，即得，即可得到，可知当时，的面积取最大值，即得，，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，又可知四边形是平行四边形，得，即得到，由两点之间线段最短，可知此时的值最小，利用勾股定理求出即可求解；
（）由题意可得抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，即得，再分两种情况，画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由，得，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设点，过点作轴 ，交直线于点，如图，则点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积取最大值，
∴，
∴，
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∵点为直线上一动点，轴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，可知此时的值最小，
∵点与点关于直线的对称点，
∴，
又∵，
∴，
∴的最小值；
（3）解：∵直线的解析式为，
∴可设抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，
∵，
∴，
∴抛物线沿射线向下平移的单位长度，再向右平移的单位长度得到新的抛物线，
∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
如图，当时，，
设直线的解析式为，把代入得，
，
∴，
∴直线的解析式为，
由，解得（不合，舍去）或，
∴；
当，与轴的交点为点时，如图，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
由，解得（不合，舍去）或，
∴；
综上，当时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．(1)
(2)，
(3)存在，点H的坐标为或
【分析】本题为二次函数的综合题，涉及一次函数的图象和性质、待定系数法、二次函数的平移等知识．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点的坐标，进而可求出直线的表达式，由题意可得，推出，，则，求出的最大值即可求解；
（3）求出新抛物线的表达式为：，分当点H在x轴上方时，延长交轴于点，当点H在下方时，过点B作直线，两种情况讨论，即可求出答案．
【详解】（1）解：将、点代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）令，则，
点，
设直线的表达式为：，
将点，点，代入得：
，
解得：，
直线直线的表达式为：，
∵，
∴，
∵轴交于点E，轴交于点E，
∴，
，，
∴
设点，则，
则，
即，
，
有最大值为2，此时点；
则的周长有最大值，最大值为；
（3）存在，点H的坐标为或
将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，向上平移个单位，
则新抛物线的表达式为：，
连接， 当点H在下方时，过点B作直线，则点即为直线与抛物线的交点，

∵，
∴，
∵，
∴，
设直线的表达式为：，
将点，点，代入得：
，
解得：，
直线的表达式为：，
设直线的解析式为，
把点代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得或（舍去），
∴点H的坐标为；
当点H在x轴上方时，延长交轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，
联立得到，
解得或（舍去），
此时两点重合，
∴点H的坐标为；
综上，点H的坐标为或．
8．(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、三角函数等知识点．
（1）先运用待定系数法求出函数表达式，然后再化成顶点式即可解答；
（2）由，同理可得：，然后求出点P的坐标，进而完成解答；
（3）由，，得到，推出是等腰直角三角形，根据将原抛物线沿射线方向向下平移个单位长度，得求得新抛物线的解析式为，推出，得到直线的解析式为，解方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：将点和代入抛物线可得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：．
（2）解：∵，
∴点，
设点，则点，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的表达式为：，
如图：连接交于点E，则点，
同理由点B、P的坐标得，直线的表达式为：，
设直线交y轴于点D，则点，
则，
同理可得：，
∴，解得：（舍去）或
∴点，
∴的面积为．
（3）存在，如图，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
将原抛物线沿射线方向向下平移个单位长度，
相当于把将原抛物线向下，向左各平移了个单位长度，
新抛物线的解析式为，
，
，
，
设直线交轴于点，
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴，即
∴，
∴
∴
设直线的解析式为，代入
得
∴,
∴直线的解析式为，
联立
解得：或 ，
∴或
9．(1)
(2)①2或；②或
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）①设则，排除当点在轴上的情况，然后分当点在第三象限时；当点在第二象限时，分别表示出点P的坐标，然后建立方程求解即可；②过点作于点，交直线于点，证明可得．过点作轴于点，证明，求出 的值，然后分点P在第三象限和点P在第二象限求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：①设则．
∵点是抛物线上的动点且位于轴左侧，
∴当点在轴上时，点与重合，不合题意，故舍去，
如图，当点在第三象限时，则点坐标为或，

∴，即，
解得(舍去)，
；
如图，当点在第二象限时，则点坐标为或，

∴，即，
解得(舍去) ，
，
综上所述，的长为或；
存在点，使得，理由如下：
在中，当时，，
，
，
在中， ．
过点作于点，交直线于点，
则，
又∵，
∴，
．
过点作轴于点，则，
，
，
，
，即，
，
如图3，当点在第三象限时，点的坐标为，

由和得，直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
点的坐标为；
如图4，当点在第二象限时，点的坐标为，

∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．本题难度较大，属中考压轴题．
10．(1)抛物线的表达式为；
(2)周长的最小值为；
(3)点的坐标为或．
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）利用抛物线的解析式求得点，，的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，表示的长并配方，利用二次函数的性质求得的最大值为； 取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，由轴对称可知此时最小，，再利用勾股定理解答即可得出结论；
（）求得的坐标，利用待定系数法求得平移后的抛物线的解析式，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当在的上方时，如图,设交轴于，当在的下方时，如图，分别解答即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，抛物线的对称轴是直线，
∴，
解得：
∴抛物线的表达式为；
（2）解：令，则，
∴或，
∴，，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴
∴，
∴直线的解析式为，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，此时，，
∴，
取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，如图，
∵点是轴上的一动点，
∴此时最小，，
∴，
∵，，
∴，
∴周长的最小值为；
（3）解：由，
∵，，
∴。
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，就是将原抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，
∴，
分两种情况：
当在的上方时，如图,设交轴于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
同理得：的解析式为，
∴，
解得：（舍去），，
∴点的坐标为；
当在的下方时，如图，
∵，
∴，
当时，，
解得：（舍去），，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，轴对称的最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，分类讨论的思想方法，掌握知识点的应用是解题的关键．
11．(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解；
②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和．
∴
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：①在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，则
∴
②∵点在抛物线上
∴
∴点坐标
设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
，，
∴
解得：，
所以点的坐标为:
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得出，，将点坐标代入求得的值；
（2）作轴于，作轴于，可求得，进而得出，根据，得出，进一步得出点和点重合；
（3）将轴向左平移4个单位，作于，作于，可得出抛物线的解析式为：，设，，可计算得出，，由得到，代入整理得到，然后计算即可．
【详解】（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
抛物线的解析式为：，
抛物线过点，
，
，
抛物线的函数表达式为：；
（2）解：如图1，
作轴于，作轴于，
由得，
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
点和点重合，
；
（3）解：如图2，
将轴向左平移4个单位，的值保持不变，此时原点是点，作于，作于，
抛物线的解析式为：，
设，，
，，，，，，
∵于，作于，
∴，
∴，
∴，
∴，整理得，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，图象的平移等知识，解决问题的关键是作辅助线，将线段转化．
13．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据对称轴可列方程，将代入可得另一方程，解方程组即得答案；
（2）过点P作轴，交x轴于点K，交直线于点P，先证明，再设，求出的长，进一步求得最大时点P的坐标，最后通过平移的方法，即可解决将军饮马问题的变式，得到答案；
（3）过点P作轴，交x轴于点K，交直线于点P，先求得平移后的抛物线为，再分点Q在的下方和上方两种情况讨论，利用抛物线的轴对称性求得一个点Q的坐标，再利用求直线与抛物线的交点，可求得另一个点Q的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，
，
，
，
将代入得，
联立方程组，
即得，
抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点P作轴，交x轴于点K，交直线于点P，
抛物线的对称轴是直线，，
，
，
在中，，
，
，，
平分，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
即，
设，则，
，
，
当时，最大，即最大，
此时，，
将点P向左平移个单位，得到，
作点C关于x轴的对称点，则，
连结，
则，
所以当线段取最大值时，的最小值为；
（3）解：，，
将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过点C，相当于将该抛物线先向左平移个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线，
，
平移后的抛物线为，
在中，，，
则，
，
，
分两种情况讨论：
①点Q在的下方时，，
，
，
轴，
即点为点C关于对称轴的对称点，
；
②点Q在的下方时，，
，
延长交x轴于点T，
轴，
，
，
，
，
设直线为，
将C，T的坐标代入得，
解得，
直线为，
联立方程组，
解得，，
；
故所有符合条件的点Q的坐标为或．
【点睛】本题考查了与线段相关的二次函数综合题，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，图形平移的性质，通过平移解决将军饮马问题的变式是解题的关键．
14．(1)
(2)的最大值为16，此时点的坐标为
(3)或
【分析】（1）代入，到抛物线，求出a、b的值即可；
（2）作轴交轴于G，交直线于E，利用等腰和等腰的性质，转化的最大值为的最大值，再利用抛物线的顶点坐标公式求出点的坐标即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式为，由得，作出二次函数的图象，记图象与轴交点为，顶点为，易得，，连接、，作交于点，轴交于点，然后通过相似三角形的判定、全等三角形的判定证明、分别为符合题意的点即可．
【详解】（1）解：代入，得，
解得：，
拋物线的解析式为．
（2）如图，作轴交轴于G，交直线于E，
令，则，即，
，，
，
又，
，
轴，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，
则，
当时，有最大值8，即，此时，
，
，
的最大值为16，此时点的坐标为．
（3），，
抛物线沿着射线的方向平移个单位，，
抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位，
新抛物线的解析式为：，
由（2）中的结论得，，即，
，
；
如图，作出二次函数的图象，记图象与轴交点为，顶点为，
连接、，作交于点，轴交x轴于点，
令，则，即，
当时，有最大值6，即顶点坐标为；
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，即，
，
又，
是等腰直角三角形，
，
；
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，即，
，
，
是符合题意的一个点；
轴，，
，，
又，
，，
，
又，
，
；
，
，，
，
，
，
又，
，
是符合题意的另一个点；
综上所述，的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的平移规律，学会通过作垂线构造直角三角形，能够利用等腰直角三角形的性质转化线段关系，能够利用直角边的比例证明相似三角形是解题的关键，本题属于二次函数综合题，需要较强的数形结合和推理能力，适合有能力解决难题的学生．
15．(1)；
(2)点的坐标为；
(3)长度的最大值为．
【分析】本题考查了二次函数综合问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，学会利用函数思想转化角度和线段的关系是解题的关键．
（1）代入，到抛物线，求解a、b的值即可；
（2）过点作轴交轴于点，设，结合得出，得出，代入直线的解析式，解出t的值即可；
（3）设，，依据题意表示出直线和的解析式，再求出交点P的坐标，结合的面积是10，得出m、n的关系式，代入直线解析式可得定点坐标，再利用定点坐标确定长度的最大值即可．
【详解】（1）解：代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）如图，过点作轴交轴于点，则，
设，则，
轴，
轴，
，
，
，
，
又，
，
，
又，，
，
，
，
，
解得：（舍），，
点的坐标为．
（3）设，，
设的解析式为，
代入得，，
，
，
联立，
消去整理得：，
与抛物线只有唯一公共点，
，
整理得：，
解得：，
，
同理可得，，
联立与可得交点；
，
，
，
，
，
，
当时，，
即经过定点，
，
，
当时，长度有最大值，
线段长度的最大值为．
16．(1)
(2)
(3)见解析
(4)存在，和
【分析】（1）根据题意先求出点、的坐标，进而利用待定系数法即可求解；
（2）由题意过点作轴于，交于点，根据，则，进而根据三角形面积公式，进行计算即可求解；
（3）根据点，，，得出，，，在中，根据勾股定理，在中，，，根据勾股定理逆定理得出即可；
（4）根据题意分点在下方、在的延长线上取一点，使，作出，连接，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于，点在上方，延长到，使，连接并延长交轴于，作出，两种情况求出点，和点的坐标，进而利用待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵交坐标轴于，两点，
当时，，则点，
当时，，
解得，点，
∵，
∴
，解得，
∴二次函数解析式为：；
（2）过点作轴于，交于，
∵，在直线：上，
∴
∴
∵，
∴
（3）证明：点，点，，
，，，
，
在中，根据勾股定理＝，
在中，，
（），
，即，
，
是直角三角形；
（4）存在点，使．
当点在轴下方的抛物线上时：
在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于，轴于
，，，
，
，
轴，
，
，，
，
，，
，
∴，
设的解析式为：，
，
解得：，，
的解析式为：．
，
，
，
，
方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在．
当点在轴上方的抛物线上时：
延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点，设交抛物线于点，
轴，，
，，
同理可得，的解析式为：．
，
，
，
，
方程组有两个不同的解，直线与抛物线有两个不同的交点，存在．
综上所述：存在抛物线上点，使，直线的解析式为：
和．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式和性质，一次函数解析式，三角形面积的最值，直线的位置关系，一元二次方程，三角形全等判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，利用辅助线作出准确图形，熟练掌握所需知识是解题关键．
17．(1)，顶点D坐标为
(2)m＝或
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出，然后表示出P的坐标为，然后分三种情况：①当点P在x轴上方时；②当点P在x轴下方时；③当点P在x轴上时，然后根据题意分别列方程求解即可；
（3）如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P，根据题意得到，然后求出直线的解析式为，直线的解析式为，然后和抛物线联立求解即可．
【详解】（1）将点代入抛物线中
得
解得：
∴抛物线解析式为
∴顶点D坐标为；
（2）令
解得，
∴
∵P的横坐标为且
∴
∴将代入
∴点P一定在对称轴右侧，且P的坐标为；
①如右图所示，当点P在x轴上方时，
则，即
此时：，
解得：，符合题意；
②如右图所示，当点P在x轴下方时，
则，即
此时：
解得：，（舍去）
③当点P在x轴上时，
则，即
此时：（或），解得：（舍去）
综上所述，或；
（3）存在点P，使，点P的坐标为
理由如下：
如图所示，在x轴的正半轴上取点，连接，过点B作交抛物线于点P
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
设直线的解析式为，过，
∴直线的解析式为
∵
∴设直线的解析式为
将代入得
解得：
∴直线的解析式为
由
解得：，（舍去）
∴．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式是解题的关键．
18．(1)
(2)的最大值为，
(3)或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，求出直线的解析式为：，进而求解；第二种情况，作，交抛物线于点，同理可解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴设抛物线的解析式为：，
把点代入可得，，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
则，
即的最大值为：，
此时，则点；
（3）解：∵抛物线，
∴将原抛物线沿x轴向右平移1个单位长度，新抛物线的解析式为：，
令，则，令，则，
解得，，
∴，，
∵点N是第一象限中新抛物线上一点，且点N到y轴的距离等于点到y轴的距离的一半，
∴且，
把代入得：，
∴，
∵，，
由点、的坐标得，直线的解析式为，
分以下两种情况：
第一种情况，过点N作，交抛物线于点，则，如图2，
∴设直线的解析式为，把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为：，
联立新抛物线与直线为方程组得：，
解得：（舍去）或，
∴；
第二种情况，作，交抛物线于点，交直线于点H，如图3，
∴，
设，且，，
∴，，
即，
解得，，
∴，
由点H、N的坐标得，直线的解析式为，
联立抛物线与直线为方程组得：，
解得：（舍去）或，
∴；
综上所述，存在点M，使得，点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数与图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式与一次函数解析式，二次函数最值问题，函数平移的性质，等腰三角形的性质，二次函数与二元一次方程组求解交点等知识的综合运用是解题的关键．
19．(1)抛物线的解析式为
(2)，
(3)P的坐标为或
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出，得出，分两种情况：在y轴正半轴上取，在y轴负半轴上取，分别验证，求出点M的坐标即可；
（3）先求出点Q的坐标为，过点Q作轴于点H，求出，得出，过点E作轴的平行线，连接并延长交直线于点，设点P的坐标为，直线的解析式为，把代入求出直线的解析式为，求出点的坐标为，根据，求出m的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：把代入得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在y轴正半轴上取，连接，交抛物线于一点，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时点符合题意，
设直线的解析式为：，把代入得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍），
把代入得，
∴点；
在y轴负半轴上取，连接，交抛物线于一点，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时点符合题意，
设直线的解析式为：，把代入得：
，解得，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，（舍），
把代入得，
∴点；
综上分析可知：点，；
（3）解：把代入得：，
∴点Q的坐标为，
过点Q作轴于点H，如图所示：
∴点H的坐标为：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴顶点E的坐标为，
过点E作轴的平行线，连接并延长交直线于点，如图所示：
∵将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为P，
∴点P在过点E平行于轴的直线上，
设点P的坐标为，
设直线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为：或．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、抛物线平移，求一次函数解析式等知识，解题的关键是利用数形结合和分类讨论的思想解决问题．
20．(1)
(2)4，
(3)或
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质、面积的计算等，分类求解是解题的关键．
（1）由抛物线与x轴交于点和点，设交点式计算即可求解；
（2）过点作轴交于点，由面积，即可求解；
（3）当点在上方时，则点和点关于抛物线对称轴对称，即可求解；当点在下方时，由，求出点，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线的表达式为：，
则，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：过点作轴交于点，
当时，，
∴，
由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：，
∴直线的表达式为：，
设点，则点，
则面积，
，
∴面积有最大值，
当时，面积的最大值为4，此时点D的坐标为；
（3）解：存在．
如图2，
当点在上方时，
，
平行于轴，
则点和点关于抛物线对称轴对称，
则点；
当点在下方时，
设交轴于点，设点，
，
，
，
解得：，
即点，
由设直线的表达式为：，代入点得：，解得：，
∴直线的表达式为：，
联立，得到
解得：（舍去）或，
即点的坐标为：，
综上，点的坐标为或．