2025年中考数学复习提升训练：二次函数综合（面积问题）（含解析）

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2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（面积问题）
1．如图，二次函数的图象交轴于点、点，交轴于点，且，，满足和，连接．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与，重合），连接，．
①求面积的最大值；
②若，，求的取值范围．
2．如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求的面积；
(3)若点P是抛物线在第一象限内上方一动点，连接、，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标．
4．如图，已知抛物线经过两点
(1)求、的值．
(2)若点为抛物线上一动点，的面积为10时，求点的坐标．
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当点P在直线上方的抛物线时，连接、，点M是x轴上一动点，连接、．当的面积最大时，求的最小值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线的方向平移，当抛物线经过点C时停止平移，平移后的抛物线为，点H是抛物线对称轴上一点，当，直接写出所有满足条件的点H的坐标．
6．如图，已知抛物线，顶点为点P，与轴交于点B、A，与y轴交于点．
(1)则点A坐标为 ；B坐标为 ；
(2)求的面积；
(3)点是直线上方抛物线上的点（不与P重合），是否存在点D，使得和面积相等？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由？
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积最大值及此时点的坐标；
(3)将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴的负半轴交于点，点为平移后的新抛物线上一动点，当，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
8．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线（为常数）．
(1)求点坐标；
(2)如图1，若抛物线经过点，点是抛物线上一动点，且在第二象限内，连接，求的表达式及面积的最大值；
(3)若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的取值范围．
9．抛物线与 x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点， 点 P 是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，连接，设的面积为S，求S 的最大值，并求出此时点P 的坐标；
(3)如图2，当的面积最大时，过P 作轴于点D， 交直线于 点E． 点， 连接 并延长交直线于点M， 点 N 是x轴上方抛物线上的一点，x 轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在， 请说明理由．
10．如图1，抛物线．（a，b，c是常数，且）与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点P是第一象限抛物线上一点，如图2，连接，求的面积为最大值时点P的坐标；
(3)M，N，Q为抛物线上动点M，N两点的横坐标之差为2，M在N的左侧，过M，N 画一直线，过Q作轴交直线于H点，H点恰好是线段的中点，孔明同学发现，当时，可以求出N，Q，H三点坐标，它们分别为：,,．此时，他猜想动点M，N，Q无论在抛物线上怎么动，恒成立，你觉得他的猜想对吗？请写出理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
(1)若时，
①如图（1），直接写出抛物线的解析式；
②如图（2），若抛物线上有一点P，且P在对称轴的右侧，射线与轴交于点Q使得，求点P的坐标；
(2)如图（3），当时，点P是第三象限抛物线上的一动点，分别连接，并延长交直线于M，N两点．若M、N两点的横坐标分别为m，n，试探究m，n之间的数量关系．
12．如图1，抛物线经过两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形的面积为，求的最大值；
(3)如图2，过点作轴于点，连接与轴交于点，当时，求点的坐标．
13．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线为抛物线的对称轴，在直线右侧的抛物线上有一个动点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若点在轴的上方且横坐标大于2，当的面积是时，求的面积；
(3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线的图象经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标；
(2)在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积；
(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线解析式是．连接．
(1)求点B、C的坐标及抛物线的解析式；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)点P在抛物线上（不与点C重合），且与的面积相等，求点P的坐标．
16．如图，抛物线的图象与x 轴交于、B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若点E在抛物线上，且，求点E 的坐标；
(3)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作轴于M，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．设点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示矩形的周长，并求矩形的周长最大值．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为．
(1)求二次函数的解析式．
(2)判断的形状，并说明理由．
(3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若的值最小，求点D的坐标；
(3)若点P是抛物线上的一点，当点P在直线上方的抛物线上运动时，的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)若，求点的坐标．
20．如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为，连接、．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)当时，求点坐标及四边形的面积；
(3)连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
21．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
(1)求二次函数的表达式和点的坐标；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，与，轴分别交于点，．
①的面积是的面积的2倍，求点的坐标；
②记，的面积分别为，，求的最大值．
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《2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（面积问题）》参考答案
1．(1)
(2)①；②
【分析】（1）利用和，得到二次函数的图象经过点和点，即可求出抛物线的对称轴；
（2）①先利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出直线的解析式，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，由，再结合二次函数的性质即可解答；②根据轴，轴，推出，在中，由，即可得到答案．
【详解】（1）解：二次函数的，，，
满足，，
二次函数的图象经过点和点，
抛物线的对称轴为直线；
（2）解：①二次函数的图象经过点和点，
二次函数的表达式可写为．
点在抛物线上，
，
解得，
二次函数的表达式为．
设直线的表达式为，
把和代入，得：
，
解得：，
直线的表达式为．
过点作轴于点，交于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
．
．
动点在直线的上方（不与，重合），
．
当时，面积取得最大值，最大值是．
②轴，
轴，
．
．
，，
在中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数与面积综合，二次函数与角度综合问题，涉及待定系数法，抛物线的最值，解直角三角形，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
2．(1)
(2)10
(3)存在，点P的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程、求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）代入，，利用待定系数法求解即可；
（2）令，求出点的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出的面积；
（3）先求出直线解析式为，再根据题意得，过点作轴交于点，设，则，利用三角形的面积公式列出方程，求出的值即可得到点P的坐标．
【详解】（1）解：代入，得，，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
解得：，，
，
，
，
的面积为10．
（3）解：存在，理由如下：
设直线解析式为，
代入，得，
解得：，
直线解析式为，
由（2）得，，
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
解得：，
，
点P的坐标为．
3．(1)；
(2)6；
(3)．
【分析】（1）由题意可知，设抛物线的表达式为，再将代入求出a即可；
（2）根据题意先求出点O关于直线的对称点E的坐标，再连接，交于点D，此时周长最小,求出值即可；
（3）先用待定系数法求出直线的解析式，再根据，再设P点坐标，利用平行等积，将面积转化为的面积，那么与的面积之和等于的面积，即求的面积最大值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，如图1，
∵点、点、点，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∴，
∴的周长的最小值为；
（3）解：连接，如图2，
由得：，
∴，
过点P作轴于点N，交于点M，
则
，
由点、点坐标可求直线解析式为，
设，则，
∴
，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
此时P点为．
【点睛】本题重点考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，将面积转化是解决第三个问题的关键．
4．(1)
(2)或
(3)点的坐标为或或或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的关键．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）求得，由三角形面积求出，经过判断得，解方程，即可求解；
（3）分点B、P、C为直角顶点，三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：
，
解得，；
（2）解：由（1）知，，
设点，
，
，
的面积为10，
，
当时，，即
∵，此方程无实数根．
∴
当时，，
解得，，
或
（3）解：抛物线解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴,
设，
，
，
，
当时，则，
，
解得：，
点的坐标为或；
当时，则，
，
解得：，
点的坐标为；
当时，则，
，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或．
5．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合应用．
（1）把，代入计算即可；
（2）作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，先求出直线解析式为，再设，则，求出，再根据求出面积最大值，得到，再由对称可得，当在线段上时，最小，求出最小值的长即可；
（3）先求出平移后解析式为，对称轴为直线，当在直线上方时，由可得，求出直线解析式为，与的交点即为；当在直线下方时，如图，由，可得，根据距离公式求出，再求出直线解析式为，与的交点即为．
【详解】（1）解：把，代入得，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：作关于轴的对称点，交于，则轴，连接，，

令，则，
∴，
设直线解析式为，代入，得，解得，
∴直线解析式为，
∵点P在直线上方的抛物线，轴，
∴设，则，
∴，
∴
，
∴当时，最大，此时，
∵关于轴的对称点，
∴，，
∴，
∴当在线段上时，最小，最小值；
（3）解：∵直线解析式为，
∴将抛物线沿着射线的方向平移，可设抛物线向左移动个单位，再向上移动个单位，
∴平移后解析式为，
∵当抛物线经过点C时停止平移，
∴把代入得，
解得，（舍去），
∴平移后解析式为，
∴对称轴为直线，
当在直线上方时，如图点即为，

∵，
∴，
∴设直线解析式为，
代入得，，解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴；
当在直线下方时，如图点即为，此时交于，

∵，即，
∴，
设，
∴，
解得，
∴，
∴设直线解析式为，
代入，得，，解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴，
综上所述，当时，所有满足条件的点H的坐标为或．
6．(1)；
(2)3
(3)存在点，使得和面积相等，坐标为
【分析】本题主要考查了二次函数顶点式的性质，二次函数与几何图形面积的计算方法，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数与几何图形面积的计算方法阿是解题的关键．
（1）把代入求解即可；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算方法可得，运用待定系数法求出直线的解析式，如图所示，过点作轴于点，交于点，可得，根据，即可求解；
（3）根据题意，点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，设，计算方法如（2），由此即可求解．
【详解】（1）解∶ 把代入，得，
解得，，
∴；，
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴于点，交于点，
∴点的横坐标为，
把代入直线得，，
∴，
∴，，
∴，
∴的面积为3；
（3）解：如图所示，
∵点是直线上方抛物线上的点且不同于顶点，过点作轴于点，交于点，
∴设，
∴点的横坐标为，
∴，即
∴，
根据（2）的计算方法得，，
∴，
∴，
解得，（不符合题意，舍去），，
当时，，
∴，
∴存在点，使得和面积相等，坐标为．
7．(1)
(2)，
(3)，
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、一次函数和二次函数的图象交点等知识．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）过点P作轴交于点E，求出直线的解析式为，得到，，则，当时，取得最大值，得到取得最大值，此时，即可得到答案；
（3）求出，再求出点的坐标为，当时，，进一步求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，则点的坐标是，当时，，则直线经过点的关于轴对称点，求出直线的解析式为，联立直线和平移后的抛物线解析式得到或，即可得到点的坐标是．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，交轴于点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过点P作轴交于点E，

当时，，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
，
，则，
∵，且 ，
当时，取得最大值，
取得最大值，
此时，
此时；
（3）∵，
∴将原抛物线沿轴正半轴平移2个单位长度得到新抛物线，则：
，
当时，，解得或，
∴点的坐标为，
如图，当时，，

∵直线的解析式为，
∴可设直线的解析式为，
把点代入得到，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得或，
∴点的坐标是，
当时，，
∴直线与直线关于轴对称，
∴直线经过点的关于轴对称点，
设直线的解析式为，
把点的坐标为，点代入，得
解得，
∴直线的解析式为，
联立得到，
解得，或，
∴点的坐标是，
综上可知，点的坐标为或．
8．(1)
(2)抛物线的表达式为，的最大值为
(3)或．
【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，解一元二次方程；解本题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想方法．
（1）把代入，即可求得点的坐标；
（2）过点P作轴交于点Q，将代入，求得，设，则，则，再利用结合二次函数性质求解即可；
（3）分两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：把代入，
解得，
点的坐标是；
（2）解：过点P作轴交于点Q，
将代入，得，
解得，
抛物线的表达式为，
设，则，
，
，
，
当时，的值最大，最大值为；
（3）解：二次函数的图象经过时，，解得，
二次函数的图象经过时，得，
；
若与直线只有一个交点时，方程组有一组实数解，
则一元二次方程，整理得，
，
，
．
综上所述，与线段只有一个交点，的取值范围是或．
9．(1)
(2)4，
(3)存在，点Q的坐标为或或或．
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何的综合、平行四边形的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线的解析式为，如图：过P作轴交于点G， 设，则，可得，进而得到，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）先求出直线的解析式为，进而求得；设， 然后分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可．
【详解】（1）解：将、代入可得：
，解得：，
所以抛物线解析式为．
（2）解：∵，
∴
设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
如图：过P作轴交于点G，
设，则，
∴，
∴的面积为，
∴当时，的面积最大为4，此时点P的坐标为．
（3）解：∵，，
∴设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵当的面积最大时，过P 作轴于点D，连接 并延长交直线于点M，
∴M的横坐标为，则纵坐标为，即，
设，
如图：当为平行四边形的边时，由平行四边形的性质可得：
，解得：或，
∴或；
如图：当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质可得：
，解得：或，
∴或；
综上，点Q的坐标为或或或．
10．(1)
(2)
(3)孔明同学猜想对，理由见解析.
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的解析式为，作轴交直线于D点，设，根据三角形面积公式三角形面积，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）孔明同学猜想对，分别求出的坐标，相减可得结论．
【详解】（1）解：把点点点的坐标分别代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式；
（2）解：设直线的解析式为，
把点点的坐标分别代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点P是第一象限抛物线上一点，
∴设．
作轴交直线于D点，
∴,
∴
∴的面积为．
∵，
∴当时，的面积为最大值．所以点P的坐标；
（3）解：孔明同学猜想对，理由如下：如图4，
∵M，N为抛物线上动点，M，N两点的横坐标之差为2，M在N的左侧，
∴设，则即，
设直线的解析式为，
把M、N的坐标分别代入，得
，
解得，，
∴直线为 ，
∵H点恰好是线段的中点，得 ，．
即，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题关键是掌握学会用转化思想求三边均不与坐标轴平行的三角形的面积的方法．
11．(1)①；②
(2)
【分析】（1）①求出，，得，根据，得，解得，得；②在上取点D，使，连接，则，根据，求得，得，设，则，，根据，得，得，求出直线的解析式，联立得，解得，即得；
（2）设直线为l，过点A、B作的垂线于点G，于点E，过点P作于点F，交于点H，当时，，设，根据，得，，得，，得，，可得，即得．
【详解】（1）解：①中，令，则，
∴，
令，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去），或，
∴；
②在上取点D，使，连接，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴；
（2）设直线为l，过点A、B分别作于点G，于点E，过点P作于点F，交于点H，
则，
当时，，
设，
则，
令，
则，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求一次函数求解析式，二次函数与一次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，二倍角产生的等腰三角形问题，相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
12．(1)
(2)S的最大值为
(3)
【分析】（1）将，代入，即可求解；
（2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点，则，，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可；
（3）由题意得到，则，设，由，求出即可．
【详解】（1）解：将，代入，得：
，
，
；
（2）解：过点P作轴于点N，如图所示，

令，则，
∴，
∴，
∵P为第四象限内抛物线上一点，设点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵
∴当时，S有最大值，．
（3）解：如图，

∵轴，轴，
∴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键．
13．(1)
(2)14
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求解即可；
（2）首先确定点坐标，并利用待定系数法解得直线的解析式，过点作轴，交于点，设，则，易知，结合的面积是，可解得，进而可知，然后计算的面积即可；
（3）设直线与直线交于点，与轴交于点，作于点，连接，利用待定系数法解得直线的解析式，进而可得，，易知、均为等腰直角三角形，设点，则，，所以，在利用勾股定理确定，结合解得的值，即可获得答案．
【详解】（1）解：将点，代入抛物线，
可得，解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）对于抛物线，
令，可得，即，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
过点作轴，交于点，如下图，
设，则，
∴，
∵的面积是，
∴，即，
解得，
∵点在轴的上方且横坐标大于2，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）设直线与直线交于点，与轴交于点，作于点，连接，如下图，
对于抛物线，其对称轴为，
设直线的解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
∴，，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即为等腰直角三角形，
设点，则，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，可有，
∵点到直线的距离等于点到点的距离的，即，
∴，
∴，解得，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式、二次函数综合应用、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
14．(1)，
(2)存在，取最大值，点P的坐标为
(3)存在，P坐标为或或
【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解．
（1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解；
（2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解．
（3）分为①为平行四边形的边和②为平行四边形的对角线分别求解即可．
【详解】（1）解：将，，三点代入
可得，
解得：，
故抛物线的解析式为；
∵．
∴抛物线的顶点M的坐标为．
（2）解：设直线的解析式为，把点、代入得，
解得：，
得直线的解析式为．
如图，过点E作轴，交于点F，
设点E为，则点F为，
∴．
∴．
∴．
∴当时，取最大值．
∴点E的坐标为．
（3）解：①若为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴或，
∴或，
∴点P坐标为或；
②若为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴与互相平分，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
综上所述：当点P坐标为或或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
15．(1)，，；
(2)为直角三角形，见解析；
(3)或或．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合、勾股定理的逆定理、二次函数的综合—面积问题等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）先根据一次函数的解析式得到点B、C的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式即可；
（2）先根据抛物线的对称性可得点A的坐标，再利用两点之间的距离公式分别可得的长，然后根据勾股定理的逆定理即可解答；
（3）根据得到可得，然后再分别求解，进而确定点P的坐标即可．
【详解】（1）解：对于一次函数，
当时，，解得：，即，
当时，，即，
将点、代入抛物线得：
，解得，
所以抛物线的解析式为．
（2）解：为直角三角形，理由如下：
∵抛物线的对称轴为，，
∴．
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，且；
（3）解：∵与的面积相等，
∴点P的纵坐标，
当时，，解得，，
∴．
当时，，解得，
∴或，
综上，满足条件的点P的坐标为或或．
16．(1)；
(2)，
(3)；10
【分析】本题考查了二次函数的综合运用,待定系数法求解析式,面积问题,线段周长问题,正确记忆超过知识点是解题关键.
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求得E点的横坐标为，即可求解；
（3）根据对称轴为直线，设M点的横坐标为m，则，表示出矩形的周长，然后根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：将代入解析式得，解得
抛物线的解析式为 ，
∵，
∴顶点D得坐标为．
（2）解：将代入，
得，解得，，
．
，
点得横坐标为．
时，，
时，，
，；
（3）解：由抛物线可知对称轴为，
点P的横坐标为m，轴，
M点横坐标为m，
则， ,
∴矩形的周长
∴当时，矩形的周长最大值为10．
17．(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
(3)存在，点P的坐标是，
【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，勾股定理的逆定理等知识．
（1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得y＝，再将代入求解即可；
（2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题；
（3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，得，，进而解决问题．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
将顶点代入解析式得，
∵二次函数的图象与x轴交于点，
∴，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
抛物线与y轴的交点，
当时，，
∴，
如图1，过点C作轴于点D，
∴，
过点A作于点E，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：存在，理由如下：
，
设点P的坐标为，
过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，
设直线的解析式为，将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∴点Q的坐标为，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵轴，
∴，
在中，
∵
∴
∴，
解得，，
当时，
∴，
当时，，
∴，
∴所有符合条件的点P的坐标是，．
18．(1)
(2)点D的坐标为
(3)存在，点
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小，进而求解；
（3）过点P作轴交于点H，由题意可设点，则点，由铅垂法可得，然后问题可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
则点A、C的坐标分别为：、，
将A，C的坐标代入抛物线得：，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：点B关于抛物线的对称点为点A，则交抛物线对称轴于点D，则此时，的值最小；
如图1，为最小；
设直线的表达式为：，将点A、C的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为，抛物线的对称轴为直线，
当时，，即点D的坐标为；
（3）解：的面积存在最大值；理由如下：
过点P作轴交于点H，如图2，
由（2）可得直线的表达式为，
设点，则点，
∴，的水平宽为3，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时点．
19．(1)
(2)16
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作于T，根据列式求解即可；
（3）取，连接，，证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或．
【详解】（1）解：将点代入，
得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解∶如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，，
∵、，，
∴，，，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解．
20．(1)
(2)，18
(3)6，
【分析】本题考查了二次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出点的坐标，从而可得点的坐标，再利用直角梯形的面积公式求解即可得；
（3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再过点作轴的垂线，交于点，可得点的坐标，从而可得，然后根据面积等于、二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
所以该抛物线的函数解析式．
（2）解：对于抛物线，
当时，，
∴，
∵，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为6，
当时，，解得或，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是直角梯形，
∴四边形的面积为．
（3）解：由题意得：点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
如图，过点作轴的垂线，交于点，则，
∴，
∴面积为
，
由二次函数的性质可知，在内，当时，的面积最大，最大值为6，
此时，
所以面积的最大值为6，此时点的坐标为．
21．(1)，点B的坐标为；
(2)①；②的最大值为．
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质和三角形的面积等知识．
（1）利用待定系数法可得二次函数的解析式，令解方程可得点B的坐标；
（2）①如图1，过点D作轴于G，连接，推出，根据同高三角形面积的比=对应底边的比得：，再利用相似三角形的性质求解即可；
②设出D点坐标，表示出的面积，利用可表示成关于D点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为：，
当时，，
解得：，，
∴点B的坐标为；
（2）解：①如图1，过点D作轴于G，连接，
∴，
∴，
∴，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∴；
②设，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴
，
∵，开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为．