2025年中考数学复习提升训练：二次函数综合（线段周长问题）（含解析）

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2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（线段周长问题）
1．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段绕点D按顺时针方向旋转，点C落在抛物线上的点P处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，二次函数的图像与轴交于点、两点，与轴交于点，点为的中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为，与分别交于点两点，设点的横坐标为．
①用含的代数式表示线段的长度；
②若，求此时点的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若连接，那么与是否相等？请说明理由；
(3)如图2，若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿着向点运动，到达点时停止，轴于点，直线交抛物线于点，以为直径的圆与线段交于点，当运动时间t为何值时的周长最大，并求出此时点的坐标及周长．
4．如图，抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），与轴交于点，直线的图象过两点，．
(1)求抛物线解析式；
(2)点为直线上方抛物线上一点，点为直线上一动点，连接，当面积最大时，求点的坐标及的最小值；
(3)将抛物线沿射线方向平移后过点，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于和两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，是线段下方抛物线上的一点，作于，求的最大值；
(3)如图，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标；
(4)如图，过点作直线与抛物线相交于点和点，若点和点的纵坐标之和为，求该直线的解析式．
6．如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点D是第一象限抛物线上的点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，交于点E、交y轴于点F，求的最大值及此时点D的坐标．
(3)如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．
(1)求抛物线的表达式．
(2)如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．
(3)如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值．
8．如图，抛物线经过点，交轴于，两点，交轴于点．连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交直线于点，作轴交轴于点，当长度取得最大值时，在直线上取一点，连接、，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向进行平移，使新抛物线经过（2）中长度取得最大值时的点，与直线交于另一点，新抛物线上有一动点，当与相等时，直接写出点的坐标．
9．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接、，点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)运动过程中是否存在点P，使线段的值最大？若存在，请求出这个最大值并求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)试探究在点P的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明．
10．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线对称轴上一个动点，求点的坐标，使得的值最小．
(3)设抛物线的顶点为，则点在的外接圆的______（填“内部”或“外部”或“圆上”）
11．如图，抛物线的图象与x 轴交于、B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若点E在抛物线上，且，求点E 的坐标；
(3)点P是抛物线上A、D之间的一点，过点P作轴于M，过点P作交抛物线于点Q，过点Q作轴于点N．设点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示矩形的周长，并求矩形的周长最大值．
12．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交点C．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)若点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴于点F，交直线于点D，求线段的最大值；
(3)点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
13．如图，已知二次函数与轴交于点、，与轴交点为．
(1)点C的坐标为________（用含m的代数式表示）；
(2)点为该二次函数图象对称轴上一点，若最小值为，求的值．
(3)在（2）的条件下，连接，点是直线下方二次函数图象上一点，连接，过点作，交于点，当时，求点的坐标．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标；
(3)如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．在平面直角坐标系中，拋物线如图所示，该拋物线与轴交于点（点在点的左侧），，经过点的直线与轴正半轴交于点，且与拋物线的另一个交点为，的面积为5．
(1)求拋物线和直线的解析式；
(2)拋物线上的动点在直线的下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．
16．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B（再点A在B的右侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1所示，在直线上方的抛物线上有一动点P，且轴交于点Q，交于点G，当的周长取得最大值时，求点P的坐标及周长的最大值．
(3)将原抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，在新抛物线的对称轴上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标．
17．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，抛物线的对称轴为：．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点为对称轴左侧，第三象限抛物线上一动点，点为抛物线的顶点，过点作直线交对称轴于点，连接．求的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，在(2)成立的情况下，连接，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到抛物线，是抛物线上的一点，若，请直接写出满足条件的的横坐标．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，B，与轴交于点，直线过，两点．
(1)求抛物线的解析式与直线的解析式；
(2)若抛物线上存在一点，使得，求点的坐标；
(3)若点是位于直线下方抛物线上一点．过点作⊥直线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及的最大值．
19．已知抛物线)交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标；
(3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，求出P点坐标．
20．已知直线与轴交于，与轴交于点，抛物线与轴交于两点，与轴交于点
(1)求这个抛物线的解析式
(2)若是直线上方抛物线上一点，存在点使得，求点的坐标
(3)在对称轴上是否存在点，使得的周长最小，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由．
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《2025年中考数学二轮复习提升训练：二次函数综合（线段周长问题）》参考答案
1．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先求出抛物线的对称轴，再设点的坐标为，则，根据旋转的性质可得，从而可得，将点代入抛物线的解析式求出的值，由此即可得；
（3）先根据点坐标的平移规律求出点，作点关于轴的对称点，连接，从而可得与轴的交点即为所求的点，再利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得出答案．
【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，其顶点的坐标为，
设点的坐标为，则，
由旋转的性质得：，
，即，
将点代入得：，
解得或（舍去），
当时，，
所以点的坐标为；
（3）解：抛物线的顶点的坐标为，
则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点，
这时点落在点的位置，且，
，即，恰好在对称轴直线上，
如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
由两点之间线段最短可知，与轴的交点即为所求的点，此时的值最小，即的值最小，
由轴对称的性质得：，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
故在轴上存在点，使得的值最小，此时点的坐标为．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．
2．(1)
(2)① ②
(3)存在，，
【分析】（）利用交点式解答即可求解；
（）①先求出直线的表达式，设点的坐标为，可表示点的坐标，再把纵坐标相减即可表示线段的长度；②先求出直线的表达式，表示出点的坐标，进而表示出线段的长，利用等式建立方程，求解即可；
（）先得出抛物线的对称轴为直线，取的中点为，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，由此建立方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵与轴交于点，两点，
∴抛物线的表达式为，
即；
（2）解：①∵二次函数，
∴，
设直线的解析式为，
把、代入得，
，
∴，
∴直线的表达式为，
∵，
∴，
∴；
②∵为的中点，
∵，
∴，
设的表达式为，把、代入得，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（舍去），，
∴；
（3）解：存在．
∵，，
∴对称轴为直线，
设，
∵，，
∴的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，中点坐标公式，两点间距离公式，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
3．(1)
(2)，理由见解析
(3)秒，，最大周长：
【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，得；
（2）根据，得，，结合，，得，，取点，连接，得，，得，得，求出直线解析式，当时，，得点D在直线上，即得；
（3）根据，，得是等腰直角三角形，当最大时，的周长最大，求出直线解析式为，设，则，得，当时，有最大值2，得，得周长最大值为，此时，得，得，得，得秒．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
∴；
（2）解：∵，
∴，
当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
取点，连接，
则，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴点D在直线上，
∴；
（3）解：∵轴于点，
∴轴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴当最大时，的周长最大，
∵，，
∴设直线解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值2，
∵，
∴，
∴周长最大值为：，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理推论，线段长周长问题产生的二次函数综合，是解题的关键．
4．(1)
(2)，
(3)存在，或
【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案；
（2）如图，过作轴交于，求解直线为，设，则，可得，再利用二次函数的性质可得，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，可得，当三点共线时，，此时最短；再进一步求解即可；
（3）将抛物线沿射线方向平移后过点，可得；如图，过作轴于，证明，可得，设，可得，再进一步解答即可．
【详解】（1）解：由抛物线与轴交于点，可知，
直线的图象过点，
将代入得，即直线，
当时，，解得，则，
，
，即，
抛物线与轴分别交于点，点（在的左侧），
设抛物线为，则化为一般式得，
，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：如图，过作轴交于，
∵，，
∴直线为，
设，则，
∴，
当最大时，最大，
∴，，
∴，
过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线时，，此时最短；
∵，
∴，
∴，
即的最小值为；
（3）解：将抛物线沿射线方向平移后过点，
∴；
如图，过作轴于，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
∴或，其中，
解得：或（舍去）或或（舍去）；
当时，，
当时，，
∴或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，线段和的最小值问题，角度问题，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
5．(1)抛物线的解析式为；
(2)有最大值；
(3)点的坐标为；
(4)直线解析式为或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）过作轴于点，交于点，求出直线解析式为，设，则，，利用，求出，最后根据二次函数的性质即可求解；
（）过作轴于点，过作轴于点，然后证明，由性质得，设，则，代入得，再解方程和检验即可；
（）设直线解析式为，由于过点，则直线解析式为，联立联立，则，再通过一元二次方程根与系数的关系即可求解；
本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程解法及根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过作轴于点，交于点，
由（）得：抛物线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值；
（3）解：如图，过作轴于点，过作轴于点，
∴，
由上可知于，，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴点的坐标为；
（4）解：设直线解析式为，
∵过点，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立：，
∴，
∵点和点的纵坐标之和为，，
∴
∵，，
∴，
整理得：，
∴直线解析式为或．
6．(1)；
(2)取最大值，此时；
(3)点的坐标为或．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的几何问题，掌握二次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）先求出直线的解析式为，设，则，可得，利用二次函数的性质即可求解；
（）分点在上方和点在下方两种情况，画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：解方程可得，，，
∴，
设直线的解析式为，
把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
当时，即，取最大值；
（3）解：存在．
∵，，
∴，
∴，
∴，
当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点，
∵与关于轴对称，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
同理可得直线解析式为，
设直线解析式为，将代入得，，
∴，
∴，
由，
解得或，
∴；
当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点，
∵，，
同理可得直线解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
由，
解得或，
∴；
综上，点的坐标为或．
7．(1)
(2)
(3)的最大值为
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由（1）可知，则有，然后求出直线的解析式为，然后可设，则有，进而根据可建立方程进行求解；
（3）由题意易得，则有，然后可得，作交y轴于N，作轴交于Q，则有，即，设，则，进而根据相似三角形的性质建立函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由（1）可知，则令时，，
∴，
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：（此时B，P重合，不合题意舍去），
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
作交y轴于N，作轴交于Q，
∵直线的解析式为，，
∴直线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
，
∵，
∴当时，有最大值．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
8．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点、代入函数解析式求得a、b的值即可解答；
（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，则，然后再，当时，最大，此时，；作点E关于的对称点，则，连接，交与点，然后求最值即可；
（3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，过点D作交新抛物线于点，由平行线的性质可得，再求出直线的解析式为，再与抛物线解析式联立即可解答；作关于直线的对称线得交新抛物线于点，然后根据旋转的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形进行完成解答．
【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，交轴于，
∴，解得：
∴抛物线的表达式为．
（2）解：令，则，解得：或4，
∴，
令，则，即 ，
设的解析式为，
则有，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时，，
如图：作点E关于的对称点，则，连接，交与点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，最小，且最小值为，
∴．
（3）解：由（2）得点，
∴新抛物线由向右平移3个单位，向下平移3个单位得到，
∴，
过点D作交新抛物线于点，
∴，
运用待定系数法可得：直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：或（舍弃）
当时，，
∴，
作关于直线的对称线得交新抛物线于点，
∴，
设交x轴于点N，由旋转的性质得到，
过点D作轴，作轴于点M，作，
当时，，解得：，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
同理直线的解析式为，
联立，
解得：或（舍弃），
当时，，
∴，
综上，符合条件的点H的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质、待定系数法确定函数关系式、轴对称的性质、直角三角形的性质、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合是解题的关键．
9．(1)
(2)存在，最大值为4，P点的坐标为
(3)存在，Q点坐标为或
【分析】（1）把，代入解方程组即可得到结论；
（2）设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，得到，，根据二次函数的性质得到结论；
（3）利用勾股定理计算出，利用待定系数法可求得直线的解析式为，可设，分三种情况讨论：当时，当时，当时，然后分别解方程求出即可得到对应的点坐标．
【详解】（1）解：把，代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在，
抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点的横坐标为，过点作轴，
，，
，
当时，线段的值最大，这个最大值为4，
此时点的坐标为；
（3）解：由（2）直线的解析式为，
设，
当时，，
解得，（舍去）；
∴，
当时，，
解得：（舍去），（舍去）；
当时，，
解得，
∴．
综上所述，满足条件的点坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
10．(1)
(2)
(3)外部
【分析】（1）根据函数图象经过的两点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）先求出对称轴，得出点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，此时的值最小，即为的长求出即可．
（3）根据，得出的外接圆直径是，圆心是中点，求出圆心和半径，求出点到圆心的距离，与半径比较即可．
【详解】（1）解：将点代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴对称，
∴连接交对称轴于点，连接，此时的值最小，
设直线的解析式为，
代入得，解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
，
∴的最小值是，
，
，
∴的最小值为．
（3）解：∵，
∴的外接圆直径是，圆心是中点，即，
半径是，
根据题意点坐标是，
∴，
∵，
∴点在的外接圆的外部，
故答案为：外部．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、轴对称求最短路径、圆周角定理以及点与圆的位置关系、圆周角定理、三角形外接圆、勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及利用轴对称性质求出最短路线的长．
11．(1)；
(2)，
(3)；10
【分析】本题考查了二次函数的综合运用,待定系数法求解析式,面积问题,线段周长问题,正确记忆超过知识点是解题关键.
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求得E点的横坐标为，即可求解；
（3）根据对称轴为直线，设M点的横坐标为m，则，表示出矩形的周长，然后根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：将代入解析式得，解得
抛物线的解析式为 ，
∵，
∴顶点D得坐标为．
（2）解：将代入，
得，解得，，
．
，
点得横坐标为．
时，，
时，，
，；
（3）解：由抛物线可知对称轴为，
点P的横坐标为m，轴，
M点横坐标为m，
则， ,
∴矩形的周长
∴当时，矩形的周长最大值为10．
12．(1)；；
(2)；
(3)，，，．
【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的图象及性质、平行四边形的性质扥知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求得抛物线与直线的函数解析式即可；
（2）设点，则，再得出，然后利用二次函数的性质求最值即可；
（3）分平行于x轴和不平行于x轴两种情况，分别根据平行四边形的判定定理求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点，
∴，解得：，
∴这个二次函数的解析式为；
∵二次函数与y轴交于点C，
∴点C的坐标为
设直线的解析式为，
∵直线经过点
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：由（1）得，
设点，则，
∴
∴当时，最大，最大值是．
（3）解：存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．
假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．
①若平行于x轴，如图所示，有符合要求的两个点，，此时．
∵轴，
∴点M、点关于对称轴对称，
∴，
∴，
由，得到，；
②若不平行于x轴，如图：过点M作轴于G，
∵，
∴，
∴，，即，
设，则有，解得：，
又∵，
∴，
∴，．
综上所述，存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：，，，．
13．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把、代入，解方程组即可得到结论；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为，得到对称轴为直线，连接交对称轴于，则此时，，根据勾股定理即可得到结论；
（3）如图，过作轴交与，过作轴交延长线于，如图：由（2）知，二次函数的解析式为，设，由，得直线解析式为，得到，求得，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：把、代入得，
，
解得，
点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：由（1）知，二次函数的解析式为，
对称轴为直线，
点与点关于对称轴对称，
连接交对称轴于，
则此时，，
，点，
，
（负值舍去）；
（3）解：如图，
过作轴交与，过作轴交延长线于，如图：
由（2）知，二次函数的解析式为，
设，
设直线解析式为，由，得
，解得，
直线解析式为，
，
，
在中，令得，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
解得或．
或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
14．(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）代入和，直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点的坐标，得到的解析式，作交于点，轴交轴于点，交于点，通过证明是等腰直角三角形，得出，再设点P的坐标为，表示出的长度，解方程求出的值即可解答；
（3）将绕点顺时针方向旋转至，可得，，则，进而得到的解析式，结合图形和题意可知直线上存在符合题意的点，联立抛物线和直线的解析式得到一个点的坐标；连接、，过点作交于点，通过证明得到，结合图形和题意可知直线上也存在符合题意的点，再根据点在抛物线上可知点与点重合，得到另一个点的坐标，即可得出结论．
【详解】（1）解：代入和，得，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，
，
，
，
，
又，
，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得：，
直线的解析式为；
作交于点，轴交轴于点，交于点，
轴，
轴，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
由题意得，，
，
设点P的坐标为，则点N的坐标为，
，
解得：，
，
点P的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
令，则，
解得：，，
，
如图，将绕点顺时针方向旋转至，则，，
，
由（2）中的结论得，，
，
，
直线上存在符合题意的点，
设直线的解析式为，
代入和得，，
解得：，
直线的解析式为，
联立，
解得：或，
；
如图，连接、，过点作交于点，
，，
轴，
，，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，，
又，
，
，
，
，
直线上也存在符合题意的点，
又点在抛物线上，
点与点重合，即；
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，学会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解题的关键．
15．(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为
(2)的面积最大值是，此时E点坐标为
(3)的最小值是3
【分析】（1）由抛物线经过点，可求得a的值，由的面积为5可求出点D的纵坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；
（2）作轴交于M，如图，利用三角形面积公式，由构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作于点H，交x轴于点P，则，此时最小，求出最小值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴点A的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，即，
令，解得，，
∴，
∴，
∵的面积为5，
∴，
∴，代入抛物线解析式得，，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：过点E作轴交于M，如图，设，则，
∴，
∴
，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为；
（3）解：作E关于x轴的对称点F，连接交x轴于点G，过点F作于点H，交x轴于点P，
∵，，
∴，，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵E、F关于x轴对称，
∴，
∴，
∴当点在上时，最小，
∵，，
∴，
∴．
∴的最小值是3．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及求二次函数的解析式，二次函数与面积问题，三角函数的定义，轴对称的性质．
16．(1)
(2)，周长的最大值为
(3)或
【分析】（1）先求出，，再由可得点B的坐标，将点B的坐标代入可得出b的值，即可得抛物线的解析式；
（2）由，得直线解析式为，证明是等腰直角三角形，知，设，，则，根据二次函数性质可得答案；
（3）先由抛物线y的解析式得到新抛物线的解析式，再得出新抛物线的对称轴和点N的坐标，再由已知得，进而得，画出满足条件的点M，分两种情况，分别求出点M的坐标即可．
【详解】（1）解：令，则，
∴，，
∵，
∴，
将，代入得，，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴周长，
∴当取最大值时，的周长取最大值，
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，，
∴，
当时，有最大值，为2，此时，，
∴当时，的周长有最大值，为；
（3）解：∵，
∴将抛物线y竖直向下平移2个单位、水平向左平移2个单位长度得到新抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
当时，，即，
∴，
令，解得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，分以下两种情况：
当时，，
∴，
∴；
当时，和y轴交于点F，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
∴．
综上，点M的坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，全等三角形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
17．(1)
(2)1，
(3)或
【分析】（1）根据二次函数图象的对称性得出点，进而设抛物线的表达式为：，结合已知得出即可求解；
（2）设，得出，进而得出，则求得，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）当点在下方时，则轴，当点在上方时，设交轴于点，
根据，设点，由勾股定理建立方程，得出点，进而求得直线直线的表达式为：，联立平移后的二次函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，，
则点，
设抛物线的表达式为：，
，
解得：，
抛物线解析式为；
（2）对于，当时，，
，
，
，
如图所示，过点作于，设与轴交于，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
；
由抛物线的表达式知，顶点的坐标为，
设，
，，
，，
，
当时，有最大值，此时点的坐标为；
（3）将抛物线沿着射线方向平移个单位得到抛物线，相当于向右平移个单位向下平移个单位，
则平移后的抛物线表达式为：，
当点在下方时，
若，则轴，
当时，即，
解得：，
即点的横坐标为：；
当点在上方时，
设交轴于点，
，则，设点，
则，
解得：，即点，
设直线的表达式为，
由点的坐标为、点的坐标代入得，
解得：
直线的表达式为：，
联立上式和新抛物线的表达式得
解得：
即点的横坐标为：，
综上，点的横坐标为：或．
【点睛】主要考查了二次函数综合，二次函数的性质，二次函数图象的平移，角度问题；二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
18．(1)；；
(2)满足条件的的坐标为或或或；
(3)；
【分析】（）利用待定系数法求解即可；
（）设，先求出，则，再利用面积公式得出的值，然后代入二次函数解析式即可求解；
（）过点作轴交于，当最大时，的面积最大，也就是最大，设，则，则，当时，有最大值，即线段的长度最大，最大值为，然后代入即可求解；
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于点，与轴交于点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：设，
∵抛物线的解析式为，
∴令，则，
解得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
解得，，
∴或；
当时，，
解得，，
∴或；
综上所述，满足条件的的坐标为或或或；
（3）解：线段存在最大值，理由如下：
过点作轴交于，
当最大时，的面积最大，也就是最大，
∵直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴当时，有最大值，即线段的长度最大，最大值为，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∴的坐标为，
∴当线段的长度最大时，的坐标为，的最大值．
19．(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论；
（3）根据，，表示出，，再根据或列方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得，，
抛物线的解析式为．
，
抛物线的解析式为，顶点坐标为．
（2）解：令得，，
，
．
，
，
，
．
平行于轴，平行于轴，
，，
，
，
，
，
当的长度最大时，取最大值．
设直线的函数关系式为，
把，代入，得，
解得，，
直线解析式为，
设，则，
．
，
当时，最大，此时取最大值，，
；
（3）解：∵是以为腰的等腰三角形，
∴或，
由（2）可得，，，，
∴，，
当时，，
∴，即
整理得，
∵
∴，此时；
当时，，
∵，
∴
∴，此时；
综上所述，是以为腰的等腰三角形时，P点坐标为或．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，二次函数的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.
20．(1)
(2)点的坐标为或；
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，一次函数的解析式，函数与面积，周长综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先求出，，再运用待定系数法解二次函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（2）先求出以及，运用待定系数法解一次函数的解析式，设，则，再结合，进行列式计算，即可作答．
（3）根据点关于对称轴的对称点的坐标是，则连接交对称轴于一点，即为点Q，且连接，得出此时的周长最小，运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于，与轴交于点，
∴令时，则，
∴，
故，
∴令时，则，
∴，
故，
∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
∴把和分别代入，
得，
解得，
∴．
（2）解：如图所示：过点作直线轴，交于一点，
∵抛物线与轴交于两点，
∴，
解得
∴，
∴，
∵设的解析式为
把把和分别代入，
得
解得
∴，
设，
∵直线轴，交于一点，
∴，
∵是直线上方抛物线上一点，
∴，
∴
∵，
∴，
整理得，
，
解得，
把代入，得，
把代入，得，
∴点的坐标为或；
（3）解：存在，过程如下，
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
则点关于对称轴的对称点的坐标是，
连接交对称轴于一点，即为点Q，且连接，
∴，
则的周长，
此时的周长最小，
∵设的解析式为，
把把和分别代入，
得，
解得，
∴，
把代入，得，
即．