2025年中考数学复习提升训练：分式方程（含解析）

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2025年中考数学一轮复习提升训练：分式方程
一、单选题
1．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
2． 是下列哪个分式方程的根？（　　）
A． B．
C． D．
3．解分式方程 时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．1或
5．如果方程有增根，那么m的值等于（ ）
A． B．4 C．5 D．
6．若关于的分式方程的解为正数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数的值为（ ）
A． B．5 C． D．5或
7．若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．0 B． C． D．
8．甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．方程的根是 ．
10．若关于的方程无解，则的值为 ．
11．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于y的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数m的和为 ．
12．若关于x的一元二次方程有解，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ．
13．已知是正整数，关于的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有正整数的和为 ．
14．已知是关于的分式方程的解，则的值为 ．
15．已知关于的分式方程与的解相同，则的值是 ．
16．若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
三、解答题
17．解分式方程：
(1) (2)
18．先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程：，
解：两边同乘得：①，
去括号得：②，
移项得：③，
解得：④．
(1)以上解答有错误，错误步骤的序号是___________．
(2)请给出正确的解答过程．
19．已知关于的方程．
(1)若，解这个分式方程；
(2)若分式方程无解，求的值．
20．雨天汽车容易打滑．在一段的国道上，甲、乙两车同时从地相向而行，甲车因汽车打滑检查，停车检查了小时后，乙车与甲车相遇，此时，乙车比甲车多行驶．
(1)求甲、乙两车分别行驶了多少千米？
(2)相遇后，甲车修理完毕，之后按乙车的倍速度行驶，在乙车到达地前的小时到达地，求甲车相遇前的速度．
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《2025年中考数学一轮复习提升训练：分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B D A A B A B
1．D
【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以得，，
整理得，，
当，即时，方程为，方程无解，故分式方程也无解；
当时，，
∵分式方程无解，即产生增根，
∴，
∴，
解得；
经检验符合题意，
综上，的值为或，
故选：．
2．B
【分析】本题考查了分式方程的根和解法，掌握以上知识是解题的关键；
解分式方程步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，注意分式方程最后要写检验，分式方程分母不为，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可求解
【详解】解：A、，当时，分母为，错误；
B、，是该分式方程的根，正确；
C、，该分式方程根为，错误；
D、，当时，分母为，错误；
故选：B
3．D
【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可．
【详解】解：
去分母得，
故选：D
4．A
【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，先将关于x的分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的增根进行解答即可．
【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程为
解得，
由于原方程无解，即或，
∴分式方程有增根或，
∴或
∴，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
【详解】解：方程两边都乘，得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，．
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了解分式方程和完全平方式，求出y的值后注意检验．先解分式方程，再根据是一个完全平方式求出a的值，最后找出符合条件的值．
【详解】解：方程两边同时乘以得，
去括号得，
解得，
∵是一个完全平方式，
∴，
解得或，
∵关于y的分式方程的解为正数，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，先解不等式组，然后利用不等式组的解集求出a的范围，最后根据分式方程的解为正整数确定a的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵方程的解是正整数，
∴且，
∴且，
∴且，
∴能使y有正整数解的a为：0，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：0．
故选：A．
8．B
【分析】本题考查了分式方程的应用．设乙每小时做x个，则甲每小时做个，根据甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等，可列方程．
【详解】解：设乙每小时做x个，则甲每小时做个，
由题意，得：，
故选：B．
9．1，
【分析】本题考查解分式方程，用换元法求解是解题的关键．设，将原方程化为，解这个分式方程求出，再将代回所设方程，最后解关于的方程即可解答．
【详解】解：设，则原方程化为：，
解得，，
将代入得，，此方程无解，
将代入得，，解得，
经检验，是原方程的解，
故答案为：1，．
10．或
【分析】本题考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分为分式方程有增根、化简后的整式方程无解两种情况，据此即可求解．
【详解】解：
方程两边同时乘以得：，
解得：，
关于的方程无解，
或，
，，
当时，，
解得：，
综上所述：的值为或，
故答案为：或．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先根据一元二次方程有两个不相等实数解可得m的取值范围，再解分式方程得到且，最后结合整数解可得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实数解，
∴，且，
即且，
解关于y的分式方程，可得；
∴或或，
∵且，，y为整数，即，
∴或或，
∴足条件的所有整数m的和为：．
故答案为：．
12．4
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解分式方程等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及分式方程的解法是解题的关键．
由“关于x的一元二次方程有解”可得，解得，求解可得，由可得，由“关于y的分式方程有非负整数解”且及可得或或或，于是即可得出满足条件的所有整数a的和．
【详解】解：关于x的一元二次方程有解，
，
解得：；
，
解得：，
，
，
关于y的分式方程有非负整数解，且，，
为非负整数，且，，
，，，，
满足条件的所有整数a的和是：，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，解题关键是熟练掌握分式方程解的定义和解分式方程的一般步骤．先解关于的分式方程，再根据分式方程有非负整数解，列出关于的方程，解方程求出，然后根据是正整数，求出满足条件的所有正整数的值，再求出它们的和即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
分式方程有非负整数解，
且，
且，
是正整数，
或3，
满足条件的所有正整数的和为：，
故答案为：8．
14．
【分析】本题考查的知识点是根据分式方程解的情况求值，解题关键是理解分式方程的解．将分式方程的解代入分式方程中即可得解．
【详解】解：将代入分式方程中，得，
则，
解得．
故答案为：．
15．5
【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，解决本题的关键是熟练掌握解分式方程，先解，再将把代入，即可解答．
【详解】解：，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
关于的分式方程与的解相同，
∴将代入，得：
，
解得：，
故答案为：5．
16．21
【分析】本题考查不等式组整数解问题及分式方程整数解，根据不等式组有且只有两个奇数解求出一个的取值范围，再根据分式方程有整数解求出一个的取值范围，最后求和即可得到答案；
【详解】解：解不等式组得，
，
∵不等式组有且只有两个奇数解，
∴，即，
解分式方程得，，
∵关于的分式方程有整数解，
∴为整数，
而，则
∴或或9，
∴，
故答案为：．
17．(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，正确的计算，注意，最后要进行检验．
（1）将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（2）将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得，
检验：时，
∴原分式方程的解为；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
解得，
检验：时，，
∴原分式方程无解．
18．(1)①
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步 是解题的关键，注意不要丢了检验．
（1）根据等式的性质判断即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：以上解答有错误，错误步骤的序号是①，
故答案为：①．
（2），
两边同乘得：，
去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
（1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意；
（2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解．
【详解】（1）解：，
把代入分式方程，得，
方程两边乘，得，
整理得，，
解得，，
检验：把代入，
是原分式方程的解．
（2）解：，
当时，，
方程两边都乘最简公分母，得，
整理，得，
原分式方程无解，
，
解得，，
把代入，
当时，，
解得，；
当时，
解得，；
综上所述，．
20．(1)甲车行驶了千米，乙车行驶了千米
(2)千米小时
【分析】（）设甲车行驶了千米，则乙车行驶了千米，根据题意列出方程即可求解；
（）设乙车的速度为千米小时，则相遇后甲车的速度为千米小时，根据题意列出方程求出，得到乙车的速度，即可得乙车与甲车相遇时行驶的时间，进而得到甲车与乙车相遇时行驶的时间，据此即可求解；
本题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲车行驶了千米，则乙车行驶了千米，
由题意得，，
解得，
∴，
答：甲车行驶了千米，乙车行驶了千米；
（2）解：设乙车的速度为千米小时，则相遇后甲车的速度为千米小时，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴乙车的速度为千米小时，
∴乙车与甲车相遇时行驶的时间为小时，
∴甲车与乙车相遇时行驶的时间为小时，
∴甲车相遇前的速度为千米小时，
答：甲车相遇前的速度为千米小时．