2025年中考数学复习提升训练：实际问题与二次函数（含解析）

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2025年中考数学提升训练：实际问题与二次函数
一、单选题
1．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（ ）
A．2 B．1 C．20 D．5
2．掷实心球是多地高中阶段学校招生体育考试选考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．该男生在此项考试中的成绩是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是惠东县南湖公园喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为，则水柱的最大高度是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．
4．如图，钉子位于原点，钉子位于轴的正半轴上，与钉子距离为3个单位长度，将一根绳子系在钉子上，自由下垂，近似抛物线，则该抛物线表达式为（ ）

A． B．
C． D．
5．如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．下列说法正确的是（ ）
A．小球飞行时飞行高度为 B．小球飞行高度为时，小球飞行的时间是
C．小球飞行的最大高度达到 D．小球从飞出到落地要用
6．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，当水面上升时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，以的速度沿着方向运动，初始时点G与点B重合，当点F与点C重合时停止运动．在运动过程中，与正方形重叠部分面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A．B． C． D．
二、填空题
9．小明同学在校运动会铅球比赛中，某次掷铅球时，铅球行进高度与水平距离之间的关系是，则小明同学掷铅球的成绩是 ．
10．如图，已知A，B为抛物线上的两点，且轴．若是等边三角形，则边长为 ．
11．如图1所示，某乡村准备修建一条100m长的水渠．水渠的过水横截面是如图2所示的矩形．如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为 万元（用含t的代数式表示）；为了提高水渠的过水量，要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，水渠的深度为 m．
12．一名高尔夫球手击出一球，球飞出后的水平距离与球上升的高度满足关系．当球落到地面上时，它飞行了______米．
13．在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，小洋同学设计制作了“火箭”升空实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式．则“火箭”升空的最大高度为 米．
14．廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．己知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米．
15．体育课上投掷实心球活动，如图，小明某次投掷实心球，实心球出手后的运动过程中距离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，当实心球运动到点时达到最高点，那么实心球的落地点与出手点的水平距离为 米．
16．在中国河北省赵县有一座闻名遐迩的古桥——赵州桥，它是世界上现存年代最久远、保存最完整的巨大石拱桥之一，被誉为“中国第一古桥”．赵州桥是中国古代桥梁建筑的杰出典范，尤其是那道横断面呈抛物线型的大拱，仿佛在穿越时空向世人诉说着古老东方的智慧与辉煌．站在赵州桥上，我们观测到桥下的水面宽度恰好为，拱桥最高点 离水面的距离为，则当水位上升时，水面的宽度为 ．
三、解答题
17．秋水广场音乐喷泉是江西省南昌市红谷滩新区赣江边上的一道亮丽风景线，它不仅是城市景观的重要组成部分，也成为了市民休闲娱乐的好去处．音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边 ，音乐变化时，抛物线的顶点在直线 上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为
(1)若已知 ，且喷出的抛物线水线最大高度达 ，求此时，的值；
(2)若 ，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？
18．小明站在距离篮筐的水平距离的O处进行投篮试验，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），其中A点是篮球的出手点，篮球正好命中篮圈中心B．
(1)篮筐的高度是_________；
(2)如果篮球穿过篮筐中心后，无障碍的洛向地面，则着地点距离0点约为多少米？请通过计算回答．（精确到）
19．足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点O正前方9米的A处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
20．南昌某机械制造企业专攻精密零件市场，旗下拥有两条生产线，分别用于批量生产型和型零件．这家工厂每月固定产出总量为万件，产品一经上市便被抢购一空，显示出极强的市场需求．型零件因其高精度与复杂工艺，单件生产成本高达元人民币，但凭借卓越性能与品牌影响力，每件可以元的价格售出．相比之下，型零件虽在技术含量上略逊一筹，成本仅为元，却同样受到市场的欢迎，以元的单价热销．设生产零件万件．所获总利润万元．
(1)写出与的函数解析式；
(2)如果每月投入的总成本不超过万元，应该怎样安排，零件的产量，才能使所获的总利润最大？最大总利润是多少万元？
(3)该厂在销售中发现：某月零件售价每提高元，零件销量会减少万件，零件售价不变，不管生产多少都能卖出，在（）获得最大利润的情况下，为了获得更大的利润，该厂决定提高零件的售价，并重新调整，零件的生产数量，求零件售价提高多少元时，可获总利润最大？最大总利润是多少万元？
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《2025年中考数学一轮复习提升训练：实际问题与二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B A D C A B
1．A
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有，
∵
∴当时，有最大值．
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据待定系数法求出函数解析式，令，即，解得．
【详解】解：∵抛物线顶点为，
设函数表达式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴y关于x的函数表达式为：；
令，即，
解得（不合题意，舍去），
∴．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可．
【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为，
当时，水柱的最大高度是，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意得，得到抛物线的轴对称为直线，设该抛物线表达式为，把代入得到，于是得到结论．
【详解】解：根据题意得，
∴抛物线的轴对称为直线，
设该抛物线表达式为，
把代入得，
解得，
∴该抛物线表达式为，
即该抛物线表达式为，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的运用，掌握二次函数图象的性质，自变量、函数值的计算是解题的关键．
根据二次函数图象及解析式，代入计算即可求解．
【详解】解：当时，，故A选项错误，不符合题意；
当时，，
解得，或，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴当时，小球飞行的最大高度为，故C选项错误，不符合题意；
当时，，
解得，或，
∴小球从飞出到落地要用，故D选项正确，符合题意；
故选：D ．
6．C
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后求出函数的解析式，然后令求出相应的x的值，则水面的宽就是此时两个x的差的绝对值．本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，根据函数值求出相应的x的值．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为：，
∵函数图象过点，
∴，
得a，
∴抛物线的解析式为：，
当时，，
解得，，，
∴水面的宽度是：．
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查了列函数关系式．根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查动点函数图象问题，分3种情况，分别求出函数解析式，进行判断即可．
【详解】解：由题意，当点与点重合时：，当点与点重合时：，当点与点重合时：，
∴当时，如图，重叠部分为梯形，
由题意，得：是等腰直角三角形，
∴，
则：，，
∴；
此时函数图象为开口向下的抛物线的一部分；
当时，如图，重叠部分为，
∴，
此时图象为平行于轴的直线的一部分；
当时，如图，重合部分为的面积，
此时，
∴，
此时图象为开口向上的抛物线的一部分；
综上，符合题意的只有选项A；
故选A．
9．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，依据题意令，得到关于的方程，然后解方程并检验即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：令，则，整理得：，
解得：（舍去），，
∴小明同学掷铅球的成绩是，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查等边三角形性质，勾股定理，以及二次函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识．设等边三角形边长为，进而得到点B的坐标，结合勾股定理和等边三角形性质建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设等边三角形边长为，
A，B为抛物线上的两点，且轴．
，
，
，
整理得，即（不合题意，舍去）或，
解得或（不合题意，舍去），
即等边三角形边长为，
故答案为：．
11． 1
【分析】本题考查了二次函数与几何的综合，二次函数的性质，矩形的性质，列代数式，掌握二次函数的性质是解本题的关键．底面积和侧面积的总和即为修水渠的总价，设矩形的边，，矩形的面积为，把用表示出来，根据二次函数的性质求出当过水横截面面积最大时关系，最后求出即可求得深度．
【详解】解：依题意，如水渠底面与侧面的修建造价为100元，，则修水渠的总价为元万元，
设矩形的边，，矩形的面积为，依题意，得
，
，
当时，有最大值，
要使过水横截面的面积尽可能大，现有资金4万元，当过水横截面面积最大时，
，即，
水渠的深度为，
故答案为：
12．
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据题意可以得到当时，的值，即可得到答案．
【详解】解：，
当时，
，
解得，，，
当球落到地面上时，，
当球落到地面上时，它飞行了米，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数的最大值即可．
【详解】解：∵，
∵，
∴当时，有最大值，最大值，
∴火箭”升空的最大高度为米，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题．
利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面高为8米的点E，F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求长．
【详解】解：如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系，
由题意知，．
设过点A， B， C 的抛物线方程为，
把点的坐标代入，得
，
解得： ，
则该抛物线的解析式为：，
把 代入,得 ，
即 ，
∴，
所以两盏警示灯之间的水平距离为： ，
故答案为：
15．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数，二次函数与轴交点问题，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数与轴交点求法是解题的关键．先利用顶点结合顶点式得出，再令，即可求解．
【详解】解：∵当实心球运动到点时达到最高点，且抛物线函数解析式为，
∴抛物线函数解析式为，
令，得，
解得：，，
∴，
∴实心球的落地点与出手点的水平距离为米，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了二次函数的应用，设该抛物线的解析式是，由题意结合图象可知，点在函数图象上，求出解析式，然后把代入即可求解，准确理解题意，并能够用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
设该抛物线的解析式是，
由题意结合图象可知，点在函数图象上，
代入得：，解得：，
∴该抛物线的解析式是，
当水面上升了米，此时，
∴，解得：，
则此时水面的宽度是米，
故答案为：．
17．(1)，
(2)喷出的抛物线水线能达到岸边
【分析】本题考查二次函数的应用；
（1）根据抛物线的顶点在直线上，抛物线为，，且喷出的抛物线水线最大高度达，可以求得，的值；
（2）根据，抛物线的顶点在直线上，抛物线为，可以求得的值，然后令代入抛物线的解析式，求得的值，然后与作比较即可解答本题．
【详解】（1）解：∵的顶点为，抛物线的顶点在直线上，，抛物线水线最大高度达，
∴，，
解得，，，
即，且喷出的抛物线水线最大高度达，此时、的值分别是，；
（2）解：当
∴的顶点为，抛物线的顶点在直线上
∴
解得：或（舍去）
∴抛物线解析式为
当时，
解得：
∵
∴喷出的抛物线水线能达到岸边
18．(1)
(2)着地点距O点距离约为7.2米
【分析】此题考查二次函数的实际运用，利用函数的性质解决问题是解答本题的关键．
（1）把代入函数解析式求得篮筐的高度；
（2）令，求得x的正值，得出答案即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴篮筐的高度是；
（2）令，得，
解得：，（不合题意，舍去）．
所以着地点距O点距离约为7.2米．
19．(1)
(2)球不能射进球门
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法；
（1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，由待定系数法得设抛物线，即可求解；
（2）当时，求出的值与比较大小，即可求解；
掌握待定系数法，理解、的实际意义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线，
把点代入得：
，
解得∶，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
∴球不能射进球门．
20．(1)
(2)生产甲零件万件，生产乙零件万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是万元；
(3)甲零件售价提高元时，可获总利润最大，最大总利润是万元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据总利润单价利润零件数分别求出、零件的利润，然后求和即可得到答案；
（2）先根据总成本不超过万元求出，进而根据一次函数的性质求解即可；
（3）设零件的售价提高元，总利润为，根据总利润单价利润零件数求出关于的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：依题意，
（2）解：由题意得，，
解得，
∵，，
∴随增大而增大，
∴当时，最大，最大值为，
∴，
∴生产甲零件万件，生产乙零件万件时，可使所获的总利润最大，最大总利润是万元；
（3）解：设甲零件的售价提高元，总利润为万元，
由题意得，
，
∵，
∴当时，最大，最大为，
∴甲零件售价提高元时，可获总利润最大，最大总利润是万元．