宝安中学（集团）初中部2024-2025学年九年级下册开学检测
数学试卷
一、单选题（3×10=30分）
1．下列四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）
A．B． C． D．
2．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，弦，相交于点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形ABCD中，，点E，F分别在边AB，BC上，，，，则AD的长为（ ）
A． B．
C． D．
6．为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：），则该铁球的直径为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在一次夏令营活动中，小亮从位于点的营地出发，沿北偏东方向走了到达地，然后再沿南偏东方向走了若干千米到达地，测得地在地南偏西方向，则，两地的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为80米，的长为200米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ）
A．B．C． D．
10．如图，在矩形中，，，P为边上一动点，连接，过点D作于点E，与对角线交于点F．若，则的长为是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（3×5=15分）
11．一元二次方程的解为 ．
12．在同样条件下对某种小麦种子进行发芽实验：统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数（粒） 50 100 500 1000 2000 3000
发芽频数 47 96 475 951 1900 2850
发芽频率 0.94 0.96 0.95 0.951 0.95 0.95
如果播种该种小麦10000粒种子，那么估计有 粒发芽．
13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为6，则k的值等于 ．
14．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是 ．
15．如图，Rt△ABC中，，，，点在上，延长至点，使，是的中点，连接，则的长是
三、解答题（55分）
16．（10分）先化简，再求值
（4分）（1）（-1），其中x的值从不等式的正整数解中选取．
（6分）÷（a+2-），其中a2+3a-1=0．
17．（5分）明明和家人去西安旅游购买了甲、乙、丙、丁四个系列摆件，如图，甲系列有3个摆件，乙系列有1个摆件，丙系列有2个摆件，丁系列有3个摆件，每个系列各带有一个礼品盒（摆件均装入对应的礼品盒内），这四个礼品盒的外观和重量都相同．明明先让妈妈从四个礼品盒中随机选择一个拿走，再让爸爸从剩下的三个中随机选择一个拿走．
(1)妈妈拿走的礼品盒里装有3个摆件的概率是 ；（1分）
(2)请用画树状图或列表法，求妈妈和爸爸一共拿走4个摆件的概率．（4分）
（6分）阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点； 第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点． 由作图可知，， 四边形ABDC是平行四边形．（依据） ．（依据） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．
任务：
(1)填空：材料中的“依据”是指______；“依据”是指______．
(2)请将小明的证明过程补充完整．
(3)尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）（4分）
19．（7分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋的销售价（元）与该土特产的日销售量（袋）之间的关系如表：
（元） 20 25 30 …
（袋） 20 15 10 …
若日销售量是销售价的一次函数，试求：
(1)日销售量（袋）与销售价（元）的函数关系式；（2分）
(2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？（5分）
20．（8分）如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；（4分）
(2)在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径．（4分）
21．（9分）综合与实践．
【实践操作1】如图1，在矩形纸片内绘制一条抛物线（部分图象），抛物线与交于点，，顶点在上，取的中点，连结，．
【观测发现】与抛物线的对称轴平行，度量得，．
【实践操作2】如图2，连结交于点，记点到，的距离分别为，，此时．将抛物线向右平移，当时停止平移．
【探究结论】
(1)求的长．
(2)建立合适的直角坐标系，求平移前抛物线的表达式．
(3)根据（2）中建立的坐标系，求平移后抛物线的表达式．
22．（10分）定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形，，．
①若，于点，求的长；（3分）
②若，，求的长；（3分）
(2)如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长．（4分）
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数学试卷参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B D A B D A A C C
11． x
1
1 ， x 22 2
12．9500
13．﹣2
14．48
15． 13
解：如图，取 BD中点 G，连接 FG，FC．
∵点 F为 AD中点，
∴在 Rt△ACD中，CF=DF=AF，
∴∠FCD=∠FDC，
∴∠ECF=∠FDG．
∵CE= 12 BD，
∴DG=CE，
∴△FDG≌△FCE（SAS），
∴EF=FG．
∵在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，
∴由勾股定理得 AB AC2 BC2 42 62 2 13．
又∵在△ADB中，FG为中位线，
1
∴ FG AB 13，
2
∴ EF FG 13．
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故答案为 13．
x 1 1
16．（1） ，-2；（2） ， .
x 1 3a2 9a 3
x 2
（1 x 1）（ -1）÷ ，
x2 x x2 2x 1
x
1 x 1
2
= x x 1 × ， x 1 x 1
1 x 1 x 1=（ - ）× ，
x 1 x 1 x 1
x x 1
= × ，
x 1 x 1
x
= ，
x 1
x 1
解不等式组 x 1 得：-1≤x＜3，
1 2
x
当 x=2时，原式= =-2.
x 1
x
故答案为 ，-2.
x 1
a 3 5
（2） 2 ÷(a+2 )，3a 6a a 2
a 3 a 2 a 2 5 a 3 a- 2= 3a a 2 ÷ = × ，a 2 3a a 2 (a+ 3)(a- 3)
= 13a2 9a；
∵a2+3a 1=0，
∴a2+3a=1，
∴3a2+9a=3，
1
故原式= 3 .
1 1
故答案为 3a2 ， . 9a 3
1
17 1．(1) 2 (2) 3
（1）解：根据题意有 4个四个礼品盒，其中有 3个摆件的礼品盒有 2个，
∴妈妈拿走的礼品盒里装有 3 1个摆件的概率是： 2 ，
1
故答案为： 2 ．
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（2）画树状图如下：
由图可得，共有 12种等可能的结果，其中妈妈和爸爸一共拿走 4个摆件的情况有 4种，
4 1妈妈和爸爸一共拿走 4个摆件的概率 P ．
12 3
18．(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分
(2)证明过程补充完整见解析
(3)（答案不唯一）见解析
（1）解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
平行四边形的对角线互相平分
（2） BE AD，CF AD，
BEO CFO 90 ，
BOE COF ，
BO CO
BOE≌ COF AAS
BE CF
（3）
19．(1) y x 40
(2)每袋的销售价应定为 25元，每日销售的最大利润是 225元
（1）解：设日销售量 y（袋）与销售价 x（元）的函数关系式为 y kx b，
20 20k b
由题意得
15 25k b
，
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k 1
解得
b 40
．
所求函数关系式为： y x 40；
（2）解：依题意，设利润为w元，得
w (x 10)( x 40) x 2 50x 400
整理得w x 25 2 225
1 0
当 x 25时，w取得最大值，最大值为 225
每袋的销售价应定为 25元，每日销售的最大利润是 225元．
20．(1)①和②，③，真命题，证明见解析；（答案不唯一）
25
(2)
4
（1）解：选择①和②为条件，③为结论，且该命题为真命题．
证明：如图，连接 OD，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C．
∵OA=OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠C＝∠ODA，
∴OD / /BC ．
∵∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，即OD DE，
∴DE是⊙O的切线．
故答案为：①和②，③；（答案不唯一）
（2）解：如图，连接 BD，
∵AB为直径，
∴ ADB 90 ，即DB AC．
∵AB=BC，
∴AD=CD=5．
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ADB DEC 90
在△ABD和 CDE中 ，
A C
∴ ABD CDE，
AB AD AB 5
∴ ，即 ，
CD CE 5 4
25
∴ AB ．
4
25
故圆 O的直径为 ．
4
21．(1)4cm (2) y x2 4 (3) y x2 4x
（1）解：∵点 P是 AB的中点，
∴设 AP = BP = m> 0，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴ A B C D 90 ，
∵CD与抛物线的对称轴GH 平行，EF 2BE 4cm，
∴ AGH D 90 ， GHF = 180°- C = 180°- 90°= 90°，
HF 4= EH = BE = = 2cm， BH = BE + EH = 2 + 2 = 4cm，
2
∴ AGP+ PGH = 90°， A= GHF，四边形 ABHG是矩形，
∴GH = AB = AP+ BP = m+ m = 2m， AG = BH = 4cm，
∵ PGF 90 ，
∴ HGF + PGH = 90°，
∴ AGP = HGF，
∴ AGP∽ HGF，
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AG AP
∴ = ，
GH HF
4 m
= ，
2m 2
m2 4，
∴m 4 2
∴ AB 2m 2 2 4cm；
（2）解：如图，以 BC所在直线为 x轴，射线 BC方向为正方向，以 HG 所在直线为 y轴，
射线 HG 方向为正方向，建立直角坐标系，
∵点G是抛物线的顶点，由（1）得：GH = AB = 4cm，HF 2cm，
∴顶点G坐标为 0,4 ，点 F坐标为 2,0
∴设抛物线解析式为 y = nx2 + 4，
把 2,0 代入 y = nx2 + 4得： 4n 4 0，
解得： n 1，
∴平移前抛物线的表达式为 y x2 4；
（3）解：∵四边形 ABCD是矩形，
∴DG∥BF，
∴ DGQ∽ BFQ，
DG a
∴ = ．
BF b
平移前，由（1）得HF = EH = BE = 2cm， AG 4cm，
∴ BF = 2+ 2+ 2 = 6cm，
DG a 5
∵ ，
BF b 6
第 6页，共 10页
5 5
∴平移前，DG BF 6 5cm，
6 6
∴ AG = AG + DG = 4+ 5= 9cm；
设向右平移了 xcm，
∴平移后，DG 5 x cm， BF 6 x cm，
DG a 3
∵ ，
BF b 8
5 x 3
，
6 x 8
解得： x 2，
∴抛物线向右平移了 2cm，
2
∴平移后抛物线的表达式为 y x 2 4，即 y x2 4x．
22．(1)① 41；② 4 2 4 (2)满足条件的 AE的长为12
（1）解：①连接 AC，如图所示：
∵ AB BC 4， ABC 90 ，
∴ AC AB 2 BC 2 4 2，
∵ AC CD，
∴ ACD=90 ，
∴ AD AC 2 CD 2 4 2 2 32 41 ；
②连接 AC、 BD，交于点 F ，过点 C作EC BC，交 BD于点 E，如图所示：
则 BCE 90 ，
∵ AB BC 4， ABC 90 ，
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1
∴ BAC ACB 90 45 ，
2
∴ ECF 90 45 45 ，
∵ AB BC， AD CD，
∴ B、D在线段 AC的垂直平分线上，
∴ BD垂直平分 AC，
∴ AF CF， CFD CFB 90 ，
∵ AD CD，
1 1
∴ CDF ADC 45 22.5 ，
2 2
∴ DCF 90 22.5 67.5 ，
∴ ECD DCF ECF 67.5 45 22.5 ，
∴ ECD CDE，
∴CE DE，
∵ AB BC， AF CF，
CBF 1∴ ABC 45 ，
2
∵ BCE 90 ，
∴ BEC 90 45 45 ，
∴ BEC CBE，
∴CE BC 4，
∴DE CE 4， BE BC2 CE2 4 2，
∴ BD BE DE 4 2 4．
（2）解：∵四边形 ABCD为矩形，
∴ AB CD 6， AD BC 15， ABC BCD CDA BAD 90 ， AD∥BC；
若 EF BC时，如图所示：
则四边形 AEFB和 DEFC为矩形，
∴ EF AB 6，DE CF， AE BF，
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∵ AD∥BC，
∴ DEP∽ BFP，
DE DP 1
∴ ，
BF BP 2
∵DE BF DE AE 15，
∴DE 5，BF 10，
∴ AE BF 10，
∴ AE EF ， BF EF ；
∴四边形 ABFE不可能是等腰直角四边形；
若 EF与BC不垂直，当 AE AB时，如图所示：
∵ AE AB 6，
∴DE AD AE 15 6 9，
∵ AD∥BC，
∴ DEP∽ BFP，
DE DP 1
∴ ，
BF BP 2
∴ BF 2DE 2 9 18，
∵18 15，
∴此时点 F不在边 BC上，不符合题意；
若 EF与BC不垂直，当BF AB时，如图所示：
此时四边形 ABFE是等腰直角四边形，
∴ BF AB 6，
∵DE∥ BF，
∴ DEP∽ BFP，
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DE DP 1
∴ ，
BF BP 2
1
∴DE BF 3，
2
∴ AE AD DE 15 3 12，
综上所述，满足条件的 AE的长为12．
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