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第一单元 三角形的证明全章复习
1.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【答案】C
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，点D为垂足，连接EC．如果BC=6，△BCE的周长是17，那么AB的长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．5
【答案】B
【解答】解：∵AC的垂直平分线交AB于E，点D为垂足，
∴CE＝AE，
∴BE+AE＝BE+CE＝AB，
∵△BCE的周长是17，
∴BC+CE+BE＝17，
∵BC＝6，
∴BE+CE＝17﹣6＝11，
∴AB＝11，
故选：B．
3.如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件结合三角形的周长计算．
【详解】解：的周长，
又垂直平分，
，
故，
，
．
故答案为：．
4.如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质求出，然后利用线段和差关系求解即可．
【详解】解：∵垂直平分交于点E，，
∴，
又，
∴，
故选：A．
5.如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点．
(1)求证：．
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析;
(2)是等边三角形，理由见解析．
【分析】（）先证明，再推出是等腰三角形，由三线合一可证；
（）先证明，再根据，即可证明是等边三角形；
本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵
∴是等腰三角形，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形，理由如下：
∵，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形．
6.如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧．
(1)若，，求的度数；
(2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值．
【答案】(1)；
(2)，3；
【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
（1）证明，进而解答即可．
（2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）解：在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
（2）解，
，
，，，
，
当时，x最小，最大，，
，，
，
，
时，有最大值，即．
7.如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）．
(2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长．
【答案】(1)
(2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析
(3)5
【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得 ，然后证，得，即可得出结论；
（2）过点作 ，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论；
（3）过点作 ，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，
∵是等边三角形，点是的中点，
∴平分，，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
（2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：
如图，过作 交于，
∵是等边三角形，
∴，，
∵ ，
∴， ，即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
（3）解：过点作 ，交的延长线于点，如图所示：
∵是等边三角形，
∴，，
∴， ，
即，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点1 等腰三角形】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
3．等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
4．等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
【知识点2 直角三角形】
1.直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.
2.直角三角形性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
3.直角三角形判定
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【知识点3 线段的垂直平分线、角平分线】
1．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
（3）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
4．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
1.如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：由图可知，∵AC＝BC，∴△ABC为等腰三角形，
∵∠C＝36°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠C＝36°
∴△CBD为等腰三角形，
∵∠BDA＝∠C+∠CBD＝72°＝∠A
∴△BAD均为等腰三角形，
∴图中三角形共有三个．
故选：B．
2.如图，点E在等腰△ABC的底边上的中线AD上，且BE⊥CE，若∠ABC＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】D
【解答】解：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBD＝70°﹣45°＝25°，
故选：D．
3.如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为18°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．42° C．36° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝60°．
∵l∥m，
∴∠1＝∠ABC+18°＝78°．
∴∠α＝180°﹣∠A﹣∠1
＝180°﹣60°﹣78°
＝42°．
故选：B．
4.如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D
5.如图，直线，于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据平行线的性质得，则有，再根据垂直的定义得，然后利用，计算的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
6.如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键．连接，根据等腰直角三角形的性质以及得出，将四边形的面积转化为三角形的面积再进行求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，，点D是中点，
∴
∴，
∴
又∵
∴
故选：C
7.如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理的应用．由题意可知点O为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵点O到三边距离相等，
∴点O为的三条角平分线的交点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8.（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在中，为中点，且交于点E，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，，
，
为中点，且交于点，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，
∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∴BD＝BC＝×4＝2，AB＝2BC＝2×4＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6．
故选：B．
10.如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为 ．
【答案】2
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=，求得，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴∠A+∠ABC=，
∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=，
∴，
∵，
∴AD=BD=2CD=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11.定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由你学过的哪一条基本事实推理证明得到？ ．
【答案】两点之间线段最短
【分析】本题考查了三角形的三边关系及线段的性质，熟记线段性质是解题的关键；
根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】如图：
以第三边为例
由图可知，三角形的两边之和为：，
相当于从A点到C点经过的距离为：，
两点之间，线段最短，
从A点到C点最短的距离应为，
其余边同理可得：，，
定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由基本事实：两点之间线段最短加以解释．
故答案为：两点之间线段最短．
12.如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形性质，线段的和差，根据垂直平分线的性质和三线合一得到，，继而结合的周长得出，即可求出结果．
【详解】解：，，
，
垂直平分，
，
的周长为，
，
，
，
解得，
故答案为：．
13.如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ．
【答案】
【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．
【详解】解： 的垂直平分线交于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．
14.如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ．
【答案】
【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．
【详解】解： 的垂直平分线交于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．
15.如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，
是等边三角形，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为5．
故答案为：5．
16.如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．
【答案】见解析
【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴∠B=∠C，
∵，，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴．
【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
17.如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
【答案】（1）∠EBC＝∠EDC＝30° （2）△ABC是等边三角形．
【解答】解：（1）∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°．
∵∠ECB＝∠CED+∠EDC，
∴∠EDC＝30°，
∵EB＝ED，
∴∠EBC＝∠EDC＝30°．
（2）证明∵CE＝CD，
∴∠D＝∠DEC，
∴∠ECB＝∠D+∠DEC＝2∠D．
∵BE＝DE，
∴∠EBC＝∠D．
∴∠ECB＝2∠EBC．
又∵BE⊥CE，
∴∠ECB＝60°．
∵BE⊥CE，AE＝CE，
∴AB＝BC．
∴△ABC是等边三角形．
18.如图，中，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．
（1）由“”即可证；
（2）由直角三角形的性质可得，，从而得出再由“”可证，可得，再证明即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19.如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可；
（）由点是中点得，又，从而求解；
此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点是中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20.如图，点D、E在的边上，，．
(1)求证：．
(2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形．
【答案】(1)详见解析
(2)除与外所有的等腰三角形为：
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质证明结论即可；
（2）由题意求出，再求出其他角的度数，即可得到答案．
【详解】（1）证明：过点A作于点F，
，
，
，
，
；
（2）证明：解：，
，
，
，
，
，
，
，
除与外所有的等腰三角形为：．
21.（23-24八年级·重庆渝北·期末）已知，和都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，交于O点，连接，求证：平分．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理；
（1）由等边三角形的性质得，，，由可判定，由全等三角形的性质即可求证；
（2）作于，于，由全等三角形的性质得，由角平分线的判定定理即可求证；
掌握全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，
，
，
，
即，
在和中
，
（），
；
（2）证明：如图，作于，于，
，
，
平分．
22.如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．
(1)求的度数；
(2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】（）通过证明得出 ，再由即可推出结果；
（）过点作，垂足为，通过证明 得出，再根据含的直角三角形性质推出即可得出结论；
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理和含 角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：过点作，垂足为，
∴.
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
23.如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答；
（）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：在中，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴的长为．
1.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（ ）
A．3 cm或5 cm B．3 cm或7 cm C．3 cm D．5 cm
【答案】C
【解答】解：①3cm是腰长时，底边＝13﹣3×3＝7cm，
此时，三角形的三边分别为3cm、3cm、7cm，
∵3+3＝6＜7，
∴不能组成三角形；
②3cm是底边时，腰长＝（13﹣3）＝5cm，
此时，三角形的三边分别为5cm、5cm、3cm，
能够组成三角形，
综上所述，该等腰三角形的底长为3cm．
故选：C．
2.（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm．
【答案】8
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握线段垂直平分线的性质成为解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长公式可得、、即，然后将整体代入即可解答．
【详解】解：∵点D刚好落在的垂直平分线上，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴的周长为，
∴，即，
∴，即
∴．
故答案为：8
3.（2024·广东广州·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】此题考查角平分线的性质定理，等腰三角形三线合一，直角三角形的性质以及勾股定理．直角三角形30度角所对直角边长度是斜边的一半，角平分线上的点到角两边的距离相等，综合运用以上知识是解题的关键．
先过D点作于E，再利用角平分线的性质定理得，然后根据等腰三角形的性质得到，计算得出，得到的长，再由勾股定理得到的长，即可求解．
【详解】解：过D点作于E，如图所示，
，
，
又，是的角平分线，，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
4.（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于点D到的距离的长度，然后根据勾股定理求出，最后根据等面积法求解即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高，，
∴，
又，
∴，
设点E到直线的距离为x，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分定理，勾股定理等知识，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5.如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ．
【答案】
【分析】此题考查线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
利用线段垂直平分线的性质得，再利用已知条件结合三角形的周长计算．
【详解】解：的周长，
又垂直平分，
，
故，
，
．
故答案为：．
6.将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．
【答案】如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形
【分析】本题主要考查了将命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论，命题的逆命题是如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．
【详解】解：题设为：一个三角形是等腰三角形，结论为：它的两腰上的中线相等，
故逆命题写成“如果…那么…”的形式是：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形，
故答案为：如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．
7.下列命题可以作定理的有 个．
①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
【答案】2/两
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．
首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④、⑤是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
【详解】解：①2与6的平均值是4，故此命题是假命题，不是定理；
②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；
③把5代入方程，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；
④三角形的内角和为，是经过证明的是真命题，故是定理；
⑤等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；
综上所述：③和④是定理，共2个．
故答案为：2．
8.如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的轴对称性、最短路径问题，先过C作于H，根据角平分线的轴对称性，可作N关于对称点，连接，则，由得当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，利用三角形的面积公式求得，进而可求解．
【详解】解：∵平分，如图，过C作于H，作N关于对称点，
∴在上，
连接，则，当C、M、共线且时，取等号，此时值最小，最小值为的值，
∵在锐角三角形中，，的面积为7，
∴，
∴ ，
即的最小值为，
故答案为：．
9.如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形
【分析】（1）分别求出的长可知，再由等边三角形的性质得到，即可证明是等边三角形；
（2）分当时和当时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可，
本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下；
由题意得，当时，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解；∵运动时间为，
∴，
∴，
如图1所示，当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图2所示，当时，
同理可得，
∴，
∴，
解得；
综上所述，当点P的运动时间为2s或4s时，是直角三角形．
10.已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理．
（1）根据等边三角形性质得出，，，求出，证即可；
（2）根据全等求出，进而求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可；
（3）求出，根据证，推出，求出即可．
【详解】（1）证明：、都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中
，
，
．
（2）解：，
，
等边三角形，
，
，
，
（3）证明：，
，，，
又点、分别是线段、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，
，
是等边三角形．
11.如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)求证：直线是线段的垂直平分线；
(2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)当为钝角时，；当为锐角时，
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
（1）连接，，，可得为等边三角形，再利用证明，得，从而证明结论；
（2）分为钝角和为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，，，
点与点关于射线对称，，
，，
，
，
为等边三角形，，
，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
又，
垂直平分；
（2）解：解：如图，当为钝角时，由（1）知，
，
如图，当为锐角时，
，，
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第一单元 三角形的证明全章复习
1.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，点D为垂足，连接EC．如果BC=6，△BCE的周长是17，那么AB的长为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．5
3.如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ．
4.如图，D为上一点，垂直平分交于点E，已知，，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．18
5.如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点．
(1)求证：．
(2)若，试判断的形状，并说明理由．
6.如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧．
(1)若，，求的度数；
(2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值．
7.如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）．
(2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长．
【知识点1 等腰三角形】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．
（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
2．等腰三角形的判定
判定等腰三角形的方法：
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
3．等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ．
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
4．等边三角形的判定
定等边三角形的方法：
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5．含30°角的直角三角形的性质
一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题．
【知识点2 直角三角形】
1.直角三角形全等的判定
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理简称为“斜边、直角边”或“HL”.
2.直角三角形性质
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
3.直角三角形判定
有两个角互余的三角形是直角三角形.
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
【知识点3 线段的垂直平分线、角平分线】
1．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．
（3）与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
4．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
1.如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2.如图，点E在等腰△ABC的底边上的中线AD上，且BE⊥CE，若∠ABC＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3.如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为18°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．42° C．36° D．30°
4.如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
5.如图，直线，于点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6.如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ ）
A．18 B． C．9 D．
7.如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（ ）
A． B． C． D．
8.（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在中，为中点，且交于点E，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10.如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为 ．
11.定理“三角形的任意两边之和大于第三边”可以由你学过的哪一条基本事实推理证明得到？ ．
12.如图，在中，E是上一点，，垂直平分，于点D，的周长为，，则的长为 ．
13.如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ．
14.如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为 ．
15.如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ．
16.如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：．
17.如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA＝EC．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求证△ABC为等边三角形．
18.如图，中，于点D．
(1)求证：；
(2)过点C作于点E，交于点F，若．求证：．
19.如图，在中，，点为上一点，过点作于点．
(1)当平分，且时，求的度数；
(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．
20.如图，点D、E在的边上，，．
(1)求证：．
(2)若，直接写出图中除与外所有等腰三角形．
21.（23-24八年级·重庆渝北·期末）已知，和都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，交于O点，连接，求证：平分．
22.如图，在等边中，点、分别在边、上，，线段、交于点，连接．
(1)求的度数；
(2)当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
23.如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线．
(1)若，求的度数．
(2)若，，求的长．
1.等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（ ）
A．3 cm或5 cm B．3 cm或7 cm C．3 cm D．5 cm
2.（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为的中，截出了一个周长为的，发现点D刚好落在的垂直平分线上，请问的长是 cm．
3.（2024·广东广州·二模）如图，在中，，是的平分线，若，，则的面积为 ．
4.（2023·广东广州·中考真题）如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点E到直线的距离为____________．
5.如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，若的周长为，则的长为 ．
6.将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．
7.下列命题可以作定理的有 个．
①2与6的平均值是8；②能被3整除的数能被6整除；③5是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
8.如图，在锐角三角形中，，的面积为7，平分，若M，N分别是，上的动点，则的最小值为 ．
9.如图，是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．
(1)当点P的运动速度是，点Q的运动速度是，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当时，判断的形状，并说明理由；
(2)当它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，是直角三角形？
10.已知：如图，、都是等边三角形，、相交于点，点、分别是线段、的中点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求证：是等边三角形．
11.如图，，点与点关于射线对称，连接．点为射线上任意一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
(1)求证：直线是线段的垂直平分线；
(2)点是射线上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
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