大庆市 2025 届高三年级第二次教学质量检测
数学答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D B C A C B
1.【解析】 由已知 z a 2 (a 2)i为纯虚数， 2 a 0， a 2，故选 A.
1 1 1
2. 【解析】 设 f (x) x ，则 2 4 a 即 f (x) x 2 ， f (3) 32 3，故选 B.
2
3.【解析】 由等比数列性质，得 a4a
9
6 a3a7 a7 ，故选 D.， 2
4.【解析】 对于 A选项，若 / / ,m ,n ，则m,n可能平行或异面，A错误；
对于 B选项，若m ，则m垂直于 内得任意直线， n / / ， m n，B正确；
对于 C选项，若m / / ,n / / ，则m,n可能平行或相交或异面，C错误；
对于 D选项，若 ,m ，则m / / 或m ，D错误；故选 B.
M (x, y) k k 3 y y 35.【解析】 设 ，则由已知得 AM BM ， (x 2)4 x 1 x 2 4
x2 y2
化简得 1(x 2)，故选 C.
4 3
5 1
6.【解析】 sin cos 0 sin cos 0 且平方得1 2sin cos
5 5
sin 2 2sin cos 4 . 又cos2 cos2 sin2 0 3 cos 2
5 5
tan 2 4 ，故选 A.
3
7.【解析】 设 g(x) x f (x)，由 f (x)为奇函数可知 g(x)为偶函数
因为任意的 x1, x2 0, ， x1 x2，都有 x1 x2 x1 f (x1) x2 f (x2 ) 0
所以 x (0, )时， g(x)单调递减，由对称性可知 g(x)在 ( ,0)上单调递增.
因为 f 1 2，所以 g 1 2
若 x 0，则 f (x) 2 化为 x f (x) 2，即 g(x) g(1)，由单调性可知0 x 1 .
x
若 x 0，则 f (x) 2 化为 x f (x) 2，即 g(x) g( 1)，由单调性可得 x 1.
x
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}
综上， x , 1 0,1 . 故选 C.
8.【解析】设数列 an 公差为 d ，则直线 anx an 2y an 5 0可化为
anx (an 2d )y an 5d 0 . 即 (x y 1)an (2y 5)d 0 .
3
直线过定点D( , 5 )，当CD AB时，弦长 AB 最小，此时 ACB最小.
2 2
C(1, 2) CD 2 . 又半径 r 1
2
cos ACD 2 ACD ACB . 故选 B.
2 4 2
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9 10 11
ACD AC BCD
9.【解析】对于选项 A，由 a b a b cos a,b 可知，当 a b时 a b 0 .故 A正确
对于选项 B，由 a / /b可知， a与b共线，不一定 a b .故 B错误.
2 2 2 2
对于选项 C，由 a b a b 得 a 2a b b a 2a b b ，即 a b 0 a b .故
C正确.
对于选项 D，由投影向量定义可知 a在b方向上的投影向量为
b
a cos a,b a a b b
a b
a b b . 其模长为 .故 D正确. 故选 ACD.
b a b b b b b
T 10【. 解析】由 f f 0且 x , 都有 f (x)同号可知
6 3 6 3 2 3 6 2
2
T w 2 又 f 0 sin
3
0
3
由0 得 f (x) sin 2x
2 3 3
f 0 f (x) 由 知 关于 ,0 对称，故 A正确.
3 3
x 0, 2x 2 当 时， ，此时 f (x)先增后减，故 B错误.
6 3 3 3
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}
f (x) 2cos 2x
. 令 f (x) 1得 x k 或 k ,k z ，
3 3
3
其中， x 0时 f (0) . f (x)在 x 0处得切线为 y x 3 ，故 C正确.
2 2
由 x (0,m) 得 2x 2m .
3 3 3
17 25 5 23
由已知令 2m 得 m .故 D错误. 故选 AC.
6 3 6 4 12
11. 2【解析】对于 A选项.[g(x)] [ f (x)]2 [g(x) f (x)] [g(x) f (x)]
1 2e x 1 2e x 1.故 A错误.
2 2
y g(x) e
x e x e 2x 1 2
对于 B选项. 1
f (x) e x e x e 2x 1 e 2x 1
当 x 0 2x 2 时， e 1， 0 1
e2x 1
0 2 1 2x 1， y有最小值 0.故 B正确.e 1
对于 C选项.设 h(x) g(x) x 1 (e x e x) x ，
2
h (x) 1 (ex e x ) 1 1 2 1 0 h(x)在 (0, )上单调递增
2 2
h(x) h(0) 0 .即 g(x) x
f (x) 1 (e x 1又 e x) x，当 x 0时， f (x) (e e x) 0 ，
2 2
f (x)在 (0, )上单调递增， f [g(x)] f (x) .故 C正确.
对于 D选项.当 x ( 1,0)时， x 2 (1,2)， g(x 2)在 ( 1,0)上单调递增
f ' (x) 1 (e x e x) 在 x ( 1,0)时 f ' (x) 0，即 f (x)在 ( 1,0)上单调递减.
2
设F(x) g(x 2) f (x)，可知F(x)在 ( 1,0)上单调递增
1
F ( 1) g(1) f ( 1) e e e e
1
e 1 0
2 2
2 2
F (0) e e g(2) f (0) 1 0 ， F( 1) F(0) 0
2
x0 ( 1,0)使F (x0 ) 0，即 x0 ( 1,0)使 g(x0 2) f (x0 ) .故 D正确. 故选 BCD.
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
5 6 5 2
12. 13. 14. 2
2 2 ； 3
12.【解析】
y 2x , x 1,0,1 y 1 ,1,2 . 即 B
1 ,1,2 A B 1,0,
1 ,1,2
2 2 2
1 5
A B的所有元素之和为 1 0 1 2 .
2 2
13.【解析】
由双曲线的对称性，可知四边形MF1NF2 为平行四边形，又 MN F1F2 ， 四边形
MF1NF2 为矩形，设 MF1 m, MF2 n，则m n 4b，|m n | 2a，两个方程平方后
相加得m2 n2 8b2 2a2，在直角三角形MF1F2中m2 n2 4c2 ，所以8b2 2a2 4c2 ，
c 6
化简得 a2 4b2 2c2 ，由b2 c2 a2得 .
a 2
14.【解析】
取正方形 A1B1C1D1的中心为O1 ，正方形 ABCD的中心为O，连接 A1O1, AO,OO1 ，则
OO1 平面 ABCD .过点 A1作 A1H AO 于点 H ，则 A1H // OO1 ，所以 A1H 平面
ABCD，且四边形 A1O1OH 为矩形，
AB 2A1B1 4 2 A1B1 2 2， A1O1 2, AO 4
AH 2 .在 Rt A1AH 中， A1A 6 ， A1H 6 4 2
即该正四棱台的高为 2 .
连接 PH ，在 Rt A1HP中， PH A1P
2 AH 21 10 2 2 2
点P的轨迹为以H为圆心，2 2 为半径的圆在正方形 ABCD内的部分，即M N .过点H
作 HE AB于点 E，过 H 作 HF AD于点 F ，则 HE HF 2 .在 Rt NFH 中，
cos NHF FH 2 1 NHF .同理 EHM
NH 2 2 2 3 3
NHM 2 5
3 3 2 6
5 5 2
M N 的长度为 2 2
6 3
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}
P 5 2 故点 的轨迹长度为
3 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13分)
BC AC
解：（1）在 ABC中，由正弦定理得
sin A sin B
3 6
sin B
2
sin sin B 2
6
B (0, ) B 3 或 .
4 4
又 cosC 0 C为钝角
B . .............................................5 分
4
（2）由（1）可知C A B 7 .
12
f (x) 2sin(x C) sin(x C) 3sin(x C) 3sin(x 7 )
12
0 x 7 7 5 x
12 12 12
当 x 7 5 ，即 x 时 f (x)max 3sin
5
3sin( )
12 12 12 4 6
3(sin cos cos sin ) 3( 2 3 2 1) 3 6 3 2 ............13 分
4 6 4 6 2 2 2 2 4
16. (本小题满分 15分)
解：（1） f (x) (ax 1)e x f (x) (ax a 1)e x
由已知 f (0) 0， f (0) a 1 0 a 1 ..........................3 分
又当 a 1时 f (x) xe x ，令 f (x) 0得 x 0
且当 x 0时 f (x) 0， f (x)在区间 ( ,0)上单调递增，
x 0时， f (x) 0， f (x)在区间 (0， )上单调递减.
f (x)在 x 0处取得极大值.
综上， a 1 . .............................................7 分
（2）问题等价于存在 x使得m f (x) x .
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}
g(x) f (x) x (1 x)e x x g (x) xe x设 ，则 1
当 x 0时， g (x) 0， g(x)在 (0, )上单调递减
g(x) g(0) 1，故m的范围是（ ，1）. .............................................15 分
17.(本小题满分 15分)
S
解：（1）由题意得， 1
S 1 n 1
1, n 1 (n 1)
a1 an 2 2
2Sn (n 1)an ..............①，当 n 2时， 2Sn 1 nan 1 ..............②
由①-②得 2an (n 1)an na
a n
n 1 ，即
n (n 2)
an 1 n 1
a2 a3 a 4 a n 2 3 4 n
a1 a2 a3 an 1 1 2 3 n 1
a
n n， an n（ n 2）.a1
又 n 1时， a1 1满足 an n， an n ............................................7 分
n 2，n为奇数，
a n
2 n
（2）由 n n得bn Sn .
3n，n为偶数， 2
n n
1
n n
1 n 2
①当n为偶数时，Tn ( 1)
2 2 n 2n n 2 6 2 2 6
2 2 2 2 2
2 2 2
此时，T S 2n n n n nn n 0，故Tn S2 2 2 n
2 2
②当 n为奇数时，Tn T b
2(n 1) n 1 n 2 2n n 3n 1 n 2 2
T S 2n
2 n 3 n2 n (n 3)(n 1)
n n 02 2
综上，当 n 3时，Tn Sn . .............................................15 分
18.(本小题满分 17分)
（1）证明：
四边形 ABCD为正方形
AB//CD
又 AB 平面 PCD，CD 平面 PCD
AB// 平面 PCD
又 AB 平面 PAB，平面PAB 平面 PCD l
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}
l//AB .............................................5 分
（2）取 BC中点 N ，连接ON，则ON OA
PO 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，ON 平面 ABCD
PO OA，PO ON
以O为原点，OA,ON ,OP所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则 P(0,0, 3)， B(1,2,0)，C( 1,2,0)，M (0,1, 3)， A(1,0,0)
PB (1,2, 3)，BC ( 2,0,0) .设平面 PBC 的一个法向量为 n (x1, y1, z1)
PB n 0 x1 2y1 3z 0则 ，得 1 ，取 n1 (0, 3,2)
BC n 0 2x1 0
MP (0, 1,0)
点M 到平面 PBC |MP n | | 3 | 21的距离为 .
| n | 7 7
.............................................11 分
（3）存在点E 42，使得直线 PQ与平面 AEC所成的角的正弦值为
14
QA QB QC QD，且平面 ABCD为正方形，
点Q在平面上的射影是 ABCD的中心，可设Q(0,1,h)
则 PQ AQ， 1 (h 3)2 1 3 1 h2，解得 h .
3
Q(0,1, 3
) 2 3即 ， PQ (0,1, )
3 3
设PE PB， [0,1]， E( , 2 , 3 3 )， AE ( 1,2 , 3 3 )
AE n 0
AC ( 2,2,0)，设平面 AEC的一个法向量为 n2 (x , y , z )
2 2 2 ，则
2
AC n2 0
( 1)x2 2 y2 ( 3 3 )z 0 2 n (1,1, 3 1得 ，取 )
2x2 2y
2
2 0 3 3
设直线 PQ与平面 AEC所成的角为
2 3 3 1
PQ n 1 2 3 3 3
sin | cos PQ n2 |
42
PQ n 142 1 2 3 ( )2 1 1 ( 3 1 )2
3 3 3
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}
27 2 66 19 0 (3 1)(9 19) 0 1 19化简得 ，即 ， 或 (舍).
3 9
存在点 E为 PB上靠近点 P的三等分点，使得直线 PQ与平面 AEC所成角的正弦值为
42
. .............................................17 分
14
19.(本小题满分 17分)
1 2
解：（1） y x y
1
x
4 ， 2
y | 1x m m2
m
点Q处的切线方程为 y n (x m)
2
即mx 2y 2n 0 . .............................................4 分
（2）①设B(x1, y1),C(x2 , y2 ), A(x0 , y0 ),M (xM , yM ),E(x E, y E)
则由（1）可知直线 AB为 x1x 2y 2y1 0
直线 AC为 x2x 2y 2y2 0，由 A在 AB上，同时 A在 AC上可知
x1x0 2y0 2y1 0
直线 BC的方程为 x0x 2y0 2y 0
x2x0 2y0 2y2 0
1
即 y x0x y2 0
k k 1 B1C 1 BC x2 0
又直线 B1C
x
的斜率为 M1 2
1 x 1
2 0
x
2 M
，即 x0 xM
1 2
又 E在 BC上， yE x0 y2 0
y 1 x 2 y 1 2M ，4 0 0
yE x0 2y2 M
即 A、M 、 E三点的纵坐标成等差数列. .............................................12 分
1
②由①可知 S AB C S1 1 4
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}
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S 1 1 1 B B B S C C C S B BM S C CM (S S
1 1 1
1 2 3 1 2 3 4 1 4 1 4 B
1BM C1CM
) S S
4 4 16
1
即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的 ，
4
1
同理可知每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的 ，
4
1 [1 (11 1 1 1 )
n]
T S S S S 4 4 S 1 1 1可得： n [1 ( )
n]S S
4 16 64 4 1 1 3 4 3
4 .
.............................................17 分
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}大庆市2025届高三年毁第二次教学质量检测
后长收学2划
后若
A问险园象关于合对格
数学
c手+号-回
2025.01
代在（引上单费
注金那项：
1.答愿崩，考生先将自己的姓名、班级、场号/座位号填写在咨图卡上，认直战对条形码
6若钱角x满足s如a-605a.5】
,则an2a的值为
C直线y=x+5是内的一条切胺
上的蛭名、准考证号，并称条形网粘贴在答题卡的指定位显上，
2
2.透择愿答案使用2B辑笔填涂，如搭改动，用橡皮接干净后，再选涂共它答案的标号：
非选择恩答茶使用0.5米思色中性（签字）笔或碳带笔书冯，字体工整，笔迹清楚。
A月
暗
ct号
-
D考儿)在区间0，m)上的图象与立线y=,有且只有三个文点，则实数m的取位园}
3。请按题号在答题卡上各题的答噬区战内作答，超出答题区域书写的客案无效，
4,保持轻面及答四卡滑浩，不折叠，不成报，不准使用徐政液、修正带、刮纸刀.
,.已知定义城为{k∈R|x≠}的函致y=f八)为奇西数，对任螽的五，五∈(Q,+切，名≠名，
[)
一、远择题：本愿共8小题，小题5分，共40分。在每小照给出的四个远明中，只有一现是
有6一派f)-<0,且f0=2,则不等式∫小>2的解粜为
1山.广东汕头海湾大桥被港为“中国第一座大跨度现代悬索桥”，悬素的形状是平面几何中的
符合恩目受求的。
A(1,0U0,)
B.1,0U0四)
1.若复政z=I-)(2+a)(aeR)为耽虑数，则a的值为
c.(-o,-1U0,1
D.(o,-1U,+o)
A-2
B.1
C.2
D.2
西数)-北+e小，类似的画数还有双曲正弦西数)-e-e,则下列
8.已知数列{a}为等差数列，且公差d0,直线l:ax+ay+as=0eN)与圈
骑的足
:已知暴函厥y=)的图象经过点(4,2)，则f3)的位为
C:(x-1}+0+2=1交于A,B两点，则∠ACB的最小位为
A.VzER,lg(x)-f()=1
B当x之0时，西数y=名只有最小值0
A写
B.3
C.3
D.9
f(x)
A
c
D
已知停比数列{a}中，马=6，aas=27,则a,的位为
二、进舜圆：本题共3小恩。每小题6分，共18分。在每小题哈出的娇项中，有多项符合圆目
c.x>0,fg小>f)
D.3∈(（-l,0),g(+2)=fJ
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选带的得0分。
B
3
9.设4，b是两个非多向量，则下列说法正确的是
三、典空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
三知a,是两个平面。M,n是两条直线，则下列说法正确的是
12.己知集合A=←-L,01,B=川y=2”,x∈4}，则4UB的所有元张之和为
A若d⊥b,则ab=0
B若aHb,则a=b
若cHB,mCa,nCB,到m∥H
B若m⊥C,H∥C,则m⊥开
c|a+bHa-il,则a1b
D.a在6方向上的投影向量的模为ab
以双曲线C:芝
云存->0，b>0)的左右盘点分别为，R,直线y=:
若m∥a,nHa,则mn
D若立⊥B,m⊥B,则mWa
于M,N两点，且MN=FF引若四边形M的周长为8动，则C的离心月
AB两点的坐标分别为(-2,0)，(2,0)，直线AM,BM相交于点M,且它们的斜序之积是
10已加通数=加(as+p.神@>00cp<受且君引f得)-0若适数内
14.在正四棱台ABCD-AB,CD中，AB=24民=4W2.4=6,则威正
3
，则点M的轨迹方程为
内无零点，则下列说法正确的是
一：若点P在四边形ABCD内运动，且AP=0.则点P的轨迹长
大庆市高三年级第二次软学质孟检测数学试西第！页共5页
大庆市高三年领第二次救学页亚检测级学试题第2页共5页
大庆市高三年级第二次牧学所检两数学试回算3页共5页■
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15.39)
[A][B]
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9[A][B][C][D]
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2 [A][a][c][D]
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