第七章 幂的运算
7.2幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
本节课是苏科版初中数学七年级下册第七章第二节《幂的乘方与积的乘方》第1课时内容，具有承上启下的重要作用．从知识体系上看，它是在学生学习了有理数乘方和同底数幂乘法的基础上进行的，为后续学习幂的其他运算性质、整式乘法等奠定了坚实基础．
本课教材通过创设实际问题情境“求冥王星的体积”，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入幂的乘方运算．这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解幂的乘方的现实意义，激发他们的学习兴趣．在探索幂的乘方运算性质的过程中，学生需要将复杂的幂运算转化为简单的指数相乘问题，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升．
学生在学习《幂的乘方与积的乘方》第1课时时，已具备一定的知识基础和学习能力．因为学生在七年级上册已学习了有理数的乘方、整式的加减，在上一节课学习了同底数幂的乘法，会判断同类项、合并同类项，对乘方运算、同底数幂的乘法运算有了初步认识，这为学习幂的乘方提供了知识支撑．
1.能从具体的运算中抽象出幂的乘方运算性质，能用文字和符号语言正确地表示该性质，掌握幂的乘方运算性质；
2.会运用幂的乘法运算性质进行有关计算，提高学生的运算能力；
3.通过类比学习，合作交流，培养学生的观察、发现、归纳、概括能力，使学生初步理解“特殊到一般再到特殊”的认知规律.
重点：掌握幂的乘方运算性质.
难点：会运用幂的乘法运算性质进行有关计算.
情境导入
1.冥王星是一颗矮行星，它可以近似看作半径是103km的球体，它的体积约为多少(π取3.14)
答：根据球的体积计算公式V==πr3(其中V，r分别表示球的体积和半径)，冥王星的体积为
V=πr3=π×(103)3≈4.19×(103)3(km3).
师生活动：教师先展示，然后学生互动交流．让学生思考如何计算(103)3？
2.问题：(103)3=？
答：(103)3=103×103×103 =103+3+3=109.
师生活动：学生代表回答，师生分析总结出答案.
3.V=πr3=π×(103)3≈4.19×109(km3).
所以冥王星的体积约为4.19×109km3.
设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，为推导幂的乘方法则埋下伏笔．
探究新知
活动一：探究幂的乘方运算性质
1.问题 计算：
（1）(10m)3；（2）(104)n；（3）(am)3；（4）(a4)n.
解：（1）(10m)3=10m 10m 10m= 10m+m+m=103m；
（2）(104)n=104×104× ×104= 104+4+ +4=104n；
（3）(am)3=am am am = am+m+m=a3m；
（4）(a4)n=a4 a4 a4 = a4+4+ +4 =a4n.
师生活动：教师板书（1），学生倾听理解并完成（2）、（3）、（4）.
2.从上面的计算中，你发现了什么规律？
师生活动：学生同伴交流，学生代表回答.
活动二：幂的乘方运算性质
对于任意的底数a，当m，n是正整数时， (am)n=
答：
(am)n=am am am=am+m+ +m=amn.
师生活动：学生思考并回答，师生板演.
思考：说一说如何计算幂的乘方运算呢？
2.幂的乘方运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
用符号表示为：(am)n=amn（m,n是正整数）.
设计意图：借助乘方的意义、同底数幂的乘法法则，推导出幂的乘方法则.在此过程中，感受从特殊到一般的方法，进一步理解幂的含义，发展学生推理能力和语言表达能力.
应用新知
例1 计算：（1）(106)2； （2）(am)4(m是正整数)；
（3） (y3)2； （4）[(x y)n]2(n是正整数).
答:（1）原式=106×2=1012； （2）原式=am×4 =a4m；
（3）原式= y3×2= y6 ； （4）原式=(x y)n×2=(x y)2n.
例2 计算：（1）x2 x4+(x3)2； （2）(a3)3 (a4)3.
答:（1）原式 = x2+4+x3×2 = x6+x6 = 2x6；
原式 = a3×3 a4×3 = a9 a12 = a9+12 = a21 .
例3 已知m、n、p是正整数，计算[(am)n]p.
答：[(am)n]p=(amn)p=amnp.
师引导学生总结：幂的乘方运算性质推广:[(am)n]p=(amn)p=amnp（m、n、p是正整数）.
例4 若am=3，an=2，（1）求a3m与a2n的值；（2）求a3m+2n的值.
答:（1）a3m=(am)3= 33=27； a2n =(an)2= 22=4.
a3m+2n=a3m a2n=27×4=108.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
师引导学生总结：逆用幂的乘方运算性质：amn=(am)n=(an)m（m、n是正整数）.
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．例1，让学生直接套公式计算，熟知计算格式；强调当底数是“多项式”时的整体思想．例2，引导学生区分“同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项”这三种运算．例3，让学生知道幂的乘方公式可以推广到指数是三个（甚至更多）的情况；例4，让学生知道跟同底数幂的加法一样，幂的乘方法则也能逆运用.
课堂练习
【教材习题】
1. 计算：（1）(104)3； （2）(x5)4； （3） (a2)5；
（4）( 103)12； （5） ( xm)5(m是正整数)；（6） [(2a b)4]2.
答:（1）原式=104×3=1012 ； （2）原式=x5×4 =a20；
（3）原式= a2×5 = a10 ； （4）原式=(103)12=103×12=1036；
（5）原式= (xm)5 = xm×5 = x5m； （6）原式= (2a b)4×2= (2a b)8.
师生活动：学生独立完成，教师点评.
设计意图：通过练习1巩固所学，提升学生计算能力．特别提醒学生注意：①如何处理符号？②整体思想．（遇到“负号”，先根据“积负偶正”确定符号，再进行幂的乘方运算. ）
2.下面的计算是否正确？如果错误，请改正.
(1) (a3)2=a5; （ ）
(2) (b4)2=b16. （ ）
答：（1）×，(a3)2=a6；（2）×， (b4)2=b8.
师生活动：学生回答，教师点评.
设计意图：通过练习2再次巩固所学，强调：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
计算：（1）(m4)2+ m5 m3； （2）(x5)4+(x10)2；
（3）(a3)5 (a2)2； （4）1010×10010.
答：（1）原式 =m4×2+m5+3 =m8+m8 =2m8；
（2）原式 =x5×4+x10×2=x20+x20 =2x20；
（3）原式 =a3×5 a2×2 =a15 a4 =a19；
（4）原式 =1010×(102)10=1010×1020 =1030 .
师生活动：学生独立完成，学生互评.
设计意图：通过练习3巩固所学，提升学生计算能力．在计算过程中，再次强调学生区分“同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项”这三种运算．
【限时训练】
1. 填空：
（1）若255=(25)x，则x = ； 若255=y11，则y = ；
（2）若344=m11，则m = ； 若433=n11，则n = ；
（3）比较255，344，433的大小： .
答：（1）11,32； （2）81,64； （3） 255<433<344.
师适当引导学生： 要比较255，344，433的大小，其实就是比较(25)11，(34)11，(43)11的大小.
2. 计算：（1）x2 (x2)4+(x5)2； （2）(am)2 (a4)m+1(m是正整数).
答:（1）原式 = x2 x2×4+x5×2= x2 x8+x10 = x10+x10= 2x10.
原式 = a2m a4(m+1）= a2m a4m+4 = a2m+4m+4 = a6m+4.
3.(1)已知m+4n 3=0，求 2m×16n的值;
(2)若 26 =a2= 4b，求a+b的值.
答:（1）∵m+4n 3=0 ， （2）∵26=(23)2=82 ，
∴m+4n=3， 26=(22)3=43 ，
∴2m× 16n ∴a=8 ，b=3，
=2m×(24)n ∴a+b=11.
=2m×24n
=2m+4n
=23
=8.
师生活动：学生独立完成，教师指定学生回答.
设计意图：通过限时训练巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
师生活动：师生交流总结.
设计意图：通过归纳总结，使学生梳理本节课所学的内容，掌握本节课的重点，进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本课通过引入一个实际问题——“冥王星的体积”来吸引学生的注意力，这种情境创设有助于学生理解数学知识在现实生活中的应用，激发他们的学习兴趣，引导学生自主思考，让学生自己发现问题与幂的乘方运算之间的联系，以增强学生探究和解决问题的能力.通过几个简单的幂的乘方的例子来引入新知识，通过对比不同底数和指数的幂的乘方运算，帮助学生掌握幂的乘方运算的规律.鼓励学生参与讨论，自主推导出幂的乘方运算性质，加深学生对知识的理解.
本课时选择了一些典型的幂的乘方的例子，通过逐步分析和解答，帮助学生理解并掌握解题方法.学生在解题时混淆“同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项”这三种运算，因此应该更多地让学生自己尝试解题，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立解题能力.
通过思维导图的方式，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，追寻数学本质，力争全体学生正确理解同底数幂的性质的形成过程，并规范使用.第七章 幂的运算
7.2幂的乘方与积的乘方
第2课时 积的乘方
本节课是苏科版初中数学七年级下册第七章第二节第二课时的内容，它是在学生学习了同底数幂的乘法、幂的乘方等运算法则的基础上进行的，本节课主要学习了积的乘方的运算法则及基础运用，它既是对前面所学知识的巩固、深化和发展，又是为后面学习整式的综合运算奠定了基础，因此本节课具有承前启后的作用.
本课教材通过创设实际问题情境，如计算木星的体积，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入积的乘方的概念.这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解积的乘方的现实意义，激发他们的学习兴趣.在探索积的乘方法则的过程中，学生需要将复杂的积的乘方运算转化为简单的因数分别乘方后再相乘的问题，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力.
本节课不仅传授了重要的数学知识，更注重了学生数学素养的全面提升.通过实际问题的引入和探索，学生不仅能够掌握积的乘方的法则，还能学会如何将数学知识应用于解决实际问题，从而提升他们的数学应用能力和创新思维.
学生已经在七年级上册中学习了有理数的乘方运算，理解了乘方运算的意义，通过前两节课同底数幂的乘法和幂的乘方的探究学习，已经掌握了类比归纳的方法，感受到知识之间的联系，在相关知识的学习过程中，学生经历了“探索-发现一猜想一证明”的过程，并初步体会了获得猜想后还应予以证明的意义，并且学生具有了一定的推理证明的能力.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.
1.掌握积的乘方的运算性质，能用文字语言和符号语言正确地表述该性质，并能熟练地运用积的乘方的运算性质进行运算.
2.经历探索积的乘方的运算性质的过程，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.
3.通过类比学习，合作交流，培养学生的观察、发现、归纳、概括能力，使学生初步理解“特殊到一般再到特殊”的认知规律.
重点：理解积的乘方的运算性质，并能熟练地运用积的乘方的运算性质进行运算.
难点：经历探索积的乘方的运算性质的过程，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问题的方法，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.
情境导入
木星是太阳系中最大的行星，它可以近似看作半径为7.15×104km 的球体，它的体积约为多少(π取3.14)
木星的体积V=πr3=π×(7.15×104)3
=π×(7.15×104)×(7.15×104)×(7.15×104)
=π×(7.15×7.15×7.15)×(104×104×104)
=π×7.153×(104)3
=π×7.153×1012≈1.53×1015 (km3)
所以木星的体积约为1.53×1015km3.
师生活动：学生独立思考，指定学生回答，教师板书.
设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，为推导积的乘方的法则埋下伏笔．
探究新知
活动一：探究积的乘方运算性质
问题 填空：
(1) (a·b)2= · ;
(2) (a·b)3= · .
(3) (3×4)m= × .
答：(1) 解：原式=a2·b2; (2)原式=a3·b3； (3)原式=3m×4m .
从上面的式子中，你发现了什么？
答：1.左边都是积的乘方；
2.结果中，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
猜想:(ab)m= (m是正整数).
答：ambm
活动二：积的乘方运算性质
问题 如何验证这个猜想：(ab)m=ambm(m是正整数)呢？
推导：(ab)m===ambm.
小结：
积的乘方运算性质：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
用符号表示为：(ab)m=ambm (m为正整数).
师生活动：学生先独立完成，然后同桌之间互相说一说.
设计意图：借助乘方的意义，获得积的乘方的运算性质，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
应用新知
例1 判断下列计算是否正确：
(1) (ab2)3=ab6；
(2) (－2a2)2=－4a4；
(3) (－x2y)3=x6y3.
答： (1)× (ab2)3==a3·(b2)3=a3b6；
(2)× (－2a2)2=(－2)2·(a2)2=4a4；
(3)× (－x2y)3=(－1)3·(x2)3·y3=－x6y3.
师总结：当底数中含有“－”时，应将其视为“－1”，作为一个因式参与运算.
师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答.
设计意图：通过一组例题辨析题，及时巩固所学新知，掌握积的乘方运算性质.
例2 计算:(1) (－5m)3； (2) (xy2)3.
解: (1) 原式=(－5)3·m3=－125m3;
原式=x3·(y2)3=x3y6.
师引导学生总结：积的乘方，要把积的每一个因式分别乘方，不要漏掉任何一项.
师生活动：(1)教师板演示范，学生模仿独立完成(2)．
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用积的乘方运算性质来计算.
探究：已知m是正整数，你会计算(abc)m吗？
答：(abc)m=(ab)m·cm=ambmcm (m为正整数).
师生活动：学生先独立思考，再小组交流讨论，共同探究．
设计意图：类比积的乘方的运算性质，拓展延伸到三个或三个以上的积的乘方．理解并识记积的乘方的运算的性质，培养学生的运算能力．
例3 计算: (1) (－2ab3c2)4； (2) 49×(－25)8.
解：(1) 原式=(－2)4·a4·(b3)4·(c2)4=16a4b12c8；
（2）原式=4×48×(－25)8=4×[4×(－25)]8=4×(－100)8 =4×1016.
师生活动：学生独立思考，指定学生回答.
设计意图：这个环节可以巩固本课知识点，运用积的乘方运算性质进行计算，同时掌握积的乘方的运算性质的逆用，提升学生的计算能力．
课堂练习
【教材习题】
下面的计算是否正确 如有错，请改正.
(1) (xy2)3＝xy6；
(2) (－2b2)2＝－b4.
2. 计算：
(1) a5·a3+(2a2)4； (2) －2x6－(－3x2)3；
(3) (－4)10×2510； (4)85×0.1254 .
3. 火星是一颗类地行星，它的平均半径大约为3.4×103 km.求火星的体积(π取3.14).
答：1. (1)× 改为：(xy2)3＝x3y6；
× 改为：(－2b2)2＝4b4.
(1) 原式=a8+24(a2)4=a8+16a8=17a8；
(2) 原式=－2x6－(－3)3(x2)3=－2x6+27x6=25x6；
(3) 原式=[(－4)×25]10=(－100)10=1020；
(4) 原式=8×84×0.1254=8×(8×0.125)4=8.
3.解：木星的体积V=πr3=π×(3.4×103)3≈1.65×1011（km3），所以火星的体积约为1.65×1011km3.
【限时训练】
计算：
(－2mn)2= ________；
(2x2y)2= ________；
[(－m)2]5= ________；
(－a2n)3 (n是正整数)= _______；
2. 计算:
(1) (－3a2b3c)3； (2) －(－2x3y)4；
(3) (2×103)2； (4) (a3)2+(a2)3－a·a5；
(5) (－2a2)3·a6－(－5a6)2.
3. 用简便方法计算:
(1) (－0.125)2020×82021; (2) －2100×0.5100×(－1)999.
4. (1) 若xn＝2，yn＝3，则(x2·y)2n的值为 .
(2) 若59＝a，95＝b，用a，b表示4545的值.
答:1.解：(1) 4m2n2；(2) 4x4y2; (3) m10; (4)－a6n.
2.解：(1) 原式=(－3)3(a2)3(b3)3c3=－27a6b9c3;
(2) 原式=－(－2)4(x3)4y4=－16x12y4;
(3) 原式=22×(103)2=4×106;
(4) 原式=a6+a6－a6=a6;
(5) 原式=－8a6·a6－25a12=－8a12－25a12=－33a12.
3.(1)原式=(－0.125)2020×82020×8=(－0.125×8)2020×8=1×8=8;
(2)原式=(－2×0.5)100×(－1)=(－1)100×(－1) =－1.
4. (1) 144
(2) 因为545＝59×5＝(59)5＝a5，945＝95×9＝(95)9＝b9，
4545＝(5×9)45＝545×945.所以4545＝a5b9.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
寻找生活中积的乘方的例子，如经济学中复利增长问题、化学计量关系等，记录下来并说明其运用积的乘方的简洁美.
本课通过引入一个实际问题——“求木星的体积”来吸引学生的注意力，这种情境创设有助于学生理解数学知识在现实生活中的应用，激发他们的学习兴趣，引导学生自主思考，让学生自己发现问题与乘方的意义之间的联系，以增强学生探究和解决问题的能力.
通过几个简单的积的乘方的例子来引入新知识.通过乘方的意义推导出积的乘方的运算性质，帮助学生掌握积的乘方的运算性质.鼓励学生参与讨论，自主推导出积的乘方的运算性质，加深学生对知识的理解.
本课时选择了一些典型的积的乘方的例子，通过逐步分析和解答，帮助学生理解并掌握解题方法.学生在解题时容易忽略指数的变化，因此应该更多地让学生自己尝试解题，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立解题能力.
通过思维导图的方式，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，追寻数学本质，力争全体学生正确理解同底数幂的性质的形成过程，并规范使用.
