第七章 一元一次不等式与不等式组
7.1 不等式及其基本性质
第2课时 不等式的基本性质
1.掌握不等式的基本性质，并能利用其对不等式进行变形；
2.经历探究不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点；
3.通过探究其基本性质的过程，体会数学中由特殊到一般的思想；
4.通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力.
重点：理解并掌握不等式的基本性质；
难点：能利用不等式的性质对不等式进行变形．
（一）创设情境
回顾：等式有哪些基本性质？
师生活动：学生通过回忆回答问题，并共同整理等式的基本性质.
预设答案：性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
符号语言：如果a=b，那么a+c=b+c，a－c=b－c.
性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
符号语言：如果a=b，c≠0，那么ac=bc，=.
思考：不等式有哪些基本性质呢
设计意图：学习通过回顾等式的性质，为本节课类比等式的性质，探索不等式的性质做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯，有利于学生探究发现和正确用文字语言和符号语言正确表达不等式的性质，
（二）探究新知
任务一 探究不等式的性质
如图，在一台天平两端的托盘中分别放置了质量为a，b的砝码，图中天平倾斜，这直观地说明a>b.这时，如果在两端托盘中同时加上质量为c的砝码，天平的倾斜方向会改变吗 这反映的数量关系是什么呢
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出问题，学生观察天平，分组交流讨论，然后每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，探究不等式的基本性质1，最后教师通过投影展示结论.
预设答案：没有改变.
思考：如果同时减去质量为c的砝码，天平的倾斜方向会改变吗
预设答案：也没有改变.
思考：你能总结出不等式的性质吗？
不等式的性质1
不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变.
符号语言：如果a>b，那么a+c>b+c，a－c>b－c.
设计意图：类比等式的性质及其对应课件动画演示过程，引导学生总结不等式的基本性质1.
思考：对于倾斜的天平，如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一，那么天平的倾斜方向会改变吗
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出问题，学生观察天平，分组交流讨论，然后每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，探究不等式的基本性质2，最后教师通过投影展示结论.
预设答案：
不等式的性质2
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
符号语言：如果，，那么， .
设计意图：类比等式的性质及其对应课件动画演示过程，引导学生总结不等式的基本性质2.
思考：如果a＞b，那么它们的相反数–a与–b哪个大，你能用数轴上点的位置关系和具体的例子加以说明吗？
合作探究：1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
预设答案：
不等号的方法改变了.
思考：如果a＞b，那么–a＜–b，这个式子可理解为： a×(–1)＜b×(–1).这样，对于不等式a＞b ，两边同乘以–3，会得到什么结果呢？
合作探究：1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出问题，学生思考，然后分组交流讨论，然后每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，通过观察与思考得出不等式性质的对称性.
预设答案：
不等号的方法改变了.
思考：如果a＞b，c＜0，那么ac与bc有怎样的大小关系？
预设答案：ac＜bc.
不等式的性质3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
符号语言：如果，，那么， .
不等式的性质4 对称性 如果，那么.
设计意图：类比等式的性质及其对应课件动画演示过程，引导学生总结不等式的基本性质3和4.
思考：如图，设数轴上的三个点A，B，C分别表示三个实数a，b，c，从中你能发现不等式的什么性质？
合作探究：1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出问题，学生思考，然后分组交流讨论，然后每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，根据数轴得出不等式性质的传递性.
预设答案：由图可知：a＞b，b＞c，且a＞c.
不等式的性质5 传递性 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
例如 由∠A＞∠B，∠B＞30°，可得∠A＞30°.
设计意图:类比等式的性质及其对应课件动画演示过程，引导学生总结不等式的基本性质5.培养学生能从不同角度、不同方面分析描述问题和简单推理能力.提高学生对问题的研究能力，调动学生积极性.
任务二 探究等式与不等式性质的区别
思考：等式与不等式的基本性质有哪些相同点和不同点
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：通过教师提出问题，学生思考，然后分组交流讨论，然后每小组挑选一名代表展示小组讨论结果.
预设答案：
设计意图:通过归纳进一步熟悉不等式与等式的相同和不同之处，加深学生对不等式性质的理解，培养语言表达能力.
（三）应用新知
师生活动：给学生审题时间，学生试做，教师给予规范，并指出应注意的问题.学生独立自主完成，然后相互交流，积累解决问题的经验.
例1用适当的不等号填空：
(1)若 a－1(2)若 －3a<－3b，则 a____b；
(3)若 0.3a+1<0.3b+1，则 a___b.
分析：(1)不等式两边同时+1，根据不等式的性质1可得，符号不变.
(2)不等式两边同时除以－3，根据不等式的性质3可得，符号改变.
(3)不等式两边先同时－1，在同时除以0.3，符号不变.
预设答案：< ；> ；<
设计意图：锻炼学生综合运用不等式性质解决问题的能力.通过例题讲解，加深对所学知识的理解.
例2 比较7a与4a的大小关系是( )
A. 7a<4a B.7a=4a
C.7a>4a D.不能确定
分析：由7>4，分a>0，a=0，a<0三种情况讨论，得出答案即可.
由于7>4，
当a>0时，7a>4a；
当a=0时，7a=4a；
当a<0时，7a<4a.
故选：D.
例3 已知 ，则的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
分析：根据不等式的性质，由通过乘以，再乘以，再加上，可得出答案.注意不等号方向的变化.
因为 ，
不等式两边同时乘以，得：，
不等式两边同时乘以 ，得：，
不等式两边同时加上 ，得：. 故选：D.
设计意图：通过例题，进一步巩固学生不等式基本性质的相关知识，让学生经历知识的探索、发现、掌握、应用的过程.
（四）巩固新知
1.如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
所以当时，，故选项A不符合题意；
当时，，故选项B不符合题意；
因为，是任意实数，
，
，故选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：．
2.已知三个非零实数 a，b，c满足 a>b>c，且 ac <0，则下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.0
【答案】A
【解析】解：A.当a=1，b=－2，c=－3时， = －， ，此时.，故A不成立.符合题意.
B. 因为a>c，目ac<0'.所以a－b>0，a>0，c<0，所以，所以. ，故B项成立，不符合题意.
C.因为 a>b>c，且 ac <0，所以b－c>0，a>0.c>0，所以，所以. ，故C项成立，不符合题意.
D.因为 a>b>c，且 ac <0，所以a－c>0，所以，故D项成立，不符合题意.
故选A.
3.如果，那么与的大小关系是 __
如果，那么与的大小关系是 __．
【答案】
【解析】方法运用不等式的基本性质对不等式变形在的两边同时加上，得到．
方法作差法因为，已知，所以，即．
方法在的两边同乘以，得到，再在两边同时加上，得到．
方法作差法因为，已知，所以，即，所以．
4.不等式可变形为，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由得，是在不等式的两边都除以得到的，并且不等号的方向改变了，
根据不等式的基本性质，可知，故．
5.先阅读下列解题过程，再回答问题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，第一步
所以，第二步
故第三步
上述过程中，从第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请写出正确的解题过程．
【答案】解：从第二步开始出现错误．错误的原因是不等式的两边都乘以负数，不等号的方向未改变． 正确的解题过程如下：因为， 所以， 故．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞.
（五）课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.不等式有哪些基本性质？
设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.第七章 一元一次不等式与不等式组
7.1 不等式及其基本性质
第1课时 不等式及不等式解集
1.了解不等式的意义，能根据条件列出不等式，能用实际生活解释简单不等式的意义；
2.通过在数轴上表示一元一次不等式的解集，体会数形结合的思想；
3.通过用不等式解决实际问题，感受数学与人类生活的密切联系，激发学习数学的信心和兴趣.
4.通过学生的自主讨论培养学生的观察力和归纳的能力使学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神.
重点：了解不等式的意义，能根据条件列出不等式，能用实际生活解释简单不等式的意义；
难点：能在数轴上表示一元一次不等式的解集．
（一）创设情境
情境：同学们知道上图中的数字分别代表什么含义吗？
师生活动：教师提出问题，学生举手回答.对于回答困难的学生教师应予以讲解，给学生普及指示牌的知识.
预设答案：(1)表明此道路最大通过宽度为2.5米.
(2)表明此道路最大通过高度为4.2米.
(3)表明此道路汽车的时速不能超过5 km/h.
思考：现实生活中，数量之间存在着相等与不相等的关系.对于不相等的关系问题，我们如何用式子来表示它们呢
设计意图：由问题引入新课，让学生带着兴趣进新的知识的学习.
（二）探究新知
任务一 探究不等式的概念
思考：问题 用适当的式子表示下列关系:
(1)与的差是负数.
(2)的倍与的差大于的倍.
(3)与的和不大于.
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师给出问题，引得学生进行分析，进一步感受用不等号来表示数量之间的不等关系，进而引出不等式的定义.教师提示：不大于，即小于或等于，用“≤”表示，不小于，即大于或等于，用“≥”表示.
预设答案：(1) (2) (3)
思考 闪电的温度大约是 ，比太阳表面温度的 倍还要高.设太阳表面温度为，那么 应满足的关系式是 .
分析：“比……还要高”，也就是大于的意思，用“＞”表示.
预设答案：
思考 某种药品每片为 g，说明书上写着：“每日用量 g(包括g和g)，分次服用”.设某人一次服用片，那么应满足的关系式是 .
分析： g表示每日服药量大于或等于0.75g，小于或等于2.25 g.
预设答案： 由此可得出
设计意图：根据描述写出关系式，让学生初步感受不等式的结构,同时认识、理解符号“≥”和“≤”的使用
思考：观察由上述问题得到的关系式：，，， ， 它们有什么共同的特点？
师生活动：教师提出问题，学生完成这些题目，然后找出共同点，归纳不等式的概念
预设答案：都含有不等号.
用不等号(＞、≥、＜、≤或≠)表示不等关系的式子叫做不等式.
常见表示不等关系的词语:大于、比…大、超过;小于、比…小、低于;不大于、不超过、至多;不小于、不低于、至少等.
归纳：不等关系1：
注意“不”字哦！
不等关系2：
设计意图：学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力.
任务二 探究不等式的解和解集
思考：当取0，1，2时，不等式成立吗？
师生活动：教师给出问题后，让学生自主探究然后相互交流，学生很容易把数值代入式子，得出结论.激发学生继续探究的兴趣.
预设答案：解：当取时，代入原不等式左边,得 . 成立
当取时，代入原不等式左边,得. 成立
当取时，代入原不等式左边,得. 不成立
思考： (1)判断下列给出的数中哪些能使成立：-1，0.5，1.5，-2.
(2)你还能找出使上述不等式成立的其他数吗 找出后在数轴上标出来，你有什么发现
合作探究：1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师给出问题，引得学生进行分析，进一步得出不等式中哪些值能使不等式成立，哪些不能成立，感受不等式的取值范围，进而引出不等式解和解集的定义.学生小组交流，汇总并举手发言.
预设答案：(1)
一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解.所有这些解的全体称为这个不等式的解集.
(2)有无数个.
由上可知，不大于的任何一个实数(如，等)都是不等式的解，而所有这些解的全体()称为这个不等式的解集.
不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，如,可用数轴上表示的点以及左边所有点来表示.
提示：方向向左.
解集包括，则在数轴上把表示的点画成实心点.
如果是,那么在数轴上把表示的点画成空心圆圈.
设计意图：让学生自己进行分析讨论，提高学生对问题的研究能力，调动学生积极性.
（三）应用新知
师生活动：给学生审题时间，学生试做，教师给予规范，并指出应注意的问题.学生独立自主完成，然后相互交流，积累解决问题的经验.
例1 某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙>150毫克”，它的含义是指( )
A.每100克内含钙150毫克
B.每100克内含钙不低于150毫克
C.每100克内含钙高于150毫克
D.每100克内含钙不超过150毫克
分析：“>”就是大于，在本题中也就是“高于”的意思.“每 100 克内含钙>150 毫克”，就是“每 100 克内含钙高于150毫克”，故选：C.
预设答案：C.
例2 是下列不等式( )的一个解.
A. B.
C. D.
分析：直接将代入各个不等式，不等式成立的即为所选.
A.，故A不成立.
B.，故B不成立.
C.，故C不成立.
D.，故D成立.故选：D.
预设答案：D.
设计意图：让学生进一步加深对不等式的认识和理解，培养学生的应用意识.
例3 如图，在数轴上表示的是下列哪个不等式( )
A. B. C. D.
分析：根据数轴上不等式解集的表示方法得出此不等式组的解集，再对各选项进行逐一判断即可得到.
总结：将不等式的解集表示在数轴上时，需注意两点:
(1)“、”向右，“、”向左”.
(2)“或()时”，数轴上表示数“”的点用“空心圆圈”,“(或)时”，数轴上表示数“”的点用“实心圆点”.
预设答案：C
设计意图：通过典型例题的精讲，使学生会运用不等式的和解集解决问题，并重新建立自己新的知识架构体系.
（四）巩固新知
1.下列各项中，蕴含不等关系的是( )
A. 小明与小强一样高 B. 王老师的年龄是小红年龄的倍
C. 铅球的质量比篮球的大 D. 明天可能下雨
【答案】C
【解析】解：A错误，根据题意可列出等量关系；
B.错误，是等量关系；
C.正确，铅球的质量比篮球的大 ，是不等关系；
D.错误，明天可能下雨没有蕴含不等关系；故选C．
2.某市最高气温是 33℃ ，最低气温是 24℃ ，则该市气温 t(°C)的变化范围是 ( )
t>33 B. t≤24 C. 24 【答案】D
【解析】解:由题意，某市最高气温是 33℃，最低气温是 24℃说明其它时间的气温介于两者之间.所以该市气温 t(°C)的变化范围是:24 ≤t≤ 33 故选 D.
3.下列数量关系用不等号表示错误的是( )
A. 若是负数，则 B. 若的值小于，则
C. 若与的和大于，则 D. 若的大于，则
【答案】D
【解析】解：若是负数，则，故本选项正确；
B.若的值小于，则，故本选项正确；
C.若与的和大于，则，故本选项正确；
D.若的大于，则，故本选项错误．
故选D．
4.实数满足，并且实数使对一切满足条件的恒成立，则的取值范围是( )
A. 小于或等于的实数 B. 小于的实数
C. 小于或等于的实数 D. 小于的实数
【答案】D
【解析】解：，
，
，
的取值范围是小于的实数．
故选D．
5.下列式子中，哪些是不等式 哪些不是不等式 为什么
(1)-25 <0; (2)3x-1>0 (3)x-2=3; (4)x2+2x; (5)x≠3; (6)4x-3≤4.
【解析】解:(1)(2)(5)(6)是不等式，(3)(4)不是不等式，因为用不等号连接的表示大小关系的式子是不等式，而(3)是等式，(4)是整式.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞.
（五）课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.什么是不等式？
3.什么是不等式的解和解集？
设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.
