第七章 一元一次不等式与不等式组
7.2 一元一次不等式
第1课时 解一元一次不等式 移项去括号
1.经历一元一次不等式、解不等式概念的形成过程.
2.会利用不等式的性质熟练地解含括号的不等式.
3.通过在数轴上表示一元一次不等式的解集，体会数形结合的思想.
4.通过类比一元一次方程的解法，掌握一元一次不等式的解法，培养知识迁移能力，发展类比推理能力.
重点：了解一元一次不等式、解不等式概念；
难点：会利用不等式的性质熟练地解含括号的不等式．
（一）创设情境
回顾：不等式的性质有哪些？
师生活动：教师提出问题，学生举手回答.对于共性问题集体讲评.
预设答案：性质1 不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变.
性质2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.
性质3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
性质4 如果，那么.
性质5 如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
设计意图：回顾不等式的基本性质，以及如何用不等式的基本性质对不等式进行变形，为后边讲一元一次不等式的解法做铺垫.
（二）探究新知
任务一 探究一元一次不等式的概念
思考：某公司的统计资料表明，科研经费每增加1万元，年利润就增加1.8万元.如果该公司原来的年利润为200万元，要使年利润超过245万元，那么增加的科研经费应高于多少万元
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师给出问题，引得学生进行分析，学生尝试用学过的知识思考，并在小组内交流，汇总并举手发言.
分析：设该公司增加科研经费x万元，那么年利润就增加1.8x万元.因为利润要超过245万元，所以 200+1.8x>245.
含有未知数的不等式.
思考：你所列的式子具有什么特征 能否类比一元一次方程的特征得到不等式的特征
总结：不等式的特征:
(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的次数是1；
(3)不等号两边都是整式.
思考：类比一元一次方程的概念，这样的不等式该如何定义呢？
总结：只含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式.
设计意图：让学生类比表示等量关系的方程思想得出用不等式表示数量的不等关系.同时通过对比分析，有利于学生形成良好的数学思维习惯.
任务二 探究解不等式的方法
思考：一般地，利用不等式的性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集.对于不等式200+1.8x>245，该如何求解呢？
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师给出问题，学生积极思考，小组讨论然后回答问题.学生解题的过程可能是多元的，课堂上不要限制学生思维，更不要故意将学生往教师所需要的方面引导，留给学生足够的时间让他们充分表达自己的想法，相信学生有能力找到最优的解题方法.
预设答案：解：对于不等式 200+1.8x＞245，根据不等式的性质1，两边同时减去200，得 200+1.8x -200＞245-200. 即：1.8x＞45.
再根据不等式的性质2，两边同时除以1.8，得：x＞25.
因此，这个不等式的解集为 x＞25.
总结：像这样求不等式的解集的过程叫作解不等式.
解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为x=a的形式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x
a的形式.
设计意图：利用不等式的性质解题，让学生感受利用不等式性质1的实质就是移项，渗透类比思想，初步体会解不等式与解方程的联系，为下一环节铺垫.
思考：类比解一元一次方程的步骤，你能解出不等式：2x+5≤7(2-x)，并把它的解集在数轴上表示出来吗？
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师先要求学生解方程：2x+5=7(2-x)，对比解方程的过程来解一元一次不等式.具体解题过程观看对应课件的演示；
小组讨论解一元一次不等式，然后找学生上台板演解题步骤，最后教师点评.教师边讲边引导学生理解每一步变形的依据，特变强调:当不等式两边都同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向改变.
预设答案：解方程：2x+5=7(2-x)
解：去括号，得：2x+5=14-7x .
移项，得：2x+7x= 14 – 5.
合并同类项，得：9x = 9.
x系数化为1，得：x = 1.
解不等式： 2x+5≤7(2-x)
解：去括号，得：2x+5≤14-7x.
移项，得：2x+7x≤ 14 – 5.
合并同类项，得：9x≤ 9.
x系数化为1，得：x≤1 .
追问：如何在数轴上表示不等式的解集呢？
因为x≤1，解集包括1，所以是实心点.
思考：解不等式时也可以“移项”，依据是什么 移项时，是否要改变不等号的方向？
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：学生先独立思考后，师生交流讨论共同总结.
预设答案：解不等式“移项”的依据是不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或整式)，不等号的方向不变.所以移项时不需要改变不等号的方向.
设计意图：通过对上面例题的分析，学生已有初步解不等式的经验，例题讲解，让学生加深对解不等式的方法步骤的理解，通过画数轴表示不等式的解集，使学生直观感受不等式解集的无限性，渗透数形结合的思想，同时培养学生迁移类比的思想，符合学生的最近发展区.
（三）应用新知
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1若 是关于的一元一次不等式，则 .
分析：因为是关于 的一元一次不等式，所以 ， .
解得：.
故答案为：.
预设答案：.
设计意图：让学生进一步加深对一元一次不等式的认识和理解，培养学生的应用意识.
例2 解下列不等式，并把解集用数轴表示出来.
(1)
(2)
分析：首先进行去括号，移项，合并同类项，进而解一元一次不等式即可.
预设答案：解：(1)
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得 .
将解集表示在数轴上如下：
注意是空心点.
(2)
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得 .
将解集表示在数轴上如下：
注意是实心点
设计意图：通过解具体的一元一次不等式，巩固所学的基础知识，从学生解不等式的过程，教师能够及时发现学生存在问题，将学生的错误作为生成性资源，从而加深学生对不等式解法原理的理解．并重新建立自己新的知识架构体系.
例3若不等式的解集与关于的不等式的解集相同，求的值.
分析：根据不等式 的解集与关于 的不等式 的解集相同，然后根据题意建立一个关于 的不等式，从而确定的范围.
预设答案：解：不等式
去括号，得
移项，得
系数化为1，得 .
不等式
去括号，得
移项，得
系数化为1，得 .
因为不等式 的解集与关于 的不等式 的解集相同，
所以，解得.
设计意图：通过典型例题的讲解，让学生进一步巩固求解一元一次不等式的过程和步骤.
（四）巩固新知
1. 把不等式 2x-2 <4的解集在数轴上表示出来，正确的是( )
【答案】D
【解析】解:将不等式移项得:2x<4+2.合并同类项得: 2x< 6. 系数化为1 得:x<3
将不等式的解集表示在数轴上如下
故选: D.
2.如果关于的不等式的解集是，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：因为不等式的解集是，所以
解得1.
故选: C.
3.解下列不等式：
；
．
【答案】解：去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
4.求下列不等式的正整数解：
【答案】解：，
不等式两边都除以，得：，
故该不等式的正整数解为：、；
，
移项，得：，
系数化为，得：，
故该不等式的正整数解为：、、．
5.已知不等式的解集在数轴上的表示如图所示，求不等式的解集．
【答案】解：解不等式，得．
由题图知不等式的解集为，
所以，解得．
把代入中，得，
所以．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞.
（五）课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.什么是一元一次不等式？
3.解一元一次不等式的目标是什么？
设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.第七章 一元一次不等式与不等式组
7.2 一元一次不等式
第2课时 去分母解一元一次不等式
1.会解含有分母的一元一次不等式；
2.进一步理解并掌握解一元一次不等式的一般步骤；
3.经历解方程和解不等式两种过程的比较，体会类比思想，发展学生的数学思考水平；
4.通过一元一次不等式的学习，培养学生认真、坚持等良好学习习惯.
重点：会解含有分母的一元一次不等式；
难点：在数轴上表示不等式的解集．
（一）创设情境
回顾：上节课我们学习了如何解简单的一元一次不等式，你还记得步骤吗
师生活动：教师提出问题，学生举手回答.
预设答案：(1)去括号 (2)移项 (3)合并同类项(4)未知数系数化为1
思考：含有分母的一元一次不等式如何解呢
设计意图：由问题引入新课，让学生带着兴趣进新的知识的学习.
（二）探究新知
任务一 探究解含分母的不等式的步骤
思考：类比解一元一次方程的步骤，你能解出不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来吗？
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出先解方程，再类比方程的解法解不等式.学生通过解含分母的一元一次方程和一元一次不等式，讨论是否可以采用类似的步骤.教师再指出:利用不等式的性质，采取与解一元一次方程类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集.
.
预设答案：解方程：
解：去分母，得：
去括号，得： .
移项、合并同类项，得：.
系数化为1，得：.
解不等式：
解：不等式两边同乘以，得：
去括号，得： .
移项、合并同类项，得：.
x系数化为1，得：.
在数轴上表示不等式的解集:
设计意图：通过解一元一次方程的依据和一般步骤，让学生思考解一元一次不等式能否采用同样步骤，从而获得解一元一次不等式的思路及步骤.
总结：解一元一次不等式的步骤及变形依据：
去分母：不等式的性质 2.
去括号：去括号法则.
移项：不等式的性质 1.
合并同类项：合并同类项法则.
系数化为 1：不等式的性质 2 或 3.
归纳：解一元一次不等式的四点注意：
去分母：去分母时要注意每一项都要乘以分母的最小公倍数.不要漏乘不含分母的项.
去括号：根据乘法的分配律不要漏乘项.
移项：移项要注意改变该项的符号，不等号方向不变.
系数化为1：两边都除以负数时注意不等号方向要改变.
设计意图：通过讨论归纳解一元一次不等式的基本步骤每一步变形的依据及注意事项，提高学生总结、归纳能力.
任务二 探究解一元一次不等式和解一元一次方程的异同
思考：一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法有哪些相同点和不同点 为什么解法会有不同
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：学生在教师的引导下将解一元一次不等式的过程与解一元一次方程的过程进行比较，思考二者的相同和不同处.
预设答案：相同点：
基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；
基本思想：都是运用化归思想，将一元一次方程或一元一次不等式变形为最简形式.
不同点：
解法依据：解一元一次不等式的依据是不等式的性质，解一元一次方程的依据是等式的性质；
最简形式：一元一次不等式最简形式是x>a或x设计意图:在归纳出一元一次不等式的解法之后，引导学生对比一元一次方程的解法，思考二者的异同，加深对一元一次不等式解法的理解，体会化归思想和类比思想.
（三）应用新知
师生活动：给学生审题时间，学生试做，教师给予规范，并指出应注意的问题.学生独立自主完成，然后相互交流，积累解决问题的经验.
例1 不等式的自然数解有( )个
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析：解：
去分母，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得 .
所以不等式的自然数解有0，1，2共3个.
故选：C.
预设答案：C..
设计意图：通过典型例题的讲解，让学生进一步巩固求解一元一次不等式的过程和步骤.
例2 解不等式，并把它的解集表示在数轴上.
分析：根据解一元一次不等式的步骤进行计算即可.
预设答案：解:两边同时乘以6去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
将未知数的系数化为1，得.
这个不等式的解集在数轴上的表示为：
总结：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x＞a或x＜a的形式.
设计意图：本题主要考查学生解一元一次不等式，并在数轴上表示解集的能力.
例3请根据下列描述列出不等式，并求出不等式的解集.
(1)代数式是负数；
(2)代数式的值小于x+4；
(3)代数式的值不大于.
分析：(1)“是负数”意味这个代数式的值小于0.
(2)“值小于”可直接转化为小于号，从而列出不等式并求解.
(3)“不大于”就是小于等于的意思，依据此列出不等式求解.
预设答案：解:(1)代数式是负数，即.
移项，得.
系数化为1，得x < .
(2)因为代数式的值小于 x+4，
所以x+20< x+4
移项、合并同类项，得 x < -16.
系数化为1，得.
(3)因为代数式的值不大于，所以.
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得x .
设计意图：锻炼学生根据题意列出不等式，综合运用不等式性质解一元一次不等式的能力.通过例题讲解，加深对所学知识的理解.
（四）巩固新知
1.在数轴上表示不等式的解集，正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：，
解得：，
数轴上表示不等式的解集如下．
故选：．
2.代数式和的差不小于，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：依题意得：，
，
，
．
故选B．
3.若，则的最小整数值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
则的最小整数值为．
故选C．
4.求不等式的所有自然数解．
【答案】解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为，得
则不等式的所有自然数解是，，．
5.是否存在整数，使关于的不等式与关于的不等式的解集相同若存在，求出整数若不存在，请说明理由．
【答案】解：存在，
因为，
所以，
．
，
，
．
因为关于的不等式与关于的不等式的解集相同，
，
解得．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞.
（五）课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.解一元一次不等式的步骤是什么？
3.解一元一次不等式有哪些注意事项？
设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.