五四制鲁教版数学一轮复习 第四章 三角形 第3节 特殊三角形（含答案）

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第四章 三角形
第3节 特殊三角形
考点分析
考点7 等腰三角形的性质与判定
课标要求导航：①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；
②探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
例1 如图,△ABC中,AB =AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为 ( )
A.70° B.100° C.110° D.140°
例1图 1.1图
1.1如图, ∥点A 在直线 上，点B在直线 上,AB=BC,∠C=25°,∠1 =60°,则∠2 的度数是 ( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
1.2如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角,则∠C的大小为 .
1.2图 1.3图
1.3如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC=2,则的长度为 .
【思路点拨】根据等腰三角形两个底角相等即可求出∠ABC，∠C的度数，根据
角平分线的性质即可求出∠CBD=∠ABD=36°，再分别证得△BCD，△ABD是等腰
三角形，即可求出AD的长.
1.4感悟 如图1,在△ABE中,点 C,D 在边 BE 上,AB=AE,BC=DE.求证:
应用 (1)如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E(点D在点E的左侧),使得∠EAD =∠BAC,且DE=BC(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点 D，在直线BC上取一点E,使得(不写作法,保留作图痕迹).
考点2 等边三角形的性质与判定
课标要求导航：
①探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°；
②探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形.
例2 如图，直线∥，等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是 ( )
A.45° B.39° C.29° D.21°
例2图 2.2图 2.3图
2.1已知点 P 是等边△ABC 的边 BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP 为边的三角形中,最小内角的大小为 ( )
A.14° B.16° C.24° D.26°
2.2如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D，E在边BC上,若 则BD= .
2.3如图,△DEF 为等边三角形,分别延长FD,DE,EF,到点A,B,C,使DA=EB=FC,连接AB,AC,BC,连接BF并延长交AC于点G.若AD=DF=2,则∠DBF= ,FG= .
【思路点拨】根据题干可得EB=EF=ED,∠DEF=60°,利用外角性质可得作CH⊥BG,交 BG的延长线于点H,易证△AFG∽△CHG,根据相似比易求FG的长度.
2.4如图,在四边形ABCD 中,点 E 是边 BC上一点,且
(1)求证:
(2)若 时，求 的面积.
考点3 勾股定理
课标要求导航：探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题.
例3如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则 cosα的值为( )
例3图 3.1图 3.2图
3.1如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB,CD交于点 F,若 则 等于 ( )
3.2如图,在 中， 6,AD平分 交BC于点 D，点E为边AB 上一点，则线段DE 长度的最小值为 ( )
C.2 D.3
考点4 直角三角形的性质与判定
课标要求导航：①理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；③探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理；④尺规作图：已知一直角边和斜边作直角三角形.
例4 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则的度数为 .
【思路点拨】连接CG，AG，根据勾股定理的逆定理可得 从而知 是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知 ，即可得解.
例4图 4.2图
4.1 中， 的对边分别记为a，b，c，下列条件不能判定 为直角三角形的是 ( )
4.2如图,在 中， ,P 为边BC上一动点,PE⊥AB 于E,PF⊥AC 于F,M为EF的中点,则 FM的最小值为 .
4.3一副三角板分别记作和其中.作BM⊥AC于点M,EN⊥DF于点 N,如图1.
(1)求证:
(2)在同一平面内，将图1 中的两个三角形按如图2 所示的方式放置，点C 与点E重合记为C，点A 与点D重合，将图2中的 绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM 交直线 DF 于点 P.
①当 时，如图3，求证：四边形 CNPM 为正方形；
②当 时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当 时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系.
达标训练
基础达标特训
1.已知AF是等腰△ABC 底边BC上的高，若点 F到直线AB 的距离为3，则点 F到直线AC的距离为 ( )
A. B.2 C.3 D.
2.如图,在△ABC 中,AB =AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= ( )
A.100° B.115° C.130° D.145°
3.如图,在 Rt△ABC 中,D 是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则 BC 的长是 ( )
A.3 B.6 C. D.3
第3题图 第4题图
4.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5,DC=1,BD=BA,则BC=( )
A.8 B.10 C.12 D.13
5.若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °.
6.如图,AB∥CD,∠C=33°,OC=OE.则∠A= °.
第6题图 第7题图
7.(2024 内江中考)如图,在△ABC 中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB 的度数为
8.如图,圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)
高分提能特训
9.如图,在 Rt△ABC中,AC=BC=2,点 D 在AB 的延长线上,且CD=AB,则BD的长是( )
第9题图 第10题图
10.如图,等边△ABC 钢架的立柱CD⊥AB 于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成 DE,∠BED=60°.则新钢架减少用钢 ( )
11.创新情境 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1 中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ( )
A.24 B.36 C.40 D.44
12.若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为
13.如图,在△ABC 中,AB =AC,E 是边AB 上一点,连接CE,在 BC的右侧作BF∥AC,且 BF=AE,连接CF.若AC=13,BC =10,则四边形 EBFC 的面积为
14.真实问题情境 如图1 是某品牌婴儿车，图2 为其简化结构示意图.根据安全标准需满足 BC⊥CD，现测AB =8 dm,BC=9 dm,CD =12 dm,AD =17 dm,其中AB 与BD 之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD=90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准.
冲刺满分特训
15.已知:如图,△ABC中,∠A=90°,AB =AC,D 是斜边 BC 的中点,E,F分别在线段AB,AC上,且∠EDF=90°.
(1)求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)求证:
(3)如果点E运动到AB的延长线上，点F在射线CA上且保持∠EDF=90°,△DEF还是等腰直角三角形吗 请画图说明理由.
参考答案
【例1】C 1.1:A 1.2:30° 1.3:2
1.4：解：感悟：证明：如图1，过点A作 '于点 H.
应用：如图所示.
【例2】B
2.1:B 解析：如图，过点 P 作 PD∥AB交AC 于点 D,过点P 作 PE∥AC 交 AB于点 E，则四边形AEPD 为平行四边形,∴ DP =AE.
∵△ABC为等边三角形,∴∠B =∠C = ∠BAC =60°.
∵ PD∥AB,∴∠CPD = ∠B = 60°, ∠CDP =∠BAC=60°,∴△CDP 为等边三角形,∴CP = DP = CD,∴ CP = DP =AE.
∵PE∥AC,∴∠BEP =∠BAC =60°,∠BPE =∠C =60°,∴△BEP为等边三角形,∴ BP = EP = BE,∴△AEP 就是以线段 AP,BP,CP 为边的三角形.
∵ ∠APC =104°,∴∠APB = 180°-∠APC = 76°,∴∠APE = ∠APB - ∠BPE = 16°,∠PAE=∠APC-∠B =44°,∠AEP=180°-∠BEP =120°,∴ 以线段AP，BP，CP 为边的三角形的三个内角分别为16°,44°,120°,∴最小内角的大小为 16°.
解析:∵△DEF为等边三角形，且.
作CH⊥BG,交 BG 的延长线于点 H.
∵∠CFH = ∠BFE =30°,AD = DF ∴FH= .
∵ ∠AFG=∠CHG = 90°,∠AGF=∠CGH,∴△AFG∽
G
2.4:解:(1)证明:∵∠B =∠AED =∠C, ∠AEC = ∠B + ∠BAE =∠AED+∠CED,
∴ ∠BAE=∠CED.
在△ABE 和△ECD中, ∴△ABE≌△ECD(AAS),
∴AE=ED,∴ ∠EAD=∠EDA.
(2)∵∠AED=∠C=60°,AE=ED,∴△AED 为等边三角形,∴AE=AD=ED=4.
如图,过A点作AF⊥ED于 F.
【例3】D
3.1:C 解析:如图,过 B 点 作 BG ∥CD,连接 EG.
∵ BG∥CD,∴ ∠ABG =∠CFB = α.
∵ BG
EG ,∴ △BEG是直角三角形，∴∠GBE=90°,
∴ ∠ABE = ∠GBE +∠ABG=90°+α.
3.2:C 解析:在 Rt△ABC 中, tan B
=90°,∠B =30°,∴ ∠CAB =60°.
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD= 60°=30°.
在 Rt△ACD 中,tan∠CAD
平分∠CAB,且DC⊥AC,∴点 D 到AB边的距离等于线段 CD 的长，即线段 DE 长度的最小值为2.
【例4】45° 解析:如图,连接 CG,AG.
由 勾 股定理，得
△CAG 是等腰直角三角形，∴∠ACG=45°.∵ CF∥AB,∴ ∠ACF= ∠BAC,
在△CFG 和△ADE 中, ∴△CFG ≌△ADE(SAS),
∴ ∠FCG =∠DAE,∴∠BAC - ∠DAE = ∠ACF - ∠FCG=∠ACG=45°.
4.1:D
4.2:1.2 解析：连接 AP.
∵ 在△ABC中,AB=3,AC=4,BC = =BC ,即∠BAC =90°.
又∵ PE⊥AB于E,PF⊥AC 于 F,∴四边形AEPF 是矩形,∴EF =AP.
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为
FM的最小值为1.2.
4.3:解:(1)证明:设AC=DE=a.∵ ∠ABC = ∠DEF = 90°, ∠BAC=45°,
∴∠A=∠C=45°,∴AB=BC.
∵BM⊥AC,
∵ ∠EDF=30°,EN⊥DF, ∴BM=EN.
(2)①证明:∵∠D=30°,CN⊥DF,∴∠CND =90°,∠DCN=90°-30°=60°.
∵α=∠ACD=30°,∴∠ACN=90°.
∵BM⊥AC,∴∠PMC=∠BMC=90°,∴ 四边形 PMCN 为矩形.
∵BM=EN,即BM=CN,BM=CM,∴CM=CN,∴ 四边形 PMCN 是正方形.
②当 时,线段MP,DP,CD的数量关系为
证明:如图,当30°＜α＜60°时,连接CP.
由(1)可得 CM = CN,∠PMC =∠PNC=90°.
∵CP=CP,∴ Rt△PMC≌Rt△PNC(HL),∴PM=PN,∴MP+DP=PN+DP=DN.
∵∠D=30°,
当 时,线段MP,DP,
CD 的数量关系为
达标训练
1. C 2. B 3. A 4. C 5.100 6.66 7.100°
8.10 解析：如图：将杯子侧面展开，作 B 关于 EF 的对称点. 连接 则 即为最短距离.
在中,
9. B 10. D 11. D
解析：∵ 等腰三角形的周长是10，底边长γ,腰长x,
x的取值范围是
.底边长y与腰长x的函数表达式为
13.60 解析:
∥ 平分
如图，过点 C 作 RF 则
· CN,且 四边形 EBFC的面积=
设 则
由勾股定
解 得
四边形 EBFC 的面积为60.
14.解:在中，由勾股定理，但
是直角三角形，且
∴该车符合安全标准.
15.解:(1)证明:如图1,连接AD.
AB D 是斜边BC 的中点,
又∵∠3+∠4=90°,∴∠2=∠4.
在 和 中，
∴ △DEF 为等腰直角三角形.
(2)证明:同理(1)可证, ≌△CDF,
(3)△DEF 还是等腰直角三角形.
理由如下：
如图2,连接AD,则 =45°.
∵ ∠DAF=∴∠DAF=∠DBE.
∵ ∠EDF=90°,∴ ∠3 +∠4 =90°.
又∵∠2+∠3=90°,∴∠2=∠4.
在 和△ADF中, ∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴DE=DF,∴ △DEF 为等腰直角三角形.
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