五四制鲁教版数学一轮复习 第四章 三角形 第4节 解直角三角形（含答案）

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第四章 三角形
第4节 解直角三角形
考点分析
考点1 锐角三角函数
课标要求导航：①利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sin A，cos A,tanA),知道 角的三角函数值；②会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.
例1 如图,在 Rt△ABC 中,∠ ，则∠B 的正切值为 ( )
A.1
例1图 1.1图 1.2图
1.1 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC,则sin∠AOC的值为( )
1.2 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等,A,B,C,D都在格点处,AB与CD 相交于点 P,则cos∠APC 的值为 ( )
【思路点拨】把 AB 向上平移一个单位到 DE，连接CE，则 AB，由勾股定理逆定理可以证明 为直角三角形，所以 ，由此即可得答案.
1.3 已知 且 则 tan B 的值为( )
1.4 在 中，各边都扩大5倍，则锐角A 的正切函数值 ( )
A.不变 B.扩大5倍 C.缩小 D.不能确定
例2 中， 都是锐角，且 则 的形状是 ( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
【思路点拨】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案.
2.1 在△ABC中,若 则∠C的度数是 ( )
A.120° B.105° C.75° D.45°
例3 若∠A是锐角，则 tan A的值为 ( )
A. C.1
3.1 计算:
例4 综合与实践 某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角.测量报告如下表(尚不完整).
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长:××× 组员:×××,×××,×××
测量工具 竹竿，米尺
测量 示意图 说明：AC 是一根笔直的竹竿.点D 是竹竿上一点，线段DE 的长度是点 D 到地面的距离.∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
(1)设,请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏；
(2)根据(1)中选择的数据，写出求∠α的一种三角函数值的推导过程；
(3)假设sinα≈0.86,cosα≈0.52,tanα≈1.66,根据(2)中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数.你选择的按键顺序为 .
考点2 解直角三角形
课标要求导航：能用锐角三角函数解直角三角形.
例5 如图所示，在 中， 于点D.若 则AD 的长是 .
5.1 如图,已知 中， BE为AD 边上的中线.
(1)求AC的长;
(2)求 的面积.
考点3 解直角三角形的实际应用
课标要求导航：能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.
例6 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点 P处测得瞭望台正对岸A 处的俯角为 ，测得瞭望台顶端C处的俯角为已知瞭望台BC高12米(图中点A，B，C，P在同一平面内).那么大汶河此河段的宽AB 为 米.(参考数据：
例6图 6.1图
6.1地域名片 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点 B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3m,则灯塔的高度AD 大约是(结果精确到1m，参考数据： ( )
A.31 m B.36 m C.42 m D.53 m
6.2 综合与实践 根据收集的素材，探索完成任务.
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明.某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°;夏至日时,43°≤α≤76° sin14°≈0.24,cos14°≈0.97 tan14°≈0.25,sin29°≈0.48,cos29°≈0.87,tan 29°≈0.55sin43°≈0.68,cos43°≈0.73,tan43°=0.94,sin76°≈0.97, cos76°≈0.24,tan76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射.现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板.已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层,乙楼CD共15层,一层从地面起，每层楼高皆为3.3米. AE 为某时刻的太阳光线
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择______日(填冬至或夏至)时,α为______(填14°,29°,43°，76°中的一个)进行计算
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器
6.3科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验.如图，光线自点B 处发出，经水面点 E 折射到池底点A 处.已知BE 与水平线的夹角 点B 到水面的距离. 点A 处水深为1.20m，到池壁的水平距离点B,C,D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求 的值(精确到0.1).
参考数据：si
达标训练
基础达标特训
1.如图,在△ABC 中,AB = 则BC的长是 ( )
A.3 B.6 C.8 D.9
第1题图 第2题图
2.第14届国际数学教育大会(ICME-14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和一个小正方形 EFGH 拼成的大正方形 ABCD.若EF:AH=1:3,则sin∠ABE=( )
B. C.
3.将图1 所示的七巧板，拼成图 2 所示的四边形 ABCD,连接 AC,则tan∠CAB = .
4.如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30 m的点 P 处，测得教学楼底端点 A 的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m 至点Q 处，测得教学楼顶端点 B 的俯角为45°，则教学楼AB 的高度约为 m.(精确到 1m ,参考数据: sin 37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
5.传统文化 如图,图1 为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图,图2 为其平面示意图.已知AB⊥CD 于点 B,AB 与水平线l相交于点 O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,则点 C 到水平线l的距离CF 为 分米.(结果用含根号的式子表示)
6.如图,在△ABC 中,AD⊥BC,AE是 BC 边上的中线,AB =10,AD =6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求 sin∠DAE 的值.
7.传统文化 中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB 垂直于地面，AB长8尺.在夏至时，杆子AB 在太阳光线AC 照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD 照射下产生的日影为 BD.已知∠ACB =73.4°,∠ADB=26.6°,求春分和秋分时日影长度.(结果精确到 0.1尺；参考数据：sin 26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6° tan 73.4°≈3.35)
高分提能特训
8.如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m 的测量仪 EF 测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m 的测量仪 CD 测得顶端A 的仰角为53°，则电子厂 AB 的高度为(参考数据：( )
A. 22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m
第8题图 第9题图
9.如图,斜坡 CD 的坡度 i =1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子 BE 长为10 米，则大树AB的高为 米.
10.综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图，无人机在离地面40 米的 D 处，测得操控者A 的俯角为30°，测得楼BC 楼顶 C 处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A 和大楼BC之间的水平距离是80 米，则楼BC的高度是多少米 (点A,B,C,D 都在同一平面内，参考数据：
11.如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A,B 相距 海里.一渔船在C处捕鱼，测得 C 处在灯塔A 的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向.
(1)求B,C两处的距离;
(2)该渔船从 C 处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于 D 处，并发出求救信号.此时，在灯塔B 处的渔政船测得D 处在北偏东27°方向，便立即以18 海里/小时的速度沿 BD方向航行至D 处救援，求渔政船的航行时间.(注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：
12.综合与实践 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点 C，B，E在同一条直线上； ②过点E作GH⊥CE,并沿EH方向前进到点 F，用皮尺测得 EF 的长为4米; ③在点 F 处用测角仪测得∠CFG =60.3°,∠BFG=45°,∠AFG=21.8°;④用计算器计算得: sin 60.3°≈0.87,cos 60.3°≈0.50, tan 60.3°≈1.75,sin 21.8°≈0.37,cos21.8°≈0.93,tan 21.8°≈0.40
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：
(1)求线段CE 和BC的长度;
(2)求底座的底面ABCD的面积.
参考答案
考点分析
【例1】C 1.1:D
1.2:B 解析:把AB向上平移一个单位到DE,连接CE,如图.
则 DE∥AB,∴∠APC = ∠EDC.
在△DCE中,
为直角三角形,∠DCE=90°.
∴ cos∠APC =
1.3:C 1.4:A
【例2】 C 2.1:A
【例3】C
3.1:解:原式 .
【例4】解:(1).
(2)如图,过点 A 作AM⊥CB 于点M,则∠AMB=90°.
∵DE⊥CB,∴DE∥AM,∴△CDE∽△CAM,即
(3)①.
【例5】 6
5.1:解:(1)∵AC⊥BD,∴ ∠ACB =∠ACD=90°.
在 Rt△ABC中,
(2)∵BE为AD边上的中线,
又∵
【例6】 74 6.1:B
6.2:解:冬至;14°.
如图,过 E 作 EF ⊥AB 于 F,则∠AFE=90°,EF=54米,BF=DE.
在Rt△AFE中, 13.5(米).
∵AB=11×3.3=36.3(米),∴ DE=BF=AB-AF=36.3-13.5=22.8(米),
(层).
答：乙楼中7层(含7层)以下不能安装该品牌太阳能热水器.(答案不唯一)
6.3:解:过点 E 作 EH ⊥ AD 于点H,如图.
由题意可知,∠CEB =α=36.9°,EH=1.20m,
=1.50(m),
达标训练
1. B 2. C
3. 解析：如图，令AC与BD的交点为 O.
∵ ∠ABD= ∠CDB = 90°,∴CD∥AB.
又∵AB=CD,∴四边形ABCD 是平行四边形,∴AC与BD互相平分，
在 Rt△AOB中， .
4.17
解析：延长DC交l于点H,连接 OC,如图.
在Rt△OBH中,∠BOH =90°-60°=30°,OB =12分米,∴BH=12 × tan 30° (分米), 分米.
解得 即点 C 到水平线的距离 CF 为(6分米.
6.解:(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6,∴ BC=BD+CD=8+6=14.
(2)∵AE是BC边上的中线,∴DE=CE-CD=7-6=1.
∵AD⊥BC,
7. 解:在 Rt △ABC 中,AB = 8 尺,∠ACB=73.4°,
∴BC≈2.4尺.
在 Rt△ABD 中,AB =8 尺,∠ADB=26.6°,∴BD≈16.0尺.
由题意可知，春分和秋分时日影长度为 +16)=9.2(尺).
8. A
10.解:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点E,过点 C 作 CF⊥DE 于点 F,则四边形 BCFE 是矩形.
由题意,得AB=80米,DE=40米，
在 Rt △ADE 中, ∠AED = 90°,∠ADE=60°,
米，
米.
∵四边形 BCFE 是矩形, 米.
在 Rt △DCF 中, ∠DFC = 90°,∠CDF=∠DCF=45°,米,∴BC=EF=DE-DF =40-80+ (米).
答：楼BC 的高度约是28米.
11.解:(1)由题意, 北得 ∠ACB =∠ABC=30°,∴ AB = AC = 海里.
如图，过点A 作AH⊥BC于点H,则 8(海里),
∴BC=16海里,即B,C两处的距离为16海里.
(2)如图,过点D作DG⊥BC于点 G.在 Rt△BDG 中,
在 Rt △CDG 中,
∵BC=BG-CG,解得DG=10.5,∴CG=5海里,
∴BG=BC+CG=21海里,海里，
∴ 渔政船的航行时间为
12.解:(1)∵ GH⊥CE,EF 的长为4米,∠CFG=60.3°,
∴CE=7 米.
∵∠BFG=45°,∴BE=EF=4米,∴ BC=CE-BE=3米.
(2)过点A作AM⊥GH于点M,如图.
∵∠AFG=21.8°,AM=BE=4米,
∴MF=10米,∴AB =ME=10-4=6(米),
∴底座的底面ABCD 的面积为3×6=18(平方米).
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